专题04双曲线的概念与几何性质（考点清单，知识导图+3考点清单+10题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题04双曲线的概念与几何性质 【清单01】双曲线的概念与标准方程 一.双曲线的定义 1.定义：在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线. 2.焦距：这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5. 若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 二.双曲线的标准方程 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 【清单02】双曲线的渐近线、离心率及几何性质汇总 一.等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为e＝. 二.双曲线与渐近线的关系 1、若双曲线方程为渐近线方程： 2、若双曲线方程为（a＞0，b＞0）渐近线方程： 3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， 4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上） 三. 离心率 1.定义：e＝ 2.范围：(1，＋∞) 3.拓展：①②③ 四.双曲线的几何性质汇总 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 图形 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：；半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 【清单03】直线与双曲线的位置关系 一．直线与双曲线的位置关系 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为的形式，在≠0的情况下考察方程的判别式. (1)>0 时，直线与双曲线有两个不同的公共点 (2)=0时，直线与双曲线只有一个切点 (3)<0时，直线与双曲线没有公共点 当=0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个交点 【特别注意】(1)直线与双曲线的关系中:一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支 (2)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. (3)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论:直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行: (4)注意对直线的斜率是否存在进行讨论 二．弦长公式 ①弦长公式:直线y=kx+b 与双曲线相交所得的弦长 d=. ②处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时,联立曲线方程和直线方程,根据两点间距离公式并结合韦达定理、点差法进行求解 ③双曲线的通径:过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径,无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于 【考点题型一】双曲线的概念与标准方程 方法总结： 文字语言 平面内与两个定点，F的距离的差的绝对值等于非零常数(小于||)的点的轨迹 符号语言 . 焦点 定点 焦距 两焦点间的距离 【例1】（23-24高二上·江苏连云港·期中）方程可化简为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二上·江苏常州·期中）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【变式1-3】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知双曲线的方程为,则的取值范围是 . 【变式1-4】（21-22高二上·江苏镇江·期中）动圆M与圆：，圆：，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】双曲线的离心率 方法总结： 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式,利用+和 转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围). 【例2】（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为，则C的离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）设，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知双曲线的左、右顶点分别为、，是上一点，为等腰三角形，且的外接圆面积为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·江苏南通·期中）在中，，，以，为焦点且经过点的椭圆离心率记为，以，为焦点且经过点的双曲线离心率记为，则 . 【变式2-4】（23-24高二上·江苏徐州·期中）设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】双曲线的渐近线 方法总结：在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k=与,满足关系式 【例3】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知以双曲线的实轴、虚轴为两条对角线的四边形的面积为，且双曲线的两条渐近线将坐标平面四等分，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知双曲线 ，则当实数变化时，这些双曲线有（    ） A．相同的焦点 B．相同的实轴长 C．相同的离心率 D．相同的渐近线 【变式3-2】(多选)（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知曲线C：．（    ） A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若，则C是圆，其半径为 C．若，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若，，则C是两条直线 【变式3-3】（多选）（22-23高二上·江苏淮安·期中）下列双曲线中以为渐近线的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-4】（多选）（21-22高二上·江苏镇江·期中）已知双曲线C： 则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的焦点坐标为(－13，0)，(13，0) B．双曲线C与有相同的渐近线 C．双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3 D．