05 考查思维 淡化运算——2024年高考北京物理试卷第19、20题赏析-《中学生数理化》高考理化2024年9月刊

———2024年高考北京物理试卷第19、20题赏析 ■北京市第十九中学 公衍录(特级教师) 杨大朋 2024年高考北京物理试卷第19题和第 20题通过真实的情境,考查考生的模型建 构、科学推理、科学论证等科学思维能力,求 解过程用到了类比、守恒等物理思想方法,淡 化了烦琐的运动过程和复杂的数学运算。 一、高考真题赏析 题目1:(第19题)科学家根据天文观测 提出宇宙膨胀模型:在宇宙大尺度上,所有的 宇宙物质(星体等)在做彼此远离运动,且质 量始终均匀分布,在宇宙中所有位置观测的 结果都一样。以某一点O 为观测点,以质量 为m 的小星体(记为P)为观测对象。当前小 星体P 到O点的距离为r0,宇宙的密度为ρ0。 (1)求小星体P 远离到2r0 处时宇宙的 密度ρ。 (2)以O 点为球心,以小星体P 到O 点 的距离为半径建立球面。小星体 P 受到的 万有引力相当于球内质量集中于O 点对它的 引力。已知质量为m1 和m2、距离为R 的两 个质点间的引力势能Ep=-G m1m2 R ,其中G 为引力常量。仅考虑万有引力和小星体 P 远离O 点的径向运动。 a.求小星体P 从r0 处远离到2r0 处的 过程中动能的变化量ΔEk。 b.宇宙中各星体远离观测点的速率v满 足哈勃定律v=Hr,其中r为星体到观测点 的距离,H 为哈勃系数。H 与时间t有关但 与r无关,分析说明 H 随t增大还是减小。 图1 思路:如图1所示,当小星 体P 到O 点的距离为r0 时, 建立以O 点为球心,以r0 为半 径的球面。选以O 点为球心, 以r0 为半径的球体为研究对 象,可求解(1)问;选以O 点为球心,以r0 为 半径的球体与小星体P 组成的整体为研究 对象,应用功能关系或能量守恒定律,可求解 (2)问。 解析:(1)当小星体P 到O 点的距离为 r0 时,以O 点为球心,以r0 为半径的球体体 积V0= 4 3πr 3 0。设该球体内的总质量为 M, 则此时宇宙(球体)的密度ρ0= M V0 。当小星 体P 到O 点的距离为2r0 时,宇宙(球体)的 体积变为V= 4 3π (2r0)3,质量 M 不变,密度 ρ= M V ,解得ρ= ρ0 8 。 (2)a.方法1:应用功能关系求解。当小 星体P 到O 点的距离为r0 时,以O 点为球 心,以r0 为半 径 的 球 体 内 的 总 质 量 M = 4 3πr 3 0ρ0。小星体P 从r0 处远离到2r0 处的 过程中,根据动能定理可得,小星体 P 动能 的变化量 ΔEk=W 合。仅考虑万有引力,则 W 合=W 万;又有万有引力做功等于引力势能 的减少量,即 W 万 =Ep1-Ep2,其中 Ep1= -G Mm r0 ,Ep2 = -G Mm 2r0 ,解 得 ΔEk = - 2 3Gπρ0mr 2 0。 方法2:应用能量守恒定律求解。当小 星体P 到O 点的距离为r0 时,以O 点为球 心,以r0 为 半 径 的 球 体 内 的 总 质 量 M= 4 3πr 3 0ρ0。小星体P 从r0 处远离到2r0 处的 过程中,只有万有引力做功,小星体 P 和质 量为M 的球体组成的系统的动能和引力势 能之和保持不变,故 ΔEk+ΔEp=0,又有 51 知识篇 高考真题之赏析 高考理化 2024年9月 ΔEp=Ep2 -Ep1,Ep1 = -G Mm r0 ,Ep2 = -G Mm 2r0 ,解得ΔEk=- 2 3Gπρ0mr 2 0。 b.因为宇宙中各星体远离观测点的速率 v=Hr(H 为哈勃系数),v 随t的增大而减 小,r随t的增大而增大,所以 H 随t的增大 而减小。 点评:求解本题(2)问时用到的“万有引 力做功等于引力势能的减少量,即 W 万=Ep1 -Ep2”,可以通过类比“重力做功等于重力势 能的减少量,即W 重=Ep1-Ep2”得到;求解本 题(2)问时用到的“在只有万有引力做功的系 统内,系 统 的 动 能 和 引 力 势 能 之 和 保 持 不 变”,可以通过类比“在只有重力做功的系统 内,系统的动能和重力势能之和(机械能)保 持不变”得到。