专题02圆的方程及位置关系（考点清单，知识导图+3考点清单+10题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题02 圆的方程及位置关系 【清单01】圆的方程 一、圆的标准方程 1.圆的基本要素：圆心和半径 2.圆的标准方程 一般地，如果平面直角坐标系中C的圆心为C（a，b），半径为r（r>0），设M（x，y）为平面直角坐标系中任意一点，则点M在C上的充要条件是CM=r，即两边平方，得 +=，此式通常称为圆的标准方程． 二、圆的一般方程 1.当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其圆心为，半径为 r＝ . 2. 当D2＋E2－4F=0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点. 3.当D2＋E2－4F<0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形. 【清单02】点与圆的位置关系 一．由圆的标准方程判断点与圆位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 │MA│＝r⇔点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 │MA│<r⇔点M在圆A内 点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 点在圆外 │MA│>r⇔点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 二．由圆的一般方程判断点与圆位置关系 已知M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点在圆上 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F=0 点在圆内 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F<0 点在圆外 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F>0 判断二元二次方程Ax²＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆要" 两看"： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A=C≠0，②B=0； 二看它能否表示圆．此时判断D²＋E²- 4AF是否大于0，或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数. 【清单03】直线与圆的位置关系及切线 一．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程根的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 图形 二．圆的切线 (1)过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. 三.切线长 ①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 . ②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 注意：过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 四．圆的弦长 直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： (1)几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. (2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. 【清单04】圆与圆的位置关系及切线、弦长 一.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为:外离、外切、相交、内切、内含。 二.圆与圆位置关系的判定 1.几何法 若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与 r1，r2的 关系 d＞ r1＋r2 d＝ r1＋r2 |r1－r2| ＜d＜ r1＋r2 d＝ |r1－r2| (r1≠r2) 0≤d＜ |r1－r2| (r1≠r2) 2.代数法 通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 一元二次方程 注意：涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． 注意：1.圆与圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含； 2.圆与圆相交，两圆有两个公共点； 3.圆与圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切. 三. 两圆的公切线 两圆的公切线是指与两圆都相切的直线，可分为外公切线和内公切线. 两圆的公切线有如图所示的五种情况： 位置关系 两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含 图示         公切线条数 4 3 2 1 0 1.外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； 2.外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； 3.相交时，有2条公切线，都是外公切线； 4.内切时，有1条公切线； 5.内含时，无公切线. 四．两圆相交时公共弦所在直线的方程： 圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时： 1.将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； 2.两圆圆心的连线垂直平分公共弦； 3.x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2)． 【考点题型一】圆的方程及解法 方法总结： 1.已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入， 2.一般求圆的标准方程主要使用待定系数法:步骤如下: (1)根据题意设出圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 (2)根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组; (3)求出a，b，r的值，代入所设方程中即可 另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程 【例1】（23-24高二上·吉林长春·期中）圆心在轴上，并且过点和的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）与两坐标轴都相切，且圆心在直线上的圆的标准方程是 ． 【变式1-2】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知的顶点为，，． (1)求边的垂直平分线的一般式方程； (2)求的外接圆的方程． 【变式1-3】（23-24高二上·江西·阶段练习）若圆的半径为2，则实数的值为（    ） A．-9 B．-8 C．9 D．8 【变式1-4】（22-23高二上·江苏南通·期中）已知圆：，则该圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】圆的一般方程 方法总结：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 方程表示的图形 D2＋E2－4F＞0 圆心为，半径为r＝ 的圆 D2＋E2－4F=0 表示点 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 【例2】（23-24高二上·浙江舟山·阶段练习）若 ，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】（22-23高二上·江苏苏州·期中）曲线所围成图形面积为 ． 