3.1.1 椭圆的标准方程（六大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

3.1.1 椭圆的标准方程 课程标准 学习目标 1、能说明本章的学习内容、学习方法与学习价值. 2、能举例说明圆锥曲线在现实世界中的广泛应用. 3、经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,能说出椭圆的定义,能推导椭圆的标准方程,进一步体会数形结合思想. 1、理解并掌握椭圆的定义. 2、掌握椭圆的标准方程的推导. 3、会求简单的椭圆的标准方程. 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数（），这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 知识点诠释： 若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形． 【即学即练1】椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为 ． 知识点二：椭圆的标准方程 标准方程的推导： 由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程． 如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤． （1）建系设点 建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的． 以两定点、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系（如图）． 设（），为椭圆上任意一点，则有． （2）点的集合 由定义不难得出椭圆集合为： ． （3）代数方程 ， 即：. （4）化简方程 由可得，则得方程 关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略． 因此，方程即为所求椭圆的标准方程．它表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是．这里． 椭圆的标准方程： （1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； （2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 知识点诠释： （1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （3）椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （4）在两种标准方程中，因为，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 【即学即练2】椭圆的焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方程为 . 知识点三：求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”．②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：（且）． （2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题． 【即学即练3】在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.则轨迹的方程为 ； 题型一：椭圆的定义与标准方程 【典例1-1】（2024·高二·全国·课前预习）设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【典例1-2】（2024·高二·浙江嘉兴·阶段练习）求焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆标准方程 【方法技巧与总结】 （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）. 【变式1-1】（2024·吉林·模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点的轨迹为（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【变式1-2】（2024·高二·江苏淮安·阶段练习）分别根据下列条件求椭圆标准方程： (1)一个焦点为 (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 【变式1-3】（2024·高二·四川成都·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程 : (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程 (2)长轴长是短轴长的3倍，且经过点； 【变式1-4】（2024·高二·全国·期中）已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点，， (1)求的标准方程； (2)写出的焦点和顶点坐标. 【变式1-5】（2024·高二·陕西渭南·阶段练习）求两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程. 题型二：椭圆方程的充要条件 【典例2-1】（2024·高二·云南昆明·阶段练习）方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【典例2-2】（2024·高二·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 表示椭圆的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：. 【变式2-1】（2024·高二·河南·阶段练习）若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高二·安徽芜湖·期中）若方程表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高二·浙江·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【变式2-4】（2024·高二·湖南长沙·期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 【典例3-1】（2024·高二·江苏常州·期中）已知是椭圆的左右焦点，若直线过焦点，且与椭圆交于，则的周长为 . 