3.1.2 椭圆的几何性质（十大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

3．1．2 椭圆的几何性质 课程标准 学习目标 能说出椭圆的简单几何性质，并能证明性质，进一步体会数形结合思想． 1、根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形． 2、根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线． 知识点一：椭圆的简单几何性质 我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质 椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，． 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程，把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心． 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点． ②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，． ③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，．和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作． ②因为，所以的取值范围是．越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为． 知识点诠释： 椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1），，； （2），，； （3），，； 【即学即练1】（多选题）（2024·高二课时练习）已知椭圆的左，右焦点为F1，F2，点P为椭圆C上的动点（P不在x轴上），则（    ） A．椭圆C的焦点在x轴上 B．△的周长为 C．的取值范围为 D．椭圆的离心率为 知识点二：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边． 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角（）结合起来，建立、之间的关系． 【即学即练2】（多选题）（2024·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）已知，为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，且，下列说法正确的是（    ） A． B．离心率范围 C．当点为短轴端点时，为等腰直角三角形 D．若，则 知识点三：椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 知识点诠释：椭圆，的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有和，；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同； 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上． 【即学即练3】（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是 . ①曲线关于坐标原点对称； ②的取值范围是； ③曲线是一个椭圆； ④曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积. 知识点四：直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点， 若点在椭圆上，则有； 若点在椭圆内，则有； 若点在椭圆外，则有． 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点，两点，则 同理可得 这里，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 【即学即练4】（2024·全国·高二课堂例题）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于A，B两点，且，则直线方程为 ． 知识点五：解决椭圆中点弦问题的两种方法： 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线（不平行于轴）过椭圆（）上两点、，其中中点为，则有． 【即学即练5】（2024·江西宜春·高二高二中校考阶段练习）已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为 题型一：椭圆的几何性质 【典例1-1】（多选题）（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（    ） A．C的离心率为 B． C．的最大值为 D．使为直角的点P有4个 【典例1-2】（多选题）（2024·高二·广东汕头·阶段练习）已知椭圆，则下列说法中正确的是（    ） A．椭圆的焦点在轴上 B．椭圆的长轴长是 C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为 【变式1-1】（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选题）（2024·高二·云南保山·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为4，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．的最大值为8 C．离心率为 D．椭圆上不存在点，使得 【变式1-3】（多选题）（2024·高二·江苏南京·阶段练习）2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则（    ） A．椭圆的长轴长为 B．线段长度的取值范围是 C．面积的最小值是4 D．的周长为 【变式1-4】（多选题）（2024·高二·广东江门·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上任意一点（非长轴的顶点），则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的焦点坐标为 B．当时，椭圆C的离心率为 C．当时，的周长为6 D．若椭圆C的离心率为，则的面积的最大值是 题型二：根据椭圆的有界性求范围或最值 【典例2-1】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知定点为椭圆上一动点，满足：当取得最小值时点恰为椭圆的右顶点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知A为椭圆的上顶点，为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式2-1】（2024·高二·江苏扬州·期中）已知是椭圆上的点，则的值可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式2-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知，，若圆上存在点P，使得，则实数r的取值范围是（    ） A．[3,5] B．（0,5] C．[4,5] D．[16,25] 【变式2-4】（2024·高二·福建福州·期末）已知点A(m,n)在椭圆上，则的最大值是.（　　） A．6 B．8 C．3 D．2 题型三：求离心率的值 【典例3-1】（2024·高二·广西柳州·阶段练习）若椭圆：的蒙日圆为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·高三·广西贵港·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，为的中点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·高二·浙江衢州·期末）已知是椭圆上的一动点，且与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·高二·全国·课后作业）椭圆的两顶点，，且左焦点为F，是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·高二·全国·课后作业）设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2024·高二·安徽亳州·期中）已知椭圆的左焦点为，点在上，的中点为为坐标原点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-5】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知椭圆C：（）的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型四：求离心率的范围 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点.