拓展2-1 对称及线段和差的最值-2024-2025学年高二第一学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

拓展2-1 对称及线段和差问题 一、直线关于点对称 四、线段和的最值 二、点关于直线对称 五、线段差的最值 三、直线关于直线对称 一、直线关于点对称 方法点拨：方法一：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在l上找两个特殊点，求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程 方法二：求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等 1．直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（  ） A． B． C． D． 3．直线关于点对称的直线方程为 ． 4．已知的三个顶点是，，． (1)过点的直线与边相交于点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程． 5．已知直线和点 (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于点对称的直线方程. 6．已知直线l ：， P（3，-1），当k为1时，求直线l关于点P的对称直线l′，并求直线l与l′间的距离 7．已知直线经过两条直线和的交点，且________，若直线与直线关于点对称，求直线的方程．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分．①与直线垂直；②在轴上的截距为． 二、点关于直线对称 方法点拨：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 8．已知：，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）.则斜率的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 9．（多选）已知直线，点，则（    ） A．过点A与l平行的直线的方程为 B．点A关于对称的点的坐标为 C．点A到直线l的距离为 D．过点A与l垂直的直线的方程为 10．三角形ABC点，角B、角C的角平分线分别与直线和重合，则BC所在直线方程 ． 11．已知直线与直线交于点A，则点A关于直线的对称点坐标是 . 12．直线：，直线的一个方向向量的坐标为，直线：与直线垂直 (1)求a，b的值； (2)已知点，求点关于直线对称的点的坐标． 13．已知直线过点． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程 (2)若已知直线，点关于直线的对称点的坐标． 14．已知直线． (1)若经过两点的直线与直线垂直，求此时直线的斜率； (2)时，若点关于直线的对称点为点，求线段的长度． 三、直线关于直线对称 方法点拨：求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点；第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点；第三步：利用两点式写出方程 15．直线关于轴对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 16．设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 17．设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 18．（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线与相交于点 B．直线和轴围成的三角形的面积为 C．直线关于原点O对称的直线方程为 D．直线关于直线对称的直线方程为 19．已知直线，它关于直线对称的直线方程为 . 20．已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．条件①：点关于直线的对称点的坐标为；条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直；条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． (1)求直线的方程； (2)求直线：关于直线的对称直线的方程． 21．在中，，角的角平分线方程为边上的高线方程为. (1)求所在直线方程； (2)求所在直线方程. 四、线段和的最值 方法点拨：定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短 22．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 23．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 24．已知直线：恒过点A，已知，动点P在直线：上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 25．在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是 . 26．已知，，动点在直线上． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 27．已知点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，点P在直线上运动，则的最小值为 . 28．已知直线l：，一条光线经直线的定点T射入，先后被x轴、反射回T点，求光线在这个过程中走过的路程为 ． 五、线段差的最值 方法点拨：定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短. 29．已知实数满足，则的最大值为 ． 30．已知实数满足，则的最大值是 ． 31．在平面直角坐标系中，已知，点是直线上一动点，则的最大值为 . 32．已知点，，直线，点P为直线l上一点，则的最大值为 ． 33．在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． ①与直线垂直；②过点；③与直线平行． 问题：已知直线l过点，且__________． (1)求直线l的一般式方程； (2)已知，O为坐标原点，在直线l上求点N坐标，使得最大． 34．在平面直角坐标系中，点，，直线. (1)在直线上找一点使得最小，并求这个最小值和点的坐标； (2)在直线上找一点使得最大，并求这个最大值和点的坐标. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展2-1 对称及线段和差问题 一、直线关于点对称 四、线段和的最值 二、点关于直线对称 五、线段差的最值 三、直线关于直线对称 一、直线关于点对称 方法点拨：方法一：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在l上找两个特殊点，求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程 方法二：求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等 1．直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为和关于点对称，则两直线平行，可设方程为（）， 点P到两直线的距离相等，则，解得或3（舍去）， 所以直线的方程是. 