07 平抛运动常见考点归类分析-《中学生数理化》高考理化2024年9月刊

■山东省滨州市阳信县第一中学 刘建忠 将物体以一定的初速度沿水平方向抛 出,物体只在重力作用下的理想运动称为平 抛运动。平抛运动是典型的匀变速曲线运 动,以平抛运动为载体的试题可以有效地考 查考生的模型构建能力,运动的合成与分解 思想方法,定性分析与定量研究相结合的探 究能力等。下面借助典型问题的分析与求 解,帮助同学们梳理平抛运动的常见考点,希 望能够为同学们的复习备考提供助力。 考点1:考查平抛运动的基本规律 设物体做平抛运动的初速度大小为v0, 下落高度为h,重力加速度为g,则物体做平 抛运动所用的时间t= 2h g ,物体的水平射 程x=v0t=v0 2h g ,物体的末速度vt= v2x+v2y= v20+2gh,且末速度与水平方向 间的夹角α的正切值tan α= 2gh v0 ,物体在 时间间隔Δt内速度的改变量Δv=gΔt,方 向竖直向下。 例 1 如图1所示,A、B 两小球位于 水平地面上O 点正上方的不同位置,两小球 间的距离h=5 m,分别给两小球水平向右的 初速度,使两小球做平抛运动,观测发现两小 球的运动轨迹相交于C 点。若OC 连线与竖 直方向间的夹角θ=53°,两小球的初速度大 小分别为v1=3 m/s,v2=5 m/s,不计空气 阻力,取重力加速度g=10 m/s2,sin 53°= 4 5 ,cos 53°= 3 5 。设两小球从抛出点运动到 C 点所用的时间分别为t1 和t2,两小球被抛 出 时 到 地 面 的 高 度 分 别 为 h1 和 h2, 则( )。 图1 A.t2= 5 4 s,h2= 45 8 m B.t2= 3 4 s,h2= 85 8 m C.t2= 5 4 s,h2= 85 8 m D.t2= 3 4 s,h2= 45 8 m 解析:设A、C 两点沿水平方向的距离为 x,小球A 从抛出点运动到C 点发生的竖直 分位移为y1,则x=v1t1,y1= 1 2gt 2 1;设小球 B 从抛出点运动到C 点发生的竖直分位移为 y2,则x=v2t2,y2= 1 2gt 2 2。又有y1-y2= h,解得t1= 5 4 s,t2= 3 4 s,x= 15 4 m,y1= 125 16 m,y2= 45 16 m。根据几何关系可得,小球 A 被抛出时到地面的高度h1=y1+ x tan θ= 85 8 m,小球B 被抛出时到地面的高度h2= y2+ x tan θ= 45 8 m。 答案:D 点评:根据运动的合成与分解思想,将平 12 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年9月 抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和 竖直方向上的自由落体运动,即先把曲线运 动转化为两个直线运动,再根据直线运动的 规律进行分析与求解,这是处理考查平抛运 动基本规律问题的常用方法。 考点2:考查平抛运动的推论 推论一:物体做平抛运动,设物体到达某 一位置时的速度方向与水平方向所成的角为 α,位移与水平方向所成的角为θ,则满足 tan α=2tan θ。 推论二:物体做平抛运动,物体到达某一 位置时的瞬时速度的反向延长线一定过其水 平位移的中点。 例 2 如图2所示,弹射器安装在竖直 轨道AB 上,可上下移动,弹射器能够沿水平 方向 射 出 不 同 速 率 的 小 弹 丸。半 圆 形 槽 BCD 的圆心为O,槽壁上开有小孔 P,当弹 丸落到小孔 P 处时的速度恰好沿OP 方向 时,弹丸可以顺利地通过小孔P,则下列说法 中正确的是( )。 A.弹射器安装在竖直轨道的下端点B 时,只要弹丸射出时的速率合适就一定能够 顺利通过小孔P B.弹射器只要安装在高于竖直轨道下端 点B 的位置,弹丸射出时的速率合适就一定 能够顺利通过小孔P C.弹射器只有安装在竖直轨道上唯一一 个合适位置,且弹丸以某一固定速率射出时 才能顺利通过小孔P D.弹射器在竖直轨道上有两个合适的 位置,使得只要弹丸以某一固定速率射出就 能顺利通过小孔P 图2 图3 解析:根据做平抛运动物体的末速度的 反向延长线一定过其水平位移的中点可知, 弹射器安装在竖直轨道的下端点B 时,不管 弹丸射出时的速率为多大,弹丸都不可能顺 利通过小孔P,选项A错误。当弹射器安装 在高于竖直轨道下端点B 的任意位置时,作 出弹丸的运动轨迹,如图3所示,根据做平抛 运动物体的末速度的反向延长线一定过其水 平位移的中点得EN= 1 2R (1+cos α),根据 几何关系得弹丸的竖直位移 PN=EN· tan α= 1 2R (1+cos α)tan α,弹射器到B 点 的高 度 y=PN -Rsin α= 1 2R (tan α- sin α),因此弹射器在竖直轨道上只有一个合 适的位置,使得弹丸以某一合适的速率射出 才能顺利通过小孔 P,选 项 B、D 错 误,C 正确。 