【典例3-2】（2024·高三·湖北武汉·阶段练习）设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为 . 【方法技巧与总结】 焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即. 【变式3-1】（2024·高三·河北秦皇岛·开学考试）已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与交于两点，则的周长为 ． 【变式3-2】（2024·高二·江苏常州·期中）若是椭圆的两焦点，过作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为 . 【变式3-3】（2024·高二·全国·专题练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于 . 【变式3-4】（2024·高二·河北石家庄·期中）设点P为椭圆上一点，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为 ． 【变式3-5】（2024·高二·广东东莞·期中）已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为 . 题型四：椭圆上两点距离的最值问题 【典例4-1】（2024·高二·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【典例4-2】（2024·高二·江苏南通·阶段练习）为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用几何意义进行转化. 【变式4-1】（2024·陕西西安·一模）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．6 【变式4-2】（2024·高三·浙江·阶段练习）已知点在曲线（）上，设，则的最大值（    ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，但与有关 D．与无关，且与无关 【变式4-3】（2024·高三·广东·阶段练习）已知点在椭圆：上运动，，动点满足，则的最大值为 . 题型五：椭圆上两线段的和差最值问题 【典例5-1】（2024·高二·全国·专题练习）设实数满足的最小值为 . 【典例5-2】（2024·高二·全国·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【方法技巧与总结】 在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解． 【变式5-1】（2024·高二·云南曲靖·学业考试）已知椭圆的左、右焦点分别为在椭圆上且关于原点对称，则的最大值与最小值之和为 ． 【变式5-2】（2024·高二·安徽·阶段练习）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是 . 【变式5-3】（2024·高三·山东临沂·期末）已知F是椭圆C：的左焦点，点P为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为 ． 【变式5-4】（2024·高二·江苏徐州·期末）已知P是椭圆上的一个动点，点，则的最小值为 . 【变式5-5】（2024·高二·全国·专题练习）已知P是椭圆上一点，点P在直线l：上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则的最小值为 . 【变式5-6】（2024·高二·全国·专题练习）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值与最小值的和为 . 【变式5-7】（2024·高二·湖南长沙·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为 ． 【变式5-8】（2024·高三·全国·中职高考）设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别是 ． 题型六：利用第一定义求解轨迹 【典例6-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 ． 【典例6-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知定点，动点满足.设点的轨迹为，则轨迹的方程为 . 【方法技巧与总结】 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围. 【变式6-1】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知动圆与圆，圆均相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ． 【变式6-2】（2024·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【变式6-3】（2024·高二·陕西榆林·期中）已知点，动点A在圆M：上运动，线段AN的垂直平分线交AM于P点，则P的轨迹方程为 ；若动点Q在圆上运动，则的最大值为 . 【变式6-4】（2024·高二·全国·竞赛）射线OA的方程是，射线OB的方程是，长为的动线段MN的端点M在OA上移动，端点N在OB上移动，则MN的中点的轨迹方程为 . 【变式6-5】（2024·高二·全国·竞赛）一圆形纸片的圆心为点，点是圆内异于点的一个定点，点是圆周上一动点，把纸片折叠使点与点重合，然后抹平纸片，折痕与交于点，当点运动时，点的轨迹是 ．（只需填曲线的名称） 【变式6-6】（2024·高二·河南信阳·期末）圆与的位置关系为 ；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为 ． 【变式6-7】（2024·高二·山西吕梁·期末）已知为坐标原点，动点满足，其中，且，则动点的轨迹方程是 . 