若使为直角三角形的点有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2024·高二·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·高二·湖南长沙·期中）焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高二·湖南郴州·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若使为直角三角形的点有8个，则的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·高二·广东江门·阶段练习）已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（    ）． A． B． C． D． 【变式4-4】（2024·高二·北京·期中）椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（ ） A． B． C． D． 【变式4-5】（2024·高二·四川内江·阶段练习）已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-6】（2024·高二·安徽安庆·阶段练习）椭圆（a＞b＞0）上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（   ） A． B． C． D． 题型五：点与椭圆的位置关系 【典例5-1】（2024·全国·高二专题练习）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【典例5-2】（2024·全国·高二专题练习）已知点和焦点在轴上的椭圆：，且过作椭圆的切线有两条，则该椭圆半焦距的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学校考学业考试）若直线与圆没有公共点，则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【变式5-2】（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·全国·高二专题练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六：直线与椭圆的位置关系 【典例6-1】（2024·高二·江苏常州·期中）已知椭圆，直线，则直线与椭圆的公共点有 个. 【典例6-2】（2024·高三·上海·开学考试）直线与椭圆的公共点个数为 ． 【变式6-1】（2024·高二·全国·专题练习）直线和曲线的位置关系为 . 【变式6-2】（2024·高二·全国·课后作业）试判断直线与椭圆的公共点的个数，并说明理由. 【变式6-3】（2024·高二·福建莆田·期中）已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)讨论直线l与椭圆C的公共点个数. 【变式6-4】（2024·高二·江苏·课后作业）判断直线与椭圆的公共点的个数． 题型七：弦长问题 【典例7-1】（2024·高二·全国·课堂例题）已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于两点，求弦的长． 【典例7-2】（2024·高二·湖南·期末）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过点，且与交于两点，当最大时，求直线的方程. 【变式7-1】（2024·高二·青海西宁·期中）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． 【变式7-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知椭圆：，则过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的长度为 ． 【变式7-3】（2024·高二·全国·课后作业）若直线和椭圆交于两点，则线段的长为 ． 【变式7-4】（2024·高二·上海宝山·阶段练习）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于两点，若弦的长为，则直线的斜率为 . 【变式7-5】（2024·高二·全国·课后作业）已知椭圆两顶点，，过焦点的直线l与椭圆交于C，D两点，当时，直线l的方程为 . 题型八：中点弦问题 【典例8-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，且满足，则直线的斜率为 ． 【典例8-2】（2024·高二·上海·期中）直线过点，且与曲线交于两点，若，则直线的方程为 . 【变式8-1】（2024·高二·福建福州·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点为，则直线的斜率为 ． 【变式8-2】（2024·高二·山东临沂·期末）已知椭圆的离心率为，直线与交于两点，直线与的交点恰好为线段的中点，则的斜率为 . 【变式8-3】（2024·高二·上海·课堂例题）在直角坐标系xOy中，椭圆C：的焦距为，长轴长是短轴长的2倍，斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A、B． (1)求椭圆的标准方程； (2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为，求证：为定值． 【变式8-4】（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标. 【变式8-5】（2024·高二·北京·开学考试）已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4.若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段中点的纵坐标，求直线的方程. 题型九：椭圆的实际应用 【典例9-1】（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 【典例9-2】（2024·高二·重庆·期中）彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位（1天文单位是太阳到地球的平均距离，约），且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则轨道椭圆的长轴长为______天文单位.（    ） A．7.0490 B．4.0770 C．3.5245 D．2.0385 【变式9-1】（2024·高二·山东潍坊·阶段练习）开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为，最小距离，太阳半径为，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2024·高二·河北保定·期中）开普勒第一定律也称椭圆定律，轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的个焦点上．将某行星H看作一个质点，H绕太阳的运动轨迹近似成曲，行星H在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离．若行星H的近日点距离和远日点距离之和是（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（    ） A． B． C．34 D．88 【变式9-3】（2024·高二·河北邯郸·期末）开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星看作一个质点，绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（    ） A．39 B．52 C．86 D．