专题04 函数的概念与性质（八大题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题04 函数的概念与性质（八大题型+优选提升题） 函数的定义域、值域 1．（20-21高一上·上海虹口·期中）函数的定义域为 . 2．（20-21高三上·上海浦东新·期中）函数的定义域是 . 3．（21-22高一上·上海静安·期中）函数的定义域是 （用区间表示） 4．（22-23高一上·上海虹口·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 5．（23-24高一上·上海·期中）已知，若函数的值域为，则实数的取值范围为 . 判断是否表示同一函数 6．（23-24高一上·上海黄浦·期中）下列各组函数中，同组的两个函数是相同函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 7．（23-24高一上·上海黄浦·期中）下列两组函数中，表示同一函数的是（    ） （1）和；（2）和. A．仅（1）是 B．仅（2）是 C．（1）（2）都是 D．（1）（2）都不是 函数的奇偶性 8．（23-24高一上·上海黄浦·期中）函数是上的奇函数，则 ． 9．（23-24高三上·上海·期中）下列函数在定义域内为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高三下·上海宝山·期中）函数的奇偶性为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 11．（22-23高一上·上海浦东新·期中）下列函数中，不是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 求函数的值、函数解析式 12．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 13．（17-18高一上·上海宝山·期中）已知函数，，则 . 14．（19-20高一上·山东济宁·期中）已知是偶函数，且时，，若，则的值是 ． 15．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知是奇函数，且，若，则 . 16．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知函数的表达式为，，则 . 17．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， . 18．（23-24高一上·上海·期中）已知，且，则 ． 函数图像的识别 19．（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   20．（23-24高三上·上海静安·期中）函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   题型06 函数图像问题（中心对称、求参等） 21．（20-21高一上·上海宝山·期中）函数的图象中心是 . 22．（22-23高一上·上海松江·期中）函数的图像关于点中心对称，则 . 23．（20-21高一上·上海松江·期中）已知函数b∈R)的图像关于点(1，1)对称，则a+b= . 24．（23-24高三上·上海宝山·期中）若函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图像关于点中心对称； B．函数在上是严格增函数； C．函数的图像上至少存在两点A、B，使得直线∥轴； D．函数的图像关于直线对称． 题型07 函数单调性的综合应用 25．（20-21高三上·上海闵行·期中）设函数在上是减函数，则实数的取值范围是 . 26．（21-22高三上·上海嘉定·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（22-23高一上·上海静安·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一上·上海·期中）已知：奇函数，在严格递减，则下列结论正确的是（    ） A．在严格递减 B．在上严格递减 C．在上严格递减 D．在上严格递减 29．（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知函数，若该函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负，则实数的取值范围为 ． 30．（23-24高三上·上海徐汇·期中）已知函数在区间上单调递增，则满足的取值范围为 . 31．（23-24高一上·上海嘉定·期中）设函数的最小值为m，且，则n= ． 32．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知函数（为常数）．若在区间上是严格增函数，则的取值范围是 ． 33．（20-21高三上·上海奉贤·期中）已知，若对于任意，总存在正数，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知为实数.若是定义在上的偶函数，且它在区间上是严格增函数，则使得成立的的取值范围是 . 35．