10 例析物体在三维空间力作用下的平衡问题-《中学生数理化》高考理化2024年9月刊

■湖南省宁乡市第七高级中学 胡连冬(正高级教师) 在日常生活和生产中,经常可以见到物 体受到分布在立体空间中的力作用而保持静 止状态或匀速直线运动状态,此时物体虽然 处于平衡状态,但是物体受到的力不在同一 个平面内,怎样解决这些物体的受力平衡问 题呢? 下面就让我们一起来分析此类问题的 求解策略。 一、物体在三维空间力作用下的平衡 条件 假设一球体受到三个不共面的力 F1、 F2、F3 的作用,球体保持静止状态或匀速直 线运动状态,为了计算球体受到的合力,需要 把球体受到的力分别沿三维立体坐标系的坐 标轴进行正交分解。 如图1所示,坐标原点O 是三个力F1、 F2、F3 作用线的交点,其中力F1 沿x 轴、y 轴和z 轴的分力分别为F1x、F1y、F1z,同理, 力F2、F3 沿x 轴、y 轴、z 轴的分力分别为 F2x、F2y、F2z,F3x、F3y、F3z(图中未画出)。因 为球体处于平衡状态,球体受到的合力为零, 所以每个力在三个坐标轴上分力的矢量和也 等于零,即 F1x+F2x+F3x=0,F1y+F2y+ F3y=0,F1z+F2z+F3z=0。 图1 由此可见,物体在三维空间力作用下的 平衡条件是:物体受到的各个力沿三维坐标 轴的分力的矢量和等于零,或物体受到的力 在三个正交平面Oxy、Oxz、Oyz内的分力的 矢量和等于零。 二、物体在三维空间力作用下平衡问题 的求解 例 1 如图2所示,某工地上起重机将 重为G 的正方形工件缓缓吊起。四根等长的 图2 钢绳(质量不计)一端分别固 定在正方形工件的四个角 上,另一端汇聚于一处挂在 挂钩上,绳端汇聚处到每个 角的距离均与正方形工件对 角线的长度相等。每根钢绳 的拉力大小为( )。 A. 1 4G B. 2 4G C. 1 2G D. 3 6G 解析:起重机将工件缓缓吊起,可视为工 件做匀速直线运动,工件处于平衡状态。工 件受到五个力的作用,其中四根钢绳对工件 的拉力方向沿着钢绳指向绳端汇聚处,工件 受到的重力方向竖直向下。将每根钢绳的拉 力分别沿正方形工件对角线所在的水平方向 和竖直向上的方向分解,则对称性钢绳拉力 沿正方形工件对角线所在水平方向的分力的 矢量和等于零。因为绳端汇聚处到每个角的 距离均与正方形工件对角线的长度相等,所 以固定在工件对角的两根钢绳与相应对角线 构成等边三角形,则每根钢绳拉力方向与竖 直向上方向间的夹角α=30°。设每根钢绳对 工件的拉力为T,则每根钢绳竖直向上的分 力F=Tcos α。根据平衡条件得4Tcos α= G,解得T= 3 6G 。 92 解题篇 创新题追根溯源 高考理化 2024年9月 答案:D 点评:把钢绳拉力沿正方形工件对角线 所在的水平方向和竖直向上方向分解是求解 本题的突破口,而找出固定在工件对角的两 根钢绳与相应对角线构成等边三角形这个隐 含条件是求解本题的关键。 图3 例 2 如图3所示, 矩形 平 板 ABCD 的 AD 边固定在水平面上,平板 与水平面间的夹角为θ, 对角线AC 与AB 边间的 夹角也为θ。质量为m 的 物块在平行于平板的拉力作用下,沿对角线 AC 方向匀速运动。已知物块与平板间的动 摩擦因数μ=tan θ,重力加速度大小为g,则 拉力大小为( )。 A.2mgsin θ·cos θ 2 B.2mgsin θ C.2mgsin θ 2 D.mgsin θ·cos θ 2 解析:物块受到竖直向下的重力G、垂直 于平板的弹力N、平行于平板的拉力F 和与 物块相对平板运动方向相反的滑动摩擦力f 四个力作用,处于平衡状态,其中拉力F 和 摩擦力f 处于平板所在平面内,弹力 N 与平 图4 板垂直,因此需要将重力G 正 交分解为平行于平板向下的 分力G1 和垂直于平板向下的 分力G2,如图4所示,则G1= Gsin θ,G2=Gcos θ。根据平 衡条件得 G2=N,又有 G= mg,f=μN,μ=tan θ, 所以 f=mgsin θ。当物块在拉力F 作用下,沿对 角线AC 方向做匀速运动时,力F、f、G1 在 平板所在平面内的合力等于零。根据平行四 边形法则得F=2mgsin θ·cos θ 2 。 答案:A 点评:因为物块在平板所在平面内做匀 速运动,所以物块受到垂直于平板方向的合 力一定等于零,把物块受到的重力分解为平 行于平板向下的分力G1 和垂直于平板向下 的分力G2,找准物块受到的滑动摩擦力,从 而把物块所受的空间力转化在同一平面内, 可使复杂的问题变成我们所熟悉的模型。 