直线与双曲线有两个交点 【考点题型四】焦点三角形 方法总结：求双曲线中焦点三角形面积的方法： ①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积 ④结论： 【例4】（21-22高二·全国·课后作业）设双曲线的两个焦点分别为、，P为双曲线上一点，若，则 ． 【变式4-1】（21-22高二上·江苏盐城·期中）已知焦点为，的双曲线的离心率为，点为上一点，且满足，若的面积为，则双曲线的实轴长为 【变式4-2】（21-22高二上·江苏镇江·期中）已知是双曲线左右焦点，过的直线与双曲线的左右支分别交于A、B两点，若＝2a，，则 【变式4-3】（22-23高二上·江苏盐城·期中）经过双曲线的左焦点作斜率为2的弦AB，求： (1)线段的长； (2)设点为右焦点，求的周长. 【变式4-4】（多选）（22-23高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，设是，的一个交点，与的离心率分别是，，则下列结论正确的有（    ） A． B．的面积 C．若，则 D． 【考点题型五】直线与双曲线的位置关系 方法总结：直线与双曲线的具有三种位置关系: (1) 相交:直线与双曲线交于两点或平行于渐近线交双曲线于一点; (2) 相切:不平行于渐近线且交于一点; (3)相离; 【例5】（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期中）双曲线与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【变式5-1】（22-23高二上·江苏盐城·期中）若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【变式5-2】（22-23高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线的离心率为，则 ，若直线与该双曲线有且仅有一个公共点，则 . 【变式5-3】（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知直线，与双曲线的左支交于A，B两点. (1)求实数的取值范围； (2)若的面积为（O为坐标原点），求此时直线的斜率的值. 【变式5-4】（22-23高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C过点,. (1)求双曲线C的标准方程; (2)已知,过点的直线l与双曲线C交于不同两点M、N,设直线AM、AN的斜率分别为、,求证:为定值. 【考点题型六】中点弦问题 方法总结：双曲线中点弦的斜率公式： 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 【例6】（23-24高二上·河北·期中）已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程． 【变式6-1】（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为． (1)求双曲线C的方程． (2)经过点作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长． 【变式6-2】（21-22高二上·江苏南通·期中）在①离心率为，且经过点；②半长轴的平方与半焦距之比等于常数，且焦距为这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线存在，求出的方程；若问题中的直线不存在，说明理由. 问题：已知曲线：的焦点在轴上，______，是否存在过点的直线，与曲线交于，两点，且为线段的中点？ 注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【变式6-3】(多选)（22-23高二下·云南保山·期中）公元前年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为“黄金分割比”，这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用．利用“黄金分割比”研究双曲线，可得满足：的双曲线叫做“黄金双曲线”．黄金双曲线E：（，）的一个顶点为A，与A不在y轴同侧的焦点为F，E的一个虚轴端点为为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦，M为PQ中点．设双曲线E的离心率为e，则下列说法中，正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，斜率为2的直线l与E的一条渐近线垂直，且交E于A，B两点，. (1)求E的方程； (2)设点P为线段AB的中点，求直线OP的方程. 【考点题型七】直线与双曲线弦长问题 方法总结：设直线交双曲线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 【例7】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式7-1】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）双曲线的焦点的坐标分别为和，离心率为，求： (1)双曲线的方程及其渐近线方程； (2)已知直线与该双曲线交于交于两点，且中点，求直线AB的弦长． 【变式7-2】（22-23高二上·江苏盐城·期中）经过双曲线的左焦点作斜率为2的弦AB，求： (1)线段的长； (2)设点为右焦点，求的周长. 【变式7-3】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）双曲线C：的右焦点为，直线l过点且与双曲线C交于A，B两点，直线l的倾斜角为30°，O为坐标原点. (1)求； (2)求的面积. 【变式7-4】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点是双曲线：的右支上一点，、是双曲线的左、右焦点，的面积为20，则点的横坐标为（    ） A．2 B．4 C． D． 【考点题型八】双曲线中的和差最值问题 方法总结： 最值问题：利用三角形：和最小问题，两边之和≥第三边，三点共线，动点必须在中间。 差的绝对值最大问题，两边之差的绝对值≤第三边，三点共线，动点必须在两边。 【例8】（21-22高二上·四川成都·期中）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（22-23高二上·江苏徐州·期中）已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（22-23高二上·吉林·期中）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 【变式8-4】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是 ． 【考点题型九】双曲线轨迹方程 方法总结：求轨迹方程的常见方法有: ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可； ④逆代法，将代入. 【例9】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆，动圆与圆均外切，记圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点且斜率为4的直线与曲线交于两点，求的面积． 