专题1.17 一元二次方程（中考真题11大考点分类专题）（考点梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.17 一元二次方程（中考真题11大考点分类专题）（考点梳理与题型分类讲解） 第一部分【考点目录】 中考真题有着很多其他复习资料不能比拟的特点，历年真题充分体现该题命题思路和意图，通过分析题目的关键要点，了解相关内容的意义，学会从命题者的角度分析问题，寻找切入点，培养题感。运用好真题可以获得事半功倍的效果，本专题汇集了近三年来本章节的考点，供大家参考使用. 考点目录 一、选择题与填空题 【考点1】求代数式的值（3个题）...........................................1; 【考点2】配方法及其应用（3个题）.........................................2; 【考点3】因式分解法及其应用（4个题）.....................................2; 【考点4】直接开平方法及其应用（4个题）...................................2; 【考点5】根的判别式及应用（3个题）.......................................3; 【考点6】根与系数关系（3个题）...........................................4; 【考点7】一元二次方程的实际应用（4个题）.................................4; 2、 解答题 【考点8】解一元二次方程（4个题）.........................................5; 【考点9】利用根的判断式求值或证明（4个题）...............................5; 【考点10】根与系数关系与根的判别式综合（4个题）..........................5; 【考点11】一元二次方程的实际应用（4个题）................................6. 第二部分【考点展示与方法点拨】 一、选择题与填空题 【考点1】求代数式的值 【1-1】（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【1-2】（2023·四川内江·中考真题）已知a、b是方程的两根，则 ． 【1-3】（2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程的根，则 ． 【考点2】配方法及其应用 【2-2】（2023·江苏连云港·中考真题）若（为实数），则的最小值为 ． 【2-3】（2022·四川雅安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．9 【考点3】因式分解法及其应用 【3-1】（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【3-2】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【3-3】（2023·江苏扬州·中考真题）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为 ．    【3-4】（2023·上海·中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 【考点4】直接开平方法及其应用 【4-1】（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【4-2】（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【4-3】（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 【4-4】（2023·四川巴中·中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 1                        1   1                      1   2   1                    1   3   3   1                  当代数式的值为1时，则x的值为（    ） A．2 B． C．2或4 D．2或 【考点5】根的判别式及应用 【5-1】（2024·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 【5-2】（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【5-3】（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ． 【考点6】根与系数关系 【6-1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 【6-2】（2024·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 【6-3】（2023·四川泸州·中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 【考点7】一元二次方程的实际应用 【7-1】（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（    ） A． B． C． D． 【7-2】（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【7-3】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B．或 C． D． 【7-4】（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 二、解答题 【考点8】解一元二次方程 【8-1】（2024·江苏无锡·中考真题） （1）解方程：； （2）解不等式组： 【8-2】（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； (2）化简：． 【8-3】（2023·四川凉山·中考真题）解方程：． 【考点9】利用根的判别式求值或证明 【9-1】（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 【9-2】（2022·广东广州·中考真题）已知T= （1）化简T； （2）若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值． 【考点10】根与系数关系与根的判别式综合（4个题） 【10-1】（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． （1）填空：________，________； （2）求，； （3）已知，求的值． 【10-2】（2023·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 【10-3】（2022·湖北随州·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【考点11】一元二次方程的实际应用 【11-1】．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 【11-2】（2023·辽宁大连·中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率． 【11-3】（2023·江苏·中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.17 一元二次方程（中考真题11大考点分类专题）（考点梳理与题型分类讲解） 第一部分【考点目录】 中考真题有着很多其他复习资料不能比拟的特点，历年真题充分体现该题命题思路和意图，通过分析题目的关键要点，了解相关内容的意义，学会从命题者的角度分析问题，寻找切入点，培养题感。运用好真题可以获得事半功倍的效果，本专题汇集了近三年来本章节的考点，供大家参考使用. 考点目录 一、选择题与填空题 【考点1】求代数式的值（3个题）...........................................1; 【考点2】配方法及其应用（3个题）.........................................3; 【考点3】因式分解法及其应用（4个题）.....................................4; 【考点4】直接开平方法及其应用（4个题）...................................6; 【考点5】根的判别式及应用（3个题）.......................................9; 【考点6】根与系数关系（3个题）..........................................10; 【考点7】一元二次方程的实际应用（4个题）................................12; 2、 解答题 【考点8】解一元二次方程（4个题）........................................13; 【考点9】利用根的判断式求值或证明（4个题）..............................15; 【考点10】根与系数关系与根的判别式综合（4个题）.........................16; 【考点11】一元二次方程的实际应用（4个题）...............................19 第二部分【考点展示与方法点拨】 一、选择题与填空题 【考点1】求代数式的值 【1-1】（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可． 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则 ∴ 故答案为：7 【1-2】（2023·四川内江·中考真题）已知a、b是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解． 解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键． 【1-3】（2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程的根，则 ． 【答案】6 【分析】由m是方程的根，可得，把化为，再通分变形即可． 解：∵m是方程的根， ∴，即， ∴ ； 【点拨】本题考查的是一元二次方程的解的含义，分式的化简求值，准确的把原分式变形，再求值是解本题的关键． 【考点2】配方法及其应用 【2-1】（2022·湖北荆州·中考真题）一元二次方程配方为，则k的值是 ． 【答案】１ 【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 解： ∴ 故答案为：1． 【点拨】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 【2-2】（2023·江苏连云港·中考真题）若（为实数），则的最小值为 ． 【答案】 【分析】运用配方法将变形为，然后根据非负数的性质求出的最小值即可． 解： = = = ∵为实数， ∴ ∴的最小值为, 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程 中不要改变式子的值． 【2-3】（2022·四川雅安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．9 【答案】C 【分析】先移项把方程化为再配方可得结合已知条件构建关于c的一元一次方程，从而可得答案． 解：x2+6x+c＝0， 移项得： 配方得： 而（x+3）2＝2c， 解得： 故选C 【点拨】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键． 【考点3】因式分解法及其应用 【3-1】（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 解∶， ∴， ∴或， ∴，， 故选∶B． 【3-2】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 【3-3】（2023·江苏扬州·中考真题）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为 ．    