专题2-2 基本不等式综合【13类题型汇总】和积转换，恒（能）成立问题，调和平均，因式分解，消元，对钩-【重难点突破】2024-2025学年高一数学人教A版必修第一册·重难点专题突破

【重难点突破】2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·专题突破 专题2-2 基本不等式13类综合题型汇总 国庆节快到了，根据学校的课程进度，必修第一册的第二章也快学完了，等国庆收假返校之后，肯定要参加学校组织的第一次月考。而基本不等式，作为第二章的重难点知识，必然是作为重点考察对象。 总览 题型解读 【题型1】和，积，平方和的转化 2 【题型2】因式分解型 4 【题型3】调和平均数（平均速度，平均价格） 6 【题型4】基本不等式恒成立问题 9 【题型5】基本不等式能成立问题 12 【题型6】含有根式的配凑（根式平方和为定值型） 14 【题型7】基本不等式的实际应用问题 16 【题型8】消元法求最值 19 【题型9】多选题专练（综合归纳） 20 【题型10】基本不等式与几何图形结合 24 【题型11】基本不等式的陷阱——对勾函数 28 【题型12】用2次基本不等式 29 【题型13】不等式证明 30 【课后作业】 31 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】和，积，平方和的转化 涉及和，积，平方和的最值问题时利用基本不等式变形求解 常用不等式链：（主要用于和积转换） 1． 若，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2． 已知实数，满足，则的最大值为________ 3． 若，则的最小值是 （    ） A． B．1 C．2 D． 4． （多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【巩固练习2】设，为正实数，若，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【巩固练习3】（多选题）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型2】因式分解型 含有这类结构的式子，可以考虑因式分解配凑成的结构，再结合整体思想来求最值 5． （2023·重庆巴蜀中学校考）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 【巩固练习1】（23-24高一上·福建莆田·期中）已知，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高一上·辽宁·期中）若，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型3】调和平均数（平均速度，平均价格） 不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养． 一、调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数： 若，则（当且仅当时取“=”） 其中，为的调和平均值反应了平均速度 二、证明： 如图，在C是以AB为直径的半圆上一点，CD⊥AB，DE⊥CO，记AD＝a，BD＝b，则有 由三角函数可得：，显然 6． 小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为和，其全程的平均时速为，则（    ） A． B． C． D． 7． 原油作为“工业血液”､“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是（    ） A．第一种方案更划算 B．第二种方案更划算 C．两种方案一样 D．无法确定 【巩固练习1】（2024·高一·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（    ） A． B． C． D． 【题型4】基本不等式恒成立问题 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 1、参变分离法：如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量的关系, 那么恒成立;恒成立 2、变更主元：在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元。在解含有参数的不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,则可以得到意想不到的效果。 3、判别式法：对于含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,则通过根的判别式或数形结合思想,可使问题顺利解决,这里一定要注意对含参数的二次项系数进行分类讨论。 8． 已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9． （24-25高一上·山东济宁·阶段练习）设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 10． （23-24高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11． 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】若不等式对恒成立，则实数m的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【巩固练习2】已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5】基本不等式能成立问题 能成立问题又称有解问题 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 12． 若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 13． 若正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围 ． 【巩固练习1】若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是 . 【巩固练习2】若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6】含有根式的配凑（根式平方和为定值型） 对于，求最大值 可以设，配好系数后的与可以凑出定值 14． 已知为正实数，且，求的最大值 15． 已知为正实数，且，求的最大值 【巩固练习1】已知，则的最大值为 . 【巩固练习2】若x>0，y>0，且2x2＋＝8，则x的最大值为________． 