97 【变式9-4】（2024·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式9-5】（2024·高二·广东深圳·期末）运用微积分的方法，可以推导得椭圆（）的面积为．现学校附近停车场有一辆车，车上有一个长为的储油罐，它的横截面外轮廓是一个椭圆，椭圆的长轴长为，短轴长为，则该储油罐的容积约为（）（    ） A． B． C． D． 题型十：定点定值问题 【典例10-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【典例10-2】（2024·高三·陕西汉中·阶段练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值. 【变式10-1】（2024·高二·河南平顶山·期末）已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值. 【变式10-2】（2024·高三·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 【变式10-3】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标. 【变式10-4】（2024·高二·河南南阳·期末）已知椭圆的左顶点为，右顶点为，椭圆上不同于点的一点满足. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，直线交于点，证明：点在定直线上. 【变式10-5】（2024·高二·新疆克孜勒苏·期末）已知椭圆的离心率，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点. 【变式10-6】（2024·高二·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，连接BF并延长交椭圆C于点椭圆P． (1)若，，求椭圆C的方程 (2)若直线AB与直线AP的斜率之比是-2，证明：为定值，并求出定值． 1．（2024·高二·山东滨州·阶段练习）已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高二·江苏·专题练习）已知椭圆：经过点，右焦点为，，分别为椭圆的上顶点和下顶点，若过且斜率存在的直线与椭圆交于两点，直线与直线的斜率分别为和，则的值为（   ） A．1 B．3 C．2 D． 3．（2024·高二·江苏·专题练习）设分别是椭圆的左、右焦点，设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·天津·阶段练习）已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·全国·课后作业）已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为.若椭圆的离心率为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 6．（2024·广东广州·模拟预测）已知点，是椭圆上不关于长轴对称的两点，且，两点到点的距离相等，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·上海·随堂练习）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高二·云南保山·期末）已知点是椭圆上的一点，左､右焦点分别为点，点在的平分线上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2024·高二·重庆·开学考试）如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为，则（    ） A．椭圆的长轴长等于4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的标准方程可以是 D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 10．（多选题）（2024·高二·广西南宁·期中）已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1 B．的最小值为 C．若为直角三角形，则的面积为 D．的范围为 11．（多选题）（2024·高二·云南昆明·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过作直线与C交于A，B两点，的周长为8．若在C外，点Q在C上，记C的离心率为e，则（    ） A．的最小值为5 B． C．存在点Q，使得 D．当时，点R在C上且满足，则有 12．（2024·高二·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围是 ；当取得最大值时，椭圆的焦距为 . 13．（2024·高二·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，在轴上任取一点，直线与直线相交于点，则的最大值为 . 14．（2024·高二·江苏·专题练习）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.若，为椭圆的左右顶点，直线交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，，则= 15．（2024·高二·全国·专题练习）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则椭圆的离心率为 ． 16．（2024·高二·江苏常州·期中）在直角坐标系中，点到点、的距离之和是，点的轨迹是 (1)求轨迹的方程； (2)设点，点P是椭圆上的一个动点，F为右焦点，求的最小值及此时点P的坐标； 17．（2024·高二·江苏常州·期中）已知是椭圆的左右焦点，点是椭圆上的动点， (1)若椭圆的离心率为，且的最大值为，求椭圆的方程； (2)若为等腰直角三角形，求椭圆的离心率. 18．（2024·高二·广西南宁·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程： (2)过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率. 19．（2024·高二·北京延庆·期中）已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，离心率为，过点的直线与椭圆交于，（不重合）两点，坐标原点为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段的中点的横坐标为，求直线的方程； (3)若点在以线段为直径的圆上，求直线的方程. 20．（2024·高二·重庆九龙坡·阶段练习）已知椭圆，经过点，且离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l交直线于点N，直线m与x轴交于点M，记，的面积分别为，求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3．1．2 椭圆的几何性质 课程标准 学习目标 能说出椭圆的简单几何性质，并能证明性质，进一步体会数形结合思想． 1、根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形． 2、根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线． 知识点一：椭圆的简单几何性质 我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质 椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，． 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程，把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心． 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点． ②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，． ③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，．和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作． ②因为，所以的取值范围是．越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为． 