故选：A. 2．点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，关于对称的点必在上，若该点为， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C 3．直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【详解】在对称直线上任取一点,设关于点对称的点为，由于在直线上，所以，即， 故答案为： 4．已知的三个顶点是，，． (1)过点的直线与边相交于点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设则， 因为的面积是面积的3倍，所以， 则解得 故直线的方程为，即 （2）显然，的斜率存在且不为零，设的方程为， 则过点且与垂直的直线的方程为 设点关于直线对称的点为， 因为直线的方程为， 所以 整理得 因为，所以，解得或 又，，所以， 故直线的方程为，即 5．已知直线和点 (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于点对称的直线方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. （2）在对称直线上任取一点，设关于点的对称点为， 则，解得， 由于在直线上，则，即， 故直线关于点的对称直线的方程为. 6．已知直线l ：， P（3，-1），当k为1时，求直线l关于点P的对称直线l′，并求直线l与l′间的距离 【答案】直线的方程为；直线与间的距离为. 【详解】当时,直线， 在直线上取点和， 点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 则点和点在直线上， 由两点式可得直线的方程：，即， 此时直线与间的距离为. 7．已知直线经过两条直线和的交点，且________，若直线与直线关于点对称，求直线的方程．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分．①与直线垂直；②在轴上的截距为． 【答案】选①，；选②，. 【详解】因为方程组的解为， 所以两条直线和的交点坐标为． 若选①，可设直线l的方程为， 点代入方程可得，即l：． 在直线l上取两点和， 点关于点对称的点的坐标为， 点关于点对称的点的坐标为（0，0）， 所以直线m的方程为． 若选②，可得直线l的斜率， 所以直线l的方程为． 在直线l上取两点和，点关于点对称的点的坐标为， 点关于点对称的点的坐标为， 所以直线m的方程为，即． 二、点关于直线对称 方法点拨：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 8．已知：，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）.则斜率的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，，， ∴直线方程为，直线方程为， 如图，作关于的对称点， ∵，∴，再作关于的对称点，则， 连接､交与点，则直线ME方程为，∴， 连接､分别交为点､， 则直线方程为，直线方程为， ∴，. 连接，，则，之间即为点的变动范围.    ∵直线方程为，直线FH的斜率为， ∴斜率的范围为. 故选：D. 9．（多选）已知直线，点，则（    ） A．过点A与l平行的直线的方程为 B．点A关于对称的点的坐标为 C．点A到直线l的距离为 D．过点A与l垂直的直线的方程为 【答案】ACD 【详解】与直线平行的直线方程可设为，代入点坐标得，即，即平行线方程为，A正确； 关于的对称点坐标为，B错； 到直线的距离为，C正确； 与直线垂直的直线方程可设为，代入点坐标得，，直线方程即为，D正确． 故选：ACD． 10．三角形ABC点，角B、角C的角平分线分别与直线和重合，则BC所在直线方程 ． 【答案】 【详解】解：设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 同理求得关于直线的对称点为点， 所以直线BC的斜率为， 所以直线BC的方程为；，即， 故答案为： 11．已知直线与直线交于点A，则点A关于直线的对称点坐标是 . 【答案】 【详解】因为直线与直线交于点A， 所以联立，解得，即. 设点关于直线的对称点坐标为， 则的中点坐标为，， 故，解得，即点A关于直线的对称点坐标是. 故答案为：. 12．直线：，直线的一个方向向量的坐标为，直线：与直线垂直 (1)求a，b的值； (2)已知点，求点关于直线对称的点的坐标． 【答案】(1)，. (2). 【详解】（1）因为直线：的一个方向向量的坐标为， 所以， 又因为直线：与直线垂直， 所以. 所以，. （2）由（1）知直线：即， 设点关于直线对称的点， 则直线的斜率为， 线段的中点为， 代入直线方程得， 联立， 所以点的坐标为. 13．已知直线过点． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程 (2)若已知直线，点关于直线的对称点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）直线与直线垂直，则， 故直线的方程为，即 （2）设点关于直线的对称点的坐标为， 则，解得，故对称点坐标为. 14．已知直线． (1)若经过两点的直线与直线垂直，求此时直线的斜率； (2)时，若点关于直线的对称点为点，求线段的长度． 【答案】(1) (2)5 【详解】（1）由得， 由于，所以， （2）当时， 设点关于直线的对称点为点，则 ，解得, 故，所以 三、直线关于直线对称 方法点拨：求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点；第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点；第三步：利用两点式写出方程 15．直线关于轴对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设是所求直线上任意一点， 则关于轴对称的点为，且在直线上， 代入可得，即. 故选：C. 16．设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设所求直线上任一点，关于直线的对称点， 则，解得， ∵点在直线上，即， ∴，化简得，即为所求直线方程. 故选：B. 17．设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】联立，得， 取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：， 直线的斜率，所以直线的方程为， 整理为：. 故选：A 18．（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线与相交于点 B．直线和轴围成的三角形的面积为 C．直线关于原点O对称的直线方程为 D．直线关于直线对称的直线方程为 【答案】AC 【详解】由解得，所以交点坐标为，A选项正确. 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 直线过原点，由图可知，直线和轴围成的三角形的面积为， 所以B选项错误. 由上述分析可知，直线关于原点O对称的直线过点， 所以直线关于原点O对称的直线方程为， 所以C选项正确. 点关于直线的对称点是； 点关于直线的对称点是， 所以直线关于直线对称的直线方程为， 即，所以D选项错误. 故选：AC 19．已知直线，它关于直线对称的直线方程为 . 