【变式6-8】（2024·高二·全国·专题练习）已知△ABC的两个顶点坐标分别是和，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是，则顶点A的轨迹方程为 【变式6-9】（2024·高二·宁夏石嘴山·阶段练习）已知圆E：，点，P是圆E上的任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q，则动点Q的轨迹方程为 ． 【变式6-10】（2024·高二·浙江宁波·期末）已知点，动点P满足直线与的斜率之积为，则点P的轨迹方程 ． 【变式6-11】（2024·高二·天津南开·专题练习）已知动圆与圆外切，同时与圆内切；则动圆圆心的轨迹方程为 . 【变式6-12】（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，的顶点，直角顶点，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点． (1)求边BC所在直线的方程； (2)M为外接圆的圆心，求圆M的方程； (3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程． 1．（2024·高二·贵州黔南·期末）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆E交于点A，B．直线l为椭圆E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，，A，M三点共线．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高二·北京·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·广东河源·阶段练习）已知点F为椭圆的右焦点，点A，B是C上与其长轴端点不重合的两点，设甲：直线AB经过C的左焦点；乙：的周长为，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，真线与轴的交点为，过右焦点作于点，且的中点在椭圆上，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·山东烟台·期末）已知椭圆C：（）经过和两点，则C上的点到右焦点距离的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 7．（2024·高二·浙江·阶段练习）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 8．（2024·新疆·二模）设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为(    ) A． B． C． D．6 9．（2024·高二·江西吉安·阶段练习）已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 10．（多选题）（2024·高二·吉林·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．存在点，使得 C．的取值范围为 D．的取值范围为 11．（多选题）（2024·高二·四川成都·开学考试）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆C上的任意一点，则（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最大值为4 12．（多选题）（2024·山西吕梁·一模）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，，其短轴上的一个端点到的距离为，点在椭圆上，直线，则（   ） A．直线与蒙日圆相切 B．椭圆的蒙日圆方程为 C．若点是椭圆的蒙日圆上的动点，过点作椭圆的两条切线，分别交蒙日圆于两点，则的长恒为4 D．记点到直线的距离为，则的最小值为 13．（2024·高二·江苏常州·期中）已知是椭圆的焦点，点是上的动点，则的取值范围为 . 14．（2024·高二·全国·课后作业）已知过点的直线与相交于点C，过点的直线与相交于点D，若直线CD与圆相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为 ． 15．（2024·高二·全国·课后作业）已知动点P在椭圆C：上，若点A的坐标为，点M满足，，则的最小值是 ． 16．（2024·高二·全国·课堂例题）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）为一个焦点的椭圆．已知它的近地点（离地面最近的点）距地面439km，远地点（离地面最远的点）距地面2384km，是椭圆的长轴，地球半径为6371km，如图所示，以直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，与地球交于，两点．求卫星运行的轨道方程．（结果精确到1km）    17．（2024·高二·全国·课堂例题）求下列椭圆的方程. (1)过且与有相同的焦点； (2)经过点，. 18．（2024·高二·全国·课堂例题）如图所示，以过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．其中，椭圆上任意一点满足，求椭圆的标准方程． 19．（2024·高三·全国·专题练习）已知点为圆上任意一点，点，线段的中垂线交于点，求动点的轨迹方程．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.1 椭圆的标准方程 课程标准 学习目标 1、能说明本章的学习内容、学习方法与学习价值. 2、能举例说明圆锥曲线在现实世界中的广泛应用. 3、经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,能说出椭圆的定义,能推导椭圆的标准方程,进一步体会数形结合思想. 1、理解并掌握椭圆的定义. 2、掌握椭圆的标准方程的推导. 3、会求简单的椭圆的标准方程. 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数（），这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 知识点诠释： 若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形． 