专题01直线与方程（考点清单，知识导图+4考点清单+9题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题01 直线与方程 【清单01】直线的倾斜角与斜率 一、直线倾斜角的定义 1.定义：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角. 2.规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为， 3.范围：[0,π) 4.图形： 二、直线的斜率 1.定义：一般的，如果直线l的倾斜角为，则当时，称k=tan为直线l的斜率；当时，称直线l的斜率不存在. 2.公式：已知点、，是直线l上两个不同的点，则当时，直线l的斜率为，当时，直线l的斜率不存在. 【清单02】直线方程的五种形式 名称 已知条件 标准方程 使用范围 点斜式 斜率k,直线上一点（，） y-yo=k（x-x0） k存在 斜截式 斜率k,y轴上截距b y=kx+b k存在 两点式 直线上的两点,(--) 直线既不能垂直于x轴,也不能垂直于y轴 截距式 直线在x,y轴上的截距分别为a,b，且a≠0，b≠0， 直线既不能垂直于x轴,也不能垂直于 )轴,且不过原点 一般式 A,B不同时为0 Ax+By+C=0 通用 【清单03】两条直线的平行与垂直 一、两条直线平行与斜率之间的关系 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 ,或 两直线斜率都不存在,或 图示 二、两条直线垂直与斜率之间的关系 类型 斜率存在且不为0 斜率不存在或斜率为0 条件 对应关系 两直线的斜率一个不存在，一个斜率为0 图示 三、一般式判断两条直线的位置关系 l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0 相交 ， ， ,验证不重合 重合 ,验证重合 ， =0 【清单04】距离公式 一、两点间距离公式 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝ 二、点到直线距离公式 1.点到直线的距离公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离，d＝ 2.点到特殊直线的距离公式 点P0(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|，到平行于x轴的直线y=a的距离d＝|y0-a|,到y轴的距离d＝|x0|,到平行于y轴的直线x=b的距离d＝|x0-b|. 三、两条直线距离公式 1.两条平行线之间的距离 两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离. 2.两条平行线之间的距离公式 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝ 【考点题型一】直线的倾斜角 方法总结：直线的倾斜角需要注意符合倾斜角的取值范围，（0，π] 【例1】（23-24高二上·江苏徐州·期中）若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23高二上·福建福州·期中）已知倾斜角为的直线与直线的夹角为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1-2】（22-23高二上·江苏泰州·期中）设直线的倾斜角分别为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）若过两点，的直线的倾斜角为，则y的值为（    ） A．0 B． C． D．3 【变式1-4】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）若直线经过两点、且的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】直线的斜率 方法总结： 1.定义：倾斜角的正切值，（） 2.记法：k=tan 3.、的斜率公式， 【例2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过，两点的直线的斜率是（    ） A．2 B． C． D． 【变式2-1】（22-23高二上·江苏苏州·期中）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如下图是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距约为4.4m，拉索下端相邻两个锚的间距均为16m.最短拉索的锚，满足，，则最长拉索所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·山东·阶段练习）若某等腰直角三角形斜边所在直线的倾斜角为，则该三角形两条直角边所在直线的斜率之和为（    ） A．0 B． C． D． 【变式2-3】（22-23高二上·江苏徐州·期中）若三点，，共线，则 ． 【变式2-4】(多选)（23-24高二上·江苏盐城·期中）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值可以为（    ）    A． B． C．1 D． 【考点题型三】斜率与倾斜角的变化 方法总结：:已知线段AB的两端点及线段外一点P，求过点P且与线段AB有交点的直线l斜率的取值范围.若直线PA,PB的斜率都存在，解题步骤如下: ①连接PA,PB; ②由k =求出kPA和kPB; ③结合图形写出满足条件的直线l斜率的取值范围 【例3】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线经过点，且不经过第三象限，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）（21-22高二上·江苏南通·期中）若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【变式3-3】（21-22高二上·江苏盐城·期中）直线的倾斜角大于，则正实数a的取值范围 ． 【变式3-4】（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】直线方程的五种形式 方法总结：求直线方程常用的方法是直接法和待定系数法，但在待定条件下，应考虑下面的设法。 (1)已知直线的纵截距，常设方程的斜截式; (2)已知直线的横截距和纵截距，常设方程的截距式(截距均不为0) (3)已知直线的斜率和所过的定点，常设方程的点斜式，但如果只给出一个定点，一定不要遗漏斜率不存在的情况; (4)仅知道直线的横截距，常设方程形式:x=my+a(其中a是横截距，m是参数)，注意此种设法不包含斜率为0的情况，且在后面要学的圆锥曲线章节中经常使用 如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax+By+c=0(A，B不同时为0.) 【例4】（23-24高二上·江苏·期中）已知两条直线和都过点，则过两点、的直线的方程为 ． 【变式4-1】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为 . 【变式4-2】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线经过 (1)当直线的倾斜角为45°时，求直线的方程； (2)当直线在两坐标轴上的截距相等时，求直线的方程. 【变式4-3】（23-24高二上·江苏常州·期中）过点的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点．当的面积最小时，l的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（20-21高二上·浙江·期中）已知直线，直线 (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值； (2)若 ，求直线的方程. 【考点题型五】两条直线的平行与垂直 方法总结： 1. 判断两条直线平行时，注意检验重合； 2. 判断两条直线的垂直时，注意考虑斜率不存在与斜率为0的情况 【例5】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知直线与垂直，则实数a的值是（   ） A．0或3 B．3 C．0或 D． 【变式5-1】（23-24高二上·江苏苏州·期中）直线，，若两条直线平行，则实数（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【变式5-2】（23-24高二上·江苏无锡·期中）直线与直线平行，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D．2或 【变式5-3】（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，已知点和，点在轴上．若直线与直线的夹角为，则点的坐标为 ． 【变式5-4】（23-24高二上·福建福州·阶段练习）若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为 . 【考点题型六】由直线的平行与垂直求直线方程 方法总结： 1.根据平行关系求直线方程的方法 (1)若直线l与已知直线y=kx+b平行，则可设l的方程为y=kx+m(m≠b)，然后利用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程 (2)若直线1与已知直线Ax+By+C=0(A，B不全为0)平行，则可设l的方程为Ax+By+m=0(m≠C)，然后用待定系数法求参数m，从而求出直线的方程. 2.根据垂直关系求直线方程的方法 (1)若直线l的斜率存在且不为0，与已知直线y=kx+b垂直，则可设直线l的方程为y=-x+m(k≠0)，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线的方程. (2)若直线1与已知直线Ax+By+C=0(A，B不全为0)垂直，则可设l的方程为Bx-Ay+m=0，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程. 【例6】（23-24高二上·江苏南通·期中）过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（22-23高二·贵州贵阳·阶段练习）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二上·江苏常州·期中）过点且与直线垂直的直线方程为 . 【变式6-3】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知 的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标. (2)求直线的方程. 【变式6-4】（20-21高二上·北京海淀·期中）已知直线的倾斜角为，且过点. （1）求的方程； （2）若直线与直线平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程. 【考点题型七】直线过定点问题 方法总结：直线方程过定点问题常用的三种方法: 1.将方程化为点斜式y-=k(x-),其中k为参数,求得直线恒过定点(,) 2.分离参数法:将方程变形,把x,y作为参数的系数,即有参数的放在一起，没参数的放在一起,因为此式子对任意的参数的值都成立,故需系数为零,解方程组可得x,y的值,即为直线过的定点的坐标. 3. 赋值法:因为参数取任意实数,所以给参数任取两次值,得到关于x,y的二元一次方程组,解方程组可得x,y的值,即为直线过的定点的坐标. 【例7】（20-21高二上·安徽六安·期末）直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（22-23高二上·福建三明·阶段练习）已知,若过定点的动直线:和过定点的动直线:交于点(与,不重合),则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 【变式7-2】（多选）（21-22高二上·江苏常州·期中）已知直线，动直线，则下列结论正确的是（    ） A．不存在，使得的倾斜角为90° B．对任意的，直线恒过定点 C．对任意的，与都不重合 D．对任意的，与都有公共点 【变式7-3】（23-24高二上·江苏苏州·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为 ． 【变式7-4】（21-22高二上·江苏连云港·期中）已知直线l：. (1)求证：直线l过定点； (2)若直线l被两平行直线：与：所截得的线段AB的中点恰好在直线上，求的值. 【考点题型八】距离公式及应用 方法总结：距离公式综合应用的三种常用类型 (1) 最值问题: ①利用对称转化为两点之间的距离问题 ②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离， ③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值 (2) 求参数问题:利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值 (3)求方程的问题:立足确定直线的几何要素--点和方向、利用直线方程的各种形式、结合直线的位置关系：平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解. 【例8】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线，则间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线过点，若点和点到直线的距离相等，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边所在的直线方程； (2)求的面积. 【变式8-4】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知直线：及点 (1)证明直线过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程. 【考点题型九】和差最值与对称问题 方法总结： 1. 将军饮马问题：利用三角形边角关系，两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于等于第三边。 2. 点关于直线的对称问题： （1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标， 一般地：设点(x0，y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点(x’，y’)，则 （2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为（，） 【例9】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（22-23高二上·江苏南京·期中）直线与直线关于直线对称，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高二上·江苏镇江·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域边界即为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【变式9-3】（23-24高二上·江苏苏州·期中）点关于直线的对称点的坐标为 ． 【变式9-4】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线过点，直线：． (1)若直线，求直线的方程； (2)若直线为入射光线，经直线反射，其反射光线经过点，求的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直线与方程 【清单01】直线的倾斜角与斜率 一、直线倾斜角的定义 1.定义：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角. 2.规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为， 3.范围：[0,π) 4.图形： 二、直线的斜率 1.定义：一般的，如果直线l的倾斜角为，则当时，称k=tan为直线l的斜率；当时，称直线l的斜率不存在. 2.公式：已知点、，是直线l上两个不同的点，则当时，直线l的斜率为，当时，直线l的斜率不存在. 【清单02】直线方程的五种形式 名称 已知条件 标准方程 使用范围 点斜式 斜率k,直线上一点（，） y-yo=k（x-x0） k存在 斜截式 斜率k,y轴上截距b y=kx+b k存在 两点式 直线上的两点,(--) 直线既不能垂直于x轴,也不能垂直于y轴 截距式 直线在x,y轴上的截距分别为a,b，且a≠0，b≠0， 直线既不能垂直于x轴,也不能垂直于 )轴,且不过原点 一般式 A,B不同时为0 Ax+By+C=0 通用 【清单03】两条直线的平行与垂直 一、两条直线平行与斜率之间的关系 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 ,或 两直线斜率都不存在,或 图示 二、两条直线垂直与斜率之间的关系 类型 斜率存在且不为0 斜率不存在或斜率为0 条件 对应关系 两直线的斜率一个不存在，一个斜率为0 图示 三、一般式判断两条直线的位置关系 l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0 相交 ， ， ,验证不重合 重合 ,验证重合 ， =0 【清单04】距离公式 一、两点间距离公式 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝ 二、点到直线距离公式 1.点到直线的距离公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离，d＝ 2.点到特殊直线的距离公式 点P0(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|，到平行于x轴的直线y=a的距离d＝|y0-a|,到y轴的距离d＝|x0|,到平行于y轴的直线x=b的距离d＝|x0-b|. 三、两条直线距离公式 1.两条平行线之间的距离 两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离. 2.两条平行线之间的距离公式 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝ 【考点题型一】直线的倾斜角 方法总结：直线的倾斜角需要注意符合倾斜角的取值范围，（0，π] 【例1】（23-24高二上·江苏徐州·期中）若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用直线斜率公式，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】因为一条直线经过两点，， 所以该直线的斜率为， 则有该直线的倾斜角满足，因为， 所以， 故选：B 【变式1-1】（22-23高二上·福建福州·期中）已知倾斜角为的直线与直线的夹角为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】设直线的倾斜角为，根据得到，根据夹角得到答案. 【详解】，即， 设直线的倾斜角为，，则，， 夹角为，故或. 故选：C. 【变式1-2】（22-23高二上·江苏泰州·期中）设直线的倾斜角分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据直线方程分别求解每条直线斜率，然后根据斜率判断倾斜角的范围，根据范围比较大小即可. 【详解】，，即，； ，，即，； 为垂直于轴的直线，. 综上所述可得：. 故选：D 【变式1-3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）若过两点，的直线的倾斜角为，则y的值为（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据两点的斜率公式及倾斜角的关系计算即可. 【详解】由于直线MN的倾斜角为，则该直线MN的斜率为， 又因为，，所以，解得. 故选：B 【变式1-4】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）若直线经过两点、且的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率的定义以及斜率公式可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】由斜率的定义可得，即，解得. 故选：D. 【考点题型二】直线的斜率 方法总结： 1.定义：倾斜角的正切值，（） 2.记法：k=tan 3.、的斜率公式， 【例2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过，两点的直线的斜率是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】直接代入直线斜率公式即可. 【详解】经过，两点的直线的斜率是. 故选：B. 【变式2-1】（22-23高二上·江苏苏州·期中）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如下图是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距约为4.4m，拉索下端相邻两个锚的间距均为16m.最短拉索的锚，满足，，则最长拉索所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用已知长度可分别计算，，再利用斜率的定义可解. 【详解】解：如图，以为原点建系， 根据题意，最短拉索的锚，满足，， 且均为，拉索下端相邻两个锚的间距均为， 则，即点， 同理， 又，即点， 所以，， 即最长拉索所在直线的斜率为. 故选：B. 【变式2-2】（23-24高二上·山东·阶段练习）若某等腰直角三角形斜边所在直线的倾斜角为，则该三角形两条直角边所在直线的斜率之和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨把三角形的一个顶点放在原点，然后作图分析直角边所在直线的倾斜角，结合直线垂直的斜率关系可解. 【详解】不妨把三角形的一个顶点放在原点，如图所示， 因为直线OA的倾斜角为，， 所以直线OB的倾斜角为或，即或， 因为，所以当时，； 当时，. 所以． 故选：B 【变式2-3】（22-23高二上·江苏徐州·期中）若三点，，共线，则 ． 【答案】3 【分析】利用的斜率相等，列出方程求解. 【详解】由，，三点共线， 可得，， 解得， 故答案为：3 【变式2-4】(多选)（23-24高二上·江苏盐城·期中）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值可以为（    ）    A． B． C．1 D． 【答案】AC 【分析】根据题意画出示意图，进而求解结论． 【详解】因为，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中； 当是图一时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为；    如图；根据直线的对称性可得：； 当是图2时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为，    如图：根据直线的对称性可得：； 故选：AC． 【考点题型三】斜率与倾斜角的变化 方法总结：:已知线段AB的两端点及线段外一点P，求过点P且与线段AB有交点的直线l斜率的取值范围.若直线PA,PB的斜率都存在，解题步骤如下: ①连接PA,PB; ②由k =求出kPA和kPB; ③结合图形写出满足条件的直线l斜率的取值范围 【例3】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线经过点，且不经过第三象限，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据图像观察可得直线斜率的取值范围. 【详解】因为直线经过点，且不经过第三象限 所以， 又， 所以. 故选：D. 【变式3-1】（多选）（21-22高二上·江苏南通·期中）若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用求出的范围即可. 【详解】据题意可知， 即，所以． 故选：BCD． 【变式3-2】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】数形结合，观察倾斜角的变换情况确定斜率的变换情况. 【详解】如图直线与线段相交， 因为， 结合图形可知的斜率取值范围是. 故答案为： 【变式3-3】（21-22高二上·江苏盐城·期中）直线的倾斜角大于，则正实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】求得直线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系，列出不等式，即可求解. 【详解】由题意，直线，可得直线的斜率为，（其中 ） 因为直线的倾斜角大于，可得，解得， 所以正实数a的取值范围. 故答案为：. 【变式3-4】（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线的斜率的表达式，通过角的范围求解斜率的范围即可. 【详解】由可得直线的斜率为：. 当时，； 当时，， 因为，所以, 所以； 所以. 故选：A 【考点题型四】直线方程的五种形式 方法总结：求直线方程常用的方法是直接法和待定系数法，但在待定条件下，应考虑下面的设法。 (1)已知直线的纵截距，常设方程的斜截式; (2)已知直线的横截距和纵截距，常设方程的截距式(截距均不为0) (3)已知直线的斜率和所过的定点，常设方程的点斜式，但如果只给出一个定点，一定不要遗漏斜率不存在的情况; (4)仅知道直线的横截距，常设方程形式:x=my+a(其中a是横截距，m是参数)，注意此种设法不包含斜率为0的情况，且在后面要学的圆锥曲线章节中经常使用 如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax+By+c=0(A，B不同时为0.) 【例4】（23-24高二上·江苏·期中）已知两条直线和都过点，则过两点、的直线的方程为 ． 【答案】 【分析】先将点代入得到两条直线方程，再由两点都在直线上得到过该两点的直线. 【详解】将点代入两条直线可得， 所以点都在直线上， 而经过两点的直线只有一条，所以直线方程是， 故答案为：. 【变式4-1】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】确定，计算，得到直线斜率，再计算直线方程得到答案. 【详解】直线：的倾斜角为，则， 故，故直线的斜率为，截距为， 故直线方程为，即. 故答案为： 【变式4-2】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知直线经过 (1)当直线的倾斜角为45°时，求直线的方程； (2)当直线在两坐标轴上的截距相等时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由直线的倾斜角为45°时，求得斜率为，结合点斜式方程，即可求解； （2）当直线过原点时，得到；当直线不过原点时，设方程为，代入点，求得，即可求解. 【详解】（1）由题意，直线的倾斜角为45°时，可得直线的斜率为， 又由直线经过，所以直线的方程为，即直线的方程为. （2）当直线过原点时，因为直线经过，可得直线方程为，即； 当直线不过原点时，可设直线的方程为， 因为直线过点，可得，解得，所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 【变式4-3】（23-24高二上·江苏常州·期中）过点的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点．当的面积最小时，l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令直线为，根据已知及基本不等式可得，确定等号成立条件得，即可写出直线方程. 【详解】由题设，令直线为， 则，即， 当且仅当时等号成立，此时的面积最小为， 所以直线方程为. 故选：A 【变式4-4】（20-21高二上·浙江·期中）已知直线，直线 (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值； (2)若 ，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由一般方程求截距，根据条件，列式求解； （2）代入两直线平行的公式，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，， 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 则，解得：； （2）若， 则且，解得：， 此时直线的方程为. 【考点题型五】两条直线的平行与垂直 方法总结： 1. 判断两条直线平行时，注意检验重合； 2. 判断两条直线的垂直时，注意考虑斜率不存在与斜率为0的情况 【例5】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知直线与垂直，则实数a的值是（   ） A．0或3 B．3 C．0或 D． 【答案】D 【分析】利用两条直线垂直的性质，即可求出 的值 【详解】直线与直线互相垂直， ， 即， 解得或不满足直线，舍去 故选：D. 【变式5-1】（23-24高二上·江苏苏州·期中）直线，，若两条直线平行，则实数（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【分析】根据两直线平行的条件，列式求解即可. 【详解】因为，， 由可得且， 解得， 故选：C. 【变式5-2】（23-24高二上·江苏无锡·期中）直线与直线平行，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D．2或 【答案】C 【分析】求出两直线不相交时的a值，再验证即可得解. 【详解】当直线与直线不相交时，，解得， 当时，直线与直线重合，不符合题意，舍去； 当时，直线，即与直线平行， 所以实数的值为. 故选：C 【变式5-3】（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，已知点和，点在轴上．若直线与直线的夹角为，则点的坐标为 ． 【答案】/（0.5） 【分析】翻译垂直条件，利用直线斜率建立方程求解即可. 【详解】设横坐标为，且由题意得， 与相互垂直，，解得,故, 故答案为： 【变式5-4】（23-24高二上·福建福州·阶段练习）若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为 . 【答案】/0.125 【分析】由直线垂直的条件求得关系，再由基本不等式得最大值． 【详解】由题意，即， 由基本不等式得，所以，当且仅当，即时等号成立． 故答案为：． 【考点题型六】由直线的平行与垂直求直线方程 方法总结： 1.根据平行关系求直线方程的方法 (1)若直线l与已知直线y=kx+b平行，则可设l的方程为y=kx+m(m≠b)，然后利用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程 (2)若直线1与已知直线Ax+By+C=0(A，B不全为0)平行，则可设l的方程为Ax+By+m=0(m≠C)，然后用待定系数法求参数m，从而求出直线的方程. 2.根据垂直关系求直线方程的方法 (1)若直线l的斜率存在且不为0，与已知直线y=kx+b垂直，则可设直线l的方程为y=-x+m(k≠0)，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线的方程. (2)若直线1与已知直线Ax+By+C=0(A，B不全为0)垂直，则可设l的方程为Bx-Ay+m=0，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程. 【例6】（23-24高二上·江苏南通·期中）过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得直线斜率，即可得所求直线斜率，即可得答案. 【详解】，因与所求直线垂直， 则所求直线斜率为，又过点，则直线方程为：. 故选：B 【变式6-1】（22-23高二·贵州贵阳·阶段练习）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设垂直于直线的直线为，代入点得的值，即得解. 【详解】设垂直于直线的直线为， 代入点得， 则所求直线为. 故选：A. 【变式6-2】（23-24高二上·江苏常州·期中）过点且与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据垂直关系设直线方程为，代入点运输求解即可. 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 代入点可得，解得， 所以过点且与直线垂直的直线方程为. 故答案为：. 【变式6-3】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知 的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标. (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程，通过解方程组进行求解即可； （2）根据中点坐标公式，结合直线点斜式方程进行求解即可. 【详解】（1）边上的高所在直线方程为， ，且，即， 的顶点，直线方程;， 即与联立，， 解得：，顶点的坐标为； （2）所在直线方程为，设点， 是中点，，， 在所在直线方程为上， ,解得：,， 的方程为：，即. 【变式6-4】（20-21高二上·北京海淀·期中）已知直线的倾斜角为，且过点. （1）求的方程； （2）若直线与直线平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）由题设可得，根据其所过的点，应用点斜式写出直线方程. （2）由直线平行可设直线为，应用平行直线的距离公式求参数C，即可得直线的方程. 【详解】（1）由题设，直线的斜率，又过点， ∴，整理得. （2）由题设，令直线为，则， ∴或，故直线为或. 【考点题型七】直线过定点问题 方法总结：直线方程过定点问题常用的三种方法: 1.将方程化为点斜式y-=k(x-),其中k为参数,求得直线恒过定点(,) 2.分离参数法:将方程变形,把x,y作为参数的系数,即有参数的放在一起，没参数的放在一起,因为此式子对任意的参数的值都成立,故需系数为零,解方程组可得x,y的值,即为直线过的定点的坐标. 3. 赋值法:因为参数取任意实数,所以给参数任取两次值,得到关于x,y的二元一次方程组,解方程组可得x,y的值,即为直线过的定点的坐标. 【例7】（20-21高二上·安徽六安·期末）直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线方程转化为：，然后令，解方程即可求解． 【详解】解：直线方程转化为：， 令，解得， 所以直线过定点， 故选：A． 【变式7-1】（22-23高二上·福建三明·阶段练习）已知,若过定点的动直线:和过定点的动直线:交于点(与,不重合),则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】首先确定定点和定点的坐标,再判定两条直线是垂直关系,从而得到为定值,利用三角函数求解最值即可. 【详解】根据题意: 动直线:过定点, 动直线:过定点, , 直线:和直线:满足:, , 直线与直线交于点, , , 为直角三角形,且, 设,则,, , , , 当即时,的最大值为. 故选:C. 【变式7-2】（多选）（21-22高二上·江苏常州·期中）已知直线，动直线，则下列结论正确的是（    ） A．不存在，使得的倾斜角为90° B．对任意的，直线恒过定点 C．对任意的，与都不重合 D．对任意的，与都有公共点 【答案】BD 【分析】对A，令即可判断正误； 对B，化简直线方程，根据定点满足的系数为0，且满足方程即可； 对C，令即可判断正误； 对D，根据B可得过定点判断即可 【详解】对A，当时，，符合倾斜角为90°，故A错误； 对B，，解可得，故过定点，故B正确； 对C，当时，，显然与重合，故C错误； 对D，过定点，而也在上，故对任意的，与都有公共点，故D正确； 故选：BD 【变式7-3】（23-24高二上·江苏苏州·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据直线方程得到，，，根据勾股定理得到，然后根据不等式求最值即可. 【详解】直线可得， 直线可整理为，令，解得， 所以， 因为，所以直线与直线垂直，则， 所以点的轨迹为以为直径的圆， ，所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 【变式7-4】（21-22高二上·江苏连云港·期中）已知直线l：. (1)求证：直线l过定点； (2)若直线l被两平行直线：与：所截得的线段AB的中点恰好在直线上，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）将直线方程化为，令即可确定定点证明结论. （2）联立直线方程分别求出C，D的坐标，求其中点M的坐标，易知其同时为AB的中点，最后代入题设直线方程求参数即可. 【详解】（1）由已知：，即， 令，解得：x=1，y=4， ∴直线l恒过定点(1,4). （2）设直线，分别与直线交于C，D两点， 由，解得C， 由，解得D， ∴CD的中点M的坐标为(－2,－2)， 不妨设A在直线上，B在直线上，则△AMC≌△BMD，即MA=MB，故M(－2,－2)为AB的中点， 将M代入直线l的方程得：，解得· 【考点题型八】距离公式及应用 方法总结：距离公式综合应用的三种常用类型 (1) 最值问题: ①利用对称转化为两点之间的距离问题 ②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离， ③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值 (2) 求参数问题:利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值 (3)求方程的问题:立足确定直线的几何要素--点和方向、利用直线方程的各种形式、结合直线的位置关系：平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解. 【例8】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线，则间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行直线的距离公式可得. 【详解】将直线方程化为， 由平行直线的距离公式得. 故选：C 【变式8-1】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倾斜角求出，然后利用两点间距离公式即可得出答案. 【详解】由题知，， 解得，故， 则两点间的距离为. 故选：C 【变式8-2】（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线过点，若点和点到直线的距离相等，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意，直线存在斜率，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求解. 【详解】当直线的斜率不存在时，方程为，和到直线的距离不相等， 因此直线存在斜率，设直线的方程为，即， 若点和点到直线的距离相等， 则，即，解得或， ∴直线的方程为或. 故选：BC. 【变式8-3】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边所在的直线方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）由B，C两点的坐标，得直线的两点式方程，化简得一般式方程； （2）用两点间距离公式求B，C两点间的距离，计算点A到直线BC的距离可得三角形的高，得三角形的面积. 【详解】（1）因为，，所以BC所在的直线方程为， 即. （2）B，C两点间的距离为， 点A到直线BC的距离， 所以的面积为. 【变式8-4】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知直线：及点 (1)证明直线过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）直线方程整理为关于的方程，然后由的系数为0求得定点坐标； （2）记定点为，由直线可得． 【详解】（1）直线方程整理为， 由解得， 所以直线过定点． （2）记定点为，易知点到直线的距离，当时，， ，∴， 直线方程为，即． 【考点题型九】和差最值与对称问题 方法总结： 1. 将军饮马问题：利用三角形边角关系，两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于等于第三边。 2. 点关于直线的对称问题： （1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标， 一般地：设点(x0，y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点(x’，y’)，则 （2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为（，） 【例9】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据目标式的几何意义，将问题转化为动点到定点和的距离之和的最小值问题，然后求出点A关于的对称点为，结合图形可解. 【详解】因为， 所以，目标式表示动点到定点和的距离之和. 点在直线上， 设点A关于的对称点为， 则，解得， 由对称性可知，， 当三点共线时等号成立， 所以，的最小值为. 故选：C 【变式9-1】（22-23高二上·江苏南京·期中）直线与直线关于直线对称，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出直线和直线的倾斜角，再求出直线与直线的夹角，再根据对称性即可得出答案. 【详解】解：直线的倾斜角为， 直线的倾斜角为， 则直线与直线的夹角为 设直线与直线的夹角为，则， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 【变式9-2】（23-24高二上·江苏镇江·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域边界即为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】/ 【分析】点关于的对称点为，则最小值即为点到圆心的距离与半径的差，求出即可. 【详解】设：，圆心为，半径为 点关于的对称点为 则，解得，即 则“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为： 【变式9-3】（23-24高二上·江苏苏州·期中）点关于直线的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据对称点的求法求得正确答案. 【详解】设对称点的坐标为， 则， 解得，所以对称点的坐标为. 故答案为： 【变式9-4】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知直线过点，直线：． (1)若直线，求直线的方程； (2)若直线为入射光线，经直线反射，其反射光线经过点，求的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据两直线垂直，可求斜率，结合点斜式即可求解. （2）求得点关于直线的对称点，则反射光线上的两点知道，进而可求斜率，应用点斜式即可求解. 【详解】（1）因为直线, 所以，即, 因为，所以，即， 从而直线的方程为：即; （2）设点关于直线的对称点为， ，解得：， 入射光线的斜率为，从而入射光线的直线方程为， 即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司26 学科网（北京）股份有限公司 $$