专题01 空间向量与立体几何23个考点（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年高二数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019选择性必修）

专题1 空间向量与立体几何（23个考点） 【选填题考点】 【考点1】空间向量基础知识点的理解 【考点2】对基底的理解 【考点3】空间向量的线性运算 【考点4】利用空间向量证明三点共线/共线向量的应用 【考点5】利用空间向量证明四点共面/共面向量的应用 【考点6】空间向量数量积的计算与应用(求模长、夹角等 【考点7】空间投影向量及其应用 【考点8】空间坐标系中点的对称问题 【考点9】空间向量的坐标运算 【考点10】向量夹角求参败的取值范围 【考点11】对方向向量和法向量的理解(利用看直或平行关系) 【考点12】利用空间向量坐标运算解决距离、夹角问题 【考点13】利用空间向量解决立体几何中的探索问题/动态问题/最值问题 【解答题考点】 【考点1】线线平行 【考点2】线面平行 【考点3】面面平行 【考点4】 线线垂直 【考点5】线面垂直 【考点6】面面垂直 【考点7】线线夹角 【考点8】线面夹角 【考点9】面面夹角 【考点10】点线距离 知识点01：空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． （2）几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 知识点02：空间向量的加减乘除法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 5.空间向量的数乘运算 （1）定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． （2）数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 知识点04：共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 2.1拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3.2空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3.3拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 知识点05：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 知识点06：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 知识点07：空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 知识点08：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. 2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作 知识点09：空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 知识点10：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 4、两点间的距离公式 已知，则 知识点11：平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 知识点12：空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 知识点13：空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 知识点14：点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 知识点15：用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 【选填题考点】 【考点1】空间向量基础知识点的理解 1．在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 2．多选题下列说法，错误的为（    ） A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同 B．若向量满足，且与同向，则 C．若两个非零向量与满足，则为相反向量 D．的充要条件是与重合，与重合 【考点2】对基底的理解 3．已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知空间的一组基，则可以与向量，构成空间的另一组基的向量是（    ） A． B． C． D． 5．多选题若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【考点3】空间向量的线性运算 6．如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ） A． B． C． D． 7．在四面体中，，D为的三等分点（靠近B点），E为的中点，则（    ） A． B． C． D． 8．在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则 【考点4】利用空间向量证明三点共线/共线向量的应用 10．已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 11．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（    ） A．-8 B．-4 C．-2 D．8 12．设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 13．已知，，三点共线，则 . 【考点5】利用空间向量证明四点共面/共面向量的应用 14．为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 15．已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 16．已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（    ） A． B． C． D． 17．已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（    ） A． B． C． D．1 18．已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【考点6】空间向量数量积的计算与应用(求模长、夹角等 19．平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 20．如图，在斜三棱柱中，，，，则（    ） A．48 B．32 C． D． 21．若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ． 22．已知 ，则 与 夹角的余弦值为 . 【考点7】空间投影向量及其应用 23．已知，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 24．向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 25．已知点，向量，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 26．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 27．如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.    28．已知空间向量，，则在方向上的投影向量为 . 【考点8】空间坐标系中点的对称问题 29．点关于点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 30．