02 结构化学习，系统性思维——谈基于核心素养的不等式一轮复习-《中学生数理化》高考数学2024年9月刊

■河南省南阳市第一中学校 徐香丽 高三一轮复习注重基础,目标是全面梳 理基础知识,夯实基本技能和基本方法,建立 系统化的知识和方法体系,所以对不等式内 容的一轮复习不是一味地简单重复以前的知 识,更需要对课标、教材和高考进行重组,因 此,同学们需要对旧知进行结构化学习和系 统性思维。通过研究近三年的高考试题发现 直接考查不等式的试题相对较少,更多的是 把不等式内容作为工具融入到其他知识之 中,加强了综合性和创新性的考查。 1.保持不等式的基础性作用 不等式的性质与解法在小题中大多与集 合、常用逻辑用语、函数的性质等知识相结 合,题目难度不大。例如:2024年新课标全 国Ⅰ卷第1题、2024年新课标全国Ⅱ卷第2 题等考查集合和常用逻辑用语知识的同时, 都与不等式的解法相结合。 2.突出不等式的工具性作用 新高考对不等式的考查,突出了不等式 的工具性作用,通过不等关系考查同学们的 数学能力和数学思想。 例 1 若正实数a,b 满足a>b,且 ln a·ln b>0,则下列不等式一定成立的是 ( )。 A.loga b<0 B.a- 1 b>b- 1 a C.2ab+1<2a+b D.ab-1<ba-1 思路分析:此题可以从作差比较法入手。 根据对数函数的单调性及ln a·ln b>0,得 到a>b>1或0<b<a<1,分别讨论两种情 况下四个选项是否正确。因为a>b>0,y= ln x 为单调递增函数,所以ln a>ln b。由于 ln a·ln b>0,所以ln a>ln b>0或ln b< ln a<0。 当ln a>ln b>0时,a>b>1,loga b> 0。由a- 1 b- b- 1 a =(a-b)1-1ab > 0,得a- 1 b>b- 1 a 。由ab+1-(a+b)= (a-1)(b-1)>0,得2ab+1>2a+b。 当ln b<ln a<0时,0<b<a<1,loga b >0。由 a- 1 b - b- 1 a = (a-b)· 1- 1 ab <0,得a-1b<b-1a。由ab+1- (a+b)=(a-1)(b-1)>0,得2ab+1>2a+b。 所以ABC均错误。 对于D选项,ab-1<ba-1,两边取自然对 数得(b-1)ln a<(a-1)ln b。因为a>b> 1或b<a<1,均有(a-1)(b-1)>0,故只 需证明 ln a a-1< ln b b-1 。下 面 通 过 构 造 函 数 f(x)= ln x x-1 (x>0且x≠1)求单调性即可。 3.融入不等式的综合性和创新性思维 对不等式内容的考查有的试题比较灵 活,且具有一定的综合性。另外在各个章节 都可以融入综合考查,例如,函数不等式的证 明、数列不等式的证明、向量和解析几何中最 值的求法等,都可以作为考查思维品质和核 心素养的重要内容。 例 2 以max{M}表示数集 M 中最大 的数。设0<a<b<c<1,已知b≥2a或a+ b≤1,则max{b-a,c-b,1-c}的最小值为 。 思路分析:利用换元法求得a,b,在b≥ 2a或a+b≤1的前提下进行分类讨论,得到 相对应的不等式组,再由不等式的性质求解。 令b-a=m,c-b=n,1-c=p,其中 m,n,p>0,则 b=1-n-p, a=1-m-n-p。 若b≥2a,则b=1-n-p≥2(1-m-n 5 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年9月 -p),故2m+n+p≥1。令M=max{b-a, c -b,1 -c}= max{m,n,p},则 2M≥2m, M≥n, M≥p, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 故4M≥2m+n+p≥1,则 M≥ 1 4 。 若a+b≤1,则1-n-p+1-m-n-p ≤1,即m+2n+2p≥1。又 M=max{b-a, c-b,1-c}=max{m,n,p},则 M≥m, 2M≥2n, 2M≥2p, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 故 5M≥m+2n+2p≥1,则 M≥ 1 5 ,当且仅当 m+2n+2p=1且max{m,n,p}= 1 5 时等号 成立,如取 m=n=p= 1 5 时可满足等号成 立。 综上可知,max{b-a,c-b,1-c}的最 小值为 1 5 。 4.不等式一轮复习备考建议 (1)重视基础,注重知识结构的建立。 在不等式的一轮复习中,同学们要学会 梳理教材内容,把所学的不等式内容形成结 构图,整体把握不等式的实质。 (2)重视方法,注重数学思想的体会。 解一元二次不等式时只要运用数形结合 思想,不管含参还是不含参,都可以按照“一 看、二算、三写”的思路去完成。一看:看二次 项系数。若二次项系数含参数a,则需要对a >0、a=0和a<0分类讨论。二算:算对应 方程的根。先看能否因式分解,若能因式分 解,则直接求出对应的根(根中含参且大小不 定时需要对根的大小分情况讨论);若不能因 式分解,则可以先算判别式,再用求根公式求 出对应的根。三写:看图写解集。由前两步, 可以定出开口方向和与x 轴的交点情况,大 致画出对应的函数图像,看图就能写出对应 的解集。“类二次不等式”的恒成立问题,也 都可以结合“类二次函数”的图像,考虑开口 方向、对称轴位置、判别式等进行处理。 (3)重视思维, 注重题组变式的训练。 新课标对不等式的考查,整体要求降低了 难度,但加强了综合性与思想性的考查。利用 基本不等式求解最值和范围问题仍然是高考 中的热点,求解方法也非常多样。例如直接求 解法(由基本不等式或变形的不等式链直接求 解)、配凑法(配凑出“和定值”或者“积定值”)、 减元法(化为一个变量的函数)、齐次法(通过 配凑为分式型,且分子、分母齐次化)、常值代 换法(1的代换或通过换元进行1的代换) 等。把每种方法蕴含的知识本质理解透彻, 就能触类旁通,从学好一题到学好一类。由 表及里,由浅入深,在不断变化中以不变应万 变,提炼思考问题的本质,在思维中创新归纳 数学方法,从而培养思维品质,提升数学核心 素养。 (4)重视能力,注重思维品质的培养。 同学们要加强一题多解训练,注重培养 思维品质。从不同的角度入手,方法多样,领 悟基本不等式的灵活运用,进一步体会多种 数学思维方式解题的魅力及数学思想的深刻 性,从而提升数学思维品质。 (5)重视应用,注重核心素养的提升。 新高考提出无情景不入题,教材中对不 等式部分内容的编排,特别强调情景引入和 实际应用。人教版教材中运用北京召开的第 二十四届国际数学家大会的会标引入重要不 等式,运用园艺师规划花卉区面积引入一元 二次不等式,课本的例题和课后习题中情景 问题有20多处,涉及生活情景中投资方案、 运费决策、造价计算、气象预报等,这些都强 调了不等式的应用功能。 总之,不等式的功能与定位要求同学们 进行结构化学习,形成系统性思维。在一轮 复习备考中,同学们要紧扣课标、教材和高考 的要求,有意识地从知识、方法、思维、能力等 多角度加强训练,灵活运用不等式工具,提高 数学能力和数学思想,培养数学抽象、逻辑推 理和数学运算的核心素养。 注:本文系河南省级课题“基于高中生数 学抽象素养的教学实践研究”的阶段性成果 之一。 (责任编辑 王福华) 6 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年9月