【变式2-2】（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知抛物线与轴交于（其中点在点的右边），与轴交于点，记的外接圆为圆. (1)求圆的方程； (2)经过点的直线与圆的另一个交点为，若，求直线的方程. 【变式2-4】（22-23高二上·江苏泰州·期中）若圆的方程为，则圆的最小周长为（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】点与圆的位置关系 方法总结： 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 │MA│＝r⇔点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 │MA│<r⇔点M在圆A内 点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 点在圆外 │MA│>r⇔点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 【例3】（22-23高二上·江苏淮安·期中）圆上的点到点的距离可能为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式3-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）若点在圆内，则直线与圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【变式3-2】（多选）（23-24高二下·江苏南京·期中）点关于直线的对称点在圆内，则实数可以为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式3-3】（多选）（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知圆M：，则下列说法正确的是（        ） A．点在圆M外 B．圆M的半径为 C．直线截圆M的弦长为3 D．圆M关于对称 【变式3-4】（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆：，则下列结论中正确的有（    ） A．圆过定点 B．点在圆外 C．直线平分圆周 D．存在实数，使圆与轴相切 【考点题型四】直线与圆的位置关系 方法总结：直线与圆的位置关系的判断方法 若给出图形，可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择. 【例4】（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【变式4-1】（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式4-2】（23-24高二上·江苏南通·期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．三种关系均存在 【变式4-3】（23-24高二上·江苏·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式4-4】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点题型五】圆的切线 方法总结：求过某一点的圆的切线方程 (1)点(，)在圆上 ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为-，由点斜式可得切线方程 ②)如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y=或x= (2)点(，)在圆外. ①设切线方程为y-=k(x-)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程 ②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x=xo，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况 【例5】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆，直线的过点且与圆相切，则满足条件的直线有几条（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ） A． B． C．3 D．4 【变式5-2】（23-24高二上·江苏盐城·期中）圆在点处切线的一般式方程为 ． 【变式5-3】（21-22高二上·江苏盐城·期中）问题：平面直角坐标系xOy中，圆C过点A（6，0），且___________. （在以下三个条件中任选一个，补充在横线上.） ①圆心C在直线上，圆C过点B（1，5）；②圆C过点和；③圆C过直线和圆的交点. (1)求圆C的标准方程； (2)求过点A的圆C的切线方程. 【变式5-4】（23-24高二上·江苏常州·期中）如图，已知圆：，点为直线上一点，过点P作圆的切线，切点分别为M，N.    (1)已知，求切线的方程； (2)直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由. 【考点题型六】直线与圆相交弦长问题 方法总结：含参直线注意不要忽略斜率不存在的情况 【例6】（22-23高二上·江苏镇江·期中）过点引直线与圆相交于A，B两点，O为坐标原点，当面积取最大值时，直线的斜率为（    ） A． B． C．±1 D． 【变式6-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与圆. (1)试判断直线与圆的位置关系，并说明理由； (2)若直线与圆交于两点，分别过的圆的切线相互垂直，求的值. 【变式6-2】（多选）（22-23高二上·江苏泰州·期中）已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的切线，，切点为A，，则下列说法正确的是（    ） A．四边形面积的最小值为4 B．线段的最小值为 C．当直线的方程为时，最小 D．若动直线，且交圆于、两点，且弦长，则直线横截距的取值范围为 【变式6-3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知半径为4的圆C与直线：相切，圆心C在y轴的负半轴上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线：与圆C相交于A，B两点，当面积最大时，求直线的方程． 【变式6-4】（23-24高二下·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知是圆上的一点，是圆上的两点，则的最大值为 . 【考点题型七】圆与圆的位置关系 方法总结：判断圆与圆的位置关系的两种方法 (1)代数法:将两圆的方程组成二元二次方程组，消元化成一元二次方程，通过方程根的判别式，应用此法时要注意当=0或<0时，两圆相切或相离，均又包含两种情况，因此，应用此法比较繁琐 （2）几何法:应用此法判断圆与圆的位置关系的步骤: ①将两圆的方程化为标准方程; ②求两圆的圆心坐标和半径，; ③求两圆的圆心距d; ④比较d与|-|，||,的大小关系，从而判断两圆的位置关系 【例7】（23-24高二上·江苏徐州·期中）若圆与圆相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）设集合，，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a取值范围是 . 【变式7-3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则（    ） A．20 B．－20 C．10 D．－10 【变式7-4】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，，为坐标原点. (1)若为圆上的动点，当最大时，求直线的斜率； (2)若圆过点及点，且与圆外切，求圆的方程. 【考点题型八】圆的公切线与相交弦 方法总结：两圆的公切线有如图所示的五种情况： 位置关系 两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含 图示         公切线条数 4 3 2 1 0 1.