【变式9-1】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 【变式9-2】（23-24高二上·江苏南京·期中）双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的左焦点为，过双曲线右支上任意一点作其切线，过点作直线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为 . 【变式9-3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到点的距离是到直线的距离的． (1)求点M的轨迹方程； (2)设，直线与M的轨迹方程相交于两点，若直线与M的轨迹方程交于另一个点，证明：直线过定点． 【变式9-4】（21-22高二上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)设过点A(，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点. 【考点题型十】双曲线的切线 方法总结： 性质1.双曲线上任意一点(异于顶点)处的切线，平分该点处两条焦半径的夹角。 性质2.双曲线上任意一点(异于顶点)处的切线，平分该点处两条焦半径的夹角。 性质3.双曲线上任一点处的切线与两条渐近线所围成的三角形的面积为定值。 【例10】（多选）（21-22高二下·江苏镇江·期中）已知双曲线：，则（    ） A．双曲线的焦距为4 B．双曲线的两条渐近线方程为： C．双曲线的离心率为 D．双曲线有且仅有两条过点的切线 【变式10-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知为直线上任一点，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，过的实轴右顶点作垂直于轴的直线与直线分别交于两点，点的纵坐标分别为，求的值. 【变式10-2】（22-23高二上·山西·期中）已知左、右焦点分别为的双曲线，其实轴长为8，其中一条渐近线的斜率为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线右支上除顶点外的任意一点，证明：双曲线在点处的切线平分． 【变式10-3】（22-23高二下·福建福州·期中）已知双曲线上任意一点P（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为，E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，的最小值为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设O为坐标原点，直线l为双曲线C的切线，过F作的垂线，垂足为A，求证：A在定圆上. 【变式10-4】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上的一动点，直线，直线与分别交于两点，记，的外接圆面积分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04双曲线的概念与几何性质 【清单01】双曲线的概念与标准方程 一.双曲线的定义 1.定义：在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线. 2.焦距：这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5. 若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 二.双曲线的标准方程 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 【清单02】双曲线的渐近线、离心率及几何性质汇总 一.等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为e＝. 二.双曲线与渐近线的关系 1、若双曲线方程为渐近线方程： 2、若双曲线方程为（a＞0，b＞0）渐近线方程： 3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， 4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上） 三. 离心率 1.定义：e＝ 2.范围：(1，＋∞) 3.拓展：①②③ 四.双曲线的几何性质汇总 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 图形 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：；半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 【清单03】直线与双曲线的位置关系 一．直线与双曲线的位置关系 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为的形式，在≠0的情况下考察方程的判别式. (1)>0 时，直线与双曲线有两个不同的公共点 (2)=0时，直线与双曲线只有一个切点 (3)<0时，直线与双曲线没有公共点 当=0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个交点 【特别注意】(1)直线与双曲线的关系中:一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支 (2)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. (3)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论:直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行: (4)注意对直线的斜率是否存在进行讨论 二．弦长公式 ①弦长公式:直线y=kx+b 与双曲线相交所得的弦长 d=. ②处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时,联立曲线方程和直线方程,根据两点间距离公式并结合韦达定理、点差法进行求解 ③双曲线的通径:过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径,无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于 【考点题型一】双曲线的概念与标准方程 方法总结： 文字语言 平面内与两个定点，F的距离的差的绝对值等于非零常数(小于||)的点的轨迹 符号语言 . 焦点 定点 焦距 两焦点间的距离 【例1】（23-24高二上·江苏连云港·期中）方程可化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】移项平方化简可得答案. 【详解】由得， 两边平方得，且得， 两边再平方得， 可化简为. 故选：D. 【变式1-1】（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意有，从而有，根据双曲线的定义得点的轨迹为是以F1、F2为焦点的双曲线．再写出其方程即可. 【详解】如图所示： ∵是圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点， ∴，， ∵是圆上一动点，∴，∴， ∴，，， ∴点的轨迹为以F1、F2为焦点的双曲线，且，，得， ∴点的轨迹方程为. 故选：C. 【变式1-2】（23-24高二上·江苏常州·期中）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】由焦点在y轴上的双曲线方程的结构特征列出关于m的不等式组求解即得. 