（23-24高三上·上海长宁·期中）已知都是正数，且函数和的图像存在公共点，则公共点的坐标为 . 36．（23-24高一上·上海黄浦·期中）命题：定义在上的函数一定能表示成一个定义在上的偶函数与定义在上的奇函数的和，即；命题：定义在上的严格增函数一定能表示成一个定义在上的严格增函数与定义在上的严格减函数的和，即．下列判断正确的是（    ） A．均为真命题 B．均为假命题 C．为真命题，为假命题 D．为假命题，为真命题 题型08 解答综合题 37．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知函数．函数的定义域为 (1)当时，求函数的值域． (2)当时，判断函数的单调性并说明理由． 38．（23-24高一上·上海宝山·期中）已知函数. (1)若函数的图象过原点，求的解析式； (2)若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围. 39．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知为实数，设. (1)若，求函数，的最小值； (2)判断函数，的奇偶性，并说明理由. 40．（23-24高一上·上海普陀·期中）为了保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月处理量最多不超过300吨．当月处理量为x吨时，月处理成本为元，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元． (1)若要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围? (2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低为多少元? 41．（23-24高三上·上海黄浦·期中）已知函数 (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值： (2)若函数在上的最大值为2，求实数的值. 42．（23-24高一上·上海杨浦·期中）设函数    (1)在上图平面直角坐标系中画出函数的图像； (2)试说明函数关于轴对称； (3)解不等式. 43．（23-24高一上·上海浦东新·期中）定义在上的非常值函数、，若对任意实数x、y，均有，则称为的相关函数. (1)判断是否为的相关函数，并说明理由； (2)若为的相关函数，证明：为奇函数； (3)在（2）的条件下，如果，，当时，，且对所有实数均成立，求满足要求的最小正数，并说明理由. 一、填空题 1．（23-24高一上·上海·期中）若函数的值域是，则此函数的定义域为 ． 2．（23-24高一上·上海·期中）已知，若实数a、b、c、d满足，则的取值范围为 . 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值是 . 二、单选题 4．（23-24高一下·上海·期中）已知二次函数，，，若且，则下列说法正确的是（    ） A．对任实数，均有 B．对任意满足实数，均有 C．对任意满足的实数，均有 D．存在实数，使得 5．（23-24高三上·上海·期中）已知定义在R上的函数，，依次是严格增函数、严格减函数与周期函数，记．则对于下列命题： ①若是严格增函数，则； ②若是严格减函数，则； ③若是周期函数，则．正确的有（    ） A．无一正确 B．①② C．③ D．①②③ 三、解答题 6．（22-23高一上·广东深圳·期中）已知函数的表达式为，且（）. (1)求实数的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)判断函数的单调性，并解关于的不等式. 7．（20-21高三上·上海普陀·期中）已知函数的在数集上都有定义，对于任意的，当时，或成立，则称是数集上的限制函数． （1）试判断函数是否是函数在上的限制函数； （2）设是在区间上的限制函数且在区间上的值恒正，求证：函数在区间上是增函数； （3）设，试写出函数在上的限制函数，并利用（2）的结论，求在上的单调区间，说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数的概念与性质（八大题型+优选提升题） 函数的定义域、值域 1．（20-21高一上·上海虹口·期中）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据解析式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果. 【解析】因为，所以，即， 解得， 即函数的定义域为. 故答案为：. 2．（20-21高三上·上海浦东新·期中）函数的定义域是 . 【答案】[-1，2] 【分析】根据解析式的形式得到关于的不等式，解不等式后可得函数的定义域. 【解析】由题设可得即， 故，所以， 故答案为：. 3．（21-22高一上·上海静安·期中）函数的定义域是 （用区间表示） 【答案】． 【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系即可得到结论. 【解析】要使原函数有意义，则，解得且． 所以函数的定义域是． 故答案为：. 4．（22-23高一上·上海虹口·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由题设有求解集，即可得定义域. 