知识点诠释： 椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1），，； （2），，； （3），，； 【即学即练1】（多选题）（2024·高二课时练习）已知椭圆的左，右焦点为F1，F2，点P为椭圆C上的动点（P不在x轴上），则（    ） A．椭圆C的焦点在x轴上 B．△的周长为 C．的取值范围为 D．椭圆的离心率为 【答案】ABD 【解析】A：由椭圆方程知：，故椭圆C的焦点在x轴上，正确； B：由，且△的周长为，正确； C：由P为椭圆C上的动点且不在x轴上，则，错误； D：椭圆的离心率为，正确. 故选：ABD 知识点二：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边． 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角（）结合起来，建立、之间的关系． 【即学即练2】（多选题）（2024·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）已知，为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，且，下列说法正确的是（    ） A． B．离心率范围 C．当点为短轴端点时，为等腰直角三角形 D．若，则 【答案】ABD 【解析】∵， ∴，又， ∴，∴，故A正确； ∵，， ∴，即， ∴，故B正确； 当点为短轴端点时，∵，，∴为等边三角形，故C错误； 若，又 ∴， ∴，不妨设为锐角，则为钝角， ∴，∴ ， ∴，同理可得， ∴，∴，故D正确. 故选：ABD 知识点三：椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 知识点诠释：椭圆，的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有和，；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同； 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上． 【即学即练3】（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是 . ①曲线关于坐标原点对称； ②的取值范围是； ③曲线是一个椭圆； ④曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积. 【答案】① 【解析】对于①，若点满足曲线的方程， 则点也一定满足曲线的方程， 所以曲线关于坐标原点对称，故①正确； 对于②，，所以，故②错误； 对于③，当时，，此时， 当时，，此时， 所以曲线由两个抛物线的部分组成的，不是椭圆，故③错误； 对于④，因为椭圆的面积与椭圆的面积相等， 作出曲线与椭圆， 由图可知，曲线围成区域的面积大于椭圆围成区域的面积， 所以曲线围成区域的面积大于椭圆围成区域的面积， 故④错误. 故答案为：①. 知识点四：直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点， 若点在椭圆上，则有； 若点在椭圆内，则有； 若点在椭圆外，则有． 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点，两点，则 同理可得 这里，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 【即学即练4】（2024·全国·高二课堂例题）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于A，B两点，且，则直线方程为 ． 【答案】或 【解析】椭圆，即，则，，，左焦点为， 设直线为，， 由，得， 整理得， 因为， 所以， 所以， ，解得， 所以直线为， 即或． 故答案为：或 知识点五：解决椭圆中点弦问题的两种方法： 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线（不平行于轴）过椭圆（）上两点、，其中中点为，则有． 【即学即练5】（2024·江西宜春·高二高二中校考阶段练习）已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为 【答案】 【解析】设点、，由中点坐标公式可得，所以， 因为，两式作差得，即， 即，所以，， 因此，直线的方程为，即. 故答案为：. 题型一：椭圆的几何性质 【典例1-1】（多选题）（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（    ） A．C的离心率为 B． C．的最大值为 D．使为直角的点P有4个 【答案】BCD 【解析】由原方程可得椭圆标准方程为， ，，故A错误； 由椭圆定义可知，故B正确； 由椭圆的性质知，故C正确； 易知以线段为直径的圆（因为）与C有4个交点，故满足为直角的点有4个，故D正确. 故选：BCD 【典例1-2】（多选题）（2024·高二·广东汕头·阶段练习）已知椭圆，则下列说法中正确的是（    ） A．椭圆的焦点在轴上 B．椭圆的长轴长是 C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为 【答案】ABD 【解析】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 因为椭圆的方程为， 所以椭圆的焦点在上，且，A正确， 所以椭圆的长轴长为，B正确， 椭圆的焦距为，C错误； 椭圆的离心率，D正确. 故选：ABD. 【变式1-1】（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则由题意可知，又， 解得，，， 所以椭圆的标准方程为或． 故选：AD 【变式1-2】（多选题）（2024·高二·云南保山·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为4，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．的最大值为8 C．离心率为 D．椭圆上不存在点，使得 【答案】BD 【解析】 易知当轴时，即线段为通径时，最短，，解得，椭圆方程为， 对于，椭圆的短轴长为，故A错误； 对于，因为的周长为，且，故B正确； 对于C，离心率，故C错误； 对于，易知当点位于短轴顶点时，最大，此时，又为三角形内角，椭圆上不存在点，使得，故D正确， 故选:BD. 【变式1-3】（多选题）（2024·高二·江苏南京·阶段练习）2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则（    ） A．椭圆的长轴长为 B．线段长度的取值范围是 C．面积的最小值是4 D．的周长为 【答案】ABD 【解析】对于A，由题知，椭圆中的几何量，得，则，故A错误； 对于B，，由椭圆性质可知，，B正确； 对于C，记， 则， 取，则C错误； 对于D，由椭圆定义知，， 所以的周长D正确． 故选：ABD． 【变式1-4】（多选题）（2024·高二·广东江门·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上任意一点（非长轴的顶点），则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的焦点坐标为 B．当时，椭圆C的离心率为 C．当时，的周长为6 D．若椭圆C的离心率为，则的面积的最大值是 【答案】AC 【解析】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆C的焦点坐标为，A正确； 对于B，当时，，离心率，B错误； 对于C，当时，，则的周长为，C正确； 对于D，椭圆C的离心率为，即，解得，， 设，则的面积，D错误. 故选：AC. 题型二：根据椭圆的有界性求范围或最值 【典例2-1】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知定点为椭圆上一动点，满足：当取得最小值时点恰为椭圆的右顶点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记， ， ， 对称轴为，由于时取到最小值，则. 故选：B 【典例2-2】（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知A为椭圆的上顶点，为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由题意可知：，设， 由可得，， 则， 因为，可知当时，最大为. 故选：B 【变式2-1】（2024·高二·江苏扬州·期中）已知是椭圆上的点，则的值可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【解析】由椭圆，可设，其中， 则，其中， 因为，所以， 即的取值范围为，结合选项，可得A符合题意. 