【详解】因方程表示焦点在y轴上的双曲线， 则有，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：A 【变式1-3】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知双曲线的方程为,则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据双曲线标准方程的特点求解即可. 【详解】为双曲线方程, 解得或 的取值范围是. 故答案为： 【变式1-4】（21-22高二上·江苏镇江·期中）动圆M与圆：，圆：，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设，半径为，根据动圆与圆，都外切得到，从而得到的轨迹为以为焦点，的双曲线左支，再求轨迹方程即可. 【详解】圆：，圆心，半径 . 圆：，圆心，半径 . 设，半径为，因为动圆与圆，都外切， 所以， 所以的轨迹为以为焦点，的双曲线左支. 所以，，解得， 即的轨迹方程为：. 故选：D 【考点题型二】双曲线的离心率 方法总结： 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式,利用+和 转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围). 【例2】（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为，则C的离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据题意，分双曲线的焦点在轴和轴上，两种情况求得，进而求得双曲线的离心率的值，得到答案. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为， 当双曲线的焦点在轴上时，可得，所以； 当双曲线的焦点在轴上时，可得，所以， 综上可得，双曲线的离心率为或. 故选：D. 【变式2-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）设，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线以及椭圆的定义，以及在焦点三角形中运用余弦定理建立关于双曲线和椭圆离心率的方程解出即可. 【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义得： ， ， 设， 则在中由余弦定理得： ， 即 化简得：， 所以， 又因为双曲线的离心率为， 所以椭圆的离心率为， 故选：B. 【变式2-2】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知双曲线的左、右顶点分别为、，是上一点，为等腰三角形，且的外接圆面积为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设点在第一象限，作出图形，分析可知，利用正弦定理求出的值，进而可得出直线的斜率，求出直线的方程，结合二倍角的正切公式以及点斜式可得出直线的方程，可求出点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可求出双曲线的离心率的值. 【详解】不妨设点在第一象限，如下图所示： 由图可知，，且， 因为为等腰三角形，则， 设的外接圆半径为，则，可得， 由正弦定理可得，则，即， 易知，为锐角，则， 所以，， ， 所以，直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得，即点， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，可得， 因此，双曲线的离心率为. 故选：C. 【变式2-3】（23-24高二上·江苏南通·期中）在中，，，以，为焦点且经过点的椭圆离心率记为，以，为焦点且经过点的双曲线离心率记为，则 . 【答案】 【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的定义，再由离心率的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可设,，，以为焦点且经过点的椭圆为，以为焦点且经过点的双曲线为， 由椭圆的定义可知，，， 则； 由双曲线的定义可知，，， 则，所以. 故答案为： 【变式2-4】（23-24高二上·江苏徐州·期中）设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得，.进而在中，由余弦定理变形可得，.根据不等式的性质，结合已知，求解即可得出答案. 【详解】 根据椭圆及双曲线的定义可得， 所以. 在中，，由余弦定理可得 ， 整理可得，， 两边同时除以可得，. 又，， 所以有， 所以，. 因为，所以， 所以，所以，，， 所以，. 则， 故. 故选：C. 【考点题型三】双曲线的渐近线 方法总结：在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k=与,满足关系式 【例3】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知以双曲线的实轴、虚轴为两条对角线的四边形的面积为，且双曲线的两条渐近线将坐标平面四等分，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意，得到双曲线的渐近线方程，推出，再由以实轴、虚轴为两条对角线的四边形面积为8，求出，即可得出结果. 【详解】因为双曲线的两条渐近线将坐标平面四等分， 所以渐近线方程为：，因此， 则实轴与虚轴相等， 又以双曲线的实轴、虚轴为两条对角线的四边形的面积为， 则，即， 因此该双曲线的方程为. 故选：B.    【变式3-1】（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知双曲线 ，则当实数变化时，这些双曲线有（    ） A．相同的焦点 B．相同的实轴长 C．相同的离心率 D．相同的渐近线 【答案】D 【分析】分别求与时双曲线的的值，由此判断各选项的对错. 【详解】当时，方程可化为， ∴ ，，， 焦点坐标在x轴，实轴长为，离心率为，渐近线为， 当时，方程可化为， ∴ ，，， 焦点坐标在y轴，实轴长为，离心率为，渐近线为， 所以这些双曲线有相同的渐近线. 故选：D. 【变式3-2】(多选)（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知曲线C：．（    ） A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若，则C是圆，其半径为 C．若，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若，，则C是两条直线 【答案】CD 【分析】根据，将化为，结合椭圆方程判断A； 结合圆的方程判断B；讨论的正负，结合双曲线方程以及渐近线方程可判断C； ，时，可得，即可判断D. 【详解】对于A，若，则，则即为， 故表示焦点在x轴上的椭圆，A错误； 对于B，若，则即为， 故C是圆，其半径为，B错误； 对于C，若，则不妨设，则即为， 曲线C此时表示焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为， 当，则即为， 曲线C此时表示焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为, 综上，若，则C是双曲线，其渐近线方程为，C正确； 对于D，若，，则即为，即， 即则C是两条直线，D正确， 故选：CD 【变式3-3】（多选）（22-23高二上·江苏淮安·期中）下列双曲线中以为渐近线的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据双曲线方程与渐近线方程的关系，即可求渐近线方程. 