【解析】由题设，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 5．（23-24高一上·上海·期中）已知，若函数的值域为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分类讨论，在时由可得． 【解析】时，不合题意， 因此且，∴， 故答案为：． 判断是否表示同一函数 6．（23-24高一上·上海黄浦·期中）下列各组函数中，同组的两个函数是相同函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据函数相等的定义逐项判断即可. 【解析】对于A，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不是相同函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，，所以两函数对应关系不同，不是相同函数，故B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不是相同函数，故C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，，两函数定义域相同，对应关系相同，是相同函数，故D正确. 故选：D 7．（23-24高一上·上海黄浦·期中）下列两组函数中，表示同一函数的是（    ） （1）和；（2）和. A．仅（1）是 B．仅（2）是 C．（1）（2）都是 D．（1）（2）都不是 【答案】A 【分析】根据函数的定义域和解析式是否相同判断即可. 【解析】对于（1），两个函数定义域都为，化简后两个函数都为， 所以（1）中两个函数是同一个函数； 对于（2），的定义域是， 的定义域为或，定义域不一致，所以不是同一个函数. 故选：A 函数的奇偶性 8．（23-24高一上·上海黄浦·期中）函数是上的奇函数，则 ． 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性计算即可. 【解析】由题意可知. 故答案为： 9．（23-24高三上·上海·期中）下列函数在定义域内为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性定义判定即可. 【解析】对A，，故A不是偶函数； 对B，，故B不是偶函数； 对C，的定义域为，关于原点对称，且，则其为偶函数； 对D，，故D不是偶函数， 故选：C 10．（22-23高三下·上海宝山·期中）函数的奇偶性为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【答案】C 【分析】求出的定义域不关于原点对称，即可判断为非奇非偶函数. 【解析】由函数的定义域可得， 则， 由于定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数. 故选：C. 11．（22-23高一上·上海浦东新·期中）下列函数中，不是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义，对选项逐一判断. 【解析】对选项A，函数的定义域为，解得的定义域为，定义域关于原点对称，且，故是偶函数. B选项，函数的定义域为，解得，定义域关于原点对称，则，，所以函数是偶函数. C选项，当，，所以不是偶函数. D选项，，的定义为， 当，， 当， 所以函数为偶函数. 故选：C 求函数的值、函数解析式 12．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性求解即可. 【解析】由可得，且定义域关于原点对称， 所以为奇函数，所以， 故选：B 13．（17-18高一上·上海宝山·期中）已知函数，，则 . 【答案】 【分析】求出函数、的定义域，将函数、解析式相加即可得解. 【解析】函数、的定义域均为， 因此，. 故答案为：. 14．（19-20高一上·山东济宁·期中）已知是偶函数，且时，，若，则的值是 ． 【答案】6 【分析】根据题意，由函数的奇偶性解析式分析可得，解可得，即可得函数在的解析式，据此结合函数的奇偶性分析可得答案． 【解析】根据题意，是偶函数，且时，， ，则，则， 则有时，，则， 又由是偶函数，则； 故答案为:6. 15．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知是奇函数，且，若，则 . 【答案】 【分析】先由函数是奇函数求出，再将其代入求值即可得解. 【解析】由题意，是奇函数，且， 所以，则， 所以. 故答案为：． 16．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知函数的表达式为，，则 . 【答案】或3 【分析】分段讨论解方程即可. 【解析】当时，则，解得； 当时，，解得，(舍负) 综上，或， 故答案为：或3． 17．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】当时，，则有，再根据是定义在上的偶函数即可得答案. 【解析】解：当时，， 所以， 又因为是定义在上的偶函数， 所以当时，. 故答案为： 18．