精品解析：安徽省阜阳市南京路中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

阶段性测试卷（一） （测试内容：第二十一章~第二十二章） （考试时间：120分钟 满分：120分） 班级：   姓名：   得分： 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 3. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数满足，则代数式的值是( ) A. 7 B. -1 C. 7或-1 D. -5或3 5. 已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为　　 A. 1或 B. -或 C. D. 1 6. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（　　） A. ab＜0 B. 一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间 C. a＝ D. 点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞时，y1＜y2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数t的取值范围为___________． 8. 将抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为______________． 9. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是________． 10. 已知一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2，且m，n是一元二次方程x2﹣7x+k＝0的两个根，则这组数据的中位数是 _____． 11. 若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____． 12. 已知函数的图象与x轴只有一个交点．则该交点的坐标为______________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）已知抛物线的顶点在轴上，求的值． 14. 先化简，再计算：，其中满足． 15. 已知m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，求（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）的值． 16. 为了倡导节约用水，某市对洗车店作出如下规定：若一个月用水量不超过，该月需缴纳的水费为元；若超过，则除了缴纳元外，超过的部分需按每立方米元缴纳水费．某洗车店月份用水，缴纳水费元；月份用水，缴纳水费元．求的值． 17. 已知抛物线与轴相交于不同的两点，． （1）求的取值范围； （2）试说明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于x的方程（x-3）(x-2)-p2=0． （1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=3 x1x2，求实数p的值． 19. 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 20. 阅读下面材料： 小明在解方程时，发现括号内的代数式是完全相同的，于是采用了如下方法：令①，则原方程为，解得， ，分别代入①后算出了x的值． 解决以下问题： （1）直接写出方程的根为______； （2）利用材料中的方法求抛物线与x轴的交点坐标； （3）直接写出方程有______个实根． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作//交于点Q． （1）求该抛物线的解析式； （2）求 面积的最大值，并求此时P点坐标． 22. 跳台滑雪是北京冬奥会的项目之一．某跳台滑雪训练场的横截面示意图如图并建立平面直角坐标系．抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出（即A点坐标为（0，4）），滑出后沿一段抛物线运动． （1）当运动员运动到距A处的水平距离为4米时，距图中水平线的高度为8米（即经过点（4，8）），求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？ 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式及点C的坐标； （2）若点是抛物线上一动点，连接，点在抛物线上运动时； ①取的中点，当点与点A重合时，的坐标为______；当点与点B重合时，的坐标为______；请在图2的网格中画出点的运动轨迹，并猜想点的运动轨迹是什么图形：______；并求点运动轨迹的函数的解析式； ②在线段上取中点，点运动轨迹的函数的解析式为，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为，…，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为（n为正整数）；请求出函数的解析式（用含n的式子表示）． ③若直线y＝x＋m与系列函数，，，…，的图象共只有4个交点，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段性测试卷（一） （测试内容：第二十一章~第二十二章） （考试时间：120分钟 满分：120分） 班级：   姓名：   得分： 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，根据题意把常数项2移项后，应在左右两边分别同时加上一次项系数的一半的平方，即可求出答案． 【详解】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 故选：A． 2. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中， ∴，即，解得：， ∴另一个根是， 故选：． 3. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，可先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数图象得到字母系数的正负相比较看是否一致即可判断． 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项正确； C、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； D、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误． 故选：B． 4. 已知实数满足，则代数式的值是( ) A. 7 B. -1 C. 7或-1 D. -5或3 【答案】A 【解析】 【分析】将x2-x看作一个整体，然后利用因式分解法解方程求出x2-x的值，再整体代入进行求解即可. 【详解】∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12＝0， ∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)＝0， ∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0， ∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6； 当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0， ∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴此方程无实数解； 当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7， 故选A． 【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解本题的关键是把x2-x看成一个整体． 5. 已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为　　 A. 1或 B. -或 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由-2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a． 【详解】∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量）， ∴对称轴是直线x=-=-1， ∵当x≥2时，y随x的增大而增大， ∴a＞0， ∵-2≤x≤1时，y的最大值为9， ∴x=1时，y=a+2a+3a2+3=9， ∴3a2+3a-6=0， ∴a=1，或a=-2（不合题意舍去）． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-时，y随x的增大而减小；x＞-时，y随x的增大而增大；x=-时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-时，y随x的增大而增大；x＞-时，y随x的增大而减小；x=-时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． 6. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（　　） A. ab＜0 B. 一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间 C. a＝ D. 点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞时，y1＜y2 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝−2a＜0，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对B选项进行判断；把B（0，−2），A（−1，m）和b＝−2a代入抛物解析式可对C选项进行判断；利用二次函数的增减性对D进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1， ∴b＝﹣2a＜0， ∴ab＜0，所以A选项的结论正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确； 把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m， 而b＝﹣2a， ∴a+2a﹣2＝m， ∴a＝，所以C选项的结论正确； ∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上， ∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1； 当点P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即＜t＜1， ∴当＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，所以D选项的结论错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数t的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得 ，求解即可． 【详解】关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程的根与有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根，熟练掌握知识点是解题的关键． 8. 将抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 根据函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为． 故答案为：． 9. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是________． 【答案】， ##， 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标，即可求得对应方程的根． 【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴， ∵与x轴的一个交点横坐标是， ∴设与x轴的另外一个交点横坐标是 ∴， 解得：， ∴方程的解是：， ， 故答案为：， ． 【点睛】本题考查了根据二次函数图象确定相应方程根的情况；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合是解题的关键． 10. 已知一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2，且m，n是一元二次方程x2﹣7x+k＝0的两个根，则这组数据的中位数是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据众数的概念以及一元二次方程根与系数关系即可得到m，n的值，进而按照中位数的求法求解即可． 【详解】解：一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2， 中至少有一个是2， m，n是一元二次方程x2﹣7x+k＝0的两个根， ， 综上所述，或， 这组数据是2，2，3，5，3，2或2，5，3，2，3，2，则将他们按照从小到大顺序排列为：2，2，2，3，3，5，从而可知这组数据的中位数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查统计中众数与中位数的求解，涉及到一元二次方程根与系数关系，熟练掌握这些知识点求解问题是解题的关键． 11. 若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程 的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0， ∴可以把a、b看做是一元二次方程 的两个实数根， ∴a+b=4，ab=3， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 12. 已知函数的图象与x轴只有一个交点．则该交点的坐标为______________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与x轴的交点、二次函数与一元二次方程，分一次函数和二次函数两种情况：当 时，把代入解析式求解即可；当时，令，根据判别式，求解即可． 【详解】解：①当 时，函数为 ，其图象与x轴只有一个交点，为；②当时，该函数为二次函数， 令，则，即． ∵函数图象与x轴只有一个交点， ∴， 解得，， 当时，，其图象与x轴交于点； 当 时，，其图象与x轴交于点， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）已知抛物线的顶点在轴上，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和二次函数的性质：（1）化简方程后，开方即可；（2）因为顶点在轴上，则顶点的纵坐标为，根据顶点公式列方程求解即可． 【详解】解：（1）原方程可化为，即 解得： （2）顶点在轴上 ，即 解得： 14. 先化简，再计算：，其中满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由及分式的隐含条件得，代入计算可得． 【详解】解：原式= = =， ∵， ∴， 则， ， ∵原式中 ． ∴， 则原式= ． 15. 已知m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，求（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）的值． 【答案】3. 【解析】 【分析】把x＝m代入方程得：m2﹣3m+1＝0，即m2﹣3m＝﹣1，再整体代入原式＝m2﹣6m+9+m2﹣4＝2（m2﹣3m）+5可得． 【详解】解：∵m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根， ∴m2﹣3m+1＝0，即m2﹣3m＝﹣1， ∴（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）＝m2﹣6m+9+m2﹣4＝2（m2﹣3m）+5＝3． 【点睛】本题考查的是一元二次方程，已知方程的根则代入满足方程. 16. 为了倡导节约用水，某市对洗车店作出如下规定：若一个月用水量不超过，该月需缴纳的水费为元；若超过，则除了缴纳元外，超过的部分需按每立方米元缴纳水费．某洗车店月份用水，缴纳水费元；月份用水，缴纳水费元．求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意列方程求解即可． 【详解】根据题意得： 解得： 月份用水立方米，缴纳水费元 ． 17. 已知抛物线与轴相交于不同的两点，． （1）求的取值范围； （2）试说明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标． 【答案】（1）且 （2）证明见解析； 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用： （1）根据根的判别式及抛物线的定义求出m的取值范围： （2）根据题意可得y的值与m无关，把原函数关系式变形为，令，求出x的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于不同的两点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴，解得：， 又∵， 综上，且； 【小问2详解】 解：∵ ∴，即， ∵该抛物线一定经过非坐标轴上的一点， 此时y的值与m无关， ∴， 解得：， 当时，，此时抛物线过点； 当时，，此时抛物线过点（舍去）； 综上所述，此时点P的坐标为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于x的方程（x-3）(x-2)-p2=0． （1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=3 x1x2，求实数p的值． 