【巩固练习3】已知a，b是正实数，且2a2＋3b2＝10，求的最大值． 【题型7】基本不等式的实际应用问题 (1)先理解题意，设变量， (2)建立相应的函数关系式． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值 (4)正确写出答案 16． （23-24高一上·江苏盐城·期中）天气转冷，某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本18万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润=销售收入-投入成本-促销费用） (1)求出的值，并将表示为的函数； (2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 17． 中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式. (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 【巩固练习1】（2024·高一·广东深圳·期末）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.哪种方案较为合理？并说明理由.（注：年平均盈利额） 【巩固练习2】（23-24高一上·江苏连云港·月考）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【巩固练习3】某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室，由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左､右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元，设屋子的左，右两面墙的长度均为米，房屋的造价为. (1)写出关于的表达式. (2)当左、右两面墙的长度为多少时，工程队报价最低？并求出最低报价. 【题型8】消元法求最值 消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 18． 已知，且，则的最小值为 ． 【巩固练习1】已知，，则的最小值为 ． 【巩固练习2】若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【题型9】多选题专练（综合归纳） 19． （多选）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．最小值为 C．的最大值是 D．的最小值是 20． （高一上·广东深圳·期中）（多选）下列选项正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若正实数x，y满足，则的最小值为8 C．的最小值为2 D．函数（）的最大值是0 【巩固练习1】（多选）已知正数满足，则下列选项正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最大值是1 C．的最小值是4 D．的最大值是 【巩固练习2】（多选）设正实数，满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【巩固练习3】（多选）已知a，b为正实数，且，则（    ） A．ab的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 【题型10】基本不等式与几何图形结合 21． 如图，在半径为4（单位：cm）的半圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其顶点在直径上，顶点在圆周上，则矩形面积的最大值为（    ）（单位：cm2）. A．8 B．10 C．16 D．20 22． 如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 23． 如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，当 时，矩形花坛的面积最小． 【巩固练习1】（23-24高一上·江苏无锡·期中）如图， 是矩形对角线上一点，过作，，分别交、于、两点.    (1)当，时，设，找出、的关系式，求四边形面积的最大值，并指出此时P点的位置； (2)当矩形的面积为6时，四边形的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由. 【巩固练习2】设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为24cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设AB＝xcm，DP＝ycm．   (1)求y与x之间的函数关系式；(2)求△ADP的最大面积及相应x的值． 【题型11】基本不等式的陷阱——对勾函数 24． 函数的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【巩固练习1】函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ． 【巩固练习2】当时，的最小值为________ 【题型12】用2次基本不等式 当目标式中有的变量间被此独立，相互间没有制约条件时，使用分离变量法，多次使用基本不等式即可．这是可多次使用基本不等式的先决条件，其目的是保证等号能同时成立 25． 已知实数x，y满足，若，则z的最小值是 【巩固练习1】已知，则的最小值是 ． 【巩固练习2】（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）若对于任意的实数，恒成立，则实数的最大值是 ，此时 ． 【题型13】不等式证明 26． 已知，，且，证明： (1)；(2)． 【巩固练习】已知，求证: (1);(2). 【课后作业】 1． 两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（    ） A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定 2． 若对于任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 3． （多选）设，，满足，下列说法正确的是（    ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为1 4． （2023上·湖南长沙·高一长郡中学校考）已知，且，则的取值范围为 ． 5． 已知，且，则的最小值是________ 6． 两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 7． 