【即学即练1】椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为 ． 【答案】8 【解析】设椭圆的左、右焦点分别为，结合椭圆定义，可得. 故答案为：8 知识点二：椭圆的标准方程 标准方程的推导： 由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程． 如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤． （1）建系设点 建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的． 以两定点、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系（如图）． 设（），为椭圆上任意一点，则有． （2）点的集合 由定义不难得出椭圆集合为： ． （3）代数方程 ， 即：. （4）化简方程 由可得，则得方程 关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略． 因此，方程即为所求椭圆的标准方程．它表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是．这里． 椭圆的标准方程： （1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； （2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 知识点诠释： （1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （3）椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （4）在两种标准方程中，因为，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 【即学即练2】椭圆的焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【解析】依题意，椭圆长轴长，则，而椭圆半焦距，因此椭圆短半轴长， 所以所求椭圆标准方程是. 故答案为： 知识点三：求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”．②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：（且）． （2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题． 【即学即练3】在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.则轨迹的方程为 ； 【答案】 【解析】设动圆的半径为，由已知得： 圆可化为标准方程：， 即圆心，半径， 圆可化为标准方程：， 即圆心，半径，， 经分析可得，，则. 由题意可知：， 两式相加得，， 所以点的轨迹为以为焦点的椭圆， 可设方程为， 则，，，，， 所以轨迹的方程为. 故答案为： 题型一：椭圆的定义与标准方程 【典例1-1】（2024·高二·全国·课前预习）设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【答案】D 【解析】因为，所以， 当且仅当时等号成立， 当时，，而，此时点的轨迹是线段； 当时，， 此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆． 综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段. 故选：D. 【典例1-2】（2024·高二·浙江嘉兴·阶段练习）求焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆标准方程 【解析】由题意焦距为，得， 又焦点在轴上，所以焦点为，， 所以， 所以，， 所以椭圆方程为. 【方法技巧与总结】 （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）. 【变式1-1】（2024·吉林·模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点的轨迹为（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】C 【解析】设， 因为， 所以， 其几何意义为任意一点到点于的距离和为， 又点和之间的距离小于，符合椭圆定义， 所以复数在复平面内所对应的点的轨迹为椭圆. 故选：C. 【变式1-2】（2024·高二·江苏淮安·阶段练习）分别根据下列条件求椭圆标准方程： (1)一个焦点为 (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 【解析】（1）由题知，，椭圆焦点在x轴上， 又，所以， 所以，椭圆方程为. （2）椭圆的焦点为， 设所求椭圆方程为， 则有，解得， 所以所求椭圆方程为. 【变式1-3】（2024·高二·四川成都·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程 : (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程 (2)长轴长是短轴长的3倍，且经过点； 【解析】（1）由题意设椭圆的标准方程为， 由解得：. 所以椭圆的标准方程为； （2）由题意：当椭圆的焦点位于x轴上时，设椭圆的标准方程为， 故，故，此时椭圆的标准方程为， 当椭圆的焦点位于轴上时，设椭圆的标准方程为， 故，故，此时椭圆的标准方程为. 综上所述：椭圆的标准方程为或. 【变式1-4】（2024·高二·全国·期中）已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点，， (1)求的标准方程； (2)写出的焦点和顶点坐标. 【解析】（1）设椭圆的方程为（，，）， 则，解得，， 椭圆的标准方程为. （2）椭圆的焦点在轴上， 焦点坐标为，顶点坐标为，. 【变式1-5】（2024·高二·陕西渭南·阶段练习）求两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程. 