（23-24高一上·上海·期中）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】根据题意构造函数，利用的奇偶性即可求解. 【解析】根据题意造函数，即， 因为， 所以是奇函数. 又因为，所以，得. 从而，于是. 故答案为：. 函数图像的识别 19．（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性，再结合函数情况，即可得答案. 【解析】令函数，其定义域为R，满足 即为奇函数，故排除A，C 当时，，当时，，， 可知D中图象符合题意， 故选：D 20．（23-24高三上·上海静安·期中）函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性与函数值的正负确定选项. 【解析】设，则， 故为奇函数，A，D符合，排除B，C. 又，所以当时， 恒成立，故A满足，D排除. 故选：A 题型06 函数图像问题（中心对称、求参等） 21．（20-21高一上·上海宝山·期中）函数的图象中心是 . 【答案】 【解析】将函数化成，根据的对称中心为，即可得出答案. 【解析】， 因为函数的图象的对称中心是， 所以函数的图象的对称中心是. 故答案为：. 【点睛】对称性的3个常用结论： （1）若函数是偶函数，即，则函数的图象关于直线对称； （2）若对于上的任意都有或，则的图象关于直线对称； （3）若函数是奇函数，即，则函数关于点中心对称. 22．（22-23高一上·上海松江·期中）函数的图像关于点中心对称，则 . 【答案】4 【分析】根据分式函数的对称性进行求解即可. 【解析】因为 所以该函数的对称中心为，由已知可知该函数的图像关于点中心对称， 所以有， 故答案为：4 23．（20-21高一上·上海松江·期中）已知函数b∈R)的图像关于点(1，1)对称，则a+b= . 【答案】2 【解析】先对函数变形可得，从而可函数的图像关于点对称，进而可求出的值 【解析】解：因为， 所以函数的图像关于点对称， 因为函数b∈R)的图像关于点(1，1)对称， 所以， 所以， 故答案为：2 24．（23-24高三上·上海宝山·期中）若函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图像关于点中心对称； B．函数在上是严格增函数； C．函数的图像上至少存在两点A、B，使得直线∥轴； D．函数的图像关于直线对称． 【答案】D 【分析】对于A：根据中心对称的定义分析判断；对于B：根据单调性的性质分析判断；对于D：根据题意结合函数图象分析判断；对于D：根据点关于直线对称的性质，结合函数解析式分析判断. 【解析】因为，可知其定义域为， 函数的图象是由向右平移1个单位，再向上平移一个单位而得，如图所示，    对于选项A：因为， 所以函数的图像关于点中心对称，故A错误； 对于选项B：因为在上是严格增函数，则在上是严格减函数， 所以函数在上是严格减函数，故B错误； 对于选项C：由图象可知：当，是严格减函数，且， 当，是严格减函数，且， 即定义域内不存在，使得成立， 所以函数的图像上不存在两点A、B，使得直线∥轴，故C错误； 对于选项D：假设在函数上，则， 则关于对称的点，由整理得， 可知也在函数上， 所以函数的图像关于直线对称，故D正确； 故选：D. 题型07 函数单调性的综合应用 25．（20-21高三上·上海闵行·期中）设函数在上是减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据单调性可得满足的不等式，从而可求实数的取值范围. 【解析】因为在上是减函数，故，所以 故答案为：. 26．（21-22高三上·上海嘉定·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解析】因为二次函数的图象是开口向上，对称轴为直线， 因为函数在上单调递增，则，解得. 故选：C. 27．（22-23高一上·上海静安·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由函数单调性的定义和性质依次分析选项，综合可得答案. 【解析】函数为定义在上的单调增函数， 当时，，故错误； 当时，，故错误； 当时，，故正确； 当时，，故错误； 故选：C． 28．（23-24高一上·上海·期中）已知：奇函数，在严格递减，则下列结论正确的是（    ） A．在严格递减 B．在上严格递减 C．在上严格递减 D．在上严格递减 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性与增减性的关系进行判断即可. 【解析】根据题意可知：奇函数在和上分别严格递减， 但由于不确定的值，故在上和上的单调性也不确定，A和B错； 对于选项C：当时，在上的单调性仍然不确定，C错； 对于选项D：易得，故， ∴， 故在上严格递减，D正确. 故选：D. 29．（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知函数，若该函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由已知，定义域为 又函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负， 所以，解得， 故答案为：. 30．