故选：A. 【变式2-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 因为P点在椭圆上，则，记， 所以， 又因为开口向上，对称轴， 且，所以当时，取到最小值. 故选：B. 【变式2-3】（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知，，若圆上存在点P，使得，则实数r的取值范围是（    ） A．[3,5] B．（0,5] C．[4,5] D．[16,25] 【答案】C 【解析】动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且又点P在上，椭圆与圆有公共点，实数r的取值范围是[4,5]. 故选：C. 【变式2-4】（2024·高二·福建福州·期末）已知点A(m,n)在椭圆上，则的最大值是.（　　） A．6 B．8 C．3 D．2 【答案】B 【解析】由题意可得，则，故． 因为，所以，所以，即． 因此，的最大值. 故选：B. 题型三：求离心率的值 【典例3-1】（2024·高二·广西柳州·阶段练习）若椭圆：的蒙日圆为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，分别与椭圆相切，显然. 所以点在蒙日圆上，所以， 所以，即，所以椭圆的离心率. 故选：D. 【典例3-2】（2024·高三·广西贵港·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，为的中点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示： 根据题意可知，由椭圆定义可得， 又为的中点，可得， 因为，由勾股定理可得，即； 结合整理可得，即， 解得或（舍）. 故选：C 【变式3-1】（2024·高二·浙江衢州·期末）已知是椭圆上的一动点，且与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】椭圆长轴的两顶点为， 设，则由题设可得即， 故，故即，故， 故选：B 【变式3-2】（2024·高二·全国·课后作业）椭圆的两顶点，，且左焦点为F，是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为直角三角形，且，，， 由勾股定理可得，即， 整理得，两边同除以得，解得． 且，所以． 故选：B. 【变式3-3】（2024·高二·全国·课后作业）设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意， 设椭圆的长轴长为2a，半焦距为c，则， 则，， 于是， ∴． 故选：C 【变式3-4】（2024·高二·安徽亳州·期中）已知椭圆的左焦点为，点在上，的中点为为坐标原点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设C的右焦点为，因为，所以，所以，所以， 设， 因为，所以， 所以 ，解得. 故选：C. 【变式3-5】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知椭圆C：（）的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，， 由题意：， ∴， ∴， ∴ ∴ 故选：C 题型四：求离心率的范围 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点.若使为直角三角形的点有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当轴时，有两个点满足为直角三角形； 当轴时，有两个点满足为直角三角形. 使为直角三角形的点有且只有4个， 以原点为圆心，为半径的圆与椭圆无交点，， ，又，解得. 故选：A. 【典例4-2】（2024·高二·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，，， ， 由题意可知，，即，得， 则. 故选：B 【变式4-1】（2024·高二·湖南长沙·期中）焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设椭圆的标准方程为， 不妨设矩形的对角线所在的直线方程为：（假设）， 联立，则，解得：，， 所以矩形的面积为：， 当且仅当时取等， 因为点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是， 所以，则，即， ，即， 解得：，即. 故选：C. 【变式4-2】（2024·高二·湖南郴州·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若使为直角三角形的点有8个，则的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 为直角三角形，可分为以下三类讨论： 以点为直角顶点；以点为直角顶点；以点为直角顶点. 由椭圆的对称性可知：以点为直角顶点的点有两个；以点为直角顶点的点有两个， 则要使为直角三角形的点有8个，须使以点为直角顶点的直角三角形有4个. 由椭圆的对称性可得在轴上方有两个点满足以点为直角顶点. 则， 即， 所以，解得即， 所以， 又因为椭圆离心率， 所以. 故选：C. 【变式4-3】（2024·高二·广东江门·阶段练习）已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为以为直径的圆与椭圆有四个交点，所以， 即，，，所以，即， 又因为，所以椭圆离心率的取值范围为． 故选：A． 【变式4-4】（2024·高二·北京·期中）椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当点位于短轴的端点时，最大， 要使椭圆上存在一点P满足， 只要最大时大于等于即可， 即当点位于短轴的端点时，， 所以， 又椭圆的离心率， 所以椭圆的离心率的范围是. 故选：D. 【变式4-5】（2024·高二·四川内江·阶段练习）已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得：，所以 故选：A． 【变式4-6】（2024·高二·安徽安庆·阶段练习）椭圆（a＞b＞0）上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为椭圆（a＞b＞0）上存在一点P满足，即， 所以点P落在以为直径的圆上，所以有解， 即有解，所以. 即，所以，所以， 又椭圆的离心率，所以. 故选：D 题型五：点与椭圆的位置关系 【典例5-1】（2024·全国·高二专题练习）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【答案】C 【解析】点与点关于原点对称， 点与关于轴对称， 点与关于轴对称， 若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上， 故选：C 【典例5-2】（2024·全国·高二专题练习）已知点和焦点在轴上的椭圆：，且过作椭圆的切线有两条，则该椭圆半焦距的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，点在椭圆的外部. 所以，，所以. 又椭圆焦点在轴上，所以，所以. 又，所以，所以. 故选：C. 【变式5-1】（2024·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学校考学业考试）若直线与圆没有公共点，则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【解析】圆的圆心，半径为， 因为直线与圆没有公共点， 所以圆心到直线的距离大于半径，得，即， 所以，则点在椭圆内部， 所以过点的直线与椭圆必有2个公共点. 故选：C. 【变式5-2】（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆方程为， 因为，所以点在椭圆内部，A错误； 因为，所以点在椭圆内部，B错误； 因为，所以点在椭圆外部，C正确； 因为，所以点在椭圆内部，D错误. 故选：C. 【变式5-3】（2024·全国·高二专题练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点在椭圆的外部， 所以,解得, 故选：B. 题型六：直线与椭圆的位置关系 【典例6-1】（2024·高二·江苏常州·期中）已知椭圆，直线，则直线与椭圆的公共点有 个. 【答案】2 【解析】直线 过定点 , ，即定点在椭圆内， 则直线 与椭圆 C 的公共点有两个. 故答案为：2. 【典例6-2】（2024·高三·上海·开学考试）直线与椭圆的公共点个数为 ． 