专题04 一元二次方程（七大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（北师大版）

专题4 一元二次方程 一元二次方程的概念 1．（23-24九年级上·四川泸州·期中）关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（     ） A． B． C． D．0 2．（23-24九年级上·全国·期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·河南开封·期中）关于的方程是一元二次方程，则□可以是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则 ． 一元二次方程的一般形式 6．（23-24九年级上·广东佛山·期中）方程的二次项系数和常数项分别为（　　） A．，3 B．， C．1，3 D．1， 7．（23-24九年级上·浙江金华·期中）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·湖南株洲·期中）将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项之和为（     ） A．0 B．10 C．4 D． 9．（23-24九年级上·北京·期中）将一元二次方程化为一般形式后，若二次项系数为1，则常数项为（    ） A． B．2 C． D．8 10．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）一元二次方程的一次项系数、常数项分别是 和 ． 11．（23-24九年级上·全国·期中）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 一元二次方程的解 12．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的一元二次方程有一个非零根，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D． 13．（23-24九年级上·四川成都·期中）根据下列表格的对应值： x 0 1 2 3 4 4 13 26 由此可判定方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·江西宜春·期中）关于的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A．1 B． C．1或 D．0 15．（23-24九年级上·广东佛山·期中）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（      ） A． B． C． D． 16．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知是方程的根，则 17．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）若是一元二次方程一个解，则代数式的值是 ． 18．（23-24九年级上·山东泰安·期中）已知等腰的一腰长为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是 ． 解一元二次方程 19．（23-24九年级上·江苏南京·期中）方程中的根是（    ） A．， B．， C． D． 20．（23-24九年级上·河北张家口·期中）利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（   ） A． B． C． D． 21．（23-24九年级上·北京·期中）方程的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是 ． 22．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 23．（23-24九年级上·全国·期中）解方程： (1)； (2)． 24．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）解方程∶ (1)； (2)． 25．（23-24九年级上·江苏苏州·期中） 已知，是关于的方程的两个不等实数根． (1)求实数的取值范围： (2)已知等腰的一边长为，若、恰好是另外两边长，求这个三角形另外两边的长． 解一元二次方程(换元法) 26．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）若，则代数式的值为（    ） A．或 B．1或 C． D．3 27．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）若实数x满足，则 ． 28．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）已知，则的值是 ． 29．（23-24九年级上·上海青浦·期中）用换元法解分式方程时，如果设，那么可将原方程变形后表示为关于y的一元二次方程一般形式： ． 30．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 根的判别式与解的情况 31．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）定义运算，例如，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 32．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的情况为（    ） A．无解 B．两个不相等的实数根 C．两个相等的实数根 D．无法确定 33．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）定义运算：，例如：方程的根的情况（      ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 34．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）关于x的一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有两个不相等的实数根； ②若，则方程没有实数根； ③若n是方程的一个根，则； ④若是方程的一个根，则是方程 的一个根． 其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③ C．②④ D．①②④ 35．（23-24九年级上·湖南永州·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 36．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“阿凡达”方程．已知是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24九年级上·山东淄博·期中）已知关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是 ． 38．（23-24九年级上·山东淄博·期中）已知：关于x的一元二次方程（m为实数） (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根． 利用根与系数的关系求值 39．（23-24九年级上·山东济宁·期中）已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B．12 C．3 D．0 40．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）已知实数，满足 ，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 41．（23-24九年级上·全国·期中）直角三角形的两直角边长是方程的两根，则它的斜边长为 ． 42．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）一元二次方程的两根和为 ． 43．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）若一个等腰三角形的一边为，另外两边为的两根，则的值为 ． 44．（23-24九年级上·四川凉山·期中）若a，b是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为 ． 