3.2.1 双曲线的标准方程（七大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

3.2.1 双曲线的标准方程 课程标准 学习目标 （1）能从几何情境中认识双曲线的几何特征，说出双曲线的定义，发展直观想象素养． （2）能类比椭圆标准方程的建立过程，推导出双曲线的标准方程，并能用于解决简单的问题，进一步体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象、数学运算素养． （1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. （2）掌握双曲线的标准方程及其求法. （3）能利用双曲线的定义和标准方程解决一些实际应用问题． 知识点01 双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 知识点诠释： 1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 【即学即练1】（2023·全国·高三专题练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．射线 B．直线 C．椭圆 D．双曲线的一支 知识点02 双曲线的标准方程 标准方程的推导： 如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤． （1）建系设点 取过焦点、的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴 （2）建立直角坐标系． 设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是（），那么F1、F2的坐标分别是、．又设点M与、的距离的差的绝对值等于常数． （2）点的集合 由定义可知，双曲线就是集合： ． （3）代数方程 ∵， ∴ （4）化简方程 将这个方程移项，两边平方得： 化简得： 两边再平方，整理得： （以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．） 由双曲线定义，即c＞a，所以． 设，代入上式得： 即，其中 这就是双曲线的标准方程． 双曲线的标准方程： 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据 根据 ， ， ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 方程（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件 方程可化为，即， 所以只有A、B异号，方程表示双曲线． 当，时，双曲线的焦点在x轴上； 当，时，双曲线的焦点在y轴上． 知识点诠释： 1、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． 2、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 3、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 4、对于双曲线，不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 【即学即练2】（2023·全国·高二专题练习）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 知识点03 求双曲线的标准方程 ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 知识点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b，即先定型，再定量．若两种类型都有可能，则需分类讨论． 【即学即练3】（2023·广东东莞·高三校联考阶段练习）已知双曲线，四点、、、中恰有三点在上，则双曲线的标准方程为 ． 题型一：双曲线的定义 【典例1-1】（2024·高二·江西·期末）已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（    ） A．5 B．13 C．5或9 D．5或6 【典例1-2】（2024·高二·河南洛阳·阶段练习）已知，是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是以，为焦点的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．射线 B．直线 C．椭圆 D．双曲线的一支 【变式1-2】（2024·高二·全国·单元测试）已知，，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支 【变式1-3】（2024·高二·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 【变式1-4】（2024·高二·北京·期末）已知AB是平面内两点，且，判断当P点满足下列哪个条件时其轨迹不存在（    ） A． B． C． D． 题型二：双曲线的标准方程 【典例2-1】（2024·全国·三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【典例2-2】（2024·高二·上海·随堂练习）以椭圆的焦点为顶点，且过点的双曲线标准方程是 ． 【变式2-1】（2024·高三·广东·阶段练习）已知双曲线，四点、、、中恰有三点在上，则双曲线的标准方程为 ． 【变式2-2】（2024·高二·北京延庆·期末）双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点，则双曲线的实轴长为 ，标准方程为 ． 【变式2-3】（2024·高二·江苏泰州·阶段练习）求适合下列条件的双曲线标准方程： （1）与双曲线共焦点，经过点； （2）经过点和； 【变式2-4】（2024·高二·浙江宁波·期中）在下列条件下求双曲线标准方程． (1)与双曲线有相同的渐近线，且经过点． (2)焦点在轴上，双曲线上点到两焦点距离之差的绝对值为，且经过点． 