若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8． 若，且，则的最大值为 . 9． 近日，随着李佳琦直播事件的持续发酵，国货品牌上演花式直播．现有一品牌商也想借这个热度，采取了“量大价优”“广告促销”等方法，提高其下某商品的销售额．市场调查发现，这种商品供不应求，生产出来都能销售完．且此商品的月销售量（万件）与广告促销费用（万元）满足：，该产品的单价与销售量之间的关系定为：万元，已知生产一万件该产品的成本为8万元，设该产品的利润为万元． (1)求与的函数关系式（利润=销售额-成本-广告促销费用） (2)当广告促销费用定为多少万元的时候，该产品的利润最大？最大利润为多少万元？． 10． 一题多问，已知已知，且 （1）的最大值是________ （2）的最小值是________ （3）的最小值为是________ （4）的最大值是________ （5）的最大值是________ 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高一上·人教A版必修第一册·专题突破 专题2-2 基本不等式13类综合题型汇总 国庆节快到了，根据学校的课程进度，必修第一册的第二章也快学完了，等国庆收假返校之后，肯定要参加学校组织的第一次月考。而基本不等式，作为第二章的重难点知识，必然是作为重点考察对象。 总览 题型解读 【题型1】和，积，平方和的转化 2 【题型2】因式分解型 4 【题型3】调和平均数（平均速度，平均价格） 6 【题型4】基本不等式恒成立问题 9 【题型5】基本不等式能成立问题 12 【题型6】含有根式的配凑（根式平方和为定值型） 14 【题型7】基本不等式的实际应用问题 16 【题型8】消元法求最值 19 【题型9】多选题专练（综合归纳） 20 【题型10】基本不等式与几何图形结合 24 【题型11】基本不等式的陷阱——对勾函数 28 【题型12】用2次基本不等式 29 【题型13】不等式证明 30 【课后作业】 31 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】和，积，平方和的转化 涉及和，积，平方和的最值问题时利用基本不等式变形求解 常用不等式链：（主要用于和积转换） 1． 若，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，，且， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，解得（舍去），或， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的取值范围是 2． 已知实数，满足，则的最大值为________ 【答案】 对于选项AB，， 则，当且仅当时等号成立， 故的最大值为 3． 若，则的最小值是 （    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】，当且仅当时取等号， 因此，即，解得， 所以当时，取得最小值2. 4． （多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据，结合基本不等式计算即可判断C；根据，基本不等式计算即可判断D. 【详解】A：由，得， 即，得， 解得，当且仅当时等号成立，故A错误； B：由选项A的分析知，故B正确； C：由，得，即， 所以， 得，当且仅当时等号成立，故C正确； D：由，得，即， 所以，得， 当且仅当时等号成立，故D错误. 【巩固练习1】已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】B 【解析】，则有， 可得，即4，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为4. 【巩固练习2】设，为正实数，若，则的最小值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由，令，，即可得到， 则，利用基本不等式计算可得． 【详解】解：因为，为正实数，且， 令，，则，则， 当且仅当，即，时取等号．故选：D． 【巩固练习3】（多选题）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号，所以不恒成立，故错误； 对于B：因为且，所以， 所以，当且仅当时取等号，故正确； 对于C：因为，所以， 所以，所以，当且仅当时取等号，故正确； 对于D：由C可知错误 【题型2】因式分解型 含有这类结构的式子，可以考虑因式分解配凑成的结构，再结合整体思想来求最值 5． （2023·重庆巴蜀中学校考）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】将式子变形为，即可利用不等式求解，或者将式子变形为，结合不等式即可求解． 【详解】方法一：因为，故，解得， 故，当且仅当 ，即，时等号成立． 方法二：因为，则，且，故， 故，当且仅当 ， 即，时等号成立．故选：C． 【巩固练习1】（23-24高一上·福建莆田·期中）已知，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】由， 得， 又，，即，， 则， 即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以 【巩固练习2】已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将等式变形得，所求式子变形为，再由基本不等式求解最值即可. 【详解】由已知为正实数，且， 得，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 【巩固练习3】（23-24高一上·辽宁·期中）若，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合条件等式，利用基本不等式求和的最小值. 【详解】若，且满足，则有，所以，， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 【题型3】调和平均数（平均速度，平均价格） 不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养． 一、调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数： 若，则（当且仅当时取“=”） 其中，为的调和平均值反应了平均速度 二、证明： 如图，在C是以AB为直径的半圆上一点，CD⊥AB，DE⊥CO，记AD＝a，BD＝b，则有 由三角函数可得：，显然 6． 