空间直角坐标系中，已知，则点关于平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 31．若，则（    ） A．10 B．8 C． D． 32．已知，则的中点关于平面的对称点的坐标是 33．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为 ． 34．已知空间向量，则 . 【考点9】空间向量的坐标运算 35．在空间直角坐标系中，已知点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【考点10】向量夹角求参数的取值范围 36．若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 38．多选题若向量与的夹角为锐角，则实数x的值可能为（    ）. A．4 B．5 C．6 D．7 【考点11】对方向向量和法向量的理解(利用垂直或平行关系) 39．已知平面，的法向量分别为，，且，则（     ） A． B．1 C． D． 40．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B． C．2 D．10 41.已知平面，其中，法向量，则下列各点中不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 42．已知空间中三点，平面的一个法向量为，则以为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【考点12】利用空间向量坐标运算解决距离、夹角问题 43．直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的夹角的余弦为（    ） A． B． C． D． 44．如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 45．在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 46．已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离（    ） A．1 B．2 C．3 D． 47．在长方体中，已知，，E为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 48．如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 49．已知，，则点B到直线AC的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 50．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则两平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 51．四棱锥中，，，，则顶点到底面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 52．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 53．在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【考点13】利用空间向量解决立体几何中的探索问题/动态问题/最值问题 54．已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足，AB是正方体的一条棱，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 55．已知空间向量，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 56．已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 57．如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解答题考点】 【考点1】线线平行 58．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点（包括端点）．求证：； 【考点2】线面平行 59．如图，四棱锥中，侧棱平面，点是的中点，底面是直角梯形，.求证：平面； 60．如图，四边形为正方形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面. 61．如图，在正方体中，，分别是，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证： 【考点3】面面平行 62．如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 【考点4】 线线垂直 63．已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．求证：； 64．在直三棱柱中，四边形是边长为3的正方形，，，点分别是棱的中点． (1)求的值； (2)求证：． 65．如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证： 【考点5】线面垂直 66．如图，在直三棱柱中，，，，.当时，求证：平面； 67．如图，在三棱台中，，平面，，，，且D为中点.求证：平面； 68．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点．若．    (1)求； (2)求证：直线平面． 69．如图，在正方体中，E，F分别是，的中点． (1)求证：； (2)求证：平面 【考点6】面面垂直 70．如图，四边形为正方形，平面，，.证明：平面平面 71．如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：    (1)平面平面； (2)平面平面. 【考点7】线线夹角 72．在正四棱柱中，，是棱 上的中点．    (1)求证：； (2)异面直线与所成角的余弦值． 73．如图，在直三棱柱中，，，棱，N为的中点.    (1)求； (2)求直线与所成角的余弦值. 【考点8】线面夹角 74．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且． (1)求证：平面BDEF； (2)求直线AD与平面ABF所成角的正弦值． 75．如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，，.      (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【考点9】面面夹角 76．如图，平面，，，，，为的中点． (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设是棱上的点，若与所成角的余弦值为，求的长． 77．如图，在四棱锥中，，，，，平面，，E，F分别是棱，的中点．    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【考点10】点线距离 78．如图，三棱柱中，，，垂直于平面． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离． 79．如图，长方体的底面是边长为3的正方形，点为棱的中点，. (1)求的长度； (2)求点D到平面的距离. 80．如图，在四棱锥中，平面，，∥，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)求A点到直线的距离. 81．