题型三：双曲线方程的充要条件 【典例3-1】（2024·高二·陕西宝鸡·期末）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【典例3-2】（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·高二·江苏宿迁·期末）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（2024·高二·河南许昌·期末）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【变式3-3】（2024·高二·湖南邵阳·期末）若方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线C为椭圆 B．若曲线C为双曲线，则 C．曲线C不可能是圆 D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 【变式3-4】（2024·高二·全国·专题练习）若曲线表示双曲线，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型四：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 【典例4-1】（2024·高二·上海·期末）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【典例4-2】（2024·高二·上海青浦·阶段练习）双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ． 【变式4-1】（2024·高二·山西大同·期末）点，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的周长是 ． 【变式4-2】（2024·高二·辽宁葫芦岛·期中）已知，分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交的上支于A，B两点，若的长等于虚轴长的3倍，则的周长为 ． 【变式4-3】（2024·高二·湖南·期中）已知双曲线，，是其两个焦点，点在双曲线上，若，则的面积为 ． 【变式4-4】（2024·高三·全国·专题练习）双曲线C的渐近线方程为，一个焦点为，点，点为双曲线第一象限内的点，则当点的位置变化时，周长的最小值为 . 【变式4-5】（2024·高二·江苏·假期作业）设点P在双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于 ， ． 题型五：双曲线上两点距离的最值问题 【典例5-1】（2024·青海玉树·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C． D． 【典例5-2】（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，则的最小值为（    ） A．19 B．25 C．37 D．85 【变式5-1】（2024·高二·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 【变式5-2】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）若双曲线的左右焦点分别为为双曲线上一点，若，则的取值为 . 【变式5-3】（2024·高二·上海·阶段练习）设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ． 题型六：双曲线上两线段的和差最值问题 【典例6-1】（2024·高二·全国·课后作业）设是双曲线上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为 ，最小值为 ． 【典例6-2】（2024·高二·江西宜春·期末）是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为 ． 【变式6-1】（2024·高二·湖北·期中）已知双曲线的方程为，点，是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是 ． 【变式6-2】（2024·高二·湖北武汉·期末）已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 【变式6-3】（2024·高二·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 【变式6-4】（2024·高二·江苏宿迁·期中）已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是 ． 【变式6-5】（2024·高三·江西南昌·阶段练习）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 【变式6-6】（2024·高二·辽宁锦州·期末）P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为 . 题型七：求轨迹方程 【典例7-1】（2024·高二·全国·课后作业）在中，，的内切圆切BC于D点，且，则顶点A的轨迹方程为 ． 【典例7-2】（2024·高二·上海杨浦·期中）在中，，，，则顶点的轨迹方程是 . 【变式7-1】（2024·高二·河北张家口·阶段练习）已知圆与圆和圆均外切，则点的轨迹方程为 . 【变式7-2】（2024·高二·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【变式7-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为 ． 【变式7-4】（2024·高二·全国·课堂例题）如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆M与定圆，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .      【变式7-5】（2024·高二·辽宁抚顺·阶段练习）已知点A(0，4)，B(0，－4)，从点C同时出发的两个质点M，N均以每秒2个单位长度的速度做匀速直线运动，M从C运动到A，N从C运动到B，且M到达A的时间比N到达B的时间晚3秒，则C的轨迹方程为 . 【变式7-6】（2024·高二·上海·随堂练习）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 【变式7-7】（2024·高二·陕西宝鸡·期中）已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 【变式7-8】（2024·高二·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【变式7-9】（2024·高二·上海·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 . 