小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为和，其全程的平均时速为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可知,利用不等式的性质和均值不等式即可得到结果 【详解】由题,, 由于,所以,即,所以,故,即 因为,所以,, 故 7． 原油作为“工业血液”､“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是（    ） A．第一种方案更划算 B．第二种方案更划算 C．两种方案一样 D．无法确定 【答案】B 【解析】分别求出两种方案的平均油价，结合基本不等式作出比较即可得出结论． 【详解】设小李这两次加油的油价分别为元升､元升，则： 方案一：两次加油平均价格为， 方案二：两次加油平均价格为， 故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算． 【巩固练习1】（2024·高一·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，而， 因此，当且仅当时取等号， 所以. 【巩固练习2】小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则 ，，， ∴， 【题型4】基本不等式恒成立问题 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 1、参变分离法：如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量的关系, 那么恒成立;恒成立 2、变更主元：在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元。在解含有参数的不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,则可以得到意想不到的效果。 3、判别式法：对于含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,则通过根的判别式或数形结合思想,可使问题顺利解决,这里一定要注意对含参数的二次项系数进行分类讨论。 8． 已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故，， ，，故， 当且仅当，即时取等号，故， 最小值是16，由不等式恒成立可得. a的取值范围是 9． （24-25高一上·山东济宁·阶段练习）设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】只需由基本不等式求出的最大值，即的最小值即可. 【详解】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）； 所以 又由恒成立，故，则k的最大值为8. 10． （23-24高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【详解】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 11． 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且， 所以 ，当且仅当时取等号， 又因为恒成立， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 【巩固练习1】若不等式对恒成立，则实数m的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】分离参数使不等式化为，使乘以利用基本不等式求出的最小值即可求解． 【详解】将不等式化为，只需当时，即可， 由 ， 当且仅当时取等号，故，故m的最大值为9． 【巩固练习2】已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可. 【详解】因为，，且， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以，因为恒成立，所以， 即，解得，所以实数的取值范围是. 【巩固练习3】（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可. 【详解】因为正实数、满足， 即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 因为正实数、满足，且恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 【题型5】基本不等式能成立问题 能成立问题又称有解问题 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 12． 若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【详解】由， 因为，所以，令， 由，则有， 且 13． 若正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围 ． 【答案】或 【分析】要使有解，则大于最小值即可；求出最小值，建立不等式，求出的取值范围． 【详解】因为，所以，所以，当时，等号成立，因为，所以此时，所以的最小值为，由题可得，解得或． 【巩固练习1】若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，将，变形可得，利用“”的代换，应用基本不等式可求得的最小值为4，根据不等式有解可得，解得的取值范围即可． 【详解】因为两个正实数x，y满足， 两边同除以得， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为4. 若不等式有解，则， 解得或， 所以实数的取值范围是． 【巩固练习2】若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得满足，再利用基本不等式中“1”的妙用求得的最小值，最后解不等式即可． 【详解】由得， ， 当且仅当时，等号成立， 则使不等式有解，只需满足即可， 解得． 【题型6】含有根式的配凑（根式平方和为定值型） 对于，求最大值 可以设，配好系数后的与可以凑出定值 14． 已知为正实数，且，求的最大值 【解析】设，则 故 15． 已知为正实数，且，求的最大值 【巩固练习1】已知，则的最大值为 . 【答案】 【分析】变形，利用基本不等式求解. 【详解】 ，， 当且仅当，即时等号成立. 【巩固练习2】若x>0，y>0，且2x2＋＝8，则x的最大值为________． 解析　(x)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2≤3·2＝3×2． 当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立．故x的最大值为． 