（23-24高三上·上海徐汇·期中）已知函数在区间上单调递增，则满足的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先判断函数的奇偶性质，再根据函数的奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【解析】函数的定义域为， 且， 即为偶函数，又函数在区间上单调递增， 则在区间上单调递减， 所以不等式，即，则， 即，解得， 即满足的取值范围为. 故答案为： 31．（23-24高一上·上海嘉定·期中）设函数的最小值为m，且，则n= ． 【答案】 【分析】先分析的单调性，然后确定出的最小值，最后根据指数幂的计算求解出的值. 【解析】因为，由对勾函数的性质可知：在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以，所以， 故答案为：. 32．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知函数（为常数）．若在区间上是严格增函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定的函数，求出其单调递增区间，再利用集合的包含关系求解即可. 【解析】依题意，函数，显然函数在上单调递减，在上单调递增， 因为在区间上单调增函数，因此，则， 所以的取值范围是. 故答案为： 33．（20-21高三上·上海奉贤·期中）已知，若对于任意，总存在正数，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析函数为奇函数，由推导出有解，求得的取值范围，进而可求得正实数的取值范围. 【解析】当时，函数的定义域为，，所以，函数为奇函数. ，则函数在区间和上均为增函数， 若且，即，即， 所以，， 对于任意，总存在正数，使得成立， 则，， ，，，即有， . 故选：C. 【点睛】对于函数的新定义的问题，应准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的函数的基本性质的问题. 34．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知为实数.若是定义在上的偶函数，且它在区间上是严格增函数，则使得成立的的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用偶函数在对称区间上的单调性相反可得函数在上单调递减，解不等式即可求得的取值范围. 【解析】由是定义在上的偶函数且在上是严格增函数可知， 函数关于轴对称，且在上单调递减， 即在轴处取得最小值，离对称轴越近函数值越小， 若可得， 即，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为： 35．（23-24高三上·上海长宁·期中）已知都是正数，且函数和的图像存在公共点，则公共点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据函数的定义域可求得的值，然后解方程即可. 【解析】由函数解析式可得，当且仅当，即时取得等号，此时； 又由，当且仅当时，， 因为两函数有公共点，所以必成立，此时，，， 所以该公共点为. 故答案为： 36．（23-24高一上·上海黄浦·期中）命题：定义在上的函数一定能表示成一个定义在上的偶函数与定义在上的奇函数的和，即；命题：定义在上的严格增函数一定能表示成一个定义在上的严格增函数与定义在上的严格减函数的和，即．下列判断正确的是（    ） A．均为真命题 B．均为假命题 C．为真命题，为假命题 D．为假命题，为真命题 【答案】C 【分析】利用奇偶性定义判断命题，举例说明判断即可得解. 【解析】定义在上的函数，则有， 令，，显然函数的定义域均为， 显然，， 因此函数分别为偶函数和奇函数，， 所以命题为真命题； 函数是上的增函数，是的减函数，而函数在上是偶函数，不单调， 即上的增函数与的减函数和不一定是增函数， 所以命题是假命题，选项ABD错误，选项C正确. 故选：C. 【点睛】思路点睛：判断命题真假，判断为真命题的需要推理论证，判断为假命题的只需举反例即可. 题型08 解答综合题 37．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知函数．函数的定义域为 (1)当时，求函数的值域． (2)当时，判断函数的单调性并说明理由． 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，理由见详解 【分析】（1）利用基本不等式求函数的值域； （2）利用函数单调性的定义判断函数的单调性. 【解析】（1）当，， 因为，所以，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）当，，函数在上单调递增，理由如下： 设，是上任意两个实数，且， 则 因为，所以， 又，，所以，， 所以，即，， 所以函数在上单调递增. 38．（23-24高一上·上海宝山·期中）已知函数. (1)若函数的图象过原点，求的解析式； (2)若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）由题设且，即可求参数值，进而写出解析式； （2）由偶函数性质得，问题化为在R上恒成立，根据求参数范围. 