外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； 2.外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； 3.相交时，有2条公切线，都是外公切线； 4.内切时，有1条公切线； 5.内含时，无公切线. 【例8】（23-24高二上·江苏无锡·期中）若圆与圆有条公切线，则（    ） A． B． C．或 D． 【变式8-1】（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）若圆与圆有且仅有一条公切线，则的值可能为（      ） A．1 B．121 C．36 D．126 【变式8-2】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知过点的圆的圆心在直线上，且与直线相切. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为的直线的斜率. 【变式8-3】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆的圆心在直线上，且过点 (1)求圆的方程； (2)已知直线经过，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程． 【变式8-4】（23-24高二上·江苏南通·期中）在下列所给的两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答. ①与直线平行；②过点； 问题：已知直线过点，且______. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线与圆相交于点，，求弦的长. 【考点题型九】与圆相关的最值问题 【例9】（21-22高二下·江苏南通·期中）已知直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式9-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知点为圆上的一个动点，点为圆上的一个动点，为坐标原点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式9-2】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点P是直线上的动点，过点P引圆的两条切线PM，PN，M，N为切点，则PM的最小值为时，r的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式9-3】（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）圆与圆相交于、两点，则（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．线段的垂直平分线方程为 D．圆上的点与圆上的点的最大距离为 【变式9-4】（23-24高二上·江苏盐城·期中）设点是函数图象上任意一点，点的坐标，当取得最小值时圆：上恰有个点到直线的距离为，则实数的取值范围为 . 【考点题型十】轨迹方程 方法总结：求轨迹方程的常见方法 ①直接法:将动点满足的(与斜率、距离、数量积等有关的，或由平面几何知识推出的)等量关系，直接坐标化，即可得到动点轨迹方程 ②定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等)，可根据定义直接求，又称几何法，利用平面几何知识转化是关键. ③代入法:若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(，)的变化而变化，并且Q(，)又在某已知(或容易先确定的)曲线上，则可先用x，y的代数式表示，，再将，代入已知曲线即可得到要求的轨迹方程，又称相关点法或转移法. 【例10】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于2. (1)求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程. 【变式10-1】（22-23高二上·江苏泰州·期中）长为4的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程，并说明其形状； (2)过点作两条直线分别与曲线C交于P、Q两点，若直线MP，MQ的斜率之积为，线段PQ的中点为D，求证：存在定点E，使得为定值，并求出此定值． 【变式10-2】（22-23高二上·河南南阳·期中）已知点到点的距离与点到点的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的中点且倾斜角为的直线与（1）中的曲线交于两点，求的面积． 【变式10-3】（22-23高二上·江苏无锡·期中）已知圆，直线，，是直线上的动点，点在圆上运动，且点满足为原点），记点的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)过点且不与轴重合的直线与曲线交于，两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式10-4】（多选）（22-23高二下·江苏镇江·期中）已知点，，动点在：上，则（    ）    A．直线与相交 B．线段的中点轨迹是一个圆 C．的面积最大值为 D．在运动过程中，能且只能得到4个不同的 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆的方程及位置关系 【清单01】圆的方程 一、圆的标准方程 1.圆的基本要素：圆心和半径 2.圆的标准方程 一般地，如果平面直角坐标系中C的圆心为C（a，b），半径为r（r>0），设M（x，y）为平面直角坐标系中任意一点，则点M在C上的充要条件是CM=r，即两边平方，得 +=，此式通常称为圆的标准方程． 二、圆的一般方程 1.当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其圆心为，半径为 r＝ . 2. 当D2＋E2－4F=0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点. 3.当D2＋E2－4F<0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形. 【清单02】点与圆的位置关系 一．由圆的标准方程判断点与圆位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 │MA│＝r⇔点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 │MA│<r⇔点M在圆A内 点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 点在圆外 │MA│>r⇔点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 二．由圆的一般方程判断点与圆位置关系 已知M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点在圆上 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F=0 点在圆内 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F<0 点在圆外 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F>0 判断二元二次方程Ax²＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆要" 两看"： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A=C≠0，②B=0； 二看它能否表示圆．此时判断D²＋E²- 4AF是否大于0，或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数. 【清单03】直线与圆的位置关系及切线 一．