【巩固练习3】已知a，b是正实数，且2a2＋3b2＝10，求的最大值． 【简析】记，则，求最大值 【题型7】基本不等式的实际应用问题 (1)先理解题意，设变量， (2)建立相应的函数关系式． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值 (4)正确写出答案 16． （23-24高一上·江苏盐城·期中）天气转冷，某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本18万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润=销售收入-投入成本-促销费用） (1)求出的值，并将表示为的函数； (2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 【答案】(1)4； (2)7万元，125万元 【分析】（1）根据时，，即可求得k的值；根据利润=销售收入-投入成本-促销费用即可求得表示为的函数关系式； （2）结合（1）的结果，化简变形，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知时，，故， 则， 故， 即； （2）， 当且仅当，即时等号成立， 故促销费用为7万元时，该产品的利润最大，此时最大利润为125万元. 17． 中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式. (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 【答案】(1)； (2)当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元． 【分析】（1）根据利润等于售价减成本可求利润的表达式； （2）根据的表达式分别求出每段函数的最大值即可. 【详解】（1）（1）由题意可得，， 所以， 即. （2）当时，； 当时，，对称轴，； 当时，由基本不等式知， 当且仅当，即时等号成立，故， 综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元． 【巩固练习1】（2024·高一·广东深圳·期末）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.哪种方案较为合理？并说明理由.（注：年平均盈利额） 【解析】方案二更合理，理由如下： 设为前年的总盈利额，单位：万元； 由题意可得， 方案一：总盈利额， 当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：平均盈利额为， 当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时， 此时处理掉设备，总利润为万元； 综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适. 【巩固练习2】（23-24高一上·江苏连云港·月考）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【答案】当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，为198400元． 【解析】设池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元． 【巩固练习3】某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室，由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左､右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元，设屋子的左，右两面墙的长度均为米，房屋的造价为. (1)写出关于的表达式. (2)当左、右两面墙的长度为多少时，工程队报价最低？并求出最低报价. 【答案】(1) (2)时工程队报价最低，最低报价为28800元 【分析】（1）由题意可得屋子前面新建墙体的长为米，进而根据题意求解即可； （2）根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为屋子的左，右两面墙的长度均为米，底面为24平方米， 则屋子前面新建墙体的长为米， 所以房屋的造价为. （2）由， 当且仅当，即时等号成立， 所以当左、右两面墙的长度为4米时，工程队报价最低，最低报价为28800元. 【题型8】消元法求最值 消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 18． 已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知可得，代入变形可得，又,利用基本不等式，即可得到的最小值. 【详解】 法一：消元法 因为，且，所以， 所以， 因为，所以, 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 【巩固练习1】已知，，则的最小值为 ． 【解题思路】依题意可得，再由基本不等式计算可得. 【解答过程】因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 【巩固练习2】若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【解题思路】根据题意可得，利用基本不等式求解. 【解答过程】由可得， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意. 所以的最小值为. 【题型9】多选题专练（综合归纳） 19． （多选）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．最小值为 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】BC 【分析】利用基本不等式即可得到A；二元换一元，代入 ，利用二次函数求出最值，得出B选项；利用即可得到C选项；利用“1”的妙用得出D. 【详解】对于A，∵，且，∴，即时，等号成立， 即的最大值是，故A不正确； 对于B，∵，∴，， 所以，故B正确； 对于C，∵，且，∴，即 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，∵， 即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误． 20． （高一上·广东深圳·期中）（多选）下列选项正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若正实数x，y满足，则的最小值为8 C．的最小值为2 D．