08 例析平抛运动与圆周运动的综合问题-《中学生数理化》高考理化2024年9月刊

■内蒙古鄂尔多斯市第一中学东校区 郝占忠 ■内蒙古鄂尔多斯市康巴什教育研究中心 郑天置 平抛运动与圆周运动的综合问题是高考 考查的热点,也是重点。常见试题主要有两 种类型:一是平抛运动与水平面内圆周运动 的综合,二是平抛运动与竖直面内圆周运动 的综合。求解此类问题时,除了需要应用平 抛运动和圆周运动的特点与规律,通常还需 要结合几何关系进行分析与求解,且关键点 是求出平抛运动与圆周运动衔接点的速度。 一、平抛运动与水平面内圆周运动的综 合问题 此类问题往往是物体先做水平面内的匀 速圆周运动,后做平抛运动,解题思路:(1)分 析物体做匀速圆周运动时的受力情况,根据 牛顿第二定律和向心力公式列出所需方程; (2)将做平抛运动物体的速度或位移正交分 解到水平方向和竖直方向上;(3)求出联系前 后两个过程的关键物理量———两种运动衔接 点的速度。 例 1 如图1所示,一根长l=0.1 m 的细线,一端系着一个质量m=0.18 kg的小 球,另一端固定在光滑水平桌面上的O 点, 使小球在水平桌面上做圆周运动。当小球的 转速增大为原来的3倍时,细线将恰好断开, 且细线断开前瞬间,小球受到的拉力比原来 的拉力大40 N,求: 图1 (1)细线断开前瞬间,细线受到的拉力为 多大? (2)细线断开前瞬间,小球的线速度为 多大? (3)如果小球离开桌面时,速度方向与桌 边缘的夹角θ=60°,桌面到地面的距离h= 0.8 m,那么小球的落地点到桌边缘的水平距 离为多大? (取重力加速度g=10 m/s2) 解析:小球在细线拉力作用下在水平桌 面上做圆周运动,当小球的转动角速度增大 到使细线断开后,小球滑至桌边缘后做平抛 运动。 (1)细线的拉力提供小球做圆周运动所 需的向心力,设开始时小球做圆周运动的角 速度为ω1,向心力为F1,细线断开前瞬间,小 球做圆周运动的角速度为ω2,细线的拉力为 F2,根据牛顿第二定律和圆周运动规律得 F1=mω21l,F2=mω22l,又有ω2=3ω1,F2= F1+40 N,解得F2=45 N。 (2)设细线断开前瞬间小球的线速度为 v,根据F2=m v2 l ,解得v=5 m/s。 (3)设小球落地点与离开桌面位置间的 水平距离为 x,根据平抛运动规律得h= 1 2gt 2,x=vt,解得t=0.4 s,x=2 m。根据 几何关系得小球落地点到桌边缘的水平距离 s=xsin θ,解得s=1.73 m。 点评:求解圆周运动问题,关键是确定向 心力的来源;求解平抛运动问题,一般需要把 平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和 竖直方向的自由落体运动进行处理。求解本 题(3)问时还需注意细线断开后,小球将沿圆 周的切线方向飞出。 42 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年9月 例 2 如图2所示,餐桌中心是一个半 径r=1.5 m的圆盘,圆盘可绕中心轴转动, 近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者 之间的缝隙可忽略不计。已知放置在圆盘边 缘的小物体与圆盘间的动摩擦因数 μ1= 0.6,与餐桌间的动摩擦因数μ2=0.225,餐 桌到地面的高度h=0.8 m。假设小物体与 圆盘、餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩 擦力,取重力加速度g=10 m/s2。 图2 (1)为使小物体不滑到餐桌上,圆盘的转 动角速度的最大值为多少? (2)缓慢增大圆盘的转动角速度,小物体 从圆盘上甩出,为使小物体不滑落到地面上, 餐桌半径的最小值为多少? (3)若餐桌的半径R= 2r,则当圆盘的 转动角速度缓慢增大时,小物体被甩出后滑 落到地面上的位置到离开圆盘时的位置间的 水平距离为多少? 解析:(1)当小物体在圆盘上随圆盘一起 转动时,圆盘对小物体的静摩擦力提供其做 圆周运动所需的向心力,因此随着圆盘转速 的增大,小物体受到的静摩擦力增大。当静 摩擦力增至最大值时,小物体即将滑离圆盘, 此时圆盘的转动角速度达到最大,则fmax= μ1N=mω2maxr,N=mg,解得ωmax=2 rad/s。 (2)当小物体滑到餐桌边缘时的速度恰 好减小为零,对应的餐桌半径取最小值。设 小物体在餐桌上滑动的位移为s,受到的滑动 摩擦力为f,小物体在餐桌上做匀减速直线 运动的加速度大小为a,根据牛顿第二定律 得f=ma,又有f=μ2mg,解得a=2.25 m/s2。 小物体在餐桌上滑动的初速度v0=ωmaxr,根 据运动学公式得0-v20=-2as,解得v0= 3 m/s,s=2 m。根据几何关系得餐桌半径的 最小值Rmin= r2+s2,解得Rmin=2.5 m。 (3)小物体滑离餐桌后做平抛运动,平抛 运动的初速度为小物体在餐桌上滑动的末速 度vt,根据题意得v2t-v20=-2as'。