1．（2024·高二·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·福建福州·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·上海·随堂练习）定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离，那么平面内到定圆A的距离与到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支 5．（2024·高二·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 6．（2024·高二·云南玉溪·期末）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·新疆克孜勒苏·期末）以下几个命题中，其中真命题的序号为（    ）. ①双曲线与椭圆有相同的焦点； ②在平面内，到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线； ③设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线； ④过定圆上一定点作圆的动弦为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆. A．① B．①② C．①④ D．③④ 8．（2024·高二·甘肃白银·期末）设双曲线的左，右焦点分别为,过的直线分别交双曲线左右两支于点，连接,若,则（    ） A．1 B． C． D．2 9．（多选题）（2024·高二·安徽马鞍山·期末）已知曲线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是两条直线 10．（多选题）（2024·高二·安徽宿州·期中）在平面直角坐标系中，曲线C上任意点P与两个定点和点连线的斜率之积等于2，则关于曲线C的结论正确的有（    ） A．曲线C为双曲线 B．曲线C是中心对称图形 C．曲线C上所有的点都在圆外 D．曲线C是轴对称图形 11．（多选题）（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为一条直线 D．若，则点的轨迹为圆 12．（2024·高二·吉林长春·期中）直线过圆的圆心，且与圆相交于A，B两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为 . 13．（2024·高三·山东青岛·阶段练习）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则 ． 14．（2024·高二·全国·单元测试）定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．已知点是双纽线上一点，则下列说法中正确的是 ．（填上你认为的所有正确说法的序号） ①双纽线关于原点中心对称； ②双纽线上满足的点只有1个； ③； ④的最大值为． 15．（2024·高二·全国·课堂例题）根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (2)过点，且焦点在坐标轴上． 16．（2024·高二·全国·课前预习）设双曲线的焦点为和，焦距为，且双曲线上的动点满足，其中，以，所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？ 17．（2024·高二·全国·课后作业）（1）某科研团队在科研基地点西侧、东侧20千米处设有两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在以为焦点的双曲线上，以点为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，在北偏东处，求双曲线的标准方程和点坐标． （2）团队又在正南、正北15千米处设有两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1千米）和点位置（精确到）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.1 双曲线的标准方程 课程标准 学习目标 （1）能从几何情境中认识双曲线的几何特征，说出双曲线的定义，发展直观想象素养． （2）能类比椭圆标准方程的建立过程，推导出双曲线的标准方程，并能用于解决简单的问题，进一步体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象、数学运算素养． （1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. （2）掌握双曲线的标准方程及其求法. （3）能利用双曲线的定义和标准方程解决一些实际应用问题． 知识点01 双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 知识点诠释： 1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 【即学即练1】（2023·全国·高三专题练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．射线 B．直线 C．椭圆 D．双曲线的一支 【答案】A 【解析】设，由题意知动点M满足|，故动点M的轨迹是射线. 故选：A. 知识点02 双曲线的标准方程 标准方程的推导： 如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤． （1）建系设点 取过焦点、的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴 （2）建立直角坐标系． 设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是（），那么F1、F2的坐标分别是、．又设点M与、的距离的差的绝对值等于常数． （2）点的集合 由定义可知，双曲线就是集合： ． （3）代数方程 ∵， ∴ （4）化简方程 将这个方程移项，两边平方得： 化简得： 两边再平方，整理得： （以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．） 由双曲线定义，即c＞a，所以． 