函数（）的最大值是0 【答案】BD 【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可依次求解． 【详解】对于A，当时，，故A错误， 对于B，∵，，， 则，当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为8，故B正确， 对于C，令，， 在上单调递增，则y的最小值为，故C错误， 对于D，当时， ，当且仅当，即时，等号成立， 故，即函数y的最大值为0，故D正确． 【巩固练习1】（多选）已知正数满足，则下列选项正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最大值是1 C．的最小值是4 D．的最大值是 【答案】ABD 【分析】根据题中条件及基本不等式，逐项分析即可. 【详解】因为，所以， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值是2，故A正确； 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 即的最大值是1，故B正确； ， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值是，故C错误； 因为， 当且仅当，即时等号成立， 即的最大值是，故D正确 【巩固练习2】（多选）设正实数，满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式可判断ACD；利用配方法可判断B. 【详解】对于A，因为，所以， 当且仅当时取等，故A正确； 对于B，，， 所以无最小值，故B错误； 对于C，因为， 所以， 所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，因为正实数满足，所以 ，当且仅当即，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 【巩固练习3】（多选）已知a，b为正实数，且，则（    ） A．ab的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 【答案】BD 【分析】根据基本不等式及“1”代换即可判断各选项. 【详解】对于A，， 因为（当且仅当时取“=”）， 所以ab的最小值为4，A错误； 对于B，由，得（当且仅当时取“=”），B正确； 对于C，（当且仅当时，取“=”），C错误； 对于D，（当且仅当时，取“=”），D正确． 【题型10】基本不等式与几何图形结合 21． 如图，在半径为4（单位：cm）的半圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其顶点在直径上，顶点在圆周上，则矩形面积的最大值为（    ）（单位：cm2）. A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】C 【分析】首先设，将面积表示为，再利用基本不等式求函数的最大值. 【详解】设BC=x，连结OC，得OB=，所以AB＝2， 所以矩形面积S＝2，x∈（0，4）， S＝2 ． 即x2＝16﹣x2，即x＝2时取等号，此时 22． 如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设，由矩形的周长为4，可知． 设，则．， ． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 所以． 所以的面积． 所以，当且仅当时， 即当时，的面积最大，面积的最大值为，故选：B． 23． 如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，当 时，矩形花坛的面积最小． 【答案】4 【分析】设，由∥，列比例式可求得，从而可表示出的面积，化简后利用基本不等式可求得其最小值，从而可求得答案. 【详解】设，因为∥， 所以，所以，解得, 所以矩形的面积为 ， 当且仅当，即时等号成立． 故当时，矩形花坛的面积最小． 【巩固练习1】（23-24高一上·江苏无锡·期中）如图， 是矩形对角线上一点，过作，，分别交、于、两点.    (1)当，时，设，找出、的关系式，求四边形面积的最大值，并指出此时P点的位置； (2)当矩形的面积为6时，四边形的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由. 【答案】(1)；点P在BD中点时，四边形面积取最大值. (2)点P在BD中点时，四边形面积取最大值 【分析】（1）根据相似三角形可得，结合基本不等式求最值； （2）利用基本不等式可得，由此可求出四边形的面积的最大值. 【详解】（1）在矩形中，，， ∴，，∵，， ∴， ，∴，                                       因为，所以，所以， 当且仅当取等号，此时点P在BD中点， 即点P在BD中点时，四边形面积取最大值. （2）由（1）可知， 因为，所以，所以， 当且仅当取等号，此时点P在BD中点， 即点P在BD中点时，四边形面积取最大值. 【巩固练习2】设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为24cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设AB＝xcm，DP＝ycm．    (1)求y与x之间的函数关系式； (2)求△ADP的最大面积及相应x的值． 【答案】(1) (2)最大面积为， 【分析】（1）设AB＝x，则，进而，结合勾股定理计算即可求解； （2）由题意可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）设AB＝x，则， ∵AB＞AD， ∴x＞12﹣x，解得x＞6， ∴6＜x＜12， 由题意可知，， 则， 在△ADP中，由勾股定理可得，， 故， 故y与x之间的函数关系式为． （2）, 当且仅当即时，等号成立， 故当时，△ADP的最大面积为． 【题型11】基本不等式的陷阱——对勾函数 24． 函数的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】先判断在上单调递增，再由单调性求最值即可 【详解】由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以 【巩固练习1】函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ． 【答案】2 【分析】令x＋1＝t(t≥3)，则有＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增，当t＝3时，即可求解. 【详解】依题意， y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)， 设x＋1＝t(t≥3)．