因为餐 桌的半径R= 2r,所以s'=r=1.5 m。联 立以上各式解得vt=1.5 m/s。设小物体做 平抛运动的时间为t,则h= 1 2gt 2,解得t= 0.4 s。小物体做平抛运动发生的水平分位 移x=vt ,根据几何关系得小物体落地点到 离开圆盘时的位置间的水平距离L=s'+x, 解得L=2.1 m。 点评:本题考查了物体做圆周运动所需 向心力来源的确定,当圆盘的转速较小时,静 摩擦力提供向心力,当圆盘的转速增大到一 定值时,静摩擦力不足以提供其所需的向心 力,小物体开始滑动。另外,小物体在餐桌上 做匀减速直线运动,滑离餐桌后将沿速度方 向做平抛运动。 二、平抛运动与竖直面内圆周运动的综 合问题 此类问题有两种类型:一是先做平抛运 动后做圆周运动;二是先做圆周运动后做平 抛运动。求解此类问题时,除了需要应用平 抛运动和圆周运动的特点与规律,通常还需 要结合能量关系进行分析与求解;分析竖直 面内的圆周运动需要明确是“轻绳模型”还是 “轻杆模型”,注意应用物体到达圆周最高点 的临界条件;两种运动衔接点的速度是联系 前后两个运动过程的关键物理量,注意速度 方向与圆周的几何关系。 例 3 如图3所示,在光滑水平面上竖 直固定一半径为R 的光滑半圆槽轨道,其底 端恰与水平面相切。质量为 m 的小球以初 速度v0 从半圆槽轨道最低点B 滚上半圆槽, 小球恰好能通过最高点C 后落回到水平面上 的A 点。不计空气阻力,重力加速度为g,求: 图3 52 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年9月 (1)小球通过B 点时对半圆槽轨道的压 力大小。 (2)A、B 两点间的距离。 (3)小球落到A 点时的速度方向与水平 面间夹角的正切值。 解析:(1)小球做圆周运动通过B 点时, 根据牛顿第二定律和圆周运动规律得 N- mg=m v20 R ,解得 N=mg+m v20 R 。根据牛顿 第三定律可知,小球通过B 点时对半圆槽轨 道的压力大小N'=N=mg+m v20 R 。 (2)小球恰好能通过最高点C,则在C 点 小球的重力提供其做圆周运动所需的向心 力,即mg=m v2C R ,解得vC= gR。小球离 开C 点后做平抛运动,设 A、B 两点间的距 离为x,根据平抛运动规律可得,在水平方向 上有x=vCt,在竖直方向上有2R= 1 2gt 2,解 得 t= 4R g ,x=2R。 (3)根据平抛运动规律可得,小球落到A 点时的水平分速度vx=vC= gR,竖直分速 度vy=gt=2 gR,因此小球落到A 点时的 速度方向与水平面间夹角的正切值tan θ= vy vx =2。 点评:平抛运动与竖直面内的圆周运动 的综合问题,一般情况下考查物体在最低点 和最高点时的受力情况,确定圆周运动,分析 向心力的来源,根据牛顿第二定律列式求解 即可。另外,本题中小球在半圆槽轨道上的 圆周运动属于“轻绳模型”,需要先应用牛顿 第二定律求出小球通过最高点时的速度,再 应用平抛运动规律求出其他物理量。 例 4 如图4所示,AB 为竖直光滑半 圆槽轨道的直径,其半径R=0.9 m,A 端沿 水平方向。水平轨道 BC 与半径r=0.9 m 的光滑圆弧槽轨道CD 相接于C 点,D 为圆 弧槽轨道的最低点,圆弧槽轨道CD 所对的 圆心角θ=37°。一质量 M=0.9 kg的物块 (可视为质点)从水平轨道BC 上某点以某一 速度冲上半圆槽轨道AB,并从A 点飞出,经 过C 点恰好沿切线方向进入圆弧槽轨道 CD,取重力加速度 g=10 m/s2,sin 37°= 0.6,cos 37°=0.8。求: 图4 (1)物块到达C 点时的速度大小vC。 (2)物块在A 点受到的弹力大小FA。 (3)物块到达C 点时对圆弧槽轨道的压 力大小FC。 解析:物块先沿竖直光滑半圆槽轨道 AB 做圆周运动,在A 点飞出后做平抛运动, 然后从C 点沿切线方向进入圆弧槽轨道CD 做圆周运动。 (1)物块经过C 点时恰好沿切线方向进 入圆弧槽轨道CD,对于物块从A 点到C 点 的平抛运动过程有v2y=2g·2R,又有sin θ= vy vC ,解得vy=6 m/s,vC=10 m/s。 (2)设物块到达A 点时的速度为vA,根 据牛顿第二定律和圆周运动规律得Mg+FA= M v2A R ,又 有tan θ= vy vA ,解 得vA =8 m/s, FA=55 N。 (3)设物块到达 C 点时受到的弹力为 FC',则 FC'-Mgcos θ=M v2C r ,解得 FC'= 107.2 N。根据牛顿第三定律得FC=FC'= 107.2 N。 点评:本题主要考查平抛运动速度的合 成与分解,将物块做平抛运动到达C 点时的 速度进行分解是解题的关键。本题还考查了 物块做圆周运动所需向心力来源的确定,特 别需要注意的是在C 点,向心力是由圆弧槽 轨道支持力和重力沿半径方向分力的合力提 供的。 (责任编辑 张 巧) 62 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年9月