设，代入上式得： 即，其中 这就是双曲线的标准方程． 双曲线的标准方程： 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据 根据 ， ， ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 方程（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件 方程可化为，即， 所以只有A、B异号，方程表示双曲线． 当，时，双曲线的焦点在x轴上； 当，时，双曲线的焦点在y轴上． 知识点诠释： 1、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． 2、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 3、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 4、对于双曲线，不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 【即学即练2】（2023·全国·高二专题练习）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点， 当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为， 若将点代入，得①， 又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为. 当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④， 联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为， 综上所述，双曲线的标准方程为或. 故选：C. 知识点03 求双曲线的标准方程 ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 知识点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b，即先定型，再定量．若两种类型都有可能，则需分类讨论． 【即学即练3】（2023·广东东莞·高三校联考阶段练习）已知双曲线，四点、、、中恰有三点在上，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【解析】因为点、关于原点对称，且双曲线也关于原点对称，故点、都在双曲线上， 对于点，，，所以，，即点不在双曲线上， 所以，点、、都在双曲线上，所以，，解得， 因此，双曲线的标准方程为. 故答案为：. 题型一：双曲线的定义 【典例1-1】（2024·高二·江西·期末）已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（    ） A．5 B．13 C．5或9 D．5或6 【答案】C 【解析】由题意可知，，，若，则或9． 故选：C 【典例1-2】（2024·高二·河南洛阳·阶段练习）已知，是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是以，为焦点的双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】充分性：当“为定值”，但“”时，“动点的轨迹不是双曲线”，不满足充分性； 必要性：以，为焦点的双曲线上的动点满足“为定值”，满足必要性； 因此“为定值”是“动点的轨迹是以，为焦点的双曲线”的必要不充分条件． 故选：B. 【变式1-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．射线 B．直线 C．椭圆 D．双曲线的一支 【答案】A 【解析】设，由题意知动点M满足|，故动点M的轨迹是射线. 故选：A. 【变式1-2】（2024·高二·全国·单元测试）已知，，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支 【答案】C 【解析】因为，于是有， 所以动点P的轨迹是一条射线． 故选：C 【变式1-3】（2024·高二·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 【答案】A 【解析】由题意得焦距为，由双曲线定义可得， 所以或，又因为在双曲线中，所以，故A正确. 故选：A. 【变式1-4】（2024·高二·北京·期末）已知AB是平面内两点，且，判断当P点满足下列哪个条件时其轨迹不存在（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A选项：,轨迹为椭圆； 对于B选项：,轨迹不存在．； 对于C选项：的轨迹存在， 比如点就在轨迹上； 对于D选项：,轨迹为椭圆； 故选：B. 题型二：双曲线的标准方程 【典例2-1】（2024·全国·三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点， 当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为， 若将点代入，得①， 又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为. 当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④， 联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为， 综上所述，双曲线的标准方程为或. 故选：C. 【典例2-2】（2024·高二·上海·随堂练习）以椭圆的焦点为顶点，且过点的双曲线标准方程是 ． 【答案】 【解析】在椭圆中，，，所以，， 所以椭圆的焦点为，所以双曲线的顶点为， 设双曲线方程为， 由题意可得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为：， 故答案为：. 【变式2-1】（2024·高三·广东·阶段练习）已知双曲线，四点、、、中恰有三点在上，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【解析】因为点、关于原点对称，且双曲线也关于原点对称，故点、都在双曲线上， 对于点，，，所以，，即点不在双曲线上， 所以，点、、都在双曲线上，所以，，解得， 因此，双曲线的标准方程为. 故答案为：. 【变式2-2】（2024·高二·北京延庆·期末）双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点，则双曲线的实轴长为 ，标准方程为 ． 