【解析】由焦点坐标可知，为轴椭圆， 设所求椭圆的标准方程为 两焦点分别为，， 又椭圆过点，，又 ，， 所以椭圆的标准方程为. 题型二：椭圆方程的充要条件 【典例2-1】（2024·高二·云南昆明·阶段练习）方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】若表示椭圆，则有， 解得或. 故选：D. 【典例2-2】（2024·高二·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，解得或 故选：D 【方法技巧与总结】 表示椭圆的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：. 【变式2-1】（2024·高二·河南·阶段练习）若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为曲线表示椭圆，即表示椭圆 则应满足即． 故选：D． 【变式2-2】（2024·高二·安徽芜湖·期中）若方程表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】命题等价于，解得. 故选：C. 【变式2-3】（2024·高二·浙江·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【解析】方程表示椭圆， ，得，得且． 故选：D． 【变式2-4】（2024·高二·湖南长沙·期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将椭圆方程变形为，因为焦点在轴上，所以，解得． 故选：B. 题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 【典例3-1】（2024·高二·江苏常州·期中）已知是椭圆的左右焦点，若直线过焦点，且与椭圆交于，则的周长为 . 【答案】8 【解析】已知是椭圆的左右焦点， 若直线过焦点，且与椭圆交于， 根据椭圆定义可知，， 所以的周长. 故答案为：8 【典例3-2】（2024·高三·湖北武汉·阶段练习）设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为 . 【答案】 【解析】由椭圆定义可得， 则有，即，， 又， 由，故， 故. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即. 【变式3-1】（2024·高三·河北秦皇岛·开学考试）已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与交于两点，则的周长为 ． 【答案】 【解析】设椭圆的右焦点为，连接，，， 依题意可得长半轴长，半焦距，且， 所以为等边三角形，则直线过， 所以 ，即的周长为. 故答案为： 【变式3-2】（2024·高二·江苏常州·期中）若是椭圆的两焦点，过作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为 . 【答案】24 【解析】如图所示： 根据椭圆方程可知， 因为点A，B在椭圆上， 所以的周长为 . 故答案为：24. 【变式3-3】（2024·高二·全国·专题练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于 . 【答案】 【解析】椭圆的半焦距，则，设点， 于是，消去得， 所以的面积. 故答案为： 【变式3-4】（2024·高二·河北石家庄·期中）设点P为椭圆上一点，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为 ． 【答案】/ 【解析】 设, 根据椭圆的定义可得，， 在中，设， 由余弦定理可得， ， 所以， 所以，所以， 所以， 故答案为: . 【变式3-5】（2024·高二·广东东莞·期中）已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则三角形的面积为 . 【答案】4 【解析】根据椭圆定义可知， 由勾股定理可得， 所以可得， 因此可得三角形的面积为. 故答案为：4 题型四：椭圆上两点距离的最值问题 【典例4-1】（2024·高二·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 【典例4-2】（2024·高二·江苏南通·阶段练习）为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 则 ， 由于，故当时，取最小值， 故选：D 【方法技巧与总结】 利用几何意义进行转化. 【变式4-1】（2024·陕西西安·一模）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【解析】设圆的圆心为，则， 设，则， 所以 ，当且仅当时取得最大值， 所以． 故选：B． 【变式4-2】（2024·高三·浙江·阶段练习）已知点在曲线（）上，设，则的最大值（    ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，但与有关 D．与无关，且与无关 【答案】B 【解析】 表示的是椭圆的部分，而是椭圆的下焦点， 设为椭圆的上焦点，为直线与轴的夹角，则， ， 当且仅当轴时取等号，则只与有关，与无关， 故选：B. 【变式4-3】（2024·高三·广东·阶段练习）已知点在椭圆：上运动，，动点满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】依题设，则，， 因为， 所以，当且仅当取等号，即， 由，可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故. 故答案为： 题型五：椭圆上两线段的和差最值问题 【典例5-1】（2024·高二·全国·专题练习）设实数满足的最小值为 . 【答案】 【解析】设，则在椭圆上， 因为， 设，则为椭圆的右焦点， 如图所示，设椭圆的左焦点为， 则， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立， 而，故的最小值为. 故答案为：. 【典例5-2】（2024·高二·全国·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】由为椭圆上任意一点，则 又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号）， ∴， 当且仅当M、N、E、共线时等号成立. ∵，，则， ∴的最小值为． 