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程根的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 图形 二．圆的切线 (1)过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. 三.切线长 ①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 . ②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 注意：过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 四．圆的弦长 直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： (1)几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. (2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. 【清单04】圆与圆的位置关系及切线、弦长 一.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为:外离、外切、相交、内切、内含。 二.圆与圆位置关系的判定 1.几何法 若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与 r1，r2的 关系 d＞ r1＋r2 d＝ r1＋r2 |r1－r2| ＜d＜ r1＋r2 d＝ |r1－r2| (r1≠r2) 0≤d＜ |r1－r2| (r1≠r2) 2.代数法 通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 一元二次方程 注意：涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． 注意：1.圆与圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含； 2.圆与圆相交，两圆有两个公共点； 3.圆与圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切. 三. 两圆的公切线 两圆的公切线是指与两圆都相切的直线，可分为外公切线和内公切线. 两圆的公切线有如图所示的五种情况： 位置关系 两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含 图示         公切线条数 4 3 2 1 0 1.外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； 2.外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； 3.相交时，有2条公切线，都是外公切线； 4.内切时，有1条公切线； 5.内含时，无公切线. 四．两圆相交时公共弦所在直线的方程： 圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时： 1.将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； 2.两圆圆心的连线垂直平分公共弦； 3.x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2)． 【考点题型一】圆的方程及解法 方法总结： 1.已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入， 2.一般求圆的标准方程主要使用待定系数法:步骤如下: (1)根据题意设出圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 (2)根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组; (3)求出a，b，r的值，代入所设方程中即可 另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程 【例1】（23-24高二上·吉林长春·期中）圆心在轴上，并且过点和的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆心为，由可求出的值，可得出圆心的坐标，再求出圆的半径，即可得出所求圆的标准方程. 【详解】设圆心为，由可得，解得， 所以，圆心为，圆的半径为， 故所求圆的标准方程为. 故选：D. 【变式1-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）与两坐标轴都相切，且圆心在直线上的圆的标准方程是 ． 【答案】或 【分析】设所求圆的标准方程为，由题意可得，分、两种情况讨论，根据圆心在直线上，求出的值，即可得出所求圆的标准方程. 【详解】设所求圆的标准方程为， 因为所求圆与两坐标轴都相切，则， 当时，则圆心在直线上，则，解得， 此时，所求圆的标准方程为； 当时，则圆心在直线上，则，解得， 此时，所求圆的标准方程为. 综上所述，所求圆的标准方程为或. 故答案为：或. 【变式1-2】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知的顶点为，，． (1)求边的垂直平分线的一般式方程； (2)求的外接圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出边上的高所在直线的斜率，利用点斜式方程可得结果； （2）设的外接圆的方程为，将该三角形的三个顶点坐标代入所求圆的方程，可得出关于的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出的外接圆的方程. 【详解】（1）设中点为，所以，即， 由题意得，所以边上高的斜率为2， 又因为的垂直平分线过点， 所以的垂直平分线的方程为：，即． （2）设的外接圆的方程为． 将A，B，C三点坐标代入上式得，解得， 所以圆M的方程为，即． 【变式1-3】（23-24高二上·江西·阶段练习）若圆的半径为2，则实数的值为（    ） A．-9 B．-8 C．9 D．8 【答案】D 【分析】由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案. 【详解】由，得， 所以，解得. 故选：D. 【变式1-4】（22-23高二上·江苏南通·期中）已知圆：，则该圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把一般方程化为标准方程即可求解 【详解】圆：化为标准方程得 ， 所以圆心坐标为， 故选：D 【考点题型二】圆的一般方程 方法总结：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 方程表示的图形 D2＋E2－4F＞0 圆心为，半径为r＝ 的圆 D2＋E2－4F=0 表示点 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 【例2】（23-24高二上·浙江舟山·阶段练习）若 ，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由圆的一般方程表示圆的条件计算即可. 【详解】由题意可知：， 解之得， 又，所以. 故选：C 【变式2-1】（22-23高二上·江苏苏州·期中）曲线所围成图形面积为 ． 【答案】 【分析】分情况去掉绝对值，从而可作出曲线的图像，进而求得面积. 【详解】分四种情况讨论： ①当时，方程可化为：， 表示圆心为，半径为的圆； ②当时，方程可化为：， 表示圆心为，半径为的圆； ③当时，方程可化为：， 表示圆心为，半径为的圆； ④当时，方程可化为：， 表示圆心为，半径为的圆. 作出图像如下图所示： 由图可知：曲线所围成图形为四个半圆和一个正方形所组成的区域， 正方形边长和圆的直径相等， 所以. 故答案为：. 【变式2-2】（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若二元二次方程表示圆，则必须满足. 