【答案】 【解析】因为双曲线的一个焦点坐标是， 所以设双曲线的标准方程为， 又因为双曲线经过点，则有，又因为， 所以或，因为，所以， 双曲线方程为， 所以双曲线的实轴长为；标准方程为， 故答案为：；. 【变式2-3】（2024·高二·江苏泰州·阶段练习）求适合下列条件的双曲线标准方程： （1）与双曲线共焦点，经过点； （2）经过点和； 【解析】（1）∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为， ∴，即.① ∵双曲线经过点，∴.② 由①②得，， 双曲线的标准方程为. （2）设双曲线的方程为 ∵点P，Q在双曲线上， ∴，解得. ∴双曲线的标准方程为. 【变式2-4】（2024·高二·浙江宁波·期中）在下列条件下求双曲线标准方程． (1)与双曲线有相同的渐近线，且经过点． (2)焦点在轴上，双曲线上点到两焦点距离之差的绝对值为，且经过点． 【解析】（1）双曲线的渐近线方程为 所求双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为 根据题意可得 此时，所求双曲线的方程为； 所求双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为 根据题意得,无解， 综上，所求的双曲线方程为 （2）设所求双曲线的方程为，根据题意 又双曲线经过点，所以 解得 故所求双曲线方程为. 题型三：双曲线方程的充要条件 【典例3-1】（2024·高二·陕西宝鸡·期末）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】若方程表示双曲线， 则，得. 故选：B 【典例3-2】（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，解得. 故选：A. 【变式3-1】（2024·高二·江苏宿迁·期末）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】方程表示双曲线，则，解得或， 当时，方程表示双曲线， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 【变式3-2】（2024·高二·河南许昌·期末）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【解析】若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得； 若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，无解. 综上所述，. 故选：D. 【变式3-3】（2024·高二·湖南邵阳·期末）若方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线C为椭圆 B．若曲线C为双曲线，则 C．曲线C不可能是圆 D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 【答案】D 【解析】对于A项，方程表示椭圆等价于，解得：，故A项错误； 对于B项，方程表示双曲线等价于，解得：或，故B项错误； 对于C项，方程表示圆，等价于解得：,故C项错误； 对于D项，方程表示焦点在x轴上的椭圆等价于，解得：，故D项正确. 故选：D. 【变式3-4】（2024·高二·全国·专题练习）若曲线表示双曲线，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，若曲线表示双曲线，则有， 解得. 故选：C 题型四：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 【典例4-1】（2024·高二·上海·期末）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】 【解析】 由题意，，不妨设， 则，由余弦定理， 所以，， 所以，. 故答案为：. 【典例4-2】（2024·高二·上海青浦·阶段练习）双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ． 【答案】/ 【解析】 由可得：，如图，设则①， 在中，由余弦定理，，即：② 由①②联立，解得：. 则三角形的面积为. 故答案为：. 【变式4-1】（2024·高二·山西大同·期末）点，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的周长是 ． 【答案】 【解析】由题意， 在双曲线中，， ∴，， 由余弦定理的推论可得， 所以， 所以，， 所以，所以， 所以的周长为． 故答案为：. 【变式4-2】（2024·高二·辽宁葫芦岛·期中）已知，分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交的上支于A，B两点，若的长等于虚轴长的3倍，则的周长为 ． 【答案】36 【解析】由题意得，则， 所以的周长为． 故答案为：36. 【变式4-3】（2024·高二·湖南·期中）已知双曲线，，是其两个焦点，点在双曲线上，若，则的面积为 ． 【答案】 【解析】由双曲线，可得，则， 所以双曲线的焦距为，因为，为直角三角形， 可得，又因为， 可得，即， 解得，所以的面积为． 故答案为：． 【变式4-4】（2024·高三·全国·专题练习）双曲线C的渐近线方程为，一个焦点为，点，点为双曲线第一象限内的点，则当点的位置变化时，周长的最小值为 . 【答案】 【解析】因为焦点在纵轴上，设该双曲线的方程为， 因为焦点为，所以， 因为双曲线C的渐近线方程为， 所以，由可解，即， 双曲线的另一个焦点为，则有， 周长为：， 当三点共线时，有最小值，最小值为， 所以周长的最小值为， 故答案为： 【变式4-5】（2024·高二·江苏·假期作业）设点P在双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于 ， ． 【答案】 22 【解析】在双曲线中，实半轴长，半焦距，则， 显然，又，解得， 所以的周长等于， . 故答案为：22； 题型五：双曲线上两点距离的最值问题 【典例5-1】（2024·青海玉树·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C． D． 【答案】A 【解析】因为，为双曲线的左、右焦点，P是C的右支上的一点， 所以， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立； 因为，所以，所以成立，的最小值为16. 