【详解】A.由双曲线方程得，得双曲线的渐近线方程为; B. 由双曲线方程得，得双曲线的渐近线方程为； C. 由双曲线方程得，得双曲线的渐近线方程为； D. 由双曲线方程得，得双曲线的渐近线方程为. 故选：BCD 【变式3-4】（多选）（21-22高二上·江苏镇江·期中）已知双曲线C： 则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的焦点坐标为(－13，0)，(13，0) B．双曲线C与有相同的渐近线 C．双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3 D．直线与双曲线有两个交点 【答案】BC 【分析】根据双曲线的知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】依题意，双曲线方程为， 所以， A选项，双曲线焦点为，A错误. B选项，双曲线C与有相同的渐近线，B正确. C选项，双曲线的一条渐近线为， 焦点到渐近线的距离为，C正确. D选项，由于双曲线的渐近线为，直线与渐近线平行，与双曲线只有一个交点，D错误. 故选：BC 【考点题型四】焦点三角形 方法总结：求双曲线中焦点三角形面积的方法： ①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积 ④结论： 【例4】（21-22高二·全国·课后作业）设双曲线的两个焦点分别为、，P为双曲线上一点，若，则 ． 【答案】0 【分析】先由双曲线的定义结合已知求得，进而可求出. 【详解】由题意得，，联立 ， 因此，则． 故答案为：0. 【变式4-1】（21-22高二上·江苏盐城·期中）已知焦点为，的双曲线的离心率为，点为上一点，且满足，若的面积为，则双曲线的实轴长为 【答案】 【分析】由和双曲线定义可得，再结合余弦定理和可得，利用面积公式可解得，即得解. 【详解】由题意， 由双曲线定义可知， 又 又 又 故双曲线的实轴长为 故答案为：. 【变式4-2】（21-22高二上·江苏镇江·期中）已知是双曲线左右焦点，过的直线与双曲线的左右支分别交于A、B两点，若＝2a，，则 【答案】/0.5 【分析】根据双曲线定义得,再根据三角形面积公式得结果. 【详解】因为，所以， 因为,所以, 因为，所以， 因此 故答案为：. 【变式4-3】（22-23高二上·江苏盐城·期中）经过双曲线的左焦点作斜率为2的弦AB，求： (1)线段的长； (2)设点为右焦点，求的周长. 【答案】(1)30 (2)64 【分析】（1）联立直线与双曲线方程，由弦长公式求解， （2）由双曲线的定义转化后求解． 【详解】（1）由题意得直线AB的方程为, 代入双曲线方程可得, 设，则 即的长为 （2）由双曲线的定义得=， 则的周长为 =. . 【变式4-4】（多选）（22-23高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，设是，的一个交点，与的离心率分别是，，则下列结论正确的有（    ） A． B．的面积 C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据焦点三角形与椭圆双曲线的联系，结合余弦定理，面积公式即可求解. 【详解】设，，又∵， 即， 又∵，，令， ∴，， ∴，故A正确； ，， ，故B正确； 当时，，得， ∴ ，故C不正确． 设，证明椭圆的焦点三角形面积为， 记，， 在中，由余弦定理有：， ∴， 又由椭圆定义有：， ∴；∴， 又∵， ∴ ， 设，证明双曲线的焦点三角形面积为， 记，， 在中，由余弦定理有：， ∴， 又由双曲线定义有：， ∴；∴， 又∵， ∴ ， 由 ，故D正确． 故选:ABD． 【考点题型五】直线与双曲线的位置关系 方法总结：直线与双曲线的具有三种位置关系: (1) 相交:直线与双曲线交于两点或平行于渐近线交双曲线于一点; (2) 相切:不平行于渐近线且交于一点; (3)相离; 【例5】（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期中）双曲线与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【答案】C 【分析】根据已知直线和双曲线的渐近线的位置关系判断即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 所以，当时，直线与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线有一个交点. 故选：C    【变式5-1】（22-23高二上·江苏盐城·期中）若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】 利用双曲线和双曲线渐近线的图像和性质求解即可. 【详解】 直线，即恒过点， 又双曲线的渐近线方程为， 则点在其中一条渐近线上， 又直线与双曲线只有一个交点， 则直线过点且平行于或过点且与双曲线的右支相切， 即满足条件的直线有条. 故选：C 【变式5-2】（22-23高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线的离心率为，则 ，若直线与该双曲线有且仅有一个公共点，则 . 【答案】 1 / 【分析】空1：根据双曲线的方程和离心率列式求解即可；空2：联立方程结合判别式分析运算，注意分和两种情况讨论. 【详解】空1：由题意可得：，解得，故； 空2：∵双曲线的方程为， 联立方程，消去y得， 当，即时，则，即，故直线与该双曲线有且仅有一个公共点，符合题意； 当时，则，故直线与该双曲线有且仅有两个公共点，不符合题意； 综上所述：，又，则. 故答案为：1；. 【变式5-3】（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知直线，与双曲线的左支交于A，B两点. (1)求实数的取值范围； (2)若的面积为（O为坐标原点），求此时直线的斜率的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点坐标，联立方程组，根据根与系数的关系求解； （2）通过面积求解出，从而求解出的值. 【详解】（1）依题意，设， 联立方程组，整理得： 因为直线，与双曲线的左支交于A，B两点， 所以，解得，故， （2）设点O到直线的距离为，则， ， 又因为，所以 又因为， 代入，得， 整理得，又，解得， 此时直线的斜率的值为. 【变式5-4】（22-23高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C过点,. (1)求双曲线C的标准方程; (2)已知,过点的直线l与双曲线C交于不同两点M、N,设直线AM、AN的斜率分别为、,求证:为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)设双曲线C的方程为,将,代入求解即可; (2)由题意易得直线l的斜率存在,设,,直线l的方程为,联立直线与双曲线方程,化简的式子,结合韦达定理即可求出结果. 【详解】（1）设双曲线C的方程为, 将,代入上式得:, 解得, 双曲线C的方程为. （2）设,, 由题意易得直线l的斜率存在, 设直线l的方程为,代入整理得, , ,,且, 则 , 故为定值. 