【答案】2 【解析】直线恒过， 由于，所以是椭圆内部的一点， 所以直线与椭圆恒有2个交点． 故答案为：2． 【变式6-1】（2024·高二·全国·专题练习）直线和曲线的位置关系为 . 【答案】相交 【解析】曲线为：可得 直线恒过，由知定点在椭圆内部， 所以直线与椭圆的位置关系为相交. 故答案为：相交. 【变式6-2】（2024·高二·全国·课后作业）试判断直线与椭圆的公共点的个数，并说明理由. 【解析】直线与椭圆的公共点的个数为个，理由如下： 根据题意，直线，恒过定点， 把点代入椭圆，则点在椭圆的内部， 则直线与椭圆必相交，有个交点， 即直线与椭圆的公共点的个数为个. 【变式6-3】（2024·高二·福建莆田·期中）已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)讨论直线l与椭圆C的公共点个数. 【解析】（1）由题意椭圆的短轴长为，离心率为， 可知，，解得， 所求椭圆的方程为； （2）由可得， ， 当即时，直线与椭圆相切，只有一个公共点； 当即时，直线与椭圆相交，有两个公共点； 当即或时，直线与椭圆相离，无公共点； 综上所述， 当时，直线与椭圆只有一个公共点； 当时，直线与椭圆有两个公共点； 当或时，直线与椭圆无公共点. 【变式6-4】（2024·高二·江苏·课后作业）判断直线与椭圆的公共点的个数． 【解析】联立，消去可得，则， 故直线与椭圆只有个公共点. 题型七：弦长问题 【典例7-1】（2024·高二·全国·课堂例题）已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于两点，求弦的长． 【解析】由题意可知：， 因为直线过椭圆的右焦点，且斜率为， 则直线的方程为，且直线与椭圆必相交， 方法一：解方程组，解得或， 不妨令，， 所以； 方法二：设，， 联立方程，消去得， 则，． 所以； 方法三  设，， 联立方程，消去得， 则，， 所以． 【典例7-2】（2024·高二·湖南·期末）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过点，且与交于两点，当最大时，求直线的方程. 【解析】（1）由题意得，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）当直线的斜率不存在时，方程为， 此时， 当直线的斜率存在时，设方程为， 联立，消得， 恒成立，故， 则， 所以 ， 令，则， 所以 ， 当，即时，取得最大值，此时， 综上所述，当最大时，求直线的方程为. 【变式7-1】（2024·高二·青海西宁·期中）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． 【解析】（1）由题意可设， 则，即，且，可得， 所以椭圆方程为. （2）设， 将直线与椭圆联立，得，解得或 所以弦长. 【变式7-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知椭圆：，则过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的长度为 ． 【答案】/ 【解析】根据题意知过点且斜率为的直线的方程是． 设此直线与椭圆的交点为，． 联立直线方程和椭圆方程，得消去，化简得， 故，． 所以 ． 故答案为：． 【变式7-3】（2024·高二·全国·课后作业）若直线和椭圆交于两点，则线段的长为 ． 【答案】 【解析】由消y得． 设，，则，， 所以． 故答案为： 【变式7-4】（2024·高二·上海宝山·阶段练习）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于两点，若弦的长为，则直线的斜率为 . 【答案】 【解析】椭圆，即，则，，，左焦点为， 设直线为，， 由，得， 整理得， 因为， 所以， 所以， ，解得， 所以直线为斜率为， 故答案为：. 【变式7-5】（2024·高二·全国·课后作业）已知椭圆两顶点，，过焦点的直线l与椭圆交于C，D两点，当时，直线l的方程为 . 【答案】或 【解析】由题意得，.∴.∴椭圆方程为. 当直线l的斜率不存在时，，不符合题意. 当直线l的斜率存在时，设l的方程为， 联立，得， 恒成立. 设，.∴，. ∴， 即， 解得，∴. ∴直线l的方程为或. 故答案为：或. 题型八：中点弦问题 【典例8-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，且满足，则直线的斜率为 ． 【答案】 【解析】 因为，则在椭圆内，可知直线与椭圆总有两个交点， 因为，即点为线段的中点， 设，，显然，则，， ，可得， 则，即， 所以，即直线的斜率， 故答案为： 【典例8-2】（2024·高二·上海·期中）直线过点，且与曲线交于两点，若，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】由题意知为直线的中点，设， 则，则， 所以， 即，则直线的方程为， 故答案为：. 【变式8-1】（2024·高二·福建福州·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点为，则直线的斜率为 ． 【答案】 【解析】设，，则的中点坐标为， 由题意可得，， 将，的坐标的代入椭圆的方程：， 作差可得， 所以， 又因为离心率，，所以， 所以，即直线的斜率为， 故答案为：. 【变式8-2】（2024·高二·山东临沂·期末）已知椭圆的离心率为，直线与交于两点，直线与的交点恰好为线段的中点，则的斜率为 . 【答案】/0.25 【解析】由题意知椭圆的离心率为， 故，， 设，由题意知l的斜率存在，则， 设线段AB的中点为， 则直线l的斜率为，直线的斜率， 由，两式相减得， 即得，即， 故， 故答案为： 【变式8-3】（2024·高二·上海·课堂例题）在直角坐标系xOy中，椭圆C：的焦距为，长轴长是短轴长的2倍，斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A、B． (1)求椭圆的标准方程； (2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为，求证：为定值． 【解析】（1）设半焦距为c，长半轴为a，短半轴为b，依题意可知 ，    解得. 故椭圆的标准方程为； （2）证明：设，，，则，． 把，代入椭圆方程得：. 两式相减可得，即．又， 则，故为定值． 【变式8-4】（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标. 【解析】（1）依题意得： ，即，解得 ，解得 椭圆的方程为 （2）如图所示： 设，中点为， 所以 则 又两点在椭圆上，可得， 两式相减可得，整理得 ，①. 过点斜率为的直线为. 因为在直线上，故，② 联立①②，解得 所以中点坐标为. 【变式8-5】（2024·高二·北京·开学考试）已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4.若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段中点的纵坐标，求直线的方程. 【解析】（1）由题意可知,解得， 因为， 所以， 所以，解得. 所以椭圆的方程为. （2）由题意可知直线斜率存在，如图所示 设，设， 消得，， 所以，解得. , 设线段中点的坐标为， 所以 , 又因为线段中点的纵坐标， 所以，解得， 所以直线方程为，即. 题型九：椭圆的实际应用 【典例9-1】（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 【答案】C 【解析】由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确； 根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确； 卫星向径的最小值与最大值的比值为越大，则越小，椭圆越圆，故C错误． 因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小， 所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D正确； 故选：C． 【典例9-2】（2024·高二·重庆·期中）彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位（1天文单位是太阳到地球的平均距离，约），且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则轨道椭圆的长轴长为______天文单位.（    ） A．7.0490 B．4.0770 C．3.5245 D．2.0385 【答案】A 【解析】依题意，轨道的近日点和远日点为椭圆长轴的端点，而太阳为该轨道椭圆的一个焦点， 所以轨道椭圆的长轴长为（天文单位）. 