故选：A. 【典例5-2】（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，则的最小值为（    ） A．19 B．25 C．37 D．85 【答案】B 【解析】由题意，双曲线焦点坐标为， 设，且，则， 当且仅当即时等号成立， 所以最小值为25， 故选：B. 【变式5-1】（2024·高二·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设，且，， 又， 又或， 所以 即的最小值为，当点为双曲线左定点时去最小值. 故答案为：. 【变式5-2】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）若双曲线的左右焦点分别为为双曲线上一点，若，则的取值为 . 【答案】5 【解析】根据双曲线的定义可得， ，所以点可以在左支上，此时，解得； ，所以点不可能在右支上， 综上可得. 故答案为：5. 【变式5-3】（2024·高二·上海·阶段练习）设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】根据题意可得，， ，， 所以， 由双曲线性质可得，设，， 则， 设，， 设，， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数 是上的增函数. 所以当时，取得最小值4， 即的最小值为4，此时点为右顶点. 故答案为：4. 题型六：双曲线上两线段的和差最值问题 【典例6-1】（2024·高二·全国·课后作业）设是双曲线上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 9 【解析】设双曲线的左、右焦点分别为，， 则点为圆的圆心，点为圆的圆心， 连接，．当点在双曲线的左支上时（如图）， 由双曲线的定义，可得， 由圆的几何性质，得，， 所以，即， 此时的最大值为9，最小值为3． 同理可得，当点在双曲线的右支上时，的最大值为，最小值为． 综上，的最大值为9，最小值为． 故答案为：， 【典例6-2】（2024·高二·江西宜春·期末）是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为 ． 【答案】9 【解析】由题意，圆的圆心为，半径为2，的圆心为，半径为1，故双曲线焦点即为两圆圆心. 所以的最大值即：的最大值减去的最小值. 的最大值为，的最小值为，根据双曲线的定义可得两者相减得. 故答案为：9 【变式6-1】（2024·高二·湖北·期中）已知双曲线的方程为，点，是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是 ． 【答案】/ 【解析】由题意可得，，即，则，的坐标分别为，， 由双曲线的定义，得， 又是圆上的点，设圆的圆心为，半径为， 由图可知，， 所以， 当且仅当、、、四点共线（、在之间）时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式6-2】（2024·高二·湖北武汉·期末）已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 【答案】7 【解析】如图所示： 由题意，设为双曲线右焦点，线段与双曲线右支交于点， 所以，等号成立当且仅当重合， 所以的最小值为7. 故答案为：7. 【变式6-3】（2024·高二·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，， 圆半径为， ，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号， 所以，又由双曲线的定义，， 所以，即的最小值为， 故答案为：． 【变式6-4】（2024·高二·江苏宿迁·期中）已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是 ． 【答案】/ 【解析】由已知可得，，， 所以，，，. 如图，设双曲线左焦点为， 因为点在双曲线右支内部，要使最小，则点应在双曲线的右支上. 根据双曲线的定义可得，， 所以，. 所以，. 由图象可知，当三点共线且如图示位置时，有最小值. 又，所以， 所以，有最小值， 即有最小值. 故答案为：. 【变式6-5】（2024·高三·江西南昌·阶段练习）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】由题意知，. 设双曲线的右焦点为， 由是双曲线右支上的点，则， 则， 当且仅当三点共线时，等号成立. 又，则. 所以，的最小值为. 故答案为：. 【变式6-6】（2024·高二·辽宁锦州·期末）P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为 . 【答案】5 【解析】双曲线的两个焦点，分别为两圆的圆心， 两圆的半径分别为，，易知，， 故的最大值为. 故答案为：5 题型七：求轨迹方程 【典例7-1】（2024·高二·全国·课后作业）在中，，的内切圆切BC于D点，且，则顶点A的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】以BC的中点为原点O，BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，   E，F分别为AB，AC边上的切点．则，，， 所以， 所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支（除去右顶点）， 且，，所以， 所以顶点A的轨迹方程为． 故答案为：． 【典例7-2】（2024·高二·上海杨浦·期中）在中，，，，则顶点的轨迹方程是 . 【答案】 【解析】∵，，∴， ∵，∴由正弦定理得，即，， 所以点轨迹是以为焦点的双曲线的右支(除去顶点)． 该双曲线的半焦距为，实半轴长为，虚半轴长为， 所以轨迹方程为． 故答案为：． 【变式7-1】（2024·高二·河北张家口·阶段练习）已知圆与圆和圆均外切，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】当圆与圆均外切时，， 所以， 则点的轨迹为双曲线的上支，设轨迹方程为， 则， 则， 所以轨迹方程为. 故答案为：. 