【考点题型六】中点弦问题 方法总结：双曲线中点弦的斜率公式： 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 【例6】（23-24高二上·河北·期中）已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设方程，求出，即可求解. （2）设两点坐标，代入双曲线方程，两式作差，结合中点坐标公式，即可求出直线的斜率，由直线的点斜式方程，求出直线的方程，与双曲线联立方程，满足，即可得到直线的方程. 【详解】（1）因为双曲线与双曲线有相同的渐近线， 所以可设其方程为， 将点的坐标代入得，则所求双曲线的标准方程为． （2）设，，因为的中点为，则，， 因为，所以， 即，则，所以， 所以直线的方程为，即． 当直线为时，联立方程，得，，符合题意，故直线的方程为. 【变式6-1】（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为． (1)求双曲线C的方程． (2)经过点作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率，利用待定系数法求双曲线方程； （2）首先利用点差法求直线的斜率，并求解直线方程，与双曲线方程联立，代入弦长公式，即可求解. 【详解】（1）由题意得椭圆的焦点为，， 设双曲线方程为， 则， ∴， 解得， 双曲线方程; （2）把，分别代入双曲线，两式相减，得 ， 把，，代入，得， ，直线的方程为，即 把代入，消去y得， . 【变式6-2】（21-22高二上·江苏南通·期中）在①离心率为，且经过点；②半长轴的平方与半焦距之比等于常数，且焦距为这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线存在，求出的方程；若问题中的直线不存在，说明理由. 问题：已知曲线：的焦点在轴上，______，是否存在过点的直线，与曲线交于，两点，且为线段的中点？ 注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【分析】选条件：可得曲线为焦点在轴上的双曲线，根据条件求出双曲线方程，根据直线的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意即可；斜率存在时，联立直线与双曲线方程，由韦达定理验证是否满足题意； 选条件：可得曲线为焦点在轴上的椭圆，根据条件求出椭圆方程，根据直线的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意即可；斜率存在时，联立直线与椭圆方程，由韦达定理验证是否满足题意. 【详解】选条件：由题设得曲线为焦点在轴上的双曲线， 设，，所以的方程为， 由题设得，解得，， 所以的方程为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与曲线有且仅有一个交点，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设，，直线的方程为，即， 代入得， 若，即时，方程有且仅有一解，不符合题意； 若，即时，其判别式，则， 所以方程有两个不同实数解时，， 于是，解得，与且矛盾， 所以，不存在直线，与曲线交于，两点，且为线段的中点． 选条件：由题设得曲线为焦点在轴上的椭圆， 设，，所以的方程为， 由题设得，解得，， 所以的方程为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入得，不是线段的中点，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设，，直线的方程为，即， 代入得， 其判别式， 于是，解得， 故，即， 所以存在直线：，与曲线交于，两点，且为线段的中点． 【点睛】方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 【变式6-3】(多选)（22-23高二下·云南保山·期中）公元前年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为“黄金分割比”，这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用．利用“黄金分割比”研究双曲线，可得满足：的双曲线叫做“黄金双曲线”．黄金双曲线E：（，）的一个顶点为A，与A不在y轴同侧的焦点为F，E的一个虚轴端点为为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦，M为PQ中点．设双曲线E的离心率为e，则下列说法中，正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】 根据“黄金双曲线”的定义计算出“黄金双曲线”的离心率，根据双曲线的性质以及点差法确定正确答案. 【详解】“黄金双曲线”满足，即， 两边除以得，解得（负根舍去）， 所以A选项错误，B选项正确. ，所以C选项正确. 设，则， 由，两式相减并化简得， 即，所以D选项正确. 故选：BCD    【点睛】求双曲线离心率的方法有两种，一种是根据已知条件求得，从而求得双曲线的离心率；一种是求得关于的齐次式，然后转化为，从而求得离心率.有关双曲线中点弦的问题，可考虑利用点差法进行求解. 【变式6-4】（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，斜率为2的直线l与E的一条渐近线垂直，且交E于A，B两点，. (1)求E的方程； (2)设点P为线段AB的中点，求直线OP的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线中，求得，再由双曲线的渐近线方程及斜率，求出，即可得到E的方程； （2）设，，可表示出直线AB和直线OP的斜率，再用点差法求出直线OP的斜率，即可得到直线OP的方程. 【详解】（1）因为在双曲线E：中，， 所以，即. 双曲线E：的渐近线方程为， 因为斜率为2的直线l与E的一条渐近线垂直，所以，所以 所以E的方程为. （2）设，，则. 线段AB的中点P的坐标为，则， 又点A，B在双曲线E上，所以， ②－①得，， 两边同时除以并整理，得. 又，，，所以. 所以直线OP的方程为：. 【考点题型七】直线与双曲线弦长问题 方法总结：设直线交双曲线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 【例7】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分直线的斜率是否为两种情况讨论，直线的斜率不等于时，设方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式结合弦长求出即可得解. 【详解】由题意，， 当直线的斜率为时，直线的方程为， 在方程中，令，则， 此时，符合题意， 当直线的斜率不等于时，设方程为， 联立，消得， 则，解得， 设， 则， 故 ，解得， 综上所述，符合题意得直线有条. 故选：C. 【变式7-1】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）双曲线的焦点的坐标分别为和，离心率为，求： (1)双曲线的方程及其渐近线方程； (2)已知直线与该双曲线交于交于两点，且中点，求直线AB的弦长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题意可得的值，再由离心率，可得的值，进而求出的值，由此可求出双曲线的方程以及渐近线方程； （2）设直线：，与双曲线联立，根据中点坐标求出直线方程，再利用弦长公式计算即可. 