通过类比建立起物理规律的 内在联系,可以引导同学们理解科学家建构 的宇宙膨胀模型和哈勃定律,体会科学家的 研究思路。 题目2:(第20题)我国“天宫”空间站采 用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图2为 某种霍尔推进器的放电室(两个半径接近的 同轴圆筒间的区域)的示意图,放电室的左、 右两端分别为阳极和阴极,间距为d。阴极 发射电子,一部分电子进入放电室,另一部分 未进入。稳定运行时,可视为放电室内有方 向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场,电场 强度和磁感应强度大小分别为E 和B1;还有 方向沿半径向外的径向磁场,磁感应强度大 小处处相等。放电室内的大量电子可视为处 于阳极附近,在垂直于轴线的平面内绕轴做 半径为R 的匀速圆周运动(如截面图所示), 可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每 个氙离子的质量为 M、电荷量为+e,初速度 近似为零。氙离子经过电场加速,最终从放 电室右端喷出,与阴极发射的未进入放电室 的电子刚好完全中和。已知电子的质量为 m、电荷量为-e;对于氙离子,仅考虑电场的 作用。 (1)求氙离子在放电室内运动的加速度 大小a。 (2)求径向磁场的磁感应强度大小B2。 图2 (3)设被电离的氙原子数和进入放电室 的电子数之比为常数k,单位时间内阴极发 射的电子总数为n,求此霍尔推进器获得的 推力大小F。 思路:氙离子经电场加速时,分析其受力 情况,可求解(1)问;通过研究电子在阳极附 近做匀速圆周运动,可求解(2)问;霍尔推进 器是通过给氙离子加速的静电力,而获得推 力的,因此对时间Δt内从放电室右端喷出的 氙离子应用动量定理,可求解(3)问。 解析:(1)氙离子仅受静电力作用在放电 室内做加速运动,根据牛顿第二定律得eE= Ma,解得a= eE M 。 (2)在阳极附近的电子,在垂直于轴线的 平面内绕轴做半径为R 的匀速圆周运动,设 电子的线速度大小为v,作出电子在其轨迹 图3 圆最高点的受力分析图(俯视 图),如图3所示。电子在垂直 于轴线的平面内绕轴做匀速圆 周运动,电子沿轴向的合力只 能为零,因此电子受到的沿轴 向向左的静电力,必须与径向磁场提供的沿 轴向 向 右 的 洛 伦 兹 力 分 力 平 衡,即eE= evB2。轴向磁场提供的径向洛伦兹力分力提 供电子做匀速圆周运动所需的向心力,则 evB1=m v2 R ,解得B2= mE eB1R 。 (3)设氙离子在电场中加速时受到的静 电力为F',根据牛顿第三定律得霍尔推进器 获得的推力F=F'。设单位时间内被电离的 氙原子数(单位时间内射出的氙离子数)为 n1,因为被电离的氙原子数和进入放电室的 电子数之比为k,所以单位时间内进入放电 室的电子数n进= n1 k 。因为从放电室右端喷 61 知识篇 高考真题之赏析 高考理化 2024年9月 出的氙离子与未进入放电室的电子刚好完全 中和,所以单位时间内未进入放电室的电子 数也为n1。因为单位时间内阴极发射的电 子总数为n,所以n=n1+n进。氙离子经过 电场加速时,根据动能定理得Eed= 1 2Mv 2。 对时间Δt内从放电室右端喷出的n1Δt个氙 离子应用动量定理得F'Δt=n1ΔtMv。联立 以上各式解得F= nk 1+k 2edEM 。 点评:求解本题(2)问的易错点是对进入 放电室的某个电子从阴极到阳极的过程应用 动能定理得出 Eed= 1 2mv 2,式中v 为电子 做匀速圆周运动的速度大小。其错误原因是 原题并没有说明电子从阴极进入放电室时的 初速度为零,这与题给氙离子的初速度近似 为零,可以应用动能定理列式求解氙离子经 过电场加速后从放电室右端喷出时的速度大 小不同。求解本题(3)问时,为什么不考虑霍 尔推进器加速电子获得的反作用力呢? 这是 因为进入放电室的电子最终并未射出,放电 室与电子之间的相互作用力是内力。 二、备考建议 1.使所学知识系统化,形成网络化的知 识结构。 比如,在复习“重力做功等于重力势能的 减少量,即W 重=Ep1-Ep2”时,可通过类比把 类似的情况都总结出来:万有引力做功等于 引力势能的减少量,即 W 万=Ep1-Ep2;弹力 做功等于弹性势能的减少量,即W 弹=Ep1- Ep2;静电力做功等于电势能的减少量,即 W 电=Ep1-Ep2;分子力做功等于分子势能的 减少量,即W 分=Ep1-Ep2。然后通过归纳推 理得到一般性的结论:势能的减少量等于相 应力做的功,即W=Ep1-Ep2。 再如,在复习“在只有重力做功的物体系 统内,动能与重力势能可以互相转化,而总的 机械能保持不变”时,一方面要会推导结论, 即根据动能定理得W 合=Ek2-Ek1,根据重力 做功等于重力势能的减少量得 W 重=Ep1- Ep2,在只有重力做功时,W 合=W 重,即Ek2- Ek1=Ep1-Ep2,或Ek2+Ep2=Ek1+Ep1,故总 的机械能保持不变;另一方面需要通过类比 把其他机械能守恒的情况也总结出来,即“在 只有弹力做功的物体系统内,动能与弹性势 能可以互相转化,而总的机械能保持不变” “在只有重力和弹力做功的物体系统内,动能 与势能可以互相转化,而总的机械能保持不 变”“在只有万有引力做功的物体系统内,动 能与引力势能可以互相转化,而总的机械能 保持不变”,还需要通过类比把“类似机械能 守恒”的情况也总结出来,即“在只有静电力 做功的物体系统内,动能与电势能可以互相 转化,而动能与电势能的总和保持不变”“在 只有分子力做功的物体系统内,动能与分子 势能可以互相转化,而动能与分子势能的总 和保持不变”。然后通过归纳推理得到一般 性的结论:在只有与势能对应力做功的物体 系统内,动能与势能可以互相转化,而动能与 势能的总和保持不变。 通过类比、归纳总结,得到势能减少量与 相应力做功的关系、动能与势能之和守恒的 条件等规律,形成系统化、结构化的知识网 络,不仅有利于记忆,而且有助于应用这些知 识解决实际问题,从而帮助同学们形成完整、 准确的能量观念。 2.掌握求解典型物理问题的基本步骤与 方法。 求解典型物理问题的基本步骤:通过审 题,确定研究对象;对研究对象进行受力分 析、运动分析和能量分析等,画出其受力情况 图、运动过程示意图,明确其运动情景;选用 恰当的物理规律列式求解。 归纳总结求解同一类物理问题的一般思 路,可以实现“做一题、会一类”的学习目标。 例如,通过对第19题的求解,可以归纳总结 出求解物体动能变化量的两种思路(应用功 能关系或能量守恒定律列式求解);通过对第 20题的求解,可以归纳总结出求解粒子类 “流体”问题的一般思路(选取研究对象→选 定正方向→应用动量定理列式求解)。 3.要重视练习往年的高考真题。 比如,求解2023年高考北京物理试卷第 20题(螺旋星系问题)时,就要用到球体的体 71 知识篇 高考真题之赏析 高考理化 2024年9月 􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶􀤶 积公式V= 4 3πr 3、密度公式ρ= M V 等,同学们 在复习备考过程中若对这道高考真题有所研 究,则会对求解2024年高考北京物理试卷第 19题大有帮助。 4.重视教材。 教材是高考试题情境或设问角度的重要来 源,因此同学们在复习备考过程中一定不要脱 离教材。但也不用死记硬背教材内容,而要通 过对教材日积月累的学习与理解,逐步形成解 决实际问题的物理观念和科学思维。 5.整理错题。 对做错的题目要分析出错误的原因,是 知识点欠缺的要及时补上,是求解思路受阻 的要突破障碍;对典型的错题,要建立错题 本,并隔一段时间重做错题,直到完全掌握。 6.规范答题。 明确所列公式是对谁(研究对象)、在哪 个过程(或状态)、依据的是什么规律;要用题 目中给出的字母列式,并且先不要代入数值, 而要在求出未知量的表达式之后,再代入数 值进行运算;列矢量式要先选定正方向;结果 是用字母表示的,字母必须都是已知量,结果 是数值的,有效数字的位数要按题目要求,并 写上单位,若求的是矢量还要答出方向,确保 会做的题不丢分。 总之,同学们在高三复习备考过程中,一 定要按照课程标准的要求,依据教材,落实对 基本概念、基本规律的复习,以及对科学思维 中模型建构、质疑创新、科学推理、科学论证 等物理学科核心素养的培养。 (责任编辑 张 巧) 81 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年9月