【解析】（1）由题设，而，则，可得或， 当时，；当时，. （2）由题设，则， 所以恒成立，即， 所以，即在R上恒成立， 所以，即，可得. 39．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知为实数，设. (1)若，求函数，的最小值； (2)判断函数，的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1) (2)当时为偶函数，当时为非奇非偶函数. 【分析】（1）首先得到的解析式，将其写成分段函数，再分段利用函数的单调性分别求出函数的最小值，即可得解； （2）分别判断、的奇偶性，即可得解. 【解析】（1）当时， 当时，函数在上单调递增，则， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 综上可得. （2）因为定义域为， 又为偶函数，为偶函数， 所以当时为偶函数， 当时关于对称，此时为非奇非偶函数， 所以为非奇非偶函数， 综上可得：当时为偶函数，当时为非奇非偶函数. 40．（23-24高一上·上海普陀·期中）为了保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月处理量最多不超过300吨．当月处理量为x吨时，月处理成本为元，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元． (1)若要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围? (2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低为多少元? 【答案】(1)要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在，范围内； (2)每月处理量为200吨时，才能使每吨的平均处理成本最低,最低为200元. 【分析】（1）根据已知条件，结合利润总价值总成本，列式即可得到函数关系，令，求解不等式即可； （2）利用基本不等式求解即可得到答案． 【解析】（1）由题意可得，， 令，即，解得， 又， 所以， 故要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在，范围内； （2）每吨的平均出来成本为， 当且仅当，即时取等号， 所以该单位每月处理量为200吨时，才能使每吨的平均处理成本最低,且最低为200元. 41．（23-24高三上·上海黄浦·期中）已知函数 (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值： (2)若函数在上的最大值为2，求实数的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由，则问题转化为关于的不等式的解集为，再根据三个二次之间的关系理解运算； （2）令，求出的解析式，由结合二次函数的性质计算可得. 【解析】（1）因为， 所以关于的不等式等价于， 即关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根是，，且， 所以，解得. （2）令，则，， 因为，所以二次函数开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减， 所以，即，解得. 42．（23-24高一上·上海杨浦·期中）设函数    (1)在上图平面直角坐标系中画出函数的图像； (2)试说明函数关于轴对称； (3)解不等式. 【答案】(1)图像见解析 (2)说明见解析 (3) 【分析】（1）利用函数的定义域、函数图象的平移变换、奇偶性作图即可得解. （2）利用函数的奇偶性即可说明函数关于轴对称. （3）利用分类讨论法、分式不等式和一元二次不等式的解法运算即可得解. 【解析】（1）解：由题意，，所以函数定义域为， 当且时，，函数图象由的图象向右平移1个单位得到， 设，则， ∴函数是偶函数，图象关于轴对称， ∴函数图象如下图：    （2）解：设，∵， ∴函数是偶函数， ∴函数图象关于轴对称. （3）解：当时，即，所以， 解得：，所以； 当时，，则恒成立， 所以，此时无解； 当时，，则恒成立，即此时解集为； 综上，不等式的解集为. 43．（23-24高一上·上海浦东新·期中）定义在上的非常值函数、，若对任意实数x、y，均有，则称为的相关函数. (1)判断是否为的相关函数，并说明理由； (2)若为的相关函数，证明：为奇函数； (3)在（2）的条件下，如果，，当时，，且对所有实数均成立，求满足要求的最小正数，并说明理由. 【答案】(1)不是，理由见详解； (2)证明见详解； (3) 【分析】（1）利用相关函数的定义代入计算验证即可； （2）根据奇函数的定义及相关函数的概念计算即可； （3）根据奇函数的性质及赋值法，结合递推关系判定周期性，再用反证法判定最小正周期即可. 【解析】（1）不是相关函数， 易知①， 而②，显然①②两式不相等， 即不是的相关函数， （2）令，则有， 令，则有， 两式相加得， 因为是定义在上的非常值函数，所以， 所以，所以是奇函数； （3）令，则， 因为，所以， 令，则， 令，则 若， 若，， 则， 综上可知满足题意. 