【变式7-2】（2024·高二·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为，由动圆与圆，都外切，得， 则，因此点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 设方程为，则， 所以M的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式7-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设圆的半径为， 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 因为圆与圆、圆外切， 则， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 又，则， 所以其轨迹方程为． 故答案为：． 【变式7-4】（2024·高二·全国·课堂例题）如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆M与定圆，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .      【答案】 【解析】圆：，圆心，半径， 圆：，圆心，半径. 设动圆M的半径为R，则有，， ∴， ∴点M的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，且，，于是. 故动圆圆心M的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式7-5】（2024·高二·辽宁抚顺·阶段练习）已知点A(0，4)，B(0，－4)，从点C同时出发的两个质点M，N均以每秒2个单位长度的速度做匀速直线运动，M从C运动到A，N从C运动到B，且M到达A的时间比N到达B的时间晚3秒，则C的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】如图，设， 则， 所以C的轨迹是以为焦点，且实轴长为的双曲线的下支， 由，得， 所以C的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式7-6】（2024·高二·上海·随堂练习）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】设，，由题意知动点M满足， 故动点M的轨迹是射线． 故答案为： 【变式7-7】（2024·高二·陕西宝鸡·期中）已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设，由题意可知，， 整理可得动点的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式7-8】（2024·高二·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】由点是线段垂直平分线上的点， ， 又， 满足双曲线定义且，， ， 轨迹方程：． 故答案为：． 【变式7-9】（2024·高二·上海·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设，则， 又因为可得. 则点的轨迹方程为. 故答案为：. 1．（2024·高二·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，由， 结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支， 在双曲线中，，可得，， 所以， 动点的轨迹方程为. 故选：A. 2．（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， 即， ． 则． ．即． ，． 则该双曲线的方程是：． 故选：A 3．（2024·高二·福建福州·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，由于， 有4，可得， 又由，可得，设， 在中，由余弦定理有. 在中，由余弦定理有. 又由，有， 可得，解得，所以双曲线的焦距为. 故选：B. 4．（2024·高二·上海·随堂练习）定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离，那么平面内到定圆A的距离与到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支 【答案】A 【解析】设圆A的半径为R，对定点B分类讨论： ①若点B在圆A内（不与圆心A重合），如图1所示． 设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的重直平分线l交AP于点M，连接BM， 则． 由椭圆的定义可知，点M的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆； ②若点B在圆A外，如图2所示． 设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的重直平分线l交AP于点M，连接BM， 则． 由双曲线的定义可知，点M的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的一支； ③若定点B与圆心A重合，如图3所示． 设点P是圆A上的任意一点，取线段AP的中点M，则点M满足条件， 因此点M的轨迹是以点A为圆心，以为半径的圆； ④若点B在圆A上，如图4，则满足条件的点是射线； 综上可知，满足条件的点M的轨迹可能是椭圆、双曲线的一支、圆或一条射线，而不可能是一条直线． 故选：A． 5．（2024·高二·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【解析】由双曲线可知， 且圆的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 由圆的性质可知：， 可得， 可知，为双曲线的焦点，则， 可得， 所以的最小值为5. 故选：B. 6．（2024·高二·云南玉溪·期末）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设动圆的半径为r， 则，， 则， 根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支． 故选：C． 7．（2024·高二·新疆克孜勒苏·期末）以下几个命题中，其中真命题的序号为（    ）. ①双曲线与椭圆有相同的焦点； ②在平面内，到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线； ③设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线； ④过定圆上一定点作圆的动弦为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆. A．