故选：A 【变式9-1】（2024·高二·山东潍坊·阶段练习）开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为，最小距离，太阳半径为，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设椭圆的焦距为，长轴长为， 则由已知可得， 两式相加可得，两式相减可得， 则，， 所以离心率. 故选：A. 【变式9-2】（2024·高二·河北保定·期中）开普勒第一定律也称椭圆定律，轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的个焦点上．将某行星H看作一个质点，H绕太阳的运动轨迹近似成曲，行星H在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离．若行星H的近日点距离和远日点距离之和是（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（    ） A． B． C．34 D．88 【答案】C 【解析】由曲线的方程为椭圆，可得长半轴， 则半焦距， 近日点距离为，远日点距离为， 近日点距离和远日点距离之和是， 近日点距离和远日点距离之积是， 解得，，则． 故选：C 【变式9-3】（2024·高二·河北邯郸·期末）开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星看作一个质点，绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（    ） A．39 B．52 C．86 D．97 【答案】D 【解析】根据椭圆方程，得长半轴，半焦距， 近日点距离为，远日点距离为， 近日点距离和远日点距离之和是， 近日点距离和远日点距离之积是， 解得，则. 故选：D. 【变式9-4】（2024·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系， 设椭圆方程为， 令，即，解得，依题意可得， 所以，所以，所以． 故选：D． 【变式9-5】（2024·高二·广东深圳·期末）运用微积分的方法，可以推导得椭圆（）的面积为．现学校附近停车场有一辆车，车上有一个长为的储油罐，它的横截面外轮廓是一个椭圆，椭圆的长轴长为，短轴长为，则该储油罐的容积约为（）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，椭圆的长轴长为，短轴长为， 所以 所以椭圆面积为. 因为储油罐为一个柱体，所以体积为. 故选：B 题型十：定点定值问题 【典例10-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）∵的周长为8，的最大面积为， ∴，解得，或，． ∴椭圆C的方程为或等． （2）   由（1）及易知， 不妨设直线MN的方程为：，，，， 联立，得． 则，， 若的内心在x轴上，则， ∴，即，即， 可得． 则，得，即． 当直线MN垂直于x轴，即时，显然点也是符合题意的点． 故在x轴上存在定点，使得的内心在x轴上. 【典例10-2】（2024·高三·陕西汉中·阶段练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值. 【解析】（1）∵抛物线的焦点为， ∴椭圆的半焦距为， 又，得，. ∴椭圆的方程为 （2）证明：由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 联立，得. ，即， 设，， 则，， ∴， ∴. ∴为定值 【变式10-1】（2024·高二·河南平顶山·期末）已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值. 【解析】（1）由题意可知：，又，解得， 所以椭圆方程为 （2）证明：由题意可知直线有斜率，由于与点的连线的斜率为，且的横纵坐标恰好与相反，因此直线有斜率满足且， 直线的方程为：， 联立直线与椭圆方程：， 设， 则， ， 将代入可得故直线AP与AQ的斜率之和为1，即为定值，得证. 【变式10-2】（2024·高三·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 【解析】（1）由题知，，，， 由的面积为，得， 又，代入可得，，∴椭圆的方程为. （2）联立得， 设，，可得，， 由题知， 即， 即，解得， ∴直线的方程为，故直线恒过定点. 【变式10-3】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标. 【解析】（1）由已知得，解得， 椭圆的标准方程， （2） 设，则， 可设的直线方程为， 联立方程，整理得， ， ， ， 整理得，， ，解得， 的直线方程为：， 直线恒过定点. 【变式10-4】（2024·高二·河南南阳·期末）已知椭圆的左顶点为，右顶点为，椭圆上不同于点的一点满足. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，直线交于点，证明：点在定直线上. 【解析】（1）如图所示： 根据题意，，设点的坐标为，由于点在椭圆上， 所以，得， 则， 解得，所以椭圆的标准方程为. （2）解法一（非对称韦达）： 由题意如图所示： 设点，可设直线的方程为：， 联立，得， 由根与系数的关系，， 直线的方程：，① 直线的方程：，② ①②得， 因为， 所以，解得， 因此，点在定直线上. 解法二（齐次化）： 由题意如图所示： 设不过点的直线的方程为：， 由于直线过，所以. 设，点. 椭圆的方程转化为，，代入直线的方程得， ，即， 即，由根与系数的关系，， 又由题意可得：，所以两式相除得：， 即，解得， 所以点在定直线上. 【变式10-5】（2024·高二·新疆克孜勒苏·期末）已知椭圆的离心率，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点. 【解析】（1）设椭圆半焦距为， 由题意得 解得， 椭圆的标准方程为：. （2）设点，则，直线的方程为， 直线与椭圆联立， 消去，得， 则， ，得， 由题意，直线的方程为， 令，所以点的横坐标， 所以直线与轴交于定点. 【变式10-6】（2024·高二·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，连接BF并延长交椭圆C于点椭圆P． (1)若，，求椭圆C的方程 (2)若直线AB与直线AP的斜率之比是-2，证明：为定值，并求出定值． 【解析】（1）由，，得：，解得， 又点在椭圆上，则，解得， 所以椭圆的方程为． （2） 证明:依题意，令，直线，由，得， 直线AB的斜率，直线AP的斜率， 则，即，有，得，， 于是得点，，， 所以为定值. 1．（2024·高二·山东滨州·阶段练习）已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当直线的斜率不存在时，由对称性可知被椭圆截得线段的中点在轴上，不合题意； 故可设直线的方程为，代入椭圆方程化简得， ， 有，，解得， 所以直线的方程为，即. 故选：B. 2．（2024·高二·江苏·专题练习）已知椭圆：经过点，右焦点为，，分别为椭圆的上顶点和下顶点，若过且斜率存在的直线与椭圆交于两点，直线与直线的斜率分别为和，则的值为（   ） A．1 B．3 C．2 D． 【答案】B 【解析】由题意可知，，， 椭圆的标准方程为． 设直线：，联立直线和椭圆方程， ，得 ，记，， 则， 由题意知和．则，， 则， 所以． 故选：B 3．（2024·高二·江苏·专题练习）设分别是椭圆的左、右焦点，设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】显然不满足题意， 设直线的方程为，设， ， ，解得，① ， 则， 又为锐角，则，即，， 所以 ，解得，② 由①②，解得或， 所以实数k的取值范围为. 故选：C. 4．（2024·高二·天津·阶段练习）已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当直线斜率不存在时， 由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段AB的中点在轴上， 而已知是线段AB的中点，不在轴上，不满足题意. 故直线斜率存在，可设斜率为，则直线的方程为， 即， 代入椭圆的方程化简得， 所以，解得， 故直线方程为，即. 故选：B. 5．（2024·高二·全国·课后作业）已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为.若椭圆的离心率为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】设，不妨设点是椭圆长轴的左端点， 则.因为椭圆的离心率， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立，故A正确. 