1.1.2空间向量的数量积导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.2空间向量的数量积运算 姓名: 班级 : 日期: 月 日 一:学习目标 1. 理解空间向量两个向量夹角的定义 2. 掌握空间向量数量积公式及其应用 3. 能运用数量积解决夹角和距离问题 二:思维框架 三:自学预习 1. 空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角 记作 〈a,b〉 范围 〈a,b〉∈[0,].当〈a,b〉=时,ab 2. 空间向量的数量积 (1) 定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|叫做a,b的数量积,记作a b。 (2) 向量数量积的运算律 数乘向量与向量数量积的结合律 (a) b=a b),∈R 交换律 a b=b a 分别律 a (b+c)=a b+a c 3. 数量积的性质 (1) 若两个非零向量a,b,则ab a b =0 (2) 若a与b同向,则a b =|a||b|; 若反向,则a b = —|a||b|; 特别地,a a = 或|a|= (3) 若 为a b的夹角,则cos = (4) |a b|≤|a| |b| 4. 投影向量 (1) 如图(1),在空间,在向量a向向量b投影,可以先将它们平移到同一平面 内,进而利用平面向量上的投影,得到与向量b共线的向量c,c=|a| 向量c称为向量a在向量b上的投影向量,类似地,可以将向量a向向量l上投影(如图2) (2) 如图(3),向量a向平面 投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面 的垂线,垂足分别为A',B',得到,向量称为向量a在平面 上的投影向量,这时,向量a,的夹角就是向量所在直线与平面 的夹角。 四:课堂探究 探究一:空间向量数量积的运算 例1:如图,在平行六面体中ABCD—A'B'C'D'中,AB=5,AD=3,AA'=7,∠BAD=60 ,∠BAA'=∠DAA'=45 ,求 (1) ; (2) AC' 的长(精确到0.1). 探究二:利用数量积求夹角 例2 在正三棱柱ABC—A'B'C'中,若AB= BB',则AB与BC'所成夹角为多少? 探究三:利用数量积证明垂直问题O 例3 在四面体OABC中,OA⊥BC,OB⊥AC,求证OC⊥AB A C B 五:课堂归纳 1. 空间向量的夹角概念 2. 空间向量的数量积的概念,性质和运算律 3. 由平面向量数量积得出空间向量数量积的定义及性质 六:课程收获 你收获了什么! 七:作业布置 课本18页,练习1,2,3 学科网(北京)股份有限公司 $$