4.1 一元二次方程（教学课件）数学青岛版九年级上册

4.1 一元二次方程 青岛版九年级上册第4章——一元二次方程 学习目标： 1.理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程.知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，能写出一般形式中一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。 2.理解一元二次方程解的概念，会对一元二次方程的解进行估算。 重点： 理解并应用一元二次方程相关概念解决问题。 难点： 一元二次方程相关概念的应用. 没有未知数 1.下列式子哪些是方程？ 2+6=8 2x+3 5x+6=22 x+3y=8 x-5＜18 代数式 一元一次方程 二元一次方程 不等式 分式方程 -12=0 一、课堂导入 1.什么叫方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程. 2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程. 设这个教室的宽为xm，则它的长为（2x-3）m, 根据问题中的等量关系： 长x宽=矩形的面积， 可以得到方程为： 问题1 教室的面积为54m2，长比宽的2倍少3m，如果要求求出教室的长和宽，怎样根据问题中的数量关系列出方程？ X(2x-3)=54 二、探究新知 问题２ 直角三角形斜边的长为11m，两条直角边的差为7m，如果要求出两条直角边的长，怎样根据问题中的数量关系列出方程？ x 2 + (x+7) 2=112 设较短直角边的长为xcm，由两条直角边的差为7cm可知，较长直角边的长是（x+7）cm。 根据问题中的等量关系： 两条直角边的平方和=斜边的平方 可以得到方程： 设AB=1，AC=x，由AC+CB=AB可知，CB的长为（1-x）， 根据问题中的等量关系=， 可以得到方程: 问题３ 如图，点C是线段AB上的一点，且。 如果要求值，怎样根据问题中的数量关系列出方程? x2 =1-x 问题4 由上面的三个问题，分别得到了下面的方程： ①：2x2 -3x-54=0 ②：x2 +7x-36=0 ③：x2 +x-1=0 ①：X(2x-3)=54 ②：x 2 + (x+7) 2=112 ③：x2 =1-x 将它们分别进行整理得： 观察与思考 方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2. ①：2x2 -3x-54=0 ；②：x2 +7x-36=0；③：x2 +x-1=0 归纳： （1）方程的两边都是整式，它们都只含有一个未知数（一元），并且整理后未知数的最高次数都是2（二次），像这样的方程叫做一元二次方程。 （2）一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式 ： 这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 其中：ax2 称为二次项,a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数. c 称为常数项. 下列方程哪些是一元二次方程? 为什么？ (2)2x2－5xy＋6y＝0 (5)x2＋2x－3＝1＋x2 (1)7x2－6x＝0 是 (3)2x2－ －1 ＝0 － 1 3x (4) ＝0 － y2 2 不是，含有两个未知数（二元） 不是，不是整式方程 是 不是，化简后不含二次项 概念理解 【例1】将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出各项系数. 方程的二次项是5，一次项系数是－x，常数项是－4. 二次项系数是5，一次项系数是－1. 【解析】将于方程去括号得： 移项、合并同类项得： 注意：系数和项均包含前面的符号. 变式：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10. 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b 、 c 可以为任意实数. 想一想： 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ ★ax2 + bx +c = 0注意： ①“ = ”左边一般最多有三项， 一次项、常数项可不出现， 但二次项必须有; ②“ = ”左边按未知数 x 的降幂排列; ③“ = ”右边必须整理为0. 例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程. 方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值． 变式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程 （2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ ax=b (a≠0） ax2+bx+c=0 (a≠0） 整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）. 练一练： 下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4. 解：3和-2. 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 一元二次方程的根 2 若x=2是方程 ax2+4x-5=0 的一个根，你能求出a的值吗？ 思考： （提示：根的作用：可以使等号成立.） 解：因为x=2是方程 ax2+4x-5=0 的一个根， 所以：4a+8-5=0 解得： 解：由题意，得a2+2a－2=0 　　　　　即a2+2a＝2 方法总结：已知解求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值． 2(a2+2a)+2018 =2×2+2018 =2022 ∴2(a2+2a)+2018= 变式:：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2018的值. 1．你能根据所学过的知识解出下列方程的根吗？ （1） （2） . 2．有人解这样一个方程 解：x+5=1或x-1=7，所以x1=-4，x2=8，你的看法如何？ 【解析】根据平方根的定义得方程（1）的根为x=±6，方程（2）的根为x=± . 【解析】上述解法是错误的，将 x1，x2 代入原方程等式两边不相等，因此它们并不是原方程的解. 估算一元二次方程的解 x可能小于等于0吗?说说你的理由. x可能大于等于11吗? 说说你的理由. 因此,x取值的大致范围是:0<x<11. 在对本节问题(2)的分析中，我们得到了一元二次方程 +=112(即x2+7x = 36)你能估计出这个方程的根吗? 因此,因为较长直角边x+7小于斜边的长，因而x+7<11，解得x<4; 又因为两直角边的和大于斜边，因而x+(x+7)>11，解得x>2 所以可以估计x的范围是2<x<4. 23 利用二分法，取2和4的中间值3，分别计算当x=2，3，4时，方程左边的代数式x2+7x 的值，并比较它们的值与方程④右边的36的大小， 这说明，在3和4之间有方程的根。并由此可知,这个根的整数部分是3。 x 2 3 4 x2+7x 18 30 44 与36比较 小于36 小于36 大于36 24 取3和4的中间值3.5，借助计算器计算当x=3.5时，x2+7x 的值，并比较它们的值与方程④右边的36的大小， 这说明，在3和3.5之间有方程的根。 x 3 3.5 4 x2+7x 30 36.75 44 与36比较 小于36 大于36 大于36 25 取3和3.5的中间值3.3，重复上述操作 这说明，在3.3和3.5之间有方程的根。 x 3 3.3 3.5 x2+7x 30 33.99 36.75 与36比较 小于36 小于36 大于36 26 取3和3.5的中间值3.3，重复上述操作 这说明，在3.3和3.5之间有方程的根。 x 3 3.3 3.5 x2+7x 30 33.99 36.75 与36比较 小于36 小于36 大于36 27 同样，取33.和3.5的中间值3.4， 这说明，在3.4和3.5之间有方程的根。 x 3.3 3.4 3.5 x2+7x 33.99 35.36 36.75 与36比较 小于36 小于36 大于36 这说明，在3.4和3.5之间有方程④的根。并由此可知这个根的十分位上的数字是4，即x=3.4…于是，便求出了方程④的根的精确到0.1的近似值为x≈3.4或x≈3.5。 借助计算器继续做下去，可以陆续确定方程④的根的百分位、千分位上的数字，……由于方程④的根就是方程②的根，这样就能用估计的方法求出方程②的根的精确到0.01，0.001，…的近似值。 28 1. 下列哪些是一元二次方程？ √ × √ × × √ 3x+2=5x-2 x2=0 (x+3)(2x-4)=x2 3y2=(3y+1)(y-2) x2=x3+x2-1 3x2=5x-1 三、课堂练习 2.填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 0 3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当k 　　　时，是一元二次方程． 当k 　　　时，是一元一次方程． ≠±1 ＝－1 ４.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0 有一个根为0，求m的值. 二次项系数不为零不容忽视 解：将x=0代入方程m2-4=0， 解得m= ±2. ∵ m+2 ≠0， ∴ m ≠-2， 综上所述：m =2. ５.一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必需在距水面5m以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距水面的高度h(m)满足关系: h＝10+2.5t-5t2.那么他最多有多长时间完成规定动作. 5＝10+2.5t-5t2. 2t2 –t－2＝0. 即 解：根据题意得 完成下表(在0<t<3这个范围内取值计算,逐步逼近): 由此看出,可以使2t2-t-2的值为0的t的范围是1.2<t<1.3.故可知运动员完成规定动作最多有1.3s. t … … 2t2-t-2 … … -2 -1 4 13 根据题意,t的取值范围大致是0<t<3. 0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 2 3 0 1 2 3 -2 -1 -0.68 -0.32 0.08 0.52 4 13 33 四、知识总结 1.一元二次方程的特征：只有一个未知数，并且未知 数的最高次数是2. 2.一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0(a≠0)， 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项都 是根据一般形式确定的. ３.一元二次方程的解. ４.估算一元二次方程ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）近似解的方法； 先确定大致范围; 再取值计算,逐步逼近. 1.必做作业： ①课本P１２９，复习与巩固1—３ ； ②预习下一课时; 2.选做作业： P1２９拓展与延伸５－6，探索与创新９ 五、课后作业 感谢观看 $$