故答案为：． 【方法技巧与总结】 在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解． 【变式5-1】（2024·高二·云南曲靖·学业考试）已知椭圆的左、右焦点分别为在椭圆上且关于原点对称，则的最大值与最小值之和为 ． 【答案】/ 【解析】设， ， ， ， ， ， 令， 则在上单调递减，在上单调递增， ， ， 则的最大值与最小值之和为， 故答案为：． 【变式5-2】（2024·高二·安徽·阶段练习）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是 . 【答案】5 【解析】设椭圆的半焦距为，则，， 所以，，， 所以． 如图，因为（当M在的延长线上时取等号），， 所以． 所以的最大值为5， 故答案为：5 【变式5-3】（2024·高三·山东临沂·期末）已知F是椭圆C：的左焦点，点P为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为 ． 【答案】11 【解析】由条件可知，，，则， 设椭圆的右焦点为，且， 所以，当点（点在第四象限）三点共线时，等号成立， 且, 所以的最大值为. 故答案为：11 【变式5-4】（2024·高二·江苏徐州·期末）已知P是椭圆上的一个动点，点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】易知为椭圆的下焦点，点在椭圆内部； 设为椭圆的上焦点，连接， 由椭圆定义可得，则， 所以， 当且仅当三点共线时，取得最小值，如下图所示： 因此则的最小值为. 故答案为： 【变式5-5】（2024·高二·全国·专题练习）已知P是椭圆上一点，点P在直线l：上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由椭圆，可得左焦点为，则， 于是，当且仅当三点共线，且P在线段上时，取得最小值， 又由的最小值为点到直线的距离， 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式5-6】（2024·高二·全国·专题练习）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值与最小值的和为 . 【答案】 【解析】设椭圆的左焦点为，可得， 由椭圆定义知， 又由点在椭圆内，，直线交椭圆于， 因为，即， 当且仅当点共线时取等号， 当点与重合时，，则， 当点与重合时，，则， 所以的最大值和最小值为，可得. 故答案为：. 【变式5-7】（2024·高二·湖南长沙·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点， 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， ， ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 由题意知，，， 则， 的最小值为， 故答案为： 【变式5-8】（2024·高三·全国·中职高考）设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别是 ． 【答案】4，8 【解析】椭圆的两个焦点坐标为， 且恰好为两个圆的圆心坐标，两个圆的半径相等都等于1， 则由椭圆的定义可得 故椭圆上动点与焦点连线与圆相交于、时，最小， 所以， . 故答案为：4，8. 题型六：利用第一定义求解轨迹 【典例6-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 ． 【答案】 【解析】根据题意可得，化简得， 曲线的方程为． 故答案为：. 【典例6-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知定点，动点满足.设点的轨迹为，则轨迹的方程为 . 【答案】 【解析】设动点，则. 又， . 化简得，即， 动点的轨迹的方程为. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围. 【变式6-1】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知动圆与圆，圆均相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ． 【答案】或 【解析】由题意可知，共有两种情况，设动圆半径为，， 动圆与圆内切，与圆内切，所以 所以，此时动圆圆心的轨迹是椭圆，， 所以动圆圆心的轨迹方程为； 动圆与圆外切，与圆内切，所以， 所以，此时动圆圆心的轨迹为椭圆，， 动圆圆心的轨迹方程为， 故答案为：或． 【变式6-2】（2024·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设圆的半径为，则，则， 所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆． 则，所以， 所以动圆的圆心的轨迹方程为． 故答案为：. 【变式6-3】（2024·高二·陕西榆林·期中）已知点，动点A在圆M：上运动，线段AN的垂直平分线交AM于P点，则P的轨迹方程为 ；若动点Q在圆上运动，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由题意，圆的圆心为，点， 线段的垂直平分线交于点， 所以是的垂直平分线上的一点，所以， 又由，所以点满足， 根据椭圆的定义，可得点表示为焦点的椭圆，其中， 可得，所以， 所以椭圆的方程为. 圆的方程为， 圆心，半径， 设，则，， 到圆心的距离， 又当时，取得最大值， 的最大值为：， 故答案为：，. 【变式6-4】（2024·高二·全国·竞赛）射线OA的方程是，射线OB的方程是，长为的动线段MN的端点M在OA上移动，端点N在OB上移动，则MN的中点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设，，则，， 由题意，， 又，则， 即，所以， 整理得. 故答案为： 【变式6-5】（2024·高二·全国·竞赛）一圆形纸片的圆心为点，点是圆内异于点的一个定点，点是圆周上一动点，把纸片折叠使点与点重合，然后抹平纸片，折痕与交于点，当点运动时，点的轨迹是 ．