如图，在多面体中，，，，平面，，，. (1)求证：直线平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1 空间向量与立体几何（23个考点） 【选填题考点】 【考点1】空间向量基础知识点的理解 【考点2】对基底的理解 【考点3】空间向量的线性运算 【考点4】利用空间向量证明三点共线/共线向量的应用 【考点5】利用空间向量证明四点共面/共面向量的应用 【考点6】空间向量数量积的计算与应用(求模长、夹角等 【考点7】空间投影向量及其应用 【考点8】空间坐标系中点的对称问题 【考点9】空间向量的坐标运算 【考点10】向量夹角求参败的取值范围 【考点11】对方向向量和法向量的理解(利用看直或平行关系) 【考点12】利用空间向量坐标运算解决距离、夹角问题 【考点13】利用空间向量解决立体几何中的探索问题/动态问题/最值问题 【解答题考点】 【考点1】线线平行 【考点2】线面平行 【考点3】面面平行 【考点4】 线线垂直 【考点5】线面垂直 【考点6】面面垂直 【考点7】线线夹角 【考点8】线面夹角 【考点9】面面夹角 【考点10】点线距离 知识点01：空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． （2）几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 知识点02：空间向量的加减乘除法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 5.空间向量的数乘运算 （1）定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． （2）数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 知识点04：共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 2.1拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3.2空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3.3拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 知识点05：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 知识点06：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 知识点07：空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 知识点08：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. 2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作 知识点09：空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 知识点10：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 4、两点间的距离公式 已知，则 知识点11：平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 知识点12：空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 知识点13：空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 知识点14：点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 知识点15：用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 【选填题考点】 【考点1】空间向量基础知识点的理解 1．在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体的特征及相反向量的概念判定即可. 【详解】    如图所示，可知是的相反向量. 故选：A 2．多选题下列说法，错误的为（    ） A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同 B．若向量满足，且与同向，则 C．若两个非零向量与满足，则为相反向量 D．的充要条件是与重合，与重合 【答案】ABD 【分析】利用向量与有向线段的区别可判定A、D，利用向量的概念可判定B，利用相反向量的定义可判定C. 【详解】向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移， 而表示向量的有向线段是起点、方向、终点都确定的， 故相等向量的起点和终点不必相同， 对应表示它们的有向线段也不必起点相同，终点也相同，即A、D错误； 向量的模长可比大小，但向量不可以，故B错误； 由相反向量的定义可知C正确. 故选：ABD. 【考点2】对基底的理解 3．已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据空间向量基底的概念，空间的一组基底，必须是不共面的三个向量求解判断. 【详解】对于A，设，即，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，设，无解， 所以不共面，能构成空间的一组基底，故B正确； 对于C，设，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：B. 4．已知空间的一组基，则可以与向量，构成空间的另一组基的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的共面充要条件与空间基底的性质逐项判断即可. 【详解】不存在实数，，使得，所以，，不共面，可以构成空间的另一组基； 因为，所以，，共面，不能构成空间的另一组基； 因为，所以，，共面，不能构成空间的另一组基； 因为，所以，，共面，不能构成空间的另一组基. 故选：A. 5．多选题若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由空间中基底的概念以及共面定理逐项分析即可. 【详解】设，所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故A正确； 设，则， 所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确； 因为， 所以是共面向量，不能构成空间的一个基底，故C错误； 因为， 所以是共面向量，不能构成空间的一个基底，故D错误． 故选：AB． 【考点3】空间向量的线性运算 6．如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量的加减和数乘运算直接求解即可. 【详解】根据题意，. 故选：A 7．在四面体中，，D为的三等分点（靠近B点），E为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意， . 故选：C. 8．在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，再根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，所以， 所以 . 故选：C 9．如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】， 故答案为：. 【考点4】利用空间向量证明三点共线/共线向量的应用 10．已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 【答案】D 【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 11．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（    ） A．-8 B．-4 C．-2 D．8 【答案】A 【分析】利用空间向量共线定理求解即可. 【详解】因为A、B、D三点共线，所以使得 又，，， 所以 则 则 解得： 故选：A. 12．设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，由三点共线，可设，利用空间向量共线的充要条件，列出方程，即可求解. 【详解】因为，， 可得， 又因为三点共线，可设，即， 因为不共线，可得，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 13．