45．（23-24九年级上·广西崇左·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根为，且，求m的值． 1．（2023·河北石家庄·一模）已知，，下列结论正确的是（ ） A．的最大值是0 B．的最小值是 C．当时，为正数 D．当时，为负数 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知一元二次方程，，，其中a，b，c是正实数，且满足．设这三个方程不相等的实数根的个数分别为，，，则下列说法一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（23-24九年级上·全国·期中）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期中）在实数范围内规定一种运算“#”，其规则为，根据这个规则，方程的解为 ． 6．（2023·江苏连云港·期中）若（为实数），则的最小值为 ． 7．（23-24九年级上·内蒙古兴安盟·期中）已知是方程一个实数根，则代数式的值是 ． 8．（23-24九年级上·山东淄博·期中）已知m，n，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长的两个根，则k的值等于 ． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，设此方程的一个实数根为，令，则的取值范围为 ． 10．（23-24九年级上·广西玉林·期中）【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 11．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 12．（23-24九年级上·北京·期中）若只有一个正实数是关于的方程的解，求实数的取值范围． 13．（23-24九年级上·福建莆田·期中）已知关于x的方程有两个实数根分别为，，且，求k的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4 一元二次方程 一元二次方程的概念 1．（23-24九年级上·四川泸州·期中）关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（     ） A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：B． 2．（23-24九年级上·全国·期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．是一元二次方程，符合题意； B．中含未知数的最高项的次数是1，故不是一元二次方程，不符合题意； C．中含2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D．中含2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选A． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，含有两个未知数，不属于一元二次方程； B、不是整式方程，不属于一元二次方程； C、次数为3，不属于一元二次方程； D、属于一元二次方程； 故选： D 4．（23-24九年级上·河南开封·期中）关于的方程是一元二次方程，则□可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．，是一元二次方程，此选项符合题意； B．，是二元二次方程，此选项不符合题意； C．，是二元二次方程，此选项不符合题意； D．，是一元一次方程，此选项不符合题意； 故选：A． 5．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则 ． 【答案】2 【详解】解：根据一元二次方程的定义，得且， 解得. 故答案为：2 一元二次方程的一般形式 6．（23-24九年级上·广东佛山·期中）方程的二次项系数和常数项分别为（　　） A．，3 B．， C．1，3 D．1， 【答案】C 【详解】解：方程的二次项系数和常数项分别为1，3， 故选C． 7．（23-24九年级上·浙江金华·期中）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将一元二次方程化为一般形式之后，变为， 故选：A． 8．（23-24九年级上·湖南株洲·期中）将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项之和为（     ） A．0 B．10 C．4 D． 【答案】D 【详解】解：将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为1、、， 二次项系数、一次项系数、常数项之和为：． 故选：D． 9．（23-24九年级上·北京·期中）将一元二次方程化为一般形式后，若二次项系数为1，则常数项为（    ） A． B．2 C． D．8 【答案】C 【详解】解：一元二次方程可化为， ∴二次项系数为1，则常数项为， 故选：C． 10．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）一元二次方程的一次项系数、常数项分别是 和 ． 【答案】 5 【详解】解：将化为一般式为， ∴一元二次方程的一次项系数、常数项分别是5， 故答案为：5，． 11．（23-24九年级上·全国·期中）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为 (2)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0 (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【详解】（1）解： 移项，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为． （2）， 去括号，得； 移项、合并同类项，得， 整理，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0． （3） 移项、合并同类项，得． 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 一元二次方程的解 12．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的一元二次方程有一个非零根，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个非零根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 13．（23-24九年级上·四川成都·期中）根据下列表格的对应值： x 0 1 2 3 4 4 13 26 由此可判定方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于x的一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：B 14．（23-24九年级上·江西宜春·期中）关于的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】B 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是0， ∴先把代入，得， 解得， ∵是一元二次方程， ∴， ∴， ∴a的值为， 故选：B． 15．（23-24九年级上·广东佛山·期中）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得： 当时，， 当时，， ∴方程一个解x的取值范围为． 故选：C． 16．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知是方程的根，则 【答案】 【详解】解：把代入得， 解得， 故答案为：． 17．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）若是一元二次方程一个解，则代数式的值是 ． 【答案】2 【详解】解：∵是一元二次方程一个解， ∴，即， ∴ ∴． 故答案为：2． 18．