【答案】 【详解】设对称的直线方程的点为，对称点为， 直线斜率为1， 则有，消去得， 故答案为： 20．已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．条件①：点关于直线的对称点的坐标为；条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直；条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． (1)求直线的方程； (2)求直线：关于直线的对称直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）选择条件： 因为点关于直线的对称点的坐标为， 所以是线段的垂直平分线，线段的中点坐标为． 因为， 所以直线的斜率为. 所以直线的方程为，即． 选择条件： 因为，直线与直线垂直， 所以直线的斜率为. 又因为直线过点， 所以直线的方程为，即． 选择条件， 因为，直线与直线平行， 所以直线的斜率为. 又因为直线过点， 所以直线的方程为，即． （2）联立方程组，解得， 故，的交点坐标为， 设关于：对称的点为. 则，解得. 因为在直线：上， 所以直线关于直线对称的直线经过点，，代入两点式方程得，即， 所以：关于直线的对称直线的方程为． 21．在中，，角的角平分线方程为边上的高线方程为. (1)求所在直线方程； (2)求所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为边上的高线方程为， 则直线的斜率，所以直线的斜率， 所以所在直线方程为， 即. （2）将代入得，所以， 所以直线的斜率 因为角的角平分线方程为，所以直线与直线斜率互为相反数, 即， 所以所在直线方程为， 则所在直线方程. 四、线段和的最值 方法点拨：定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短 22．已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点为直线上的动点， 由， 则其几何意义为与的距离和与的距离之和， 设点， 则点关于直线的对称点为点， 故，且， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 23．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设点关于直线的对称点为，与直线交于，且设饮马处为，    由轴对称性质得，，， 解得，，故， 即与重合时，将军饮马的总路程最短， 则最短路程为. 故选：C 24．已知直线：恒过点A，已知，动点P在直线：上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由化简得， 所以， 如下图所示：    由图形可知，点A、B在直线的同侧， 且直线的斜率为1， 设点B关于直线的对称点为点， 则，解得，，即点， 由对称性可知， 故选：D 25．在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是 . 【答案】4 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 所以的最小值是4， 故答案为：4 26．已知，，动点在直线上． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设关于直线：对称点坐标为， 则，得，即， ， 所以的最小值为． （2）设点坐标为， 则 因为点在直线上， 所以， 所以， ， 所以的最小值为． 27．已知点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，点P在直线上运动，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 圆的圆心，半径， 则， 即， 设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为，则，当且仅当A，B，P三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 28．已知直线l：，一条光线经直线的定点T射入，先后被x轴、反射回T点，求光线在这个过程中走过的路程为 ． 【答案】 【详解】直线l：即为， 令可得 所以直线过定点， 因为一条光线经定点T射入，先后被x轴、x+y=0反射回T点， 如图所示： T关于轴的对称点为, T关于的对称点为, 则解得 可得， 则， 故答案为：． 五、线段差的最值 方法点拨：定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短. 29．已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由题可知，表示的是 直线0上一点到定点的距离之差． 如图，设点关于直线对称的点为， 则，解得， 当三点共线时，最大， 即最大，最大值为， 所以的最大值为． 故答案为：． 30．已知实数满足，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】 表示直线上的点到点与的距离之差， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 则， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最大值为.    故答案为：. 31．在平面直角坐标系中，已知，点是直线上一动点，则的最大值为 . 【答案】 【详解】设点关于的对称点，则,    则， 当且仅当三点共线时等号成立. 故答案为： 32．已知点，，直线，点P为直线l上一点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】如图，作B关于l的对称点，设， 则，解得， 所以． 因为与B关于l对称，所以， 所以， 当且仅当P为与l的交点时取等号． 所以的最大值为， 故答案为： 33．在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． ①与直线垂直；②过点；③与直线平行． 问题：已知直线l过点，且__________． (1)求直线l的一般式方程； (2)已知，O为坐标原点，在直线l上求点N坐标，使得最大． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）选择①与直线垂直， 则直线的斜率，解得，又其过点， 则直线的方程为：，整理得：； 选择②过点，又直线过点 则直线的斜率， 则直线的方程为：，整理得：； 选择③与直线平行， 则直线的斜率，又其过点， 则直线的方程为：，整理得：； 综上所述，不论选择哪个条件，直线的方程均为：. （2）根据（1）中所求，可得直线的方程为：，又， 设点关于直线的对称点为， 则，且，解得，即； 根据题意，作图如下： 显然，但且仅当三点共线时取得等号； 又直线的斜率，故其方程为：，即， 联立，可得， 即点的坐标为时，使得最大. 34．在平面直角坐标系中，点，，直线. (1)在直线上找一点使得最小，并求这个最小值和点的坐标； (2)在直线上找一点使得最大，并求这个最大值和点的坐标. 【答案】(1)最小值为， (2)最大值为， 【详解】（1）解：设点关于的对称点为，则， 解得，即，所以直线的方程为，即. 当为直线与直线的交点时，最小. 由，解得，所以， 从而的最小值为. （2）解：由题意知直线的方程为，即. 当为直线与直线的交点时，最大. 由，解得，所以， 从而的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$