再用反证法证是满足题意的最小正数， 若存在满足要求，令，则，即， 故， 而，所以，矛盾，故不符题意. 所以存在是满足题意的最小正数. 【点睛】本题关键是利用函数的奇偶性，周期性，结合反证法及赋值法来处理问题. 一、填空题 1．（23-24高一上·上海·期中）若函数的值域是，则此函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】求出的反函数，由原函数的值域即为反函数的定义域，即可求出反函数的值域，从而求出原函数的定义域. 【解析】由，则，， 即函数的值域是的反函数为，， 当时，所以， 当时，所以， 即反函数，的值域为， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 2．（23-24高一上·上海·期中）已知，若实数a、b、c、d满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用的单调性和不等式的性质可得答案. 【解析】当时，，且在上单调递减， 因为，所以， 所以， 因为在上单调递减，， ， ，， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，解方程，数形结合可得出实数的取值范围，即可得解. 【解析】因为函数的定义域为，满足， 当时，， 当时，，则 ， 当时，，则 ， 当时，，则 ， 因为对任意，都有， 当时，令，解得或，如下图所示： 由图可知，，故实数的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键就是求出函数的解析式，由此作出函数的图象，利用数形结合思想求解. 二、单选题 4．（23-24高一下·上海·期中）已知二次函数，，，若且，则下列说法正确的是（    ） A．对任实数，均有 B．对任意满足实数，均有 C．对任意满足的实数，均有 D．存在实数，使得 【答案】B 【分析】由题意可知， 化简得，根据与的大小关系确定的范围判断各个选项. 【解析】 对称轴为 ， ， 令 ， 则 ， ， ， ， ， ， 正确，C错误， 对A：，故A错误， 对D: ，故不存在实数，使得，D错误. 故选：B. 5．（23-24高三上·上海·期中）已知定义在R上的函数，，依次是严格增函数、严格减函数与周期函数，记．则对于下列命题： ①若是严格增函数，则； ②若是严格减函数，则； ③若是周期函数，则．正确的有（    ） A．无一正确 B．①② C．③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据函数是严格增函数，严格减函数，周期函数，并结合函数的单调性质和周期性质进行逐项判断. 【解析】对于①项：是严格增函数，得：，且，有 ： 又因为：，分别为严格减函数，周期函数不符题意，为严格增函数符合题意， 所以：，故①项正确； 对于②项：是严格减函数，得：，且，有 ：， 又因为：，分别为严格增函数，周期函数不符题意，为严格减函数符合题意， 所以：，故②项正确； 对于③项：是周期函数，设其周期为：，则得：，，都有：， 又因为：，分别为严格增函数，严格减函数不符题意，为周期函数符合题意， 所以：，故③项正确. 故选项D正确. 故选：D. 三、解答题 6．（22-23高一上·广东深圳·期中）已知函数的表达式为，且（）. (1)求实数的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)判断函数的单调性，并解关于的不等式. 【答案】(1) (2)为偶函数，证明见解析； (3) 【分析】（1）根据，求解的解析式，按照求解实数a的值即可； （2）根据奇偶性的定义判断与的关系即可得奇偶性； （3）分离函数即可由解析式判断的单调性，再结合单调性与奇偶性解不等式即可. 【解析】（1）， 故， 即． （2）由（1）知，，为偶函数，证明如下： 的定义域为，关于原点对称， 所以为偶函数. （3）因为，则在上单调递减． 又因为是偶函数，所以在上单调递增． 因为，所以， 由得， 由函数的性质得：， 则， 解得：． 故该不等式的解集为． 7．（20-21高三上·上海普陀·期中）已知函数的在数集上都有定义，对于任意的，当时，或成立，则称是数集上的限制函数． （1）试判断函数是否是函数在上的限制函数； （2）设是在区间上的限制函数且在区间上的值恒正，求证：函数在区间上是增函数； （3）设，试写出函数在上的限制函数，并利用（2）的结论，求在上的单调区间，说明理由． 【答案】（1）在上的限制函数为；（2）证明见解析；（3）的递增区间是，递减区间是，理由见解析. 【解析】(1)根据限制函数的定义，即可得出结论； (2）对任意的上恒为正值，所以，根据限制函数的定义，推出，即，进而证出函数的单调性； (3）设，通过化简得，得到，然后推出，由解得增区间，由，可得减区间. 【解析】（1）对任意，因为， 所以，在上的限制函数为 （2）对于任意的，当时， 因为在区间上恒为正值，所以， 由于或成立， 所以，即， 所以在上是增函数． （3）设，则， 所以，即． 由，解得， 因而，当时，递增，即的递增区间是； 当时，通减，即的递减区间是． 【点睛】关键点点睛：根据限制函数的定义，找出所给函数的限制函数是解题的关键，寻找函数的限制函数时，要理解所给限制函数的定义. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$