已知，，三点共线，则 . 【答案】1 【分析】，，三点共线,即，根据空间向量平行列式即可得出答案. 【详解】,, 由题得，所以，解得1， 故答案为：1. 【考点5】利用空间向量证明四点共面/共面向量的应用 14．为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 15．已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】借助空间向量的线性运算及四点共面的充要条件即可判断选项. 【详解】因为为空间任意一点，， 所以， 所以， 因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， 所以，解得． 故选：C． 16．已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间共面向量基本定理即可求解. 【详解】因为P，A，B，C四点共面，所以，所以. 故选:C． 17．已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由题知，存在，使得，进而得，再结合已知即可得答案. 【详解】解：因为满足任意三点不共线，但四点共面， 所以，根据共面向量基本定理，存在，使得， 因为，，， 所以，即， 因为， 所以，，解得 故选：B 18．已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量共面定理，结合向量运算，整理可得系数的方程组，求得参数，可得答案. 【详解】四点共面的充要条件是，，整理可得， 由，则，解得， 故选：A. 【考点6】空间向量数量积的计算与应用(求模长、夹角等 19．平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】由求解即可． 【详解】解：由题意，，， 又，， 所以，即有， 故选：A． 20．如图，在斜三棱柱中，，，，则（    ） A．48 B．32 C． D． 【答案】C 【分析】把变成，然后再根据空间向量的数量积公式及运算律直接计算即可. 【详解】 . 故选：C 21．若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ． 【答案】 【分析】先平方，结合向量的数量积公式求出，从而得到答案. 【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量， ， . 故答案为： 22．已知 ，则 与 夹角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】由空间向量的数量积公式求解即可． 【详解】， . 故答案为： 【考点7】空间投影向量及其应用 23．已知，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用向量的夹角运算及数量积运算求解投影向量. 【详解】因为，则向量在向量上的投影为， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选:C． 24．向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的概念进行运算即可求得． 【详解】由题意，，， 则向量在向量上的投影向量为． 故选：A． 25．已知点，向量，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合投影向量的公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为点，则，且， 所以， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：C 26．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 【答案】2 【分析】利用投影的定义计算然后求模即可． 【详解】空间向量在向量方向上的投影为， 所以投影的模为． 故答案为：． 27．如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.    【答案】 【分析】写出表达式，求出，即可得出向量在向量上的投影向量. 【详解】由题意， 在三棱锥中，已知平面， , ∵面， ∴， 在中，，， ∴, ， ∴向量在向量上的投影向量为： ， 故答案为：. 28．已知空间向量，，则在方向上的投影向量为 . 【答案】 【分析】首先求得与同向的单位向量，根据投影向量定义知所求为. 【详解】，与同向的单位向量， 在方向上的投影向量为. 故答案为：. 【考点8】空间坐标系中点的对称问题 29．点关于点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求点关于点的对称点，可知为点与所求点得中点，则对称点可求. 【详解】设点关于点的对称点的坐标为， 则可得解得, 所以对称点得坐标为. 故选：C. 30．空间直角坐标系中，已知，则点关于平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合空间直角坐标系中点的对称性即可求得. 【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得: 关于平面的对称点的竖坐标和纵坐标不变，横坐标相反， 即所求的坐标为. 故选：B 31．若，则（    ） A．10 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，求出、的坐标，再利用空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】因为，所以，， 则. 故选：D 32．已知，则的中点关于平面的对称点的坐标是 【答案】 【分析】先求出中点坐标，然后根据关于平面的对称点的特征即可得解. 【详解】由，得的中点坐标为， 所以的中点关于平面的对称点的坐标是. 故答案为：. 33．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标写出即可． 【详解】在空间直角坐标系中， 点关于平面的对称点的坐标为. 故答案为：. 34．已知空间向量，则 . 【答案】 【分析】根据向量运算的坐标公式，即可求解. 【详解】因为，，所以. 故答案为： 【考点9】空间向量的坐标运算 35．在空间直角坐标系中，已知点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，然后由即可求解. 【详解】设，因为， 所以，得， 所以，故B正确. 故选：B. 【考点10】向量夹角求参数的取值范围 36．若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式，结合向量共线的坐标关系求解即得. 【详解】由空间向量与的夹角为锐角，得且与不共线， 于是，解得，此时，而，即与不共线， 所以x的取值范围是. 故选：C 37．已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】向量的夹角为钝角，则，排除的情况即可. 【详解】由，得， 当时，，即，得，解得， ∴当向量的夹角为钝角时，的取值范围为． 故选：D. 38．多选题若向量与的夹角为锐角，则实数x的值可能为（    ）. A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】CD 【分析】 依题意可得且与不同向，根据数量积的坐标表示得到不等式，求解即可. 【详解】因为与的夹角为锐角， 所以，解得， 当与共线时，，解得，所以实数x的取值范围是， 经检验，选项C、D符合题意. 故选：CD 【考点11】对方向向量和法向量的理解(利用垂直或平行关系) 39．已知平面，的法向量分别为，，且，则（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据平面平行，法向量之间的关系进行求解即可. 【详解】因为，所以， 于是有， 故选：D 40．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B． C．