【答案】96 【分析】由题意知，，由，可得，计算求出满足要求的，然后求，根据每个直角三角形的面积为，计算求解即可． 解：由题意知，， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故答案为：96． 【点拨】本题考查了勾股定理．解题的关键在于对勾股定理的熟练掌握与灵活运用． 【3-4】（2023·上海·中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案. 解：设，则原方程可变形为， 即； 故选：D. 【点拨】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程. 【考点4】直接开平方法及其应用 【4-1】（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 【4-2】（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 【4-3】（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 解：∵， 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 【4-4】（2023·四川巴中·中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 1                        1   1                      1   2   1                    1   3   3   1                  当代数式的值为1时，则x的值为（    ） A．2 B． C．2或4 D．2或 【答案】C 【分析】由规律可得：，令，，可得，再解方程即可． 解：由规律可得：， 令，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 故选：C． 【点拨】本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活的应用规律解题是关键． 【考点5】根的判别式及应用 【5-1】（2024·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 【答案】C 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 解：∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 【5-2】（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置． 解：∵方程无实数根， ∴， 解得：，则函数的图象过二，四象限， 而函数的图象过一，三象限， ∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0， 故选：A． 【5-3】（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可． 解∶∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴当k取0时，方程有两个不相等的实数根． 故答案为：0（答案不唯一）． 【考点6】根与系数关系 【6-1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． 【6-2】（2024·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，，然后把化简为然后整体代入即可． 解：方程的两根分别为，， ，， ． 故答案为：． 【6-3】（2023·四川泸州·中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案． 解：设方程的两根分别为a，b， ∴， ∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11， ∴，即， ∵菱形对角线垂直且互相平分， ∴该菱形的边长为 ，故C正确． 故选：C． 【点拨】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键． 【考点7】一元二次方程的实际应用 【7-1】（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷，则2023年平均每公顷产，根据题意列出一元二次方程即可． 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产， 则2023年平均每公顷产， 根据题意有：， 故选：A． 【7-2】（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程． 解：甲种药品成本的年平均下降率为， 根据题意可得， 故选：B． 【7-3】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可． 解：设矩形场地垂直于墙一边长为， 则平行于墙的一边的长为， 由题意得， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长为； 当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意； ∴该矩形场地长为米， 故选C． 【7-4】（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程，利用公式法求解即可． 解：由题意得：， 解得：或（舍） 二、解答题 【考点8】解一元二次方程 【8-1】（2024·江苏无锡·中考真题） （1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组． （1）先移项，再用直接开平方法即可求解； （2）先分别求解两个不等式，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”即可写出不等式组的解集． 解：（1）， ， 或， 解得：． （2）解：， 由①可得：， 由②可得：， ∴原不等式组的解集为． 【8-2】（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； (2）化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 解：（1）∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； （2）∵， ∴ ； 【8-3】（2023·四川凉山·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 解： 方程两边同乘， 得， 整理得，， ∴， 解得：，， 检验：当时，，是增根， 当时，， 原方程的解为． 【点拨】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键． 【考点9】利用根的判别式求值或证明 【9-1】（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 【答案】(1)； (2). 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 解：（1）∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； （2） ∵， ∴ ； 【9-2】（2022·广东广州·中考真题）已知T= （1）化简T； （2）若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值． 【答案】(1)； (2)T=. 【分析】(1)根据整式的四则运算法则化简即可； (2)由方程有两个相等的实数根得到判别式△=4a²-4(-ab+1)=0即可得到，整体代入即可求解． 解：（1）T= =； （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 则T=． 【点拨】本题考查了整式的四则运算法则、一元二次方程的实数根的判别、整体思想，属于基础题，熟练掌握运算法则及一元二次方程的根的判别式是解题的关键． 【考点10】根与系数关系与根的判别式综合（4个题） 【10-1】（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． （1）填空：________，________； （2）求，； （3）已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)，；(3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 解：（1）由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 【10-2】（2023·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析; (2)或． 【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案． 解：（1）证明：关于的一元二次方程， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴不论为何值，方程总有实数根； （2）∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理，得，解得，， ∴m的值为或． 【点拨】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 【10-3】（2022·湖北随州·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】(1); (2)2 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得； （2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得，再结合（1）的结论即可得． 解：（1）关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式， 解得． （2）由题意得：， 解得或， 由（1）已得：， 则的值为2． 【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键． 【考点11】一元二次方程的实际应用 【11-1】．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 【答案】(1)；(2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析。 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 解：（1）设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 【11-2】（2023·辽宁大连·中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率． 【答案】 【分析】设年买书资金的平均增长率为，根据2022年买书资金2020年买书资金建立方程，解方程即可得． 解：设年买书资金的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：年买书资金的平均增长率为． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 【11-3】（2023·江苏·中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？    【答案】 【分析】设页边距为，根据题意找出等量关系列方程，解方程即可解题． 解：设页边距为 则列方程为：， 解得：，（舍去）， 答：页边距为． 【点拨】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系列方程式解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$