（23-24九年级上·山东泰安·期中）已知等腰的一腰长为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得，是方程的根， 把代入方程得，， 整理得， 解得或， 当，方程为， 解得，，符合题意； 当时，方程为， 解得，， ∵， ∴不合题意，舍去； 综上，， 故答案为：． 解一元二次方程 19．（23-24九年级上·江苏南京·期中）方程中的根是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】B 【详解】解：方程， 所以或， 解得：，． 故选：B． 20．（23-24九年级上·河北张家口·期中）利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ∴， ， ， ∵一元二次方程式的两解为、，且， ∴的值为． 故选：A． 21．（23-24九年级上·北京·期中）方程的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是 ． 【答案】或4 【详解】解：解方程得：或， 即直角三角形的两边为3或5， 当长为5的边是直角边时，第三边为：； 当长为5的边是斜边时，第三边为：； 故答案为：或4． 22．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 【答案】13 【详解】解：解得：，， ∵一个三角形的两边长分别为3和6， ∴设第三边长为，则，即， ∵第三边是方程的一个根， ∴， ∴这个三角形的周长是， 故答案为：． 23．（23-24九年级上·全国·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， 或， ，． 24．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）解方程∶ (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ， ， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴ ∴ ∴， ∴，． 25．（23-24九年级上·江苏苏州·期中） 已知，是关于的方程的两个不等实数根． (1)求实数的取值范围： (2)已知等腰的一边长为，若、恰好是另外两边长，求这个三角形另外两边的长． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：由题意可知：， 只能取或，即是方程的一个根， 将代入得：， 解得：或， 当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，能构成一个等腰三角形； 当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，不能构成一个三角形； 综上所述，这个三角形另外两边的长分别为，． 解一元二次方程(换元法) 26．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）若，则代数式的值为（    ） A．或 B．1或 C． D．3 【答案】D 【详解】解：设，可知， 原方程可化为：， 解得：或， ∵， ∴ ∴， 故选： D． 27．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）若实数x满足，则 ． 【答案】6 【详解】设，则原方程换元为，即， ∴， 解得：， 即或（无实数根，舍去）， ∴． 故答案为：6． 28．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）已知，则的值是 ． 【答案】2 【详解】解：设，则原方程转化为， 所以或， 所以（舍去）或， 所以， 故答案为：2． 29．（23-24九年级上·上海青浦·期中）用换元法解分式方程时，如果设，那么可将原方程变形后表示为关于y的一元二次方程一般形式： ． 【答案】 【详解】解：设，则可将原方程变形为, 化为一般形式为 故答案为 30．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 【答案】(1) (2) (3)这四个连续正整数为1，2，3，4 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （2）解：设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （3）解：设最小正整数为x，则，即：， 设，则， 解得：，， ∵x为正整数， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4． 根的判别式与解的情况 31．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）定义运算，例如，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【详解】解：根据定义得：， ，，， ， 原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 32．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的情况为（    ） A．无解 B．两个不相等的实数根 C．两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：直线不经过第四象限， ， 关于的方程， ， 关于的方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 33．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）定义运算：，例如：方程的根的情况（      ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【详解】解：由新定义得， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 34．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）关于x的一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有两个不相等的实数根； ②若，则方程没有实数根； ③若n是方程的一个根，则； ④若是方程的一个根，则是方程 的一个根． 其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③ C．②④ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：①对于方程， ， 若，则， 则， 即， ∴方程一定有两个不相等的实数根；故选项正确； ②由①可知，， 若，则，即，则， ∴， ∴方程没有实数根；故②正确； ③若n是方程的一个根，则，即， 则或，即或，故选项错误； ④若是方程的一个根， 则， ∵， ∴两边同除以得， ， 即， ∴是方程的一个根． 故④正确； 综上可知，①②④正确， 故选：D 35．（23-24九年级上·湖南永州·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：D． 36．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“阿凡达”方程．已知是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根， ∴，，即， ∴，即，即 ∴ ∴． 故选：A． 37．（23-24九年级上·山东淄博·期中）已知关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是 ． 【答案】 【详解】解：当，即时，方程转化为，解得：，符合题意； 当，即：时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴，解得：， 综上：， ∴整数a的最大值是； 故答案为：． 38．（23-24九年级上·山东淄博·期中）已知：关于x的一元二次方程（m为实数） (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根． 【答案】(1)且 (2)见解析 【详解】（1）解：， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴的取值范围是且； （2）解：由求根公式得 ， ∴， ， ∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1 ． 