【详解】由， 得， 即, 解得 故选： 【变式2-3】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知抛物线与轴交于（其中点在点的右边），与轴交于点，记的外接圆为圆. (1)求圆的方程； (2)经过点的直线与圆的另一个交点为，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出点的坐标，再设出圆的方程，利用待定系数法求解即可； （2）求出，设出直线方程，然后利用垂径定理列方程求解. 【详解】（1）对于抛物线 令得或，即， 令得，即 设圆的方程为， 所以，解得， 故圆的方程为； （2）由（1）得圆的标准方程为，圆心为，半径为， 又， 当直线斜率不存在时，，舍去， 当直线斜率存在时，设为，即， 则，解得或， 即直线的方程为或 【变式2-4】（22-23高二上·江苏泰州·期中）若圆的方程为，则圆的最小周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的方程求出圆的半径的最小值，即可求得答案. 【详解】因为圆的方程为， 故 ，时取等号， 故圆的半径的最小值为 ， 则圆的最小周长为， 故选：D. 【考点题型三】点与圆的位置关系 方法总结： 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 │MA│＝r⇔点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 │MA│<r⇔点M在圆A内 点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 点在圆外 │MA│>r⇔点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 【例3】（22-23高二上·江苏淮安·期中）圆上的点到点的距离可能为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】求出圆心到点的距离，则距离在之间，选项一一比较即可. 【详解】设圆心为，半径为，坐标为，则，所以距离范围为，即，而5在此范围内， 故选：B. 【变式3-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）若点在圆内，则直线与圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据点与圆，直线与圆位置关系计算即可判断. 【详解】因为点在圆内， 所以， 设圆心到直线的距离为, 则， 圆的半径, 因为，所以直线与圆的位置关系为相离. 故选：. 【变式3-2】（多选）（23-24高二下·江苏南京·期中）点关于直线的对称点在圆内，则实数可以为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】BC 【分析】利用轴对称的性质，算出点关于直线的对称点的坐标，然后根据点在圆内建立关于的不等式，解出的取值范围，即可得到本题的答案． 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，得，即， 若点在圆内，则，解得：． 对照各个选项，可知B、C两项符合题意． 故选：BC． 【变式3-3】（多选）（22-23高二上·江苏盐城·期中）已知圆M：，则下列说法正确的是（        ） A．点在圆M外 B．圆M的半径为 C．直线截圆M的弦长为3 D．圆M关于对称 【答案】BD 【分析】将圆的方程标准化即可判断B项，运用比较已知点到圆心的距离与半径即可判断A项，由弦长公式计算可判断C项，由直线是否过圆心可判断D项. 【详解】因为， 所以圆心坐标为，半径为，故B项正确； 对于A项，因为点到圆心的距离， 所以点在圆M内，故A项错误； 对于C项，因为圆心到直线的距离为， 所以弦长为，故C项错误； 对于D项，因为直线过圆M的圆心， 所以圆M关于对称，故D项正确. 故选：BD. 【变式3-4】（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆：，则下列结论中正确的有（    ） A．圆过定点 B．点在圆外 C．直线平分圆周 D．存在实数，使圆与轴相切 【答案】ACD 【分析】选项A，将圆的方程化简得到，再由即可求出圆过点； 选项B，利用点与圆位置关系的判断方法即可判断出选项的正误； 选项C，根据条件，可得圆心在直线上，从而可判断出选项C的正误； 选项D，根据条件可得，从而求出，即可解决问题. 【详解】对于选项A，由，得到， 整理得到， 由，得到或，故圆过定点和，所以选项A正确； 对于选项B，因为圆心为，， 点到圆心的距离， 又因为，当时，，此时点在圆内，所以选项B错误； 对于选项C，因为圆心为，又，即圆心在直线上，所以选项C正确； 对于选项D，若圆与轴相切，则有，即，解得或，所以选项D正确， 故选：ACD. 【考点题型四】直线与圆的位置关系 方法总结：直线与圆的位置关系的判断方法 若给出图形，可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择. 【例4】（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用圆心到直线的距离与半径进行比较，从而求解. 【详解】由点在圆外，得：， 圆心到直线的距离：， 所以得：直线与圆相交，故A项正确. 故选：A 【变式4-1】（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程为圆，再判断圆心距和半径的关系即可得解. 【详解】由，得， 则，整理得， 表示圆心为，半径为的圆， 圆的圆心为为圆心，半径， 两圆的圆心距为，满足， 所以两个圆相交. 故选：C. 【变式4-2】（23-24高二上·江苏南通·期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．三种关系均存在 【答案】A 【分析】根据直线方程得到直线恒过定点，然后根据点在圆内得到直线与圆相交. 【详解】直线可整理为， 令，解得，所以直线恒过定点， 因为，所以点在圆内， 所以直线与圆相交. 故选：A. 【变式4-3】（23-24高二上·江苏·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图象，即可求出的取值范围. 【详解】直线恒过定点， 将转化为， 曲线表示以为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，）， 当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为； 当与半圆相切时，由，得，切线记为， 当时，与曲线有两个不同的交点， 故选：A. 【变式4-4】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】联立方程后考虑方程组的解，从而可得交点的个数. 【详解】联立直线方程和曲线方程可得可得， 即，解得或，故方程组的解为或. 故选：C 【考点题型五】圆的切线 方法总结：求过某一点的圆的切线方程 (1)点(，)在圆上 ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为-，由点斜式可得切线方程 ②)如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y=或x= (2)点(，)在圆外. ①设切线方程为y-=k(x-)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程 ②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x=xo，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况 【例5】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆，直线的过点且与圆相切，则满足条件的直线有几条（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先判断与圆的位置关系，然后可判断出切线条数. 【详解】因为圆心为，半径， 所以到的距离为， 所以在圆外， 过圆外一点作圆的切线有条， 故选：B. 【变式5-1】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆的方程求出圆心与半径,利用两点间的距离公式求得从而切线长为,计算求解即可. 【详解】圆:,即圆心半径 切线长为 故选:B. 【变式5-2】（23-24高二上·江苏盐城·期中）圆在点处切线的一般式方程为 ． 