【答案】（1）详见解析；（2）p=±1． 【解析】 【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】证明：（1）（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0， x2﹣5x+6﹣p2=0， △=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=25﹣24+4p2=1+4p2， ∵无论p取何值时，总有4p2≥0， ∴1+4p2＞0， ∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）x1+x2=5，x1x2=6﹣p2， ∵， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2=3x1x2， ∴52=5（6﹣p2）， ∴p=±1． 19. 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 【答案】（1）504万元；（2）20%． 【解析】 【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解； (2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解． 【详解】解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)， 故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)． 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元． (2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x， 依题意，得：350(1+x)2=504， 解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)． 答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20. 阅读下面材料： 小明在解方程时，发现括号内的代数式是完全相同的，于是采用了如下方法：令①，则原方程为，解得， ，分别代入①后算出了x的值． 解决以下问题： （1）直接写出方程的根为______； （2）利用材料中的方法求抛物线与x轴的交点坐标； （3）直接写出方程有______个实根． 【答案】（1） 或 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据材料方法直接求解即可； （2）根据抛物线与一元二次方程的关系，求出方程的解即为抛物线与轴的交点； （3）根据材料中的方法求解即可． 【小问1详解】 解：令，则原方程为， 解得：， ， 把， 分别代入中得：或， 解得 或； 故答案是： 或． 【小问2详解】 解：令，则， 令，则原方程为， 解得：，， 把，分别代入得：或， 解得：或， ∴抛物线与x轴的交点坐标，； 【小问3详解】 解：令，则原方程为， 解方程得：，， 把，代入得：（不成立）或， 解得： ， ∴方程有两个实数根， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点坐标和换元法解一元二次方程，关键是掌握换元法解一元二次方程． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作//交于点Q． （1）求该抛物线的解析式； （2）求 面积的最大值，并求此时P点坐标． 【答案】（1） （2）2；P（-1，0） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式； （2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由列出函数式求解即可． 【小问1详解】 解：∵点A（1，0），AB=4， ∴点B的坐标为（-3，0）， 将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得： ， 解得：b=2，c=-3， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的解析式为， 顶点式为：， 则C点坐标为：（-1，-4）， 由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6， 由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2， ∵PQ∥BC， 设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P， 由解得：， ∵P在线段AB上， ∴， ∴n的取值范围为-6＜n＜2， 则 ∴当n=-2时，即P（-1，0）时，最大，最大值为2． 【点睛】本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键． 22. 跳台滑雪是北京冬奥会的项目之一．某跳台滑雪训练场的横截面示意图如图并建立平面直角坐标系．抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出（即A点坐标为（0，4）），滑出后沿一段抛物线运动． （1）当运动员运动到距A处的水平距离为4米时，距图中水平线的高度为8米（即经过点（4，8）），求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？ 【答案】（1） （2）运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米． 【解析】 【分析】（1）根据题意将点（0，4）和（4，8）代入C2：y=-x2+bx+c求出b、c的值即可写出C2的函数解析式； （2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：﹣m2+m+4﹣（﹣m2+m+1）＝1，解出m即可． 【小问1详解】 由题意可知抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得： ， 解得：， ∴抛物线C2的函数解析式为：； 【小问2详解】 设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得： ﹣m2+m+4﹣（﹣m2+m+1）＝1， 整理得：（m﹣12）（m+4）＝0， 解得：m1＝12，m2＝﹣4（舍去）， 故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米． 【点睛】本题考查了二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式及点C的坐标； （2）若点是抛物线上一动点，连接，点在抛物线上运动时； ①取的中点，当点与点A重合时，的坐标为______；当点与点B重合时，的坐标为______；请在图2的网格中画出点的运动轨迹，并猜想点的运动轨迹是什么图形：______；并求点运动轨迹的函数的解析式； ②在线段上取中点，点运动轨迹的函数的解析式为，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为，…，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为（n为正整数）；请求出函数的解析式（用含n的式子表示）． ③若直线y＝x＋m与系列函数，，，…，的图象共只有4个交点，求m的取值范围． 【答案】（1）， （2）①；；抛物线；；②；③ 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的函数关系式即可； （2）①当点与点A重合时，点是AC的中点，当点与点B重合时，点是BC的中点，据此分别求出点的坐标，设点的坐标为，可得； ②同理得…最后可得； ③当直线y＝x＋m与函数的图象只有一个交点时，令，得，当直线y＝x＋m与函数的图象只有一个交点时，令，得，据此可得m的取值范围； 【小问1详解】 把，代入，有： ， 解得 ∴抛物线解析式为：． 当x＝0时，； ∴； 【小问2详解】 ①当点与点A重合时，点是AC的中点， ∴，即； 当点与点B重合时，点是BC的中点， ∴，即； 点的运动轨迹如下图， 猜想点的运动轨迹是抛物线， 因点在抛物线上， 设点的坐标为，，则： 的中点坐标为：． ∴设，则m＝2x．， 消去参数后得： ∴． 故答案为：；；抛物线； ②同理，得：点， ； 点， ； … 点， ． ∴． ③如图， 若直线y＝x＋m与函数有两个交点，与有两个交点时，共有4个交点， ， ， 当直线y＝x＋m与函数的图象只有一个交点时，有： ∴， 解得； 由直线y＝x＋m与函数联立得： ， ， 当直线y＝x＋m与函数的图象只有一个交点时，有： ∴， 解得； ∴． 【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数、以及两个函数交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用方程组求两个函数交点坐标，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $