专题05 一元二次方程的应用（七大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（北师大版）

专题05 一元二次方程的应用 传播问题 1．（23-24九年级上·广东广州·期中）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（　　） A．9人 B．10人 C．11人 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了(　　) A．12人 B．12人 C．13人 D．14人 4．（23-24九年级上·广西来宾·期中）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有625个人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染m人，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 增长率问题 6．（23-24九年级上·山东淄博·期中）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·山东济宁·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆200人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆288人次．若进馆人次的月平均增长率相同： (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因学校条件限制，图书馆月接纳能力不超过400人次．在进馆人次月平均增长率不变的前提下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由 8．（23-24九年级上·福建厦门·期中）某商场今年1月份开始营业，已知2月份盈利2万元，4月份的盈利达到2.88万元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． (1)求每月盈利的平均增长率． (2)按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 9．（23-24九年级上·吉林·期中）某景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少了．已知该景区4月份的游客人数为5万人． (1)填表： 月份 4月 5月 6月 游客人数/万人 5 ____ ____ (2)求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率． 数字问题 10．（23-24九年级上·全国·期中）若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（    ） A．27 B．72 C．27或16 D．或 11．（23-24九年级上·广西百色·期中）小颖设计一个神奇的魔术盒，当放任意实数对进入其中，会得到一个新的实数，若将实数放入其中，得到一个新数，则 ． 12．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）两个连续正整数的平方和为113，则这两个数的积是 ． 13．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为 ． 14．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年开始的第10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）． 15．（23-24九年级上·江苏·期中）已知3个连续整数的和是，它们的平方和是，且，求这3个连续整数． 营销问题 16．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）某商场以每件元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为元，则平均每天可销售件，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，每件商品售价为多少元时，商场日盈利可达到元？设每件商品售价为元，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（2024·上海·模拟预测）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 元． 18．（23-24九年级上·江西九江·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遺人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价格，求这批椽的数量有多少株？ 19．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台． (1)当每台电风扇降价10元，则每台的利润_____元，平均每天多售出_____台． (2)若要使每天销售利润达到1540元，则每台需要降价多少元 (3)请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由． 20．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元． (1)若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率． (2)市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 21．（23-24九年级上·云南曲靖·期中）东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产 76 件，每件利润10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元． (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为16元，此批次蛋糕属第几档次产品； (2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件，若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘培店生产的是第几档次的产品？ 22．（23-24九年级上·四川成都·期中）成都“蒲江猕猴桃”是维含量特别高的红心猕猴桃，营养丰富，老少皆宜，某种植基地年开始种植“猕猴桃”亩，该基地这两年“猕猴桃”种植面积的平均年增长率为． (1)求到年“猕猴桃”的种植面积达到多少亩？ (2)市场调查发现，当“猕猴桃”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克． ①若降价元，每天能售出多少千克？（用的代数式表示） ②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“猕猴桃”的平均成本价为元/千克，若要销售“猕猴桃”每天获利元，则售价应降低多少元？ 工程问题 23．（2023·重庆渝中·期中）为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 24．（23-24九年级上·云南·期中）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 25．（2023-24九年级上·浙江温州·期中）全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 26．（23-24九年级上·重庆开州·期中）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 与图形有关的问题 27．（23-24九年级上·江苏南京·期中）我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（   ） A． B． C． D． 28．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，那么直角三角形中的较长直角边长为 ． 29．（23-24九年级上·天津·期中）如图，一个菱形两条对角线长的和是，面积是．设，则 ，根据题意可列方程为 ． 30．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）为更好地开展劳动教育课程，我校计划用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开（如图所示）．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏宽忽略不计）． (1)若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长； (2)生态园的面积能否达到153平方米？请说明理由． 31．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，某农场老板准备建造一个矩形养兔场，他打算让矩形养兔场的一边完全靠着墙，墙可利用的长度为24米，另外三面用长度为50米的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设矩形垂直于墙的边的长为x 米，矩形的面积记为y平方米． (1)当时，米，平方米； (2)若要使矩形养兔场的面积为300平方米，则垂直于墙的一边的长为多少米？ 32．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为位置的墙最大可用长度为），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在上各留宽的门（不用木栏），建成后木栏总长． (1)若饲养场（矩形）的一边长为，则_______________m． (2)若饲养场（矩形）的面积为，求边的长． (3)饲养场的面积能达到吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 动态几何问题 33．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A沿边向点B以的速度移动；同时，点Q从点B沿边向点C以的速度移动．有一点到终点运动即停止．问： (1)几秒后的面积等于； (2)几秒后． 34．（23-24九年级上·广东佛山·期中） 如图所示，在中，，，，点由点出发，沿边以的速度向点移动；点由点出发，沿边以的速度向点移动．如果点，分别从点，同时出发，问： (1)经过_____________________秒后，的面积等于？ (2)经过几秒后，P，Q两点间距离是？ 35．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点先到达端点停止时，另一个动点也随之停止运动，运动时间记为． (1)当　　时，四边形为平行四边形； (2)当时，求t的值． 36．（23-24九年级上·陕西·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，，同时出发，各自到达终点后停止运动，那么运动几秒时，线段恰好平分的面积？    37．（23-24九年级上·河南安阳·期中）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿边以的速度向点D移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1)，（用含x的代数式表示）； (2)当P、Q两点间的距离是时，求x的值； (3)填空：①当时，四边形是菱形； ②当时，四边形是矩形． 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 2．（23-24九年级上·山东淄博·期中）利用图形的分、和、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是（　　） A．42 B． C． D．21 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解，在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图1，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根，若关于x的一元二次方程，按照图1，构造图2，在中，，连接，若，则m的值为（    ） A．8 B．5 C．2.5 D． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价，最高销售限价以及实数确定实际销售价格，这里被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数恰好使得，据此可得，最佳乐观系数的值等于（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·广西梧州·期中）如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度移动，点从点出发向终点A以2个单位长度移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 6．（23-24九年级上·浙江·期中）如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．    7．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，要建一个面积为的长方形花园，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道墙，另三边用栅栏围成，边留有的门，如果栅栏的长为． (1)若墙足够长，则花园的长和宽各为多少？ (2)若给定墙长为，请直接写出围成的花园只有一种围法时，a的取值范围是 ． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型体车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积（即阴影面积）为. (1)求道路的宽是多少米? (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民? 9．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 10．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）某超市销售一种亚运会吉祥物挂件，每套进价为元，如果按每套元销售，每周可售出套，通过市场调查发现，每套挂件的售价每降低元，每周的销售量将增加套． (1)每套亚运会吉祥物挂件的售价降低多少元时，该超市平均每周能盈利元？ (2)该超市平均每周销售这种亚运会吉祥物挂件的盈利能达到元吗？请说明你的理由． 11．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ，；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 12．（23-24九年级上·山东烟台·期中）如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 13．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)两平行线与之间的距离是__________． (2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值． (3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元二次方程的应用 传播问题 1．（23-24九年级上·广东广州·期中）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（　　） A．9人 B．10人 C．11人 【答案】C 【详解】解：设共x人参加酒会， 根据题意得，， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴共11人参加酒会． 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵设每轮传染中平均一人传染了x人，经过两轮传染后共有100人患病， ∴， 故选：A． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了(　　) A．12人 B．12人 C．13人 D．14人 【答案】D 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意，得， 解得：或(舍去)， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人． 故选：D． 4．（23-24九年级上·广西来宾·期中）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有625个人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染m人，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意得：． 故选：A． 5．（23-24九年级上·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人 (2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 增长率问题 6．（23-24九年级上·山东淄博·期中）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设该厂第二季度平均每月的增长率为x，由题意，得： ； 故选B． 7．（23-24九年级上·山东济宁·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆200人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆288人次．若进馆人次的月平均增长率相同： (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因学校条件限制，图书馆月接纳能力不超过400人次．在进馆人次月平均增长率不变的前提下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由 【答案】(1) (2)能，理由见详解 【详解】（1）解：设进馆人次的月增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：进馆人次的月平均增长率． （2）解：学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由如下： 进馆人次的月平均增长率， 第四个月的进馆人次为（人次）． ， 学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 8．（23-24九年级上·福建厦门·期中）某商场今年1月份开始营业，已知2月份盈利2万元，4月份的盈利达到2.88万元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． (1)求每月盈利的平均增长率． (2)按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 【答案】(1) (2)34560元 【详解】（1）解：设每月盈利平均增长率为， 根据题意得：． 解得：，（不符合题意舍去）， 答：每月盈利的平均增长率为； （2）解：依题意，， 答：按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到34560元． 9．（23-24九年级上·吉林·期中）某景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少了．已知该景区4月份的游客人数为5万人． (1)填表： 月份 4月 5月 6月 游客人数/万人 5 ____ ____ (2)求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率． 【答案】(1)见解析 (2)该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为 【详解】（1）解：∵5月份的游客人数比4月份增加，4月份的游客人数为5万人， ∴5月份的游客人数为（万人）， ∵6月份的游客人数比5月份减少了， ∴6月份的游客人数为（万人）， 填表如下： 月份 4 5 6 游客人数/万人 5 （2）解：该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为， 根据题意得： 解得：（舍去）或， 答：该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为． 数字问题 10．（23-24九年级上·全国·期中）若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（    ） A．27 B．72 C．27或16 D．或 【答案】A 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为，根据题意得： ， 整理得， 解得，(不合题意，舍去)， ∴，， ∴这个两位数是27． 故选：A． 11．（23-24九年级上·广西百色·期中）小颖设计一个神奇的魔术盒，当放任意实数对进入其中，会得到一个新的实数，若将实数放入其中，得到一个新数，则 ． 【答案】或 【详解】解：依题意， 即 ∴ ∴ 解得：或 故答案为：或． 12．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）两个连续正整数的平方和为113，则这两个数的积是 ． 【答案】 【详解】解：设较小的一个数为，则另外一个数为， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（舍去）， 这两个数的积为， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为 ． 【答案】 【详解】设设周瑜去世时年龄的十位数字是，则个位数上的数字是， 由题意可得：． 故答案为：． 14．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）2014年2月27日，第十二届全国人大常委会第七次会议通过决定，将每年的12月13日设立为南京大屠杀死难者国家公祭日，今年的2023年12月13日是自2014年开始的第10个公祭日，在今年12月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最大数（请用方程知识解答）． 【答案】这个最小数为5 【详解】解：设这个最小数为x，则最大数为，根据题意， 得． 解得或（不符合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 15．（23-24九年级上·江苏·期中）已知3个连续整数的和是，它们的平方和是，且，求这3个连续整数． 【答案】这3个连续整数为4，5，6 【详解】设这3个连续整数为，，， 由题意可得，， ， 又知， 即， 解得或（舍去）， 故， ，． 故这3个连续整数为4，5，6． 营销问题 16．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）某商场以每件元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为元，则平均每天可销售件，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，每件商品售价为多少元时，商场日盈利可达到元？设每件商品售价为元，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设每件商品售价为元，则每天可销售件， 依题意，得：， 即． 故选：D． 17．（2024·上海·模拟预测）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 元． 【答案】3或4 【详解】解：设每箱降价x元，则每天多售出箱， ∴， 整理得：， 解得：或， 答：每箱降价3或4元． 18．（23-24九年级上·江西九江·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遺人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价格，求这批椽的数量有多少株？ 【答案】这批椽的数量为46株 【详解】解：设这批椽有x株， 依题意得                           整理得 解得（不合题意，舍去） 答：这批椽的数量为46株 19．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台． (1)当每台电风扇降价10元，则每台的利润_____元，平均每天多售出_____台． (2)若要使每天销售利润达到1540元，则每台需要降价多少元 (3)请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由． 【答案】(1)50，8 (2)5或25元 (3)该电风扇每天销售利润不能达到2000元，理由见解答 【详解】（1）解：根据题意得：当每台电风扇降价10元时，每台的利润为（元）， 平均每天多售出（台）， 故答案为：50，8； （2）解：设每台需要降价元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台， 根据题意得， 整理得， 解得，， 答：每台需要降价5或25元； （3）解：该电风扇每天销售利润不能达到2000元， 理由如下： 假设该电风扇每天销售利润能达到2000元，设每台需要降价元，则每台的销售利润为元，平均每天可售出台， 根据题意得：， 整理得， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即该电风扇每天销售利润不能达到2000元． 20．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元． (1)若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率． (2)市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 【答案】(1) (2)2 750元 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x， 依题意得：， 解得 或（舍去） 答：每次降价的百分率是； （2）解：假设下调a个50元， 依题意得， 解得， ∴下调150元， ∴定价为2 750元， 答：每台冰箱的定价应为2750元． 21．（23-24九年级上·云南曲靖·期中）东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产 76 件，每件利润10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元． (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为16元，此批次蛋糕属第几档次产品； (2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件，若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘培店生产的是第几档次的产品？ 【答案】(1)第四档次产品 (2)该烘焙店生产的是第五档次的产品 【详解】（1）解：， 答：此批次蛋糕属第四档次产品； （2）设烘焙店生产的是第档次的产品， 则每天生产件，每件利润元， 根据题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该烘焙店生产的是第五档次的产品． 22．（23-24九年级上·四川成都·期中）成都“蒲江猕猴桃”是维含量特别高的红心猕猴桃，营养丰富，老少皆宜，某种植基地年开始种植“猕猴桃”亩，该基地这两年“猕猴桃”种植面积的平均年增长率为． (1)求到年“猕猴桃”的种植面积达到多少亩？ (2)市场调查发现，当“猕猴桃”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克． ①若降价元，每天能售出多少千克？（用的代数式表示） ②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“猕猴桃”的平均成本价为元/千克，若要销售“猕猴桃”每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)到年“猕猴桃”的种植面积达到亩； (2)售价应降低元． 【详解】（1）解：（亩） 答：到年“猕猴桃”的种植面积达到亩； （2）解：①设售价应降低元，则每天可售出千克； ②依题意，得：， 整理，得：， 解得：． ∵要尽量减少库存， ∴． 答：售价应降低元． 工程问题 23．（2022·重庆渝中·二模）为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 【答案】(1)300 (2)5 【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得： ， 解得：， 答：小型设备的使用时间为300小时； （2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时， 根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）． 即m的值为5． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 24．（23-24九年级上·云南·期中）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20% (2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． 25．（2023-24九年级上·浙江温州·期中）全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 【答案】（1）；（2）该工厂引进了27条或13条生产线． 【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天 故答案为：； （2）根据题意，得， 解得，， 该工厂引进了27条或13条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 26．（23-24九年级上·重庆开州·期中）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 与图形有关的问题 27．（23-24九年级上·江苏南京·期中）我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：方程，即的拼图如图所示： 中间小正方形的边长，其面积为25， 大正方形的面积：，其边长为7， 因此，D选项所表示的图形符合题意． 故选：D． 28．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，那么直角三角形中的较长直角边长为 ． 【答案】8 【详解】解：大正方形的面积是100，小正方形的面积是4， ，，4个全等的直角三角形的面积和为96， 每个直角三角形的面积为， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：或（舍）， 即直角三角形中的较长直角边长为8， 故答案为：8 29．（23-24九年级上·天津·期中）如图，一个菱形两条对角线长的和是，面积是．设，则 ，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【详解】解：∵菱形两条对角线长的和是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，面积是， ∴， ∴ 故答案为：，． 30．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）为更好地开展劳动教育课程，我校计划用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开（如图所示）．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏宽忽略不计）． (1)若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长； (2)生态园的面积能否达到153平方米？请说明理由． 【答案】(1)生态园垂直于墙的边长为6米； (2)生态园的面积不能达到153平方米，理由见解析 【详解】（1）解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：生态园垂直于墙的边长为6米； （2）解：生态园的面积不能达到153平方米，理由如下： 假设生态园的面积能达到153平方米，设生态园垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为米， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即生态园的面积不能达到153平方米． 31．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，某农场老板准备建造一个矩形养兔场，他打算让矩形养兔场的一边完全靠着墙，墙可利用的长度为24米，另外三面用长度为50米的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设矩形垂直于墙的边的长为x 米，矩形的面积记为y平方米． (1)当时，米，平方米； (2)若要使矩形养兔场的面积为300平方米，则垂直于墙的一边的长为多少米？ 【答案】(1)10；200 (2)的长为15米 【详解】（1）解：当时，， ， 故答案为：10，200； （2）解：由题意知：，则， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，，应舍去， ∴的长为15米． 32．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为位置的墙最大可用长度为），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在上各留宽的门（不用木栏），建成后木栏总长． (1)若饲养场（矩形）的一边长为，则_______________m． (2)若饲养场（矩形）的面积为，求边的长． (3)饲养场的面积能达到吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 【答案】(1)27 (2)边的长为 (3)饲养场的面积不能达到，详见解析 【详解】（1）解：(米)． 故答案为：27． （2）解：设米， 则米， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 当时，(米)， ，符合题意， 答：边的长为8米． （3）解：不能，理由如下： 设米， 则米， 依题意得：， 整理得：． ， ∴该方程没有实数根， ∴饲养场的面积不能达到198平方米． 动态几何问题 33．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A沿边向点B以的速度移动；同时，点Q从点B沿边向点C以的速度移动．有一点到终点运动即停止．问： (1)几秒后的面积等于； (2)几秒后． 【答案】(1)1秒后或5秒后的面积等于 (2)秒或6秒后 【详解】（1）解：设秒后的面积等于， 则，， ， 根据题意得：， 解得：，， 答：1秒后或5秒后的面积等于； （2）解：四边形为矩形， ，，， 设秒后， 则，， ，， 则， ， ， ∴， 即：， 解得：，， 即：秒或6秒后． 34．（23-24九年级上·广东佛山·期中） 如图所示，在中，，，，点由点出发，沿边以的速度向点移动；点由点出发，沿边以的速度向点移动．如果点，分别从点，同时出发，问： (1)经过_____________________秒后，的面积等于？ (2)经过几秒后，P，Q两点间距离是？ 【答案】(1)2或4 (2)秒 【详解】（1）解：设秒后，面积为，则，， 由可得， 解得，； 答：经过2秒或4秒后，面积为． （2）解：设秒后，，两点间距离是， 由勾股定理，得，即， 解得：（舍去）； 答：秒后，，两点间距离是． 35．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点先到达端点停止时，另一个动点也随之停止运动，运动时间记为． (1)当　　时，四边形为平行四边形； (2)当时，求t的值． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：当运动时间为时，， 根据题意得：， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为平行四边形． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， 过点作于点，则，如图所示， 当运动时间为时，，， 根据题意得：， ∴， 整理得：， 解得：，， 答：的值为或． 【点睛】本题主要考查动点与线段数量关系，平行四边形的性质，解一元一次方程，一元二次方程，勾股定理的综合运用，掌握以上知识，图形结合分析思想是解题的关键． 36．（23-24九年级上·陕西·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，，同时出发，各自到达终点后停止运动，那么运动几秒时，线段恰好平分的面积？    【答案】2秒和4秒 【详解】解：设秒后线段恰好平分的面积， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，，，符合题意， 当时，，，,不符合题意，舍去， 当点到达点后，点继续运动，如下图所示，   ， ∴， 解得秒， 故当和时，线段恰好平分的面积． 37．（23-24九年级上·河南安阳·期中）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿边以的速度向点D移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1)，（用含x的代数式表示）； (2)当P、Q两点间的距离是时，求x的值； (3)填空：①当时，四边形是菱形； ②当时，四边形是矩形． 【答案】(1)，x (2)1 (3)①2；② 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴， 故答案为：，； （2）解：过点作于，过点作的延长线于，则， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴不合，舍去， ∴； （3）解：要使四边形是菱形，则， 即， ∴， 故答案为：； 要使四边形是矩形，则， 即， ∴ 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的几何应用，矩形的判定和性质，平行线的性质，解一元二次方程，勾股定理，不等式组的应用，菱形的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】C 【详解】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步， 故选：C． 2．（23-24九年级上·山东淄博·期中）利用图形的分、和、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是（　　） A．42 B． C． D．21 【答案】A 【详解】解：设小正方形的边长为，则矩形的长为，宽为， 由图1可得：， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：A． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解，在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图1，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根，若关于x的一元二次方程，按照图1，构造图2，在中，，连接，若，则m的值为（    ） A．8 B．5 C．2.5 D． 