【答案】2 【分析】由切线与过切点的半径垂直求得切线斜率后可得切线方程． 【详解】圆心坐标为，圆心与切点连线斜率为，所以切线的斜率为2， 切线方程为，即． 故答案为：． 【变式5-3】（21-22高二上·江苏盐城·期中）问题：平面直角坐标系xOy中，圆C过点A（6，0），且___________. （在以下三个条件中任选一个，补充在横线上.） ①圆心C在直线上，圆C过点B（1，5）；②圆C过点和；③圆C过直线和圆的交点. (1)求圆C的标准方程； (2)求过点A的圆C的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①条件,设出圆方程，将圆心坐标代入直线方程、点的坐标代入圆方程，利用待定系数法求解；选②条件，点的坐标代入圆方程，利用待定系数法求解；选③条件，设圆C的方程为，将点A的坐标代入方程，解得即可； （2）求得，过点A的切线斜率为，利用点斜式得答案. 【详解】（1）选①条件 设所求圆的方程为，由题意得 解得，，， 所以所求圆的方程是. 选②条件 设圆C的方程为， 因为圆C过点A，B，C，所以有， 解得，，，所以圆C的方程是. 即 选③条件 因为圆C过直线和圆的交点，所以设圆C的方程为 ， 因为圆C过点A（6，0），将点A的坐标代入方程，解得， 所以圆C的方程是，即 （2）∵A在圆C上，，所以过点A的切线斜率为， ∴过点A的切线方程是即. 【变式5-4】（23-24高二上·江苏常州·期中）如图，已知圆：，点为直线上一点，过点P作圆的切线，切点分别为M，N.    (1)已知，求切线的方程； (2)直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由. 【答案】(1)或 (2)直线MN恒过定点，定点坐标为 【分析】（1）易知当切线斜率不存在时其方程为；当切线斜率存在时设其方程为，两圆直线与圆位置关系建立方程，解之即可求解； （2）如图，易知四点共圆，由题意求出其圆心坐标和半径，进而可得圆的标准方程，连接，则为两圆的公共弦.利用两圆的方程相减即可求解. 【详解】（1）由题意知，当切线斜率不存在时，切线方程为，满足题意； 当切线斜率存在时，设切线方程为， 即，由圆心到切线的距离等于半径， 得，解得，则切线方程为. 综上，切线方程为或. （2）连接，则，连接，    则四点共圆，为圆的直径，设为圆， 连接，则为两圆的公共弦. 又，半径为， 所以，又， 两圆的方程相减，得， 即直线MN的方程为，即， 所以直线MN恒过定点. 【考点题型六】直线与圆相交弦长问题 方法总结：含参直线注意不要忽略斜率不存在的情况 【例6】（22-23高二上·江苏镇江·期中）过点引直线与圆相交于A，B两点，O为坐标原点，当面积取最大值时，直线的斜率为（    ） A． B． C．±1 D． 【答案】D 【分析】当直线的斜率不存在时，直线即为轴，此时三点共线，不符合题意；当直线的斜率存在时，设方程为，由可知当时面积取最大值可得答案. 【详解】的圆心为，半径为， 当直线的斜率不存在时，直线点可得直线即为轴，此时三点共线， 不符合题意； 当直线的斜率存在时，设方程为， ， 所以当即时面积取最大， 即为等腰直角三角形，可得到的距离为， 即圆心到直线的距离为， 解得. 故选：D. 【变式6-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与圆. (1)试判断直线与圆的位置关系，并说明理由； (2)若直线与圆交于两点，分别过的圆的切线相互垂直，求的值. 【答案】(1)直线与圆相交，理由见解析 (2) 【分析】（1）由直线过圆内一定点，则直线与圆相交； （2）由直线与圆切的几何性质，得四边形为正方形，转化为圆心到直线的距离为，从而建立关于参数的方程求解即可. 【详解】（1）直线与圆相交，理由如下： 直线可化为：， 由此可知恒过定点， 由，知点恒在圆内， 所以，直线与圆相交. （2）设分别过的圆的切线交点为，且切线相互垂直， 所以，，， 所以四边形为正方形， 则点到直线的距离为， 则有， 解得：.    【变式6-2】（多选）（22-23高二上·江苏泰州·期中）已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的切线，，切点为A，，则下列说法正确的是（    ） A．四边形面积的最小值为4 B．线段的最小值为 C．当直线的方程为时，最小 D．若动直线，且交圆于、两点，且弦长，则直线横截距的取值范围为 【答案】ABD 【分析】由切线性质，，，由点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，结合四边形面积计算判断AB，当方程为时，由对称性求得，求出，然后再取一特殊值得出比此时的小可判断C，由弦长求出圆心到弦的距离的范围，从而设直线方程为后可求得的范围，从而可得横截距范围判断D． 【详解】圆的圆心，半径为， 可知，，， ， 当取最小值时，四边形面积取得最小值， 此时， 所以四边形面积的最小值为，故A正确； 又圆心到直线的距离， 所以当取得最小值时，， 可得，故最小值，故B正确； 当直线的方程为时，，，则， 所以直线与直线垂直，又是中点，，， 所以，则， 所以， 易得四边形是正方形，此时=，而当时，直角三角形中，，，故C错误； 设M到直线的距离为，因为，且， 所以，则， 设，所以，即， 解得， 所以直线的横截距的取值范围为，故D正确． 故选：ABD 【变式6-3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知半径为4的圆C与直线：相切，圆心C在y轴的负半轴上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线：与圆C相交于A，B两点，当面积最大时，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）设出圆的标准方程，利用直线与圆相切即可求得圆的方程; （2）根据几何法求弦长，表示出面积，借助基本不等式计算即可. 【详解】（1）结合题意：因为圆心C在y轴的负半轴上,且半径为4, 所以可设圆的标准方程为：，，此时圆心为 因为直线：与圆相切,所以圆心到直线的距离， 即：，解得：（舍去），或， 所以圆C的方程为：. （2）由上问可得：的圆心C为 ， 所以圆心到直线：的距离为：， 结合圆的弦长公式：， 直线与圆C相交于A，B两点，所以， 所以， 当且仅当时，即时，面积取到最大值8. 即，解得：， 所以直线的方程：或. 【变式6-4】（23-24高二下·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知是圆上的一点，是圆上的两点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，则当点到点的距离最短，并且、与圆相切（、为切点）时，取得最大值，利用锐角三角函数求出此时的值，即可得解. 【详解】圆圆心为，半径， 圆圆心为，半径， 因为是圆上的一点，，是圆上的两点， 可知点到点的距离最短，并且、与圆相切（、为切点）时，取得最大值， 此时点在线段与圆的交点， 又，所以，则， 所以，所以的最大值为． 故答案为：． 【考点题型七】圆与圆的位置关系 方法总结：判断圆与圆的位置关系的两种方法 (1)代数法:将两圆的方程组成二元二次方程组，消元化成一元二次方程，通过方程根的判别式，应用此法时要注意当=0或<0时，两圆相切或相离，均又包含两种情况，因此，应用此法比较繁琐 （2）几何法:应用此法判断圆与圆的位置关系的步骤: ①将两圆的方程化为标准方程; ②求两圆的圆心坐标和半径，; ③求两圆的圆心距d; ④比较d与|-|，||,的大小关系，从而判断两圆的位置关系 【例7】（23-24高二上·江苏徐州·期中）若圆与圆相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆相交建立不等式求解. 【详解】由圆的方程可知，，， 所以根据两圆相交可得，即或， 故选：C 【变式7-1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）设集合，，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的意义及集合间的运算结果可得两圆位置关系，进而可得参数范围. 【详解】由已知集合表示以为圆心，为半径的圆及其内部， 集合表示以为圆心，为半径的圆及其内部， 又， 得圆与圆相内切或内含，且圆在内部， 所以， 解得， 又， 所以， 故选：C. 