例 3 如图5所示,一轻质晒衣架静置 于水平地面上,水平横杆与四根相同的斜杆 垂直,固定在横杆同一端的两根斜杆间的夹 角θ=60°。一重为G 的物体悬挂在横杆的 中点处,则每根斜杆受到地面的( )。 图5 A.作用力为 3 3G B.作用力为 3 6G C.摩擦力为 3 4G D.摩擦力为 3 12G 解析:选由轻质晒衣架和重为G 的物体 组成的整体为研究对象,整体受到竖直向下 的重力G、地面对四根斜杆竖直向上的弹力 和地面对四根斜杆的静摩擦力作用。因为整 体处于平衡状态,所以四根斜杆受到地面的 静摩擦力的合力等于零。同理,四根斜杆受 到地面的弹力与物体的重力的合力也为零。 图6 如图6所示,设每根斜杆受到地面 的弹力和静摩擦力分别为 N 和f, 根据对称性得4N=G,根据平行四 边形法则得f=Ntan θ 2 ,地面对每 根斜杆的作用力是 N 和f 的合力 F合,即F合 = N cos θ 2 ,解 得 f= 3 12G ,F合 = 3 6G 。 答案:BD 另解:若隔离水平横杆一端与两斜杆的 连接点O 作为研究对象,则O 点受横杆对它 03 解题篇 创新题追根溯源 高考理化 2024年9月 竖直向下的压力F 和两根斜杆沿杆向上的弹 图7 力 N 作用,如图7所示,其中 F= G 2 。因为 O 点受到的合力为零,所 以 N= F 2cos θ 2 = G 4cos θ 2 = 3G 6 ,即 地面对每根斜杆的作用力为 3 6G 。 点评:本题源于日常生活中的真实问题, 以晒衣架承重为载体展示问题情境,要求地 面对斜杆的作用力和摩擦力。虽然晒衣架受 到的这些力不在同一平面内,但是这些力都 分布在水平面和竖直平面内,根据平衡条件 可知,分布在同一平面内的合力必为零,因此 斜杆所受地面静摩擦力的合力为零,晒衣架 和物体组成的整体所受地面的弹力和总的重 力的合力也为零。由此可见,正确进行受力 分析是求解本题的关键。 例 4 如图8所示,两根直木棍AB 和 CD 相互平行,斜靠在竖直墙壁上固定不动, 一个圆筒从两木棍的上部以初速度v0 匀速 下滑。若保持两木棍的倾角不变,将两木棍 间的距离减小后固定,仍将圆筒放在两木棍 上部,使其以初速度v0 下滑,则下列判断正 确的是( )。 图8 A.仍匀速下滑 B.匀加速下滑 C.减速下滑 D.以上三种运动均有可能 解析:圆筒从两木棍上部下滑的过程中 受到五个力,其中重力G 竖直向下,两木棍 对它的弹力N 垂直于木棍指向圆筒中心轴, 两木棍对它的摩擦力f 与圆筒相切,并与圆 筒相对木棍运动方向相反。这五个力分布在 圆筒的纵截面和横截面内,如图9所示。设 两木棍的倾角为θ,G1、G2 表示重力G 的两 个分力,则G1=Gsin θ,G2=Gcos θ。设圆筒 与木棍间的动摩擦因数为μ,则圆筒受到每 根木棍的滑动摩擦力f=μN。当圆筒匀速 运动时,圆筒受到的合力为零,即 N'-G2= 0,G1-2f=0,其中 N'为两木棍对圆筒的两 个弹力N 的合力。保持两木棍的倾角不变, 将两木棍间的距离减小后固定,仍将圆筒放 在两木棍上部,使其以初速度v0 下滑时,两 木棍对圆筒的两个弹力的夹角变小,而两弹 力的合力 N'仍等于G2,圆筒受到木棍的弹 力N 变小,木棍对圆筒的滑动摩擦力f 也变 小,因为G1 不变,所以圆筒会匀加速下滑。 图9 答案:B 点评:圆筒受到五个力的作用,五个力分 布在不同的平面内,在纵截面内圆筒受到重 力G、木棍的摩擦力的合力2f 和两木棍的弹 力的合力 N'。求解本题时最易出现的错误 是把G2 当成每根木棍对圆筒的弹力 N,认 为滑动摩擦力f 不变,导致错选A。 启示:处理物体在三维空间力作用下的 平衡问题,除了要正确进行受力分析,还要善 于将物体的空间受力图转化为平面受力图。 总结:物体在三维空间力作用下的平衡 问题,物体受到的作用力比较多,同时不同问 题的要求也不同,这就要求同学们不仅需要 熟练应用力的运算工具———力的合成和分解 具体问题具体分析,而且需要善于根据问题 的情形选择恰当的受力分析方法———整体法 和隔离法。因此针对具体问题一定要明确研 究对象,找准物体受到的每一个作用力,把物 体在空间中的受力立体图转化为物体在不同 平面内的受力分析图,然后依据平衡条件或 牛顿运动定律列式,从而把复杂的问题转化 为简单的或我们所熟悉的问题。 (责任编辑 张 巧) 13 解题篇 创新题追根溯源 高考理化 2024年9月