【答案】C 【详解】解：∵， 由题意知：，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：或， 根据题意， ∴， 经检验，是原方程的解； 故选：C． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价，最高销售限价以及实数确定实际销售价格，这里被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数恰好使得，据此可得，最佳乐观系数的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴． 故选：D． 5．（23-24九年级上·广西梧州·期中）如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度移动，点从点出发向终点A以2个单位长度移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 【答案】1 【详解】解：设t秒后的面积等于4， 由题意得：，则， ∵， ∴，整理得：， 解得：，， ∵点从点C到点A的时间为， ∴，不合题意，舍去， ∴1秒后，的面积等于4． 故答案为：1． 6．（23-24九年级上·浙江·期中）如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．    【答案】 【详解】解：根据题意，得起始矩形的面积，变化后矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∵有且只有一个a的值， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴S的值是． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，要建一个面积为的长方形花园，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道墙，另三边用栅栏围成，边留有的门，如果栅栏的长为． (1)若墙足够长，则花园的长和宽各为多少？ (2)若给定墙长为，请直接写出围成的花园只有一种围法时，a的取值范围是 ． 【答案】(1)花园的长或，宽为或 (2) 【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 或． 答：花园的长为或，宽为或． （2）当时，不能围成花园，题目无解； 当时，围成的花园只有一种围法，题目只有一个解； 当时，围成的花园有二种围法，题目有两个解； 综上所述，当时，围成的花园只有一种围法， 即的取值范围是， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型体车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积（即阴影面积）为. (1)求道路的宽是多少米? (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民? 【答案】(1)米 (2)上涨元 【详解】（1）道路的宽为米, 由题意得： 整理得： 解得： (不合题意，舍去)， 答：道路的宽是米； （2）设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入元, 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵尽可能让利于居民， ， 答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元． 9．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率是 (2)售价应降低20元 【详解】（1）设月平均增长率是， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率是． （2）设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又要尽量减少库存， ． 答：售价应降低20元． 10．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）某超市销售一种亚运会吉祥物挂件，每套进价为元，如果按每套元销售，每周可售出套，通过市场调查发现，每套挂件的售价每降低元，每周的销售量将增加套． (1)每套亚运会吉祥物挂件的售价降低多少元时，该超市平均每周能盈利元？ (2)该超市平均每周销售这种亚运会吉祥物挂件的盈利能达到元吗？请说明你的理由． 【答案】(1)5元或12元 (2)不能，理由见解析 【详解】（1）解：设每套亚运会吉祥物挂件的售价降低元， 根据题意，得 化简整理，得，即， 解得：，， 答：每套亚运会吉祥物挂件的售价降低5元或12元时，该超市平均每周能盈利2400元； （2）解：设每套亚运会吉祥物挂件的售价降低元， 根据题意，得 化简整理，得， ∵， ∴方程无实数解， 答：盈利不能达到3000元． 11．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ，；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)10 (3)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见解析 【详解】（1）解：由题意得，； ∵a是正整数， ∴也是正整数， ∴当a越大时，b也越大， 根据日历的特点可知a的最大值为23，此时b的值为24， ∴的最大值为； 故答案为：；；；； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． ∴最小数是10； （3）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵时，在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 12．（23-24九年级上·山东烟台·期中）如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 【答案】(1)①秒或秒；②秒 (2)秒或秒或秒 【详解】（1）解：①设经过秒钟，的面积等于， 由题意，，， ∴， ∴， 解得：，， ∴经过秒或秒钟，的面积等于； ②设经过秒，线段能将分成面积为的两部分，由题意得： 1），即：， ∴， 解得：（不合题意，舍去），； 2），即：， ∴， ∵， 此方程无实数根，即这种情况不存在； 综上所述，经过秒时，线段能将分成面积为的两部分； （2）设经过秒，的面积为，可分三种情况： ①点在线段上，点在线段上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：（舍去），； ②点在线段上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：； ③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）； 综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为． 13．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)两平行线与之间的距离是__________． (2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值． (3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）过点作于点， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）在中， ，， ， ， Ⅰ．当四边形为平行四边形时，， ， ， Ⅱ．当四边形为平行四边形时，， ， ， 综上所述当点、与的某两个顶点围成一个平行四边形时，或； （3）Ⅰ．当在边上时，边上的高是， ， 解得，舍去）， Ⅱ．当在边上时， ， 解得． 综上所述或时，平行四边形的面积为． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$