【变式7-2】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意确定两圆的圆心和半径，利用圆与圆的位置关系建立不等式组，解之即可. 【详解】由题意知，，则， 因为圆与圆有公共点，所以，即， 解得，所以实数a取值范围是. 故答案为：. 【变式7-3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则（    ） A．20 B．－20 C．10 D．－10 【答案】B 【分析】求出两圆的相交弦所在直线的方程，将圆的圆心坐标代入相交弦所在直线的方程，即可判断结果. 【详解】圆：， 所以圆心为，半径为， 若圆平分圆的周长，则圆的圆心在圆与圆的公共弦上， 将圆：与圆：作差， 得两圆公共弦所在直线方程， 代入得. 故选：B 【变式7-4】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，，为坐标原点. (1)若为圆上的动点，当最大时，求直线的斜率； (2)若圆过点及点，且与圆外切，求圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点的位置，即可得出直线的斜率； （2）设出点坐标，利用圆与圆外切和圆到原点的距离即可得出圆的方程. 【详解】（1）在圆中， ，圆心，半径， 当最大时，与圆相切，, 此时点为的中点， 点恰好是以为圆心，为直径的圆与的交点， 此时, ∴, （2）由题意及（1）得， 在圆中， 圆心，半径， 圆过点及点， ∴圆的圆心在直线上， 设，半径为， 因为圆与圆外切， 所以，即， 又，即， ∴联立解得：或(舍)， 所以， 故所求圆的标准方程为：. 【考点题型八】圆的公切线与相交弦 方法总结：两圆的公切线有如图所示的五种情况： 位置关系 两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含 图示         公切线条数 4 3 2 1 0 1.外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； 2.外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； 3.相交时，有2条公切线，都是外公切线； 4.内切时，有1条公切线； 5.内含时，无公切线. 【例8】（23-24高二上·江苏无锡·期中）若圆与圆有条公切线，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分析可知两圆外切，可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为两圆有条公切线，则两圆外切，则，即， 解得. 故选：C. 【变式8-1】（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）若圆与圆有且仅有一条公切线，则的值可能为（      ） A．1 B．121 C．36 D．126 【答案】AB 【分析】由与圆相内切，结合圆与圆的位置关系，求解即可. 【详解】由圆与圆， 则圆， 可得，且，则， 若圆与圆有且仅有一条公切线，则与圆内切， 则满足，即，解得或， 故选：AB. 【变式8-2】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知过点的圆的圆心在直线上，且与直线相切. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为的直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件，利用待定系数法解得，即可求解； （2）设直线方程为，求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】（1）因为圆过点，所以①， 因为圆的圆心在直线上，所以②， 又因为圆与直线相切，所以③， 又，则①②③联立解得， 所以圆的标准方程为. （2）由题意可得圆心到直线的距离， 设直线方程为，即， 所以，解得. 【变式8-3】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆的圆心在直线上，且过点 (1)求圆的方程； (2)已知直线经过，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由点在直线上，可设出圆心坐标，利用圆上两点列出方程，求出圆心坐标即得方程； （2）首先结合图形判断点在圆上，设出直线，利用垂径定理将弦长问题转化为圆心到直线的距离问题求得，即得直线方程. 【详解】（1）设圆心坐标为，因圆过点,故有,即：， 解得：，则,圆的半径为，故圆的方程为：. （2） 如图，直线经过的点恰好在圆上，因直线被圆截得的弦长为2，故其斜率一定存在，设直线为， 即，过点作,垂足为，则,又,故得：, 即点到直线的距离为，解得：或，即直线的方程为：或. 【变式8-4】（23-24高二上·江苏南通·期中）在下列所给的两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答. ①与直线平行；②过点； 问题：已知直线过点，且______. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线与圆相交于点，，求弦的长. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）若选①，由题可得直线斜率，结合直线过点可得答案；若选②，由两点式可确定直线方程； （2）由（1）可得直线到圆圆心距离d，则弦长度l满足，即可得答案. 【详解】（1）若选①，因为直线的斜率为，直线与直线平行， 所以直线的斜率为依题意，直线的方程为，即； 若选②，因为直线过点及，所以直线的方程为，即； （2）若选①，的圆心到直线的距离为： 又圆的半径为，所以； 若选②，圆的圆心到直线的距离为： ，又圆的半径为，所以. 【考点题型九】与圆相关的最值问题 【例9】（21-22高二下·江苏南通·期中）已知直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】先求得直线过的定点的坐标，再由圆心到定点的距离加半径求解. 【详解】解：直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R）即为， 所以直线过定点， 所以点P到直线l的距离的最大值为， 故选：D 【变式9-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知点为圆上的一个动点，点为圆上的一个动点，为坐标原点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】取点，则，将的最小值转化为距离，即可得到所求. 【详解】由题意可知：圆A的圆心，半径为，圆B的圆心，半径为， 为圆上一动点，为圆上一动点， 为坐标原点， 取，由，可得，则， 因为，当且仅当在线段上时，等号成立， 可得 ， 当且仅当在线段上时，等号成立， 综上所述：，当且仅当在线段上时，等号成立. 故选：D.    【变式9-2】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点P是直线上的动点，过点P引圆的两条切线PM，PN，M，N为切点，则PM的最小值为时，r的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】当时最小，最小，求出最小值即得的值. 【详解】由题得，当时，最小时，最小. 由题得， 所以. 故选：B. 【变式9-3】（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）圆与圆相交于、两点，则（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．线段的垂直平分线方程为 D．圆上的点与圆上的点的最大距离为 【答案】AD 【分析】将两圆方程作差，可得出直线的方程，可判断A选项；求出直线截圆所得弦长，可判断B选项；分析可知，线段的垂直平分线为直线，求出直线的方程，可判断C选项；利用圆的几何性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，将两圆方程作差可得，即， 所以，直线的方程为，A对； 对于B选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以，，B错； 对于C选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为， 连接、、、， 因为，所以，直线过圆心，易知为的中点， 又因为，所以，，所以，垂直平分线段， ，则直线的方程为，即，C错； 对于D选项，圆上的点与圆上的点的最大距离为，D对. 故选：AD. 【变式9-4】（23-24高二上·江苏盐城·期中）设点是函数图象上任意一点，点的坐标，当取得最小值时圆：上恰有个点到直线的距离为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由点的坐标，可得在直线上，方程为：，由，两边平方可得轨迹为半圆，经过圆心与垂直的直线为：，把圆心坐标代入可得，即可得出此直线的方程，进而得出取得最小值时的坐标，解得，表示出圆心到直线的距离，根据已知，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为点的坐标， 可得在直线上，：， 由， 两边平方得， 可得轨迹为半圆，圆心， 经过圆心与垂直的直线为：， 把代入可得， 则此直线方程为：， 联立，解得， 所以当取得最小值时，， 所以，解得， 所以圆为， 圆心到直线的距离为： ， 由圆上恰有个点到直线的距离为， 则实数的取值范围为，即. 故答案为： 【考点题型十】轨迹方程 方法总结：求轨迹方程的常见方法 ①直接法:将动点满足的(与斜率、距离、数量积等有关的，或由平面几何知识推出的)等量关系，直接坐标化，即可得到动点轨迹方程 ②定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等)，可根据定义直接求，又称几何法，利用平面几何知识转化是关键. ③代入法:若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(，)的变化而变化，并且Q(，)又在某已知(或容易先确定的)曲线上，则可先用x，y的代数式表示，，再将，代入已知曲线即可得到要求的轨迹方程，又称相关点法或转移法. 【例10】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于2. (1)求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程. 【答案】(1)点点轨迹方程为，其轨迹为以原点为圆心，2 为半径的圆 (2)或 【分析】（1）根据题意直接列方程化简求解即可， （2）分直线斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，结弦长，圆心距和半径的关系可求得结果． 【详解】（1）由题意可知，，整理，得， 故点点轨迹方程为，其轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆． （2）由题意可知 ①当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，满足弦长为． ②当直线的斜率存在时，不妨设为， 则直线方程为，即， 则圆心到直线的距离为， 因为直线被所截得的线段的长为， 所以，所以，解得， 所以直线方程为． 综上，满足条件的直线的方程为或． 【变式10-1】（22-23高二上·江苏泰州·期中）长为4的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程，并说明其形状； (2)过点作两条直线分别与曲线C交于P、Q两点，若直线MP，MQ的斜率之积为，线段PQ的中点为D，求证：存在定点E，使得为定值，并求出此定值． 【答案】(1)，是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； (2)证明见解析，此定值为． 【分析】（1）利用几何法直接求出轨迹方程，进而判断出形状；（2）设直线方程为与联立求出，由的斜率为，同理求出.根据对称性可知，判断出过. 由直角三角形的性质判断出为的中点为定值. 【详解】（1）∵，P为线段AB中点， ∴，设，则，即. 则曲线C是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； （2） 根据题意，直线MP的斜率存在且不为0，MP设斜率为k， 则直线方程为代入中，整理得， 故，，即， 因为直线，的斜率之积为，所以的斜率为，同理：. 根据对称性可知，直线所过定点在轴上， 不妨令，得， 此时，即过， 则，所以过定点. 连接，在圆O中，由垂径定理可得：. 当D、F不重合时，即，所以为直角三角形，取的中点，则． 当D、F重合时，取的中点，则也成立． 故存在定点E，使得为定值，此定值为． 【变式10-2】（22-23高二上·河南南阳·期中）已知点到点的距离与点到点的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的中点且倾斜角为的直线与（1）中的曲线交于两点，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意得到，利用两点距离公式即可得到M点的轨迹C的方程； （2）先由题设条件及点斜式可得直线的方程，再由弦长公式求得，由点线距离公式求得到直线的距离，从而由三角形面积公式即可求得的面积． 【详解】（1）依题意，得，不妨设， 因为，， 所以，即， 整理得，配方得， 所以点的轨迹的方程为. （2）因为，，所以的中点坐标为， 又因为直线的斜率为，所以直线的方程为，即， 因为曲线的方程为，故曲线是圆心为，半径为的圆， 所以圆心到直线的距离为， 故， 又因为点到直线的距离为，即边上的高为， 所以. 【变式10-3】（22-23高二上·江苏无锡·期中）已知圆，直线，，是直线上的动点，点在圆上运动，且点满足为原点），记点的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)过点且不与轴重合的直线与曲线交于，两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）设，，根据相关点法可求出曲线的方程； （2）当直线轴时，轴平分；在直线斜率存在条件下，设出直线方程并与圆的方程联立，求得韦达定理，利用设而不求法求点的坐标，即可得解． 【详解】（1）设，， 所以，， 因为， 所以，，， 所以，所以， 因为在圆上运动， 所以， 所以， 整理得，， 所以曲线的方程为； （2）当直线轴时，轴平分， 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 联立，化简可得， ， 设，，，，， ， 若轴平分，则，所以， 又，， 所以， 所以， 所以， 整理得，， 解得， 所以当时，能使轴平分． 【变式10-4】（多选）（22-23高二下·江苏镇江·期中）已知点，，动点在：上，则（    ）    A．直线与相交 B．线段的中点轨迹是一个圆 C．的面积最大值为 D．在运动过程中，能且只能得到4个不同的 【答案】BD 【分析】求出直线的方程，利用圆的圆心到直线的距离判断A的正误，求线段的中点轨迹判断B的正误，利用圆的圆心到直线的距离，转化求解三角形的面积的最在值判断C，判断为直径的圆与已知圆的位置关系，结合直角三角形的定义，判断D的正误. 【详解】对于A，因为，，所以， 所以直线的方程，即， 由，得， 所以圆心，半径为3， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以A错误， 对于B，设线段的中点为，则， 因为点在圆上， 所以，即表示一个圆， 所以线段的中点轨迹是一个圆，所以B正确， 对于C，的面积最大值为， 所以C错误， 对于D，①设与直线垂直且过点的直线为， 则，得，即直线为， 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆有两个交点， 所以以为直角顶点的直角三角形有2个， ②设与直线垂直且过点的直线为， 则，得，即直线为， 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离，无公共点， 所以以为直角顶点的直角三角形不存在， ③以为直径的圆为，设圆心为，则，半径为， 所以， 因为， 所以以为直径的圆与圆相交， 所以以为直角顶点的直角三角形有2个， 综上，在运动过程中，能且只能得到4个不同的，所以D正确， 故选：BD 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司40 学科网（北京）股份有限公司 $$