① B．①② C．①④ D．③④ 【答案】A 【解析】①双曲线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为，故①正确； ②因为定点在直线上，所以到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是直线，故②错误； ③若动点的轨迹为双曲线，则要小于两个定点间的距离， 当大于或等于两个定点间的距离时动点的轨迹不是双曲线，故③错误； ④由知是线段的中点， 所以，所以在以为直径的圆上，即动点的轨迹为圆，故④错误. 故选：A. 8．（2024·高二·甘肃白银·期末）设双曲线的左，右焦点分别为,过的直线分别交双曲线左右两支于点，连接,若,则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】 结合题意可知,设，则， 结合双曲线的定义可得，则， 又由双曲线的定义可得，则，解得， 所以，，， 在中，则余弦定理得： ， 所以，则，即. 故选：B. 9．（多选题）（2024·高二·安徽马鞍山·期末）已知曲线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是两条直线 【答案】AD 【解析】A选项，若，则, 故曲线C:,即，表示椭圆，其焦点在y轴上，A正确； B选项，若，， 则曲线C:，即，表示半径为的圆，B错误； C选项，若，不妨设,则曲线C:，即，表示焦点在x轴上的双曲线，则，故渐近线方程为, 即，C错误； D 选项，若，曲线C：，即， 即，则C 是两条直线，D正确. 故选：AD. 10．（多选题）（2024·高二·安徽宿州·期中）在平面直角坐标系中，曲线C上任意点P与两个定点和点连线的斜率之积等于2，则关于曲线C的结论正确的有（    ） A．曲线C为双曲线 B．曲线C是中心对称图形 C．曲线C上所有的点都在圆外 D．曲线C是轴对称图形 【答案】BCD 【解析】设点，根据题意可得，即，且， 化简得，曲线是双曲线除去顶点，，如图所示， 故A错误； 对于B，曲线关于原点中心对称，故B正确； 对于C，曲线上所有点均在圆外，故C正确； 对于D，曲线关于轴对称，故D正确. 故选：BCD. 11．（多选题）（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为一条直线 D．若，则点的轨迹为圆 【答案】BCD 【解析】对于选项A：，则点的轨迹为线段，故A错误； 对于选项B：，则点的轨迹是双曲线，故B正确； 对于选项：设， 由，可得， 化简得，表示一条直线，故C正确； 对于选项D：由，可得， 则点的轨迹是以为直径的圆，故D正确. 故选：BCD. 12．（2024·高二·吉林长春·期中）直线过圆的圆心，且与圆相交于A，B两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为 . 【答案】0 【解析】易知圆的圆心为，半径为1； 依题意为直径，所以； 设，则且， 可得， 所以 ， 根据二次函数性质以及可得当时，取得最小值为0. 故答案为：0 13．（2024·高三·山东青岛·阶段练习）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则 ． 【答案】9 【解析】由题意得：焦距，在双曲线中有， 因为，解得， 由双曲线的定义：， 解得或， 由图可知，可知被舍去， 所以. 故答案为：. 14．（2024·高二·全国·单元测试）定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．已知点是双纽线上一点，则下列说法中正确的是 ．（填上你认为的所有正确说法的序号） ①双纽线关于原点中心对称； ②双纽线上满足的点只有1个； ③； ④的最大值为． 【答案】①②④ 【解析】对于①，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线， 所以， 用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以①正确； 对于②，若双纽线上的点满足，则点在轴上，即0，所以，得，所以这样的点只有一个，所以②正确； 对于③，根据三角形的等面积法可知， 即， 所以，所以③错误； 对于④，因为，所以 ， 由余弦定理得， 所以， 当且仅当时取得等号，所以的最大值为，所以④正确． 故答案为：①②④． 15．（2024·高二·全国·课堂例题）根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (2)过点，且焦点在坐标轴上． 【解析】（1）方法一 根据题意，设所求双曲线的标准方程为， ，即．① 双曲线经过点， ．② 由①②得，， 双曲线的标准方程为． 方法二 设所求双曲线的方程为． 双曲线过点， ， 解得或（舍去）． 双曲线的标准方程为． （2）设双曲线的方程为，． 点，在双曲线上， 解得 双曲线的标准方程为． 16．（2024·高二·全国·课前预习）设双曲线的焦点为和，焦距为，且双曲线上的动点满足，其中，以，所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？ 【解析】由题意可知：为双曲线的焦点， 则，且焦点在y轴上， 所以双曲线的标准方程是. 17．（2024·高二·全国·课后作业）（1）某科研团队在科研基地点西侧、东侧20千米处设有两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在以为焦点的双曲线上，以点为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，在北偏东处，求双曲线的标准方程和点坐标． （2）团队又在正南、正北15千米处设有两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1千米）和点位置（精确到）． 【解析】（1） 设双曲线的标准方程为， 由题意可得，所以， 所以双曲线的标准方程为， 因为在北偏东处，所以直线的斜率为， 所以直线， 与双曲线方程联立，可得， 所以点的坐标为． （2） ①由，可得，所以， 则双曲线的方程为； ②由，可得，所以， 所以双曲线的方程为； 由题意可得为的右支与的上支的交点， 两双曲线方程联立，解得， 所以， 所以千米，点位置北偏东． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$