专题05抛物线的概念与几何性质（考点清单，知识导图+3考点清单+14题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题05抛物线的概念与几何性质 【清单01】抛物线的概念与标准方程 一．抛物线的定义 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 注意：1.定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． 2.抛物线的定义用集合语言表示为：P＝{M||MF|＝d}(d为M到直线l的距离)． 3.定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M点；一个定点F(抛物线的焦点)； 一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)． 4.抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 二．抛物线的标准方程 抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 (>0) F() (>0) F(-) (>0) F() (>0) F() 【清单02】抛物线的几何性质 类型 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 图象 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 【清单03】直线与抛物线的位置关系 一.直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系主要有三种:相交、相切和相离 1. 当直线与抛物线有两个不同的交点时，称为相交; 2. 当直线与抛物线只有一个交点时，称为相切; 3. 当直线与抛物线没有交点时，称为相离， 二.直线与抛物线的位置关系判定方法 1.相交:当直线的斜率k不为0时，;通过联立直线和抛物线的方程，得到的二次方程的判别式Δ>0，表示有两个不同的实根，即直线与抛物线相交 2.相切:当直线的斜率k不为0时，通过联立直线和抛物线的方程，得到的二次方程的判别式Δ=0，表示有两个相同的实根，即直线与抛物线相切。 3.相离:当直线的斜率k不为0时，通过联立直线和抛物线的方程，得到的二次方程的判别式Δ<0，表示没有实根，即直线与抛物线相离 三.直线与抛物线位置关系的应用 弦长问题:当直线过抛物线的焦点时，弦长AB可以通过公式AB=计算; 当直线不过焦点时，弦长AB可以通过公式AB=计算。 【考点题型一】抛物线的定义与标准方程 方法总结： 1.求抛物线标