【详解】（1）由题意可得，可得＝4，且焦点在轴上， 所以， 所以双曲线的方程为：；渐近线的方程为：； （2）由于中点不在轴上，根据双曲线的对称性可得直线的斜率必存在， 设直线：，， 联立， 消去得 则，，解得， 则 【变式7-2】（22-23高二上·江苏盐城·期中）经过双曲线的左焦点作斜率为2的弦AB，求： (1)线段的长； (2)设点为右焦点，求的周长. 【答案】(1)30 (2)64 【分析】（1）联立直线与双曲线方程，由弦长公式求解， （2）由双曲线的定义转化后求解． 【详解】（1）由题意得直线AB的方程为, 代入双曲线方程可得, 设，则 即的长为 （2）由双曲线的定义得=， 则的周长为 =. . 【变式7-3】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）双曲线C：的右焦点为，直线l过点且与双曲线C交于A，B两点，直线l的倾斜角为30°，O为坐标原点. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据焦点坐标和斜率写出直线方程，联立直线与双曲线，结合弦长公式求解即可； （2）求解的面积，边的高即为原点到的距离，结合点到直线距离公式，以及求解即可. 【详解】（1） 由题意，双曲线C：，， 故右焦点，直线l的倾斜角为30°，故斜率， 直线l的方程为：， 联立直线与双曲线：，可得，， 不妨设，则， 由弦长公式. （2）由题意，求解的面积，边的高即为原点到的距离， 直线， 故，. 【变式7-4】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点是双曲线：的右支上一点，、是双曲线的左、右焦点，的面积为20，则点的横坐标为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得，代入计算，即可得到，再代入双曲线方程即可得到结果. 【详解】   因为双曲线：，则有，不妨设，， 由的面积为20，可得，其中，则， 将代入双曲线方程，可得. 故选：D 【考点题型八】双曲线中的和差最值问题 方法总结： 最值问题：利用三角形：和最小问题，两边之和≥第三边，三点共线，动点必须在中间。 差的绝对值最大问题，两边之差的绝对值≤第三边，三点共线，动点必须在两边。 【例8】（21-22高二上·四川成都·期中）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知两圆圆心为双曲线的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得的最大值. 【详解】在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点， 记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上， 所以，. 故选：B. 【变式8-1】（22-23高二上·江苏徐州·期中）已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由已知条件可以得到双曲线的标准方程为，由双曲线的定义可知，，故的最大值为. 【详解】因为等轴双曲线的左、右焦点在轴上，中心在坐标原点， 所以可设双曲线的方程为， 又因为双曲线的焦距为8，所以， 而，所以，故双曲线的标准方程为. 由双曲线的定义可知，， 由题意可知，，，， 所以,故的最大值为， 当且仅当三点共线且点位于第一象限时取得最大值. 故选：B    【变式8-2】（22-23高二上·吉林·期中）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线定义得，则利用三角形任意两边之差小于第三边求出的最小值即为. 【详解】由题意得双曲线焦点在轴上，，，， 所以下焦点，设上焦点为，则， 根据双曲线定义：，在上支， ，, 在中两边之差小于第三边，， ,   . 故选：D. 【变式8-3】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，及，当且仅当三点共线时取等号，再结合双曲线的定义可得． 【详解】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，， 圆半径为， ，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号， 所以，又由双曲线的定义，， 所以，即的最小值为， 故答案为：． 【变式8-4】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据已知求出的值.结合图象可知点应在双曲线的右支上，根据双曲线的定义可得.结合图象，以及两点间的距离公式，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，， 所以，，，.    如图，设双曲线左焦点为， 因为点在双曲线右支内部，要使最小，则点应在双曲线的右支上. 根据双曲线的定义可得，， 所以，. 所以，. 由图象可知，当三点共线且如图示位置时，有最小值. 又，所以， 所以，有最小值， 即有最小值. 故答案为：. 【考点题型九】双曲线轨迹方程 方法总结：求轨迹方程的常见方法有: ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可； ④逆代法，将代入. 【例9】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知圆，动圆与圆均外切，记圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点且斜率为4的直线与曲线交于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两圆的位置关系结合双曲线的定义分析即可得解； （2）联立直线与曲线的方程，利用弦长公式求得，再利用点线距离求得到直线的距离，从而利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 由条件可得，即， 则根据双曲线的定义可知，点是以，为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支， 则，可得， 所以曲线的方程为． （2）依题意，直线的方程为，即， 联立，消去，得， 易知，设，则， 所以， 而到直线的距离为， 所以的面积为. 【变式9-1】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设，根据斜率得到，化简即可. 【详解】设，由题意可知，， 整理可得动点的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式9-2】（23-24高二上·江苏南京·期中）双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的左焦点为，过双曲线右支上任意一点作其切线，过点作直线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为 . 【答案】其中 【分析】由双曲线的光学性质，得到为的平分线，延长交于点，根据中位线的性质，得到，结合圆的定义和双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，其右焦点为，且渐近线方程为， 设双曲线右支上任意一点，过点作直线的垂线，垂足为， 则过点的切线为， 根据双曲线的光学性质，可得为的平分线， 延长，设的延长线与的延长线交于点，如图所示， 则垂直平分，即点为的中点， 又因为的中点，所以， 可得点的轨迹表示以原点为圆心，以为半径的圆， 可得点的轨迹方程为， 联立方程组，可得， 因为在双曲线的右支上，且为双曲线的切线，则， 所以点的轨迹方程为其中. 