2 D．10 【答案】B 【分析】根据线面垂直列方程，从而求得. 【详解】由于，所以， 所以，所以. 故选：B 41.已知平面，其中，法向量，则下列各点中不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直则向量数量积为0，逐个代入验证即可. 【详解】若点在平面内，则， 对于A： ，所以A选项的点不在平面内； 对于B：，满足要求，所以在平面内； 对于C：， 满足要求，所以在平面内； 对于D：，满足要求，所以在平面内， 故选：A 42．已知空间中三点，平面的一个法向量为，则以为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】运用法向量求出坐标，再求出平行四边形边长和夹角余弦值，进而求出正弦值，再用面积公式即可. 【详解】平面的一个法向量为，则，解得，故.，则， 则. 则平行四边形面积为. 故选：D. 【考点12】利用空间向量坐标运算解决距离、夹角问题 43．直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的夹角的余弦为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用直线与平面的夹角坐标公式计算可得答案． 【详解】设直线与平面的夹角为 则 直线与平面的夹角的余弦为 故选：D 44．如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，，进而求出线线角的向量公式即可求出结果. 【详解】如图，以D为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，则. 所以，又 所以.    故选：C. 45．在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，运用向量的方法求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则， 所以 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A. 46．已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】由点到平面的距离的向量法公式直接计算求解即可. 【详解】由题得. 故选：A. 47．在长方体中，已知，，E为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法，列公式求解即可； 【详解】如图，为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 ∴， 设直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为； 故选: A 48．如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：以基底，表示，代入向量夹角公式计算即可； 法二：分别以所在的直线为轴，通过向量的坐标运算计算即可； 法三：由 ，将直线和夹角即为直线和所成角或其补角，通过余弦定理即可求解. 【详解】化为空间向量问题，以作为基底，则 ， 设向量和的夹角为， 则直线和夹角的余弦值等于.进行向量运算 因为四面体为正四面体，所以且夹角均为， 所以 . 故选：C. 【法二】分别以所在的直线为轴 建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2， 得 得. 设向量和的夹角为， 则直线和夹角的余弦值等于. 进行向量运算得.. 故选：C 【法三】连接，易得 ， 则直线和夹角即为直线和所成角或其补角， 设正方体的棱长为2， 则中，， 由余弦定理得，. 故选：C 49．已知，，则点B到直线AC的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由坐标运算求出，，，进而求出，再求得在方向上的投影，然后即可求出点B到直线AC的距离. 【详解】因为，， 所以，， ， ， 所以在方向上的投影为，， 所以点B到直线AC的距离为. 故选：C. 50．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则两平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用向量的夹角公式求两个向量夹角的余弦值，再利用二面角的余弦值与两法向量夹角余弦值的关系即可得. 【详解】设两平面的夹角为，又平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以． 故选：D． 51．四棱锥中，，，，则顶点到底面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先求出平面的法向量，再根据点到面的距离的向量公式求解即可. 【详解】设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以顶点到底面的距离为. 故选：A. 52．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据题目中的垂直关系，可建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，即可求得异面直线与所成角的余弦值． 【详解】由题意可知， 三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示： 则，． ∴． ∴． 异面直线与所成角的余弦值为． 故选：C． 53．在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量法求出点到直线距离即可. 【详解】，， . 故选：A. 【考点13】利用空间向量解决立体几何中的探索问题/动态问题/最值问题 54．已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足，AB是正方体的一条棱，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量的数量积运算计算可得，即可得的轨迹，即可根据数量积的几何意义求解即可． 【详解】取的中点,, 则 ， 所以． 所以在以为球心，为半径的球面上，如图 可知在上的投影数量最小值为， 所以的最小值为， 所以的最小值为． 故选：B． 55．已知空间向量，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由空间向量的坐标表示计算，然后由柯西不等式求解即可. 【详解】因为， 所以 ， 当且仅当时等号成立，即时等号成立. 所以，所以的最小值为. 故选：B 56．已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】借助空间向量的线性运算与基本定理可得，结合消元法与二次函数的性质计算即可得. 【详解】因为， 所以，又点D在确定的平面内，是平面外任意一点， 所以，即， 则. 故选：A. 57．如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量线性运算可得，令可得，利用四点共面和基本不等式可求得的最小值，结合棱锥体积公式可求得结果. 【详解】连接， 由题意知： ； 令，则，， 四点共面，（当且仅当时取等号）， ； 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 又，， ，即的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥体积相关问题的求解，解题关键是能够结合空间向量的知识，利用四点共面得到的最小值，进而代入体积公式求解. 【解答题考点】 【考点1】线线平行 58．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点（包括端点）．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示即可得出，可得结论. 【详解】因为底面，且底面为正方形，且、底面， 所以，，两两互相垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，，，，， 则，， 有，又不在一条直线上， 所以. 【考点2】线面平行 59．如图，四棱锥中，侧棱平面，点是的中点，底面是直角梯形，.求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】以为原点，分别以、、的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，由线面平行的向量证法可得答案. 【详解】平面，以为原点，分别以、、的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ，点是的中点， ,， 则 平面，平面的一个法向量为. ， 平面， 平面. 60．如图，四边形为正方形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件建立空间直角坐标系，利用坐标结合面面垂直的判定定理证明即可. （2）利用空间向量的坐标运算可得为平面的一个法向量，又,且平面，即可证明. 【详解】（1）由题意易知两两互相垂直. 如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系.设. 依题意有, 则, 所以, ， 即, 又,平面, 故平面.又平面， 所以平面平面. （2）根据题意，有, 则, 故 又不共线，所以为平面的一个法向量. 又因为,且 即,且平面， 故有平面. 61．如图，在正方体中，，分别是，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为， 则，，，，， 所以，， 因为平面，所以为平面的一个法向量， 又，即， 又平面，所以平面.    （2）由（1）知， 所以，所以. 【考点3】面面平行 62．如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； 【详解】以D为原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 因为，即， 所以平面平面. 【考点4】 线线垂直 63．已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，说明，即可. 【详解】因为平面，， 如图以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因为，所以． 64．在直三棱柱中，四边形是边长为3的正方形，，，点分别是棱的中点． (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得. （2）利用向量法来证得. 【详解】（1）依题意可知两两相互垂直， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， . （2）因为， ， . 65．如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证： 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法证明，从而求解； 【详解】以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则由题意得，，，， ， ， ∴，即：， ∴． 【考点5】线面垂直 66．如图，在直三棱柱中，，，，.当时，求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，当时，求得的坐标，求得，得到，结合线面垂直的判定定理，即可得证； 【详解】证明：以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， 当时，，所以， 可得，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. 67．如图，在三棱台中，，平面，，，，且D为中点.求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，根据空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论. 【详解】由题意，以点为坐标原点，，,分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则， 则， 故， ， 即， 又平面， 故平面. 68．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点．若．    (1)求； (2)求证：直线平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据线性运算得到，，然后根据数量积的公式计算即可； （2）利用空间向量的方法得到，，然后根据线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）   由题意得，， 所以 ， ， ， 所以. （2），，， 因为， ， 所以，， 因为，平面， 所以平面. 69．如图，在正方体中，E，F分别是，的中点． (1)求证：； (2)求证：平面 【答案】(1)见解析； (2)见解析. 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究空间位置关系即可. 【详解】（1） 如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为2， 则，所以， 有； （2）由（1）知，设平面的一个法向量为， 则， 令，即， 又，显然， 故平面. 【考点6】面面垂直 70．如图，四边形为正方形，平面，，.证明：平面平面 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量证明线线垂直，即可由线面垂直求证面面垂直. 【详解】由题意易知两两互相垂直. 如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系.设. 依题意有， 则， 所以， ， 即， 又，平面， 故平面.又平面， 所以平面平面. 71．如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：    (1)平面平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用空间向量法证明线面垂直证明面面垂直； （2）利用空间向量法证明平面，再根据线面垂直的性质得到面面平行； 【详解】（1）证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.    则，，，，，. 设，则，，. 因为，，， 所以，. 所以，，即，. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）因为，，， 所以，. 所以，. 因为平面，所以平面. 又由（1）知平面，所以平面平面. 【考点7】线线夹角 72．在正四棱柱中，，是棱 上的中点．    (1)求证：； (2)异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直； （2）在第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值． 【详解】（1）证明：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， ， ， 所以；    （2）， 设异面直线与所成角的大小为， 则， 故异面直线AM与BC所成角的余弦值为． 73．如图，在直三棱柱中，，，棱，N为的中点.    (1)求； (2)求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)-1 (2) 【分析】（1）根据线性运算得到，，然后根据数量积的运算律计算即可； （2）利用数量积的运算律得到，然后求夹角的余弦值即可. 【详解】（1）因为，，所以， . （2） ， 因为为直棱柱，所以，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 所则. 【考点8】线面夹角 74．