利用根与系数的关系求值 39．（23-24九年级上·山东济宁·期中）已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B．12 C．3 D．0 【答案】B 【详解】解：，是关于的方程的两根， ，，． ． 故选：B 40．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）已知实数，满足 ，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意知，． 在的两边同时除以得到：， 、是关于的方程的两个根， ． 故选：D 41．（23-24九年级上·全国·期中）直角三角形的两直角边长是方程的两根，则它的斜边长为 ． 【答案】6 【详解】解：设直角三角形的斜边为，两直角边分别为与， 直角三角形两直角边是方程的两根， ，， 根据勾股定理可得：， （负值舍去）． 故答案为：6． 42．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）一元二次方程的两根和为 ． 【答案】/ 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 43．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）若一个等腰三角形的一边为，另外两边为的两根，则的值为 ． 【答案】或16 【详解】解：设一元二次方程的根两个根是，则利用一元二次方程的根与系数的关系得，， 若腰为3，则，则，三边为3，3，5，， 若底为3， 则，三边为3，4，4，则， 则或16， 故答案为：或16． 44．（23-24九年级上·四川凉山·期中）若a，b是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为 ． 【答案】4 【详解】解：∵a，b是两个不相等的实数，且满足，， ∴a，b是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 故答案为：4． 45．（23-24九年级上·广西崇左·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得：， ∴m的取值范围是； （2）解：∵该方程的两个实数根为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 1．（2023·河北石家庄·一模）已知，，下列结论正确的是（ ） A．的最大值是0 B．的最小值是 C．当时，为正数 D．当时，为负数 【答案】B 【详解】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键利用配方法表示出，以及时，用含的式子表示出，确定的符号，进行判断即可． 【详解】解：①若，即， 则是原方程的解，即方程至少有一个根， ∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：， 故①正确； ②∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∴， 又∵方程的判别式为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，即有两种可能性， 故③错误； ④若是一元二次方程的根， ∴根据求根公式得：或， ∴或， ∴， 故④正确． 故选：A． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知一元二次方程，，，其中a，b，c是正实数，且满足．设这三个方程不相等的实数根的个数分别为，，，则下列说法一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】解：A、∵，，∴，，即，，∵，∴，∵，无法确定符号，∴的值无法确定，故此选项不符合题意； B、∵，，∴，，即，，∴∵，∴，∵，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，，，即，，， 而，，，，；故此选项符合题意； D、∵，，∴，，即，，∵，∴，∵，无法确定的符号，∴的值无法确定，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．（23-24九年级上·全国·期中）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程的两个根，， ，， ， ，， ，， ， 解得：，， ， ， 解得：，故， 故选：C. 5．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期中）在实数范围内规定一种运算“#”，其规则为，根据这个规则，方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：， ， 解得． 故答案为：． 6．（2023·江苏连云港·期中）若（为实数），则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解： = = = ∵为实数， ∴ ∴的最小值为, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程 中不要改变式子的值． 7．（23-24九年级上·内蒙古兴安盟·期中）已知是方程一个实数根，则代数式的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵m是方程的一个实数根， ∴，显然，两边同时除以m得：， ∴，， ∴. 故答案为：. 8．（23-24九年级上·山东淄博·期中）已知m，n，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长的两个根，则k的值等于 ． 【答案】7或6 【详解】解：∵、、分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长， ∴当或时，即， ∴方程为， 解得：， 此时该方程为， 解得：，， 此时三角形的三边为，符合题意； 当时，即， 解得：， 此时该方程为， 解得：， 此时三角形的三边为，符合题意， 综上所述，的值等于或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，正确的理解题意是解本题的关键． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，设此方程的一个实数根为，令，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， △， 解得：， 设此方程的一个实数根为， ， ， ， ，即． 故答案为：． 10．（23-24九年级上·广西玉林·期中）【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）解：，， 方程的“对称方程”是， 故答案为：； （2）解：由，移项可得：， 方程与为对称方程， ， 解得：， ． 11．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 【答案】， 【详解】解：当时，原方程可化为：， 解得：（与矛盾，舍去），； 当时，原方程可化为， 解得：（与矛盾，舍去），； 原方程的解是， 12．（23-24九年级上·北京·期中）若只有一个正实数是关于的方程的解，求实数的取值范围． 【答案】或或． 【详解】解：原方程可化为， ①当时，， 解得， ∴，符合题意； ②当时，， ∴， 若是方程的根，则， ∴， ∴方程为， 解得，， 又， ∴， ∴方程有一解为， 故，符合题意； 当方程有异号的实根时， ，且即， 解得， 方程有一根为0时，， 则， 解得，，符合题意， 综上，满足条件的k的取值范围为或或． 13．（23-24九年级上·福建莆田·期中）已知关于x的方程有两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】 【详解】解：（1）∵关于x的方程有两个实数根， ∴，即， 解得． 故k的取值范围为：， 由根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 即， 解得：，， ∵， ∴， 经检验，是原方程的根， 即． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$