因为f(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增， 所以当t＝3，即x＝2时，y＝x＋(x≥2)取得最小值． 【巩固练习2】当时，的最小值为________ 【答案】 【详解】设， 由函数在为单调递增函数， 所以当时，函数取得最小值，最小值为 【题型12】用2次基本不等式 当目标式中有的变量间被此独立，相互间没有制约条件时，使用分离变量法，多次使用基本不等式即可．这是可多次使用基本不等式的先决条件，其目的是保证等号能同时成立 25． 已知实数x，y满足，若，则z的最小值是 【答案】8 【分析】先由基本不等式放缩，然后再用基本不等式得最小值． 【详解】因为，所以， ，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时等号成立，此时． 【巩固练习1】已知，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】先利用基本不等式求得范围，进而代入原式，进一步利用基本不等式求得问题答案. 【详解】，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 【巩固练习2】（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）若对于任意的实数，恒成立，则实数的最大值是 ，此时 ． 【答案】 4 ． 【分析】先根据基本不等式得到；再利用一次基本不等式即可求解． 【详解】因为，所以； 所以． （当且仅当时取等号） ∴，此时． 【题型13】不等式证明 26． 已知，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）因为，所以， 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即，故； （2）因为，所以， 因为，，所以，， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 则，即． 【巩固练习】已知，求证: (1); (2). 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立. （2）， . 当且仅当时，即时等号成立. 【课后作业】 1． 两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（    ） A．第一种 B．第二种 C．都一样 D．不确定 【答案】B 【解析】依题意，为正数，且， 第一种方式购买的平均价格为， 第二种方式，设每次购买的花费为， 则购买的平均价格为， 由基本不等式得， 所以选第二种方式比较经济. 2． 若对于任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意结合基本不等式求出即可. 【详解】由题意可得当时，恒成立， 因为，当且仅当即时取等号， 所以，即实数的取值范围是 3． （多选）设，，满足，下列说法正确的是（    ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为1 【答案】AC 【分析】根据进行计算可判断A；利用“1”的妙用及基本不等式计算可判断B；将变形为，再根据二次函数的性质求最小值可判断C；利用将变形为，然后结合的范围可判断D. 【详解】因为，，所以，所以，所以，当且仅当即时取等号，则的最大值为，故A正确； 因为，当且仅当即时取等号，所以的最小值为，故B错误； 因为，所以， 因为，所以，故当时，取最小值为，故C正确； 因为，且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为，故D错误． 4． （2023上·湖南长沙·高一长郡中学校考）已知，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意，且，当且仅当时，即时等号成立，令，则上式为：，即， 解得或（舍），所以的取值范围为． 5． 已知，且，则的最小值是________ 【答案】 【解析】由得， 所以， 当且仅当即时，等号成立 6． 两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将问题化为，利用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，然后解一元二次不等式求参数范围. 【详解】由不等式恒成立，只需， 又，则， 当且仅当时等号成立，故， 所以，故实数的取值范围是. 7． 若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，则化简后利用基本不等式可求出其最小值为4，从而得，解不等式可求得答案. 【详解】由，，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立． 所以，解得或， 所以实数的取值范围是． 8． 若，且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】将变为，则可将化为，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由，且可得， 则， 当且仅当，结合，即时取等号， 即的最大值为 9． 近日，随着李佳琦直播事件的持续发酵，国货品牌上演花式直播．现有一品牌商也想借这个热度，采取了“量大价优”“广告促销”等方法，提高其下某商品的销售额．市场调查发现，这种商品供不应求，生产出来都能销售完．且此商品的月销售量（万件）与广告促销费用（万元）满足：，该产品的单价与销售量之间的关系定为：万元，已知生产一万件该产品的成本为8万元，设该产品的利润为万元． (1)求与的函数关系式（利润=销售额-成本-广告促销费用） (2)当广告促销费用定为多少万元的时候，该产品的利润最大？最大利润为多少万元？． 【答案】(1) (2)当广告促销费用定为2.5万元的时候，该产品利润最大，为15.5万元 【分析】（1）根据已知条件及关系式即可求解； （2）由（1）的结论及基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意可知. （2）， 当且仅当时取等，所以当广告促销费用定为2.5万元的时候，该产品利润最大，为15.5万元 10． 一题多问，已知已知，且 （1）的最大值是________ （2）的最小值是________ （3）的最小值为是________ （4）的最大值是________ （5）的最大值是________ 【答案】（1）（换元） （2）（“1”的代换） （3）（配凑或换元） （4） （5） 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$