（只需填曲线的名称） 【答案】椭圆 【解析】由题意知点是圆内异于点的一个定点，则圆的半径， 则， 点的轨迹为椭圆， 故答案为：椭圆 【变式6-6】（2024·高二·河南信阳·期末）圆与的位置关系为 ；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为 ． 【答案】 内含 【解析】依题意，圆心，半径，圆心，半径， 所以，则两圆内含； 设动圆的圆心，半径为，则， ， 依椭圆的定义知，的轨迹为椭圆，其中， 又， 所以的轨迹方程为. 故答案为：内含；. 【变式6-7】（2024·高二·山西吕梁·期末）已知为坐标原点，动点满足，其中，且，则动点的轨迹方程是 . 【答案】 【解析】设动点， 因为动点满足，其中， 所以， 所以解得，， 因为， 所以，整理得. 故答案为:. 【变式6-8】（2024·高二·全国·专题练习）已知△ABC的两个顶点坐标分别是和，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是，则顶点A的轨迹方程为 【答案】 【解析】设顶点A的坐标为，依题意，，整理得， 所以顶点A的轨迹方程为. 故答案为： 【变式6-9】（2024·高二·宁夏石嘴山·阶段练习）已知圆E：，点，P是圆E上的任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q，则动点Q的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】连结QF，根据题意，， 则， 故Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆， 设椭圆方程为，则有 所以，则， 所以点Q的轨迹方程为． 故答案为： ． 【变式6-10】（2024·高二·浙江宁波·期末）已知点，动点P满足直线与的斜率之积为，则点P的轨迹方程 ． 【答案】 【解析】设，则，，， 所以，即，整理得， 所以点的轨迹方程为，. 故答案为：，. 【变式6-11】（2024·高二·天津南开·专题练习）已知动圆与圆外切，同时与圆内切；则动圆圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】由，即，半径为， ，即，半径为， 有， 故圆与圆为内含关系， 设动圆半径为，由动圆与圆外切，故， 由动圆与圆内切，故， 又圆与圆为内含关系，故点在圆内部，故， 有， 故动圆圆心的轨迹为以、为焦点，为长轴长的椭圆， 则半长轴长为，半短轴长为， 故动圆圆心的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式6-12】（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，的顶点，直角顶点，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点． (1)求边BC所在直线的方程； (2)M为外接圆的圆心，求圆M的方程； (3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程． 【解析】（1）因为点，点， 则，又，所以， 所以边BC所在直线的方程为， 即． （2）因为边BC所在直线的方程为， 令，得， 所以圆心，又因为， ∴圆M的方程为． （3）因为点P为线段OA的中点所以， 又，且圆N过点， 所以是该圆的半径， 因为动圆N与圆M内切，所以， 即， 所以点N的轨迹是以M，P为焦点的椭圆，且， 所以，，， 所以圆心N的轨迹方程为． 1．（2024·高二·贵州黔南·期末）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆E交于点A，B．直线l为椭圆E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，，A，M三点共线．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图．因为点B关于l的对称点为M，则． 因为， 且，所以， 所以， 可得，则， 所以，故． 故选：B． 2．（2024·高二·北京·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以可以转化为到的距离， 同理，可以转化为到的距离， 因为， 所以到两定点和的距离之和为， 所以在以点和为焦点的椭圆上， 设椭圆的标准方程为：， 则，， 即， 又， 所以， 所以椭圆的方程为：， 由， 得， 解得，. 故选：D. 3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点在椭圆上，延长线交椭圆于另一点，且， 所以，，则，由于， 所以，即，解得， 所以，则， 则，， 所以椭圆方程为， 故选：C 4．（2024·高二·广东河源·阶段练习）已知点F为椭圆的右焦点，点A，B是C上与其长轴端点不重合的两点，设甲：直线AB经过C的左焦点；乙：的周长为，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】设C的左焦点为E，若直线AB经过C的左焦点E，则△ABF的周长为，故充分性成立． 由三角形不等式性质可知，，当且仅当点共线时等号成立． 故的周长为．故若的周长为，则直线AB经过C的左焦点，必要性成立． 故选：C． 5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，真线与轴的交点为，过右焦点作于点，且的中点在椭圆上，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，依题意，知是线段的中点，， 又是线段的中点，所以，， 因为，所以， 因为点在椭圆上，结合椭圆的定义， ，得， 解得（舍去），所以， 所以椭圆的方程为. 故选：C. 6．（2024·高二·山东烟台·期末）已知椭圆C：（）经过和两点，则C上的点到右焦点距离的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】∵椭圆C：（）经过和两点， ∴，，∴，椭圆方程为：. ∴C上的点到右焦点距离的最小值为：. 故选：B. 7．（2024·高二·浙江·阶段练习）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【解析】因为椭圆，所以， 又因为，所以，即， 设，则①，且②， 由①②得到，即，所以， 故选：B. 8．（2024·新疆·二模）设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为(    ) A． B． C． D．