故选：A. 6．（2024·广东广州·模拟预测）已知点，是椭圆上不关于长轴对称的两点，且，两点到点的距离相等，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设（），线段的中点为， 则，两式相减得， 所以， 所以， 所以， 因为，，所以， 所以， 所以，所以， 因为， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 故选：B 7．（2024·高二·上海·随堂练习）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设椭圆的标准方程为，则椭圆的面积为，又， 联立解得．所以椭圆的标准方程为． 故选：D. 8．（2024·高二·云南保山·期末）已知点是椭圆上的一点，左､右焦点分别为点，点在的平分线上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，与轴的交点为，． 由且，得①， 又， 所以，故②， 联立①②消去得：，又， 所以， 因，所以有， 所以，故， 所以， 解得离心率， 故选：C． 9．（多选题）（2024·高二·重庆·开学考试）如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为，则（    ） A．椭圆的长轴长等于4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的标准方程可以是 D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 【答案】BCD 【解析】设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径， 则由截面与圆柱底面成锐二面角，得，解得，A错误； 显然，则，离心率，B正确； 当以椭圆短轴所在直线为x轴，长轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程，C正确； 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D正确. 故选：BCD 10．（多选题）（2024·高二·广西南宁·期中）已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1 B．的最小值为 C．若为直角三角形，则的面积为 D．的范围为 【答案】ACD 【解析】对A，易知，则，故A正确； 对B，位于椭圆上顶点时最大， 此时最小，且 故此时为等边三角形，，故B错误； 对C，若为直角三角形，由B知， ， 所以或，不妨设， 则此时点横坐标，代入，得， 故的面积为：，故C正确； 对D，,设 则， 由得：， 故， 故，故D正确. 故选：ACD 11．（多选题）（2024·高二·云南昆明·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过作直线与C交于A，B两点，的周长为8．若在C外，点Q在C上，记C的离心率为e，则（    ） A．的最小值为5 B． C．存在点Q，使得 D．当时，点R在C上且满足，则有 【答案】BD 【解析】因为的周长为8，所以，即. 因为在C外，代入椭圆方程所以，所以. 对于A：， 当且仅当时，等号成立，所以，故A不正确； 对于B： 椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故B正确； 设椭圆的上顶点为，，， 由于， 因为， 当时，此时不存在使得，故C错误； 对于D: 当时,可得：此时椭圆方程为， 设直线为：， 联立，得， 设，，则，， ， ，，， 原点到直线的距离， ， 当的斜率不存在时，仍然满足上述关系， 综上，为定值.故D正确. 故选：BD 12．（2024·高二·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围是 ；当取得最大值时，椭圆的焦距为 . 【答案】 【解析】因为点是椭圆内一点，所以， 由，可得. ∵，则，知为椭圆的下焦点， 设椭圆的上焦点为，则.又， 当且仅当三点共线时等号成立，所以， 所以，所以， 故的取值范围是：. 当取得最大值25时，椭圆的方程为，故其焦距为4. 故答案为：，4. 13．（2024·高二·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，在轴上任取一点，直线与直线相交于点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由椭圆得左，右焦点分别为，， 设， 因为，所以，整理得， 又因为，联立方程组，解得，， 所以点A点坐标为， 设点坐标为，因为直线斜率不为，设直线方程为， 将，代入解得直线方程为， 再将直线与直线联立解得点坐标为， 所以， 当时，取最大值，最大值为， 故答案为： 14．（2024·高二·江苏·专题练习）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.若，为椭圆的左右顶点，直线交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，，则= 【答案】/0.25 【解析】由题意得：且，得， 所以椭圆的方程为. 由椭圆方程可知，，，设，则，其中且； 则，，则，所以为定值. 故答案为: 15．（2024·高二·全国·专题练习）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【解析】令椭圆：（）的半焦距为， 设，则，由点在轴上， ，得， 而，，因此， 即，解得， 在中，， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，而， 所以椭圆的离心率为． 故答案为：． 16．（2024·高二·江苏常州·期中）在直角坐标系中，点到点、的距离之和是，点的轨迹是 (1)求轨迹的方程； (2)设点，点P是椭圆上的一个动点，F为右焦点，求的最小值及此时点P的坐标； 【解析】（1）因为点到点、的距离之和是， 可知点M的轨迹是长轴长为，以、为焦点的椭圆， 则， 所以轨迹的方程为. （2）由（1）可知：， 设，则，即， 则， 且，则， 且点P到直线的距离为，可得， 则， 对于，令，可得，解得或（舍去）， 所以的最小值为3，此时点P的坐标为. 17．（2024·高二·江苏常州·期中）已知是椭圆的左右焦点，点是椭圆上的动点， (1)若椭圆的离心率为，且的最大值为，求椭圆的方程； (2)若为等腰直角三角形，求椭圆的离心率. 【解析】（1），． 椭圆的方程为； 设， ， , 在椭圆上， ．， ， 当，故, 椭圆的方程． （2）因为为等腰直角三角形， 当 因为 所以， 当， 因为,所以， 当， 因为,所以. 18．（2024·高二·广西南宁·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程： (2)过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率. 【解析】（1）由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，，则， 由消去得，显然， 则， 的面积 ，解得， 所以直线的斜率. 19．（2024·高二·北京延庆·期中）已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，离心率为，过点的直线与椭圆交于，（不重合）两点，坐标原点为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段的中点的横坐标为，求直线的方程； (3)若点在以线段为直径的圆上，求直线的方程. 【解析】（1）由已知得，所以. 因为，所以. 所以. 所以椭圆的标准方程为 （2）因为直线过， 当斜率不存在时，直线的方程为，与无交点. 当斜率存在时，设，即. 联立直线的方程与椭圆的方程得方程组， 消去，整理得， 由已知，即， 设，，由韦达定理可知，， 因为线段的中点横坐标为，所以，得. 于是，方程为或者. （3）因为，， 所以. 将，代入上式可得 ， 由题意可知，所以， 即， 解得，即. 方程为或者. 20．（2024·高二·重庆九龙坡·阶段练习）已知椭圆，经过点，且离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l交直线于点N，直线m与x轴交于点M，记，的面积分别为，求的最大值． 【解析】（1）由题意，， 所以，故所求椭圆方程为 （2）因为直线，所以直线过焦点， 联立，消元得， 设，则， 由可得． ， 由题意，， 当且仅当，即时等号成立，则的最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$