答案:C 点评:弹丸做平抛运动,受到圆弧面的约 束,需要灵活应用平抛运动的推论,方能快速 找到解题的突破口。 考点3:考查平抛运动的临界问题 当做平抛运动的物体受到斜面或曲面约 束时就会产生临界问题,临界问题通常要求 求出物体位移、速度的最值,或要求物体的速 度方向恰好达到某一确定方向。 例 3 如图4所示,将A、B 两个飞镖 从同一位置沿水平方向抛出,最终落在竖直 墙壁上同一竖直线上的两点,已知飞镖A 与 竖直墙壁成α角,飞镖B 与竖直墙壁成β角, 两飞镖落点间的距离为d,不计空气阻力,重 力加速度为g,求: 图4 (1)两飞镖的抛出点到竖直墙壁的水平 距离为多大? (2)若在同一抛出点沿水平方向抛出飞 镖C,要求它以最小动能击中竖直墙壁,则飞 镖C 的初速度v0 应为多大? 22 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年9月 解析:(1)设两飞镖的抛出点到竖直墙壁 的水平距离为x,根据做平抛运动物体的末 速度的反向延长线一定过其水平位移的中点 得 x 2 · 1 tan β - x 2 · 1 tan α=d ,解 得 x= 2d 1 tan β - 1 tan α 。 (2)设飞镖C 做平抛运动所用的时间为 t,竖直分位移为h,根据平抛运动规律得x= v0t,h= 1 2gt 2,根据动能定理得飞镖C 击中 竖直墙壁时的动能Ek= 1 2mv 2 0+mgh,整理 得Ek= 1 2m (v20+ g2x2 v20 )。利用数学知识可 知,当 v20 = g2x2 v20 ,即 v0 = gx = 2gd 1 tan β - 1 tan α 时,Ek 取得最小值。 点评:本题(2)问是平抛运动中的极值问 题,要求极值问题,就需要先找到题目中的关 键字,如“恰好不出界”“刚好飞过”“速度方向 恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等, 再利用平抛运动对应的速度关系或位移关 系,结合数学知识进行求解。 考点4:考查类平抛运动的分析与求解 物体若沿某方向具有一定的初速度,并 在该方向上不受力,而在与该方向垂直的方 向上受到一个恒力,则物体将做类平抛运动。 类平抛运动的分析与求解可以参考平抛运动 的特点和规律,即先将类平抛运动分解为沿 初速度方向上的匀速直线运动和沿与初速度 方向垂直的方向上的匀加速直线运动,再利 用直线运动规律列式求解。 例 4 一个质量为 m 的滑块(可视为 质点)正沿光滑的水平面以速度v0 做匀速直 线运动,在某一时刻受到沿水平方向的恒力 F 作用,其速度先减小后增大,且速度的最小 值为 v0 2 ,下列说法中正确的是( )。 A.滑块在恒力F 的作用下可能做匀变 速直线运动 B.恒力F 与初速度v0 方向间的夹角为 90° C.恒力F 与初速度v0 方向间的夹角为 30° D.恒力作用时间t= 3mv0 2F 时,滑块的 速度减小至 v0 2 解析:滑 块 受 到 恒 力 F 作 用 后,根 据 F=ma可知,滑块获得的加速度的大小和方 向均保持不变,做匀变速运动,若滑块做的是 匀变速直线运动,则其最小速度可以减小到 零,与题意不符,因此滑块在恒力F 作用下 一定做的是匀变速曲线运动,选项 A错误。 若恒力F 与初速度v0 方向间的夹角为90°, 则滑块在沿初速度v0 方向上不受力,以速度 v0 做匀速直线运动,在垂直于初速度v0 方向 上受恒力F 作用,做初速度为零的匀加速直 线运动,滑块的合运动为速度一直增大的类 平抛运动,与题意不符,选项B错误。设恒力 F 与初速度v0 方向间的夹角为θ,则滑块的 最小速度 v0 2=v0sin θ,解得sin θ= 1 2 ,因为 滑块在恒力F 作用下先减速后加速,所以恒 力F 与初速度v0 方向间的夹角为钝角,即 θ=150°,选项C错误。将滑块的初速度v0 正交分解到沿恒力F 方向上和垂直于恒力F 方向上,当滑块的速度减小至v0 2 时,沿恒力F 方向 上 有v0cos 30°- F mt=0 ,解 得t= 3mv0 2F ,选项D正确。 答案:D 点评:滑块受到恒力F 作用,若力F 与 初速度v0 同向,则滑块做匀加速直线运动; 若力F 与初速度v0 反向,则滑块做匀减速直 线运动;若力F 与初速度v0 成直角,则滑块 做类平抛运动;若力F 与初速度v0 成锐角, 则滑块做速度先增大后减小的匀变速曲线运 动;若力F 与初速度v0 成钝角,则滑块做速 度先减小后增大的匀变速曲线运动。 (责任编辑 张 巧) 32 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年9月