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且． (1)求证：平面BDEF； (2)求直线AD与平面ABF所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合菱形性质，利用线面垂直的判定定理求解即可； （2）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求线面角即可. 【详解】（1）设AC与BD相交于点O，连接FO， ∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD， 且O为AC中点，，， 又，平面BDEF，∴平面BDEF． （2）连接DF，∵四边形BDEF为菱形，且， 为等边三角形， ∵O为BD中点，∴，又，平面ABCD， 平面ABCD．故OA，OB，OF两两垂直， ∴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示， 设，∵四边形ABCD为菱形，，． 为等边三角形，∴． ， ∴，， 设平面ABF的法向量为，则 令，解得， 设AD与平面ABF所成角为，则AD与平面ABF所成角的正弦值为：． 75．如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，，.      (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1） 根据，证得平面； （2）建立空间直角坐标系，平面的一个法向量为，，用空间向量求解直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）在三棱柱中，因为平面，平面，所以. 又分别为的中点，则 ，所以. 因为为中点，所以. 又，平面，平面， 所以平面. （2）由（1）知，. 又平面，所以平面. 因为平面，所以， 所以两两垂直. 如图，建立空间直角坐标系，    则， 所以 . 设平面的一个法向量为， 则即 令，则.于是. 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【考点9】面面夹角 76．如图，平面，，，，，为的中点． (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设是棱上的点，若与所成角的余弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立坐标系，利用，即可证明； （2）分别求得平面与平面的法向量，利用法向量即可求解； （3）设，借助，求得值，即可求解. 【详解】（1）证明：因为平面，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 由已知可得，，，，， 因为为的中点，所以， 所以，， 所以， 所以， 所以. （2），， 设平面的法向量，则 ，即，令得， 所以． 平面的法向量， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）设且（）， ，则，，， 所以，所以，， 所以， 化简得， 解得或（舍）， 因为，所以． 77．如图，在四棱锥中，，，，，平面，，E，F分别是棱，的中点．    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由中位线易证明四边形是平行四边形，进而得到，进而得到平面； （2）由题易知，，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，计算得解. 【详解】（1）如图，连接，因为分别为的中点，    所以，， 又，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，则， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面， 所以，， 又，是平面内两条相交直线， 平面，又平面， ， 所以两两互相垂直， 以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．    则，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，， ， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，， ， 设二面角的平面角为， ，则. 所以二面角的正弦值为. 【考点10】点线距离 78．如图，三棱柱中，，，垂直于平面． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值，即可得解； （2）求出平面的法向量，由距离公式计算可得. 【详解】（1）因为，垂直于平面，如建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为，则， 又，所以，即异面直线与所成角为； （2）因为，，， 设平面的法向量为，则，取， 则点到平面的距离. 79．如图，长方体的底面是边长为3的正方形，点为棱的中点，. (1)求的长度； (2)求点D到平面的距离. 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，则，利用空间向量垂直的坐标表示列式求解即可； （2）先求出平面的法向量，再利用空间点到面距离公式进行求解即可. 【详解】（1）如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设，由已知可得， 所以， 因为，所以，解得， 所以.即的长度为6. （2）设平面的法向量为，且， 则有，即，令得， 又， 所以点D到平面的距离. 80．如图，在四棱锥中，平面，，∥，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)求A点到直线的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）取中点，可得四边形为平行四边形，从而，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）建系标点，求出平面BDM的法向量，易知为平面PDM的一个法向量，利用向量夹角公式求解可得答案. （3）利用空间向量求得，即可得，进而可得结果. 【详解】（1）取中点，连接，． 在中，，分别为，的中点，则，， 因为 ，，则，， 可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面PAD． （2）因为平面，，平面ABCD， 则，，且， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 取CD的中点，连接BE， 因为 ，，则，， 又因为，所以四边形ABED为矩形， 且，可知四边形ABED是以边长为2的正方形， 则，，，，，， 可得，，， 设平面BDM的法向量为，所以， 令，则，．所以平面BDM的一个法向量为， 易知为平面PDM的一个法向量， 所以， 所以平面和平面夹角的余弦值为. （3）由（2）可知：， 则， 即，可知为锐角， 则， 所以A点到直线的距离为. 81．如图，在多面体中，，，，平面，，，. (1)求证：直线平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据，即可得证 （2）分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解值； （3）设点到平面的距离为，利用点到平面的向量公式即可求解. 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以 ， 所以，，两两垂直， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示 的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量，则，令， 得， 所以，则， 又因为平面 所以直线平面. （2）由，得，， 设平面的法向量为，则，令 得， 所以 则平面与平面夹角的余弦值为 （3）由于，平面的法向量， 设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$