6 【答案】B 【解析】由椭圆的定义知 ∴的周长为， ∴当最小时，最大． 当轴，即AB为通径时，最小，此时， ∴的最大值为． 故选：B． 9．（2024·高二·江西吉安·阶段练习）已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动， 所以. 所以，所以（当且仅当时等号成立）. 所以. 即的最小值为1. 故选：A 10．（多选题）（2024·高二·吉林·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．存在点，使得 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 由可得,焦点坐标分别为. 对A项, 的周长为，故A错误; 对B项,设存在点,根据两点间距离公式和椭圆的定义得, 即,解得或,故B正确; 对C项, 设点,,则, 所以,, 则,又因为,所以, 所以的取值范围为,故C正确; 对D项, 由C知, ,则,因为, 所以,则,同理可得,所以, 当时,取得最大值, 当或时, 的值,但且,所以的取值范围为,故D正确. 故选:BCD. 11．（多选题）（2024·高二·四川成都·开学考试）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆C上的任意一点，则（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最大值为4 【答案】ACD 【解析】对于A中，由椭圆，可得，则， 根据椭圆的定义，可得，所以A正确； 对于B中，由，可得， 当且仅当时取等号，所以B错误； 对于C中，设， 可得，， 则，所以C正确； 对于D中，由C项，可得，所以D正确. 故选：ACD. 12．（多选题）（2024·山西吕梁·一模）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，，其短轴上的一个端点到的距离为，点在椭圆上，直线，则（   ） A．直线与蒙日圆相切 B．椭圆的蒙日圆方程为 C．若点是椭圆的蒙日圆上的动点，过点作椭圆的两条切线，分别交蒙日圆于两点，则的长恒为4 D．记点到直线的距离为，则的最小值为 【答案】AC 【解析】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为、， 所以点在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为， 又由题意可得，，结合解得，， 对于A选项，蒙日圆圆心到直线的距离为， 所以，直线与蒙日圆相切，故A正确； 对于B选项，的蒙日圆的方程为，故B错误； 对于C选项，由题意可知，，所以为蒙日圆的直径，，故C正确； 对于D选项，由椭圆的定义可得，， 所以，， 直线的方程为， 点到直线的距离为， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故D错误； 故选：AC 13．（2024·高二·江苏常州·期中）已知是椭圆的焦点，点是上的动点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】不妨取为椭圆的左焦点，设， 由椭圆可得，且满足，即； 因此， 又易知，所以可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 14．（2024·高二·全国·课后作业）已知过点的直线与相交于点C，过点的直线与相交于点D，若直线CD与圆相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设点，，，， 则直线CD的方程为， 因为直线CD与圆相切，则，可得； 又因为直线AC与BD的交点为M， 所以，解得，可得， 所以点M的轨迹方程为． 故答案为：. 15．（2024·高二·全国·课后作业）已知动点P在椭圆C：上，若点A的坐标为，点M满足，，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】因为，所以点M的轨迹为以A为圆心，半径为1的圆，如图， 因为，所以，， 要想使最小，只需最小， 设，，则， 其中， 因为，所以当时，取得最小值， 即，此时． 故答案为：. 16．（2024·高二·全国·课堂例题）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）为一个焦点的椭圆．已知它的近地点（离地面最近的点）距地面439km，远地点（离地面最远的点）距地面2384km，是椭圆的长轴，地球半径为6371km，如图所示，以直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，与地球交于，两点．求卫星运行的轨道方程．（结果精确到1km）    【解析】设椭圆方程为． 由题意知，，． ， ． 两式相加得， 所以． 因此，卫星运行的轨道方程是． 17．（2024·高二·全国·课堂例题）求下列椭圆的方程. (1)过且与有相同的焦点； (2)经过点，. 【解析】（1）由方程可知，其焦点的坐标为，即. 则， 设所求椭圆方程， 因为椭圆过点，代入方程得， 解得（舍去），， 故椭圆的标准方程为； （2）方法一  ①当椭圆的焦点在轴上时， 设标准方程为， 依题意有，解得， 因为，所以方程组无解． ②当椭圆的焦点在轴上时， 设标准方程为， 依题意有，解得， 所以所求椭圆的方程为； 方法二  设所求椭圆的方程为， 依题意得，解得， 故所求椭圆的方程为， 即. 18．（2024·高二·全国·课堂例题）如图所示，以过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．其中，椭圆上任意一点满足，求椭圆的标准方程． 【解析】设椭圆上任意一点，焦点，， 因为． 则， 即， 两边平方得， 整理得，， 两边平方得， 整理得． 两边同除以得，. 由椭圆定义知，即，所以． 令，得． 即椭圆的标准方程为． 19．（2024·高三·全国·专题练习）已知点为圆上任意一点，点，线段的中垂线交于点，求动点的轨迹方程．    【解析】由题意，线段的中垂线交于点， 所以, 即， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设点的轨迹方程， 所以，则， 所以动点的轨迹方程为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$