故答案为：其中. 【变式9-3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到点的距离是到直线的距离的． (1)求点M的轨迹方程； (2)设，直线与M的轨迹方程相交于两点，若直线与M的轨迹方程交于另一个点，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设点，根据题意，由化简求解； （2）设直线的方程为，，，，与双曲线方程联立，表示直线的方程为，令，结合韦达定理求解. 【详解】（1）设点，由题意得： ， 化简得： 所以点M的轨迹方程是； （2）由题意；直线的斜率不为零，设直线的方程为，，，， 联立，消去整理得， 则，，解得， ， 直线的方程为， 令，得， ， ， 所以直线过定点 【变式9-4】（21-22高二上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)设过点A(，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设P(x，y)，由P与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数求解； （2）直线MN斜率不存在时，由直线AM，AN分别为，，求得与双曲线的交点即可；直线MN斜率存在时，设其方程为，()，与双曲线方程联立，根据AM⊥AN，结合韦达定理得到k，m的关系即可. 【详解】（1）解：设P(x，y)， 因为P与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数， 所以， 化简得， 所以曲线E的方程为. （2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 当直线MN斜率不存在，直线AM，AN分别为，， 分别联立，解得M(，)，N(，－)， 此时直线MN的方程为，过点(，0)； 当直线MN斜率存在时设其方程为，() 由，消去y得， 所以，即， ，， 因为AM⊥AN， 所以，即， 即， 即， 将，代入化简得：， 所以或， 当时，直线MN方程为(不符合题意舍去)， 当时，直线MN方程为，MN恒过定点(，0)， 综上所述直线MN过定点(，0). 【考点题型十】双曲线的切线 方法总结： 性质1.双曲线上任意一点(异于顶点)处的切线，平分该点处两条焦半径的夹角。 性质2.双曲线上任意一点(异于顶点)处的切线，平分该点处两条焦半径的夹角。 性质3.双曲线上任一点处的切线与两条渐近线所围成的三角形的面积为定值。 【例10】（多选）（21-22高二下·江苏镇江·期中）已知双曲线：，则（    ） A．双曲线的焦距为4 B．双曲线的两条渐近线方程为： C．双曲线的离心率为 D．双曲线有且仅有两条过点的切线 【答案】ABD 【分析】根据双曲线的方程求焦距、渐近线方程、离心率，判断ABC，由直线与双曲线的位置关系判断D． 【详解】由双曲线标准方程得，，所以，焦距为4，A正确； ，渐近线方程为，B正确； 离心率为，C错误； 设过的直线的方程为，代入双曲线方程得： （*）， ，即时，方程（*）只有一解，此时直线与渐近线平行，与双曲线相交， 又由得，此时方程（*）有两个相等的实数解， 此时直线与双曲线相切，即相切的直线有两条，D正确． 故选：ABD． 【变式10-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知为直线上任一点，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，过的实轴右顶点作垂直于轴的直线与直线分别交于两点，点的纵坐标分别为，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设双曲线，将点代入计算即可求解； （2）设，，求出m、n的表达式并分别联立双曲线方程，利用可得、，即是方程的解，根据韦达定理表示出，代入化简计算即可求解. 【详解】（1）设双曲线，过点，代入坐标可得， 所以双曲线C的标准方程为； （2）设，， 所以， 即， 则， 化简可得：，同理可得：； 所以均是方程的解； 所以， ， ， 故 .    【变式10-2】（22-23高二上·山西·期中）已知左、右焦点分别为的双曲线，其实轴长为8，其中一条渐近线的斜率为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线右支上除顶点外的任意一点，证明：双曲线在点处的切线平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件，直接求出即可求出双曲线的标准方程； （2）先设出的方程为，利用为双曲线的切线得到，再利用点在双曲线上，得到，进而可求出切线与轴的交点坐标，从而可求出，再求出，从而得到，即可证明出结果. 【详解】（1）由题意知， 因为一条渐近线的斜率为，所以，即， 所以双曲线的标准方程为． （2）设点，显然切线的斜率存在． 设的方程为， 由，消得， 由， 整理得， 又，得到， 所以，得到，解得． 设切线与轴交于点，则， 所以，即． 因为， 所以， 又， 所以， 则是的内角平分线，故切线平分．    【点睛】关键点晴，本题的关键在于通过证明，进而证明切线平分，先利用几何条件分别求出，即可证明结果. 【变式10-3】（22-23高二下·福建福州·期中）已知双曲线上任意一点P（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为，E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，的最小值为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设O为坐标原点，直线l为双曲线C的切线，过F作的垂线，垂足为A，求证：A在定圆上. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）设，根据两点表示斜率公式可得，结合计算即可求解； （2）易知当直线的斜率不存在时点A在定圆上；当直线的斜率存在时设，联立双曲线方程，根据根的判别式可得，利用两直线求交点坐标可得，计算化简即可求解. 【详解】（1）由题意知，双曲线的顶点为， 设点，则①，又P与双曲线两顶点连线的斜率之积为， 所以，即②， 由①②得，，因为，所以③， 又的最小值为，所以④， 由③④和得，所以双曲线的方程为； （2）当直线的斜率不存在时，，则点A为双曲线的顶点， 此时点A在圆上，符合题意； 当直线的斜率存在时，设， 若，不符合题意，故. ， ，整理得. 由（1）知，因为，所以， ，解得，即， 所以 ， 所以点A在圆上. 综上，点A在定圆上. 【变式10-4】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上的一动点，直线，直线与分别交于两点，记，的外接圆面积分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，结合斜率公式得到，设出直线和的方程，求出两点的坐标，得到的表达式，设，的外接圆的半径分别为，结合正弦定理以及基本不等式再进行求解即可． 【详解】易知，由双曲线的对称性， 不妨设在第一象限，此时，， 所以， 不妨设直线的方程为，，令，解得， 不妨设直线的方程为，令，解得， 所以，， 不妨设，的外接圆的半径分别为， 由正弦定理得，， 所以，当且仅当，时，等号成立， 所以． 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司46 学科网（北京）股份有限公司 $$