03 黄金代换式GM=gR2的理解与应用-《中学生数理化》高考理化2024年9月刊

■河南省商水县第一高级中学 孙淮河 黄金代换式GM=gR2 是物理学中一个很 重要的公式,它的形式简洁,应用广泛,同学们 若不能深刻理解其含义,则极易在应用时因张 冠李戴而导致出错。下面将详细说明黄金代换 式的内涵与外延,帮助同学们理解和应用。 一、黄金代换式的由来 对于在地球表面附近质量为 m 的物体 而言,万有引力对它有两个作用效果,一个是 提供它随地球自转的向心加速度,另一个是 提供重力加速度g。因为随地球自转物体的 向心加速度相对重力加速度g 而言很小,可 忽略不计,所以可以认为万有引力等于重力, 即G Mm R2 =mg,其中 M 为地球的质量,R 为 地球的半径,约去 m 变形即得黄金代换式 GM=gR2。 根据开普勒第一定律可知,所有行星绕 太阳运动的实际轨道都是椭圆,太阳处在椭 圆的一个焦点上。为了便于研究和简化问 题,天体绕中心天体的环绕运动都可以按天 体在万有引力作用下的匀速圆周运动进行处 理,因此黄金代换式GM=gR2 对其他天体 绕中心天体的匀速圆周运动也适用,其中 M 为中心天体的质量,R 为中心天体的半径,g 为中心天体表面附近的重力加速度。 二、黄金代换式的理解 黄金代换式GM=gR2 中的 M、g、R 分 别为同一个天体的质量、天体表面附近的重 力加速度、天体的半径。黄金代换式的重要 性体现在两个方面:(1)在卡文迪什比较精确 地测出引力常量G 的值之前,就可以直接用 gR2 M 来替换未知的引力常量G;(2)黄金代换 式将引力常量G 和重力加速度g 联系在一 起,即将同一事物的两个不同方面统一在了 一个公式中。 注意:黄金代换式GM=gR2 不是基本 公式,我们在规范的求解过程中需要先写出 G Mm R2 =mg 的形式,再约去 m 并变形进行 运算。 三、黄金代换式的应用 1.求中心天体的半径。 物体绕中心天体做匀速圆周运动时,根 据黄金代换式GM=gR2 得中心天体的半径 R= GM g 。 例 1 若太阳系外某颗行星的质量约 为地球质量的6.4倍,现测得一个质量为 60 kg的物体到达这个行星表面附近时的重 力变为960 N。取地球表面附近的重力加速 度为10 m/s2,则该行星的半径与地球半径 之比约为( )。 A. 1 4 B. 1 2 C.2 D.4 解析:设地球表面附近的重力加速度为 g1,行星表面附近的重力加速度为g2,物体 的质量为 m,则 mg1 mg2 = 60×10 960 ,即g1 g2 = 10 16 。 设地球的质量为 M1,行星的质量为 M2,则 M2 M1 =6.4。根据黄金代换式GM=gR2 得中 心天体的半径R= GM g ,因此行星的半径 与地球半径之比 R2 R1 = M2g1 M1g2 =2。 答案:C 2.求重力加速度。 物体绕中心天体做匀速圆周运动时,根 据黄金代换式GM=gR2 得中心天体表面附 01 知识篇 知识结构与拓展 高考理化 2024年9月 近的重力加速度g= GM R2 ,因此距中心天体表 面h处的重力加速度gh= GM (R+h)2 。 例 2 已知近地人造卫星1和2绕地 球做匀速圆周运动的周期分别为T1 和T2, 设在卫星1、卫星2各自所在的高度处的重力 加速度大小分别为g1、g2,则 g1 g2 等于( )。 A. T1 T2 4 3 B. T2 T1 4 3 C. T1 T2 2 D. T2 T1 2 解析:近地人造卫星绕地球做匀速圆周 运动时,根据万有引力定律和圆周运动规律 得G Mm r2 =m 2πT 2 r,解得r= 3 GMT2 4π2 。设 卫星1和2到地球中心的距离分别为r1、r2, 则 r1 r2 = T1 T2 2 3。根据gh= GM r2 得 g1 g2 = r22 r21 ,因 此 g1 g2 = T2 T1 4 3。 答案:B 3.求解中心天体的质量或密度。 物体绕中心天体做匀速圆周运动时,根据 黄金代换式GM=gR2 得中心天体的质量M= gR2 G ,又有ρ= M V ,V= 4 3πR 3,可得ρ= 3g 4πRG 。 例 3 以著名的核物理学家吴健雄命 名的“吴健雄星”的半径约为16 km。若将 “吴健雄星”和地球均看成质量分布均匀的球 体,则“吴健雄星”的密度与地球的密度大致 相同。已知地球的半径约为6 400 km,地球 表面附近的重力加速度约为10 m/s2。则“吴 健雄星”表面附近的重力加速度为 ( )。 A. 1 40 m/s2 B. 1 2 m/s2 C.200 m/s2 D.4 000 m/s2 解析:根据黄金代换式GM=gR2,M= ρV,V= 4 3πR 3,可得ρ= 3g 4πRG 。设地球的质 量为M,半径为R,表面附近的重力加速度为 g,则地球的密度ρ= 3g 4πRG 。设“吴健雄星” 的质量为 M',半径为r,表面附近的重力加 速度为g',则“吴健雄星”的密度ρ'= 3g' 4πrG 。 又有ρ'=ρ,解得g'= 1 40 m/s2。 答案:A 4.求环绕天体的物理量。 在中心天体的质量 M 未知,中心天体表 面附近的重力加速度g 和半径R 已知的条 件下,根据黄金代换式 GM=gR2 可知,用 gR2 代替GM,结合万有引力定律和圆周运 动 规 律 G Mm R2 =man=m v2 R =mω 2R= m 4π2 T2 R,即可求环绕天体的向心加速度、线 速度、角速度、周期等物理量。 例 4 2024年6月28日,国家航天局 在京举行“嫦娥六号”任务月球样品交接仪 式,这次交接的是我国探月工程首次获取的 月背样品。假设航天员在月球上做自由落体 运动实验,已知月球半径为R,将一物体从距 月球表面高h处由静止释放,经过时间t,该 物体落在月球表面。据此可推断月球探测器 在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的速 率至少应为( )。 A. 2 Rh t B. 2Rh t C. Rh t D. Rh 2t 解析:设月球表面附近的重力加速度为 g,类比地球表面的自由落体运动规律得h= 1 2gt 2,解得g= 2h t2 。根据黄金代换式GM= gR2,结合万 有 引 力 定 律 和 圆 周 运 动 规 律 G Mm R2 =m v2 R ,解得v= 2Rh t 。 答案:B 总结:在研究天体运动问题时,若已知中 心天体表面附近的重力加速度g,则可利用 黄金代换式GM=gR2,将“天上”与“地上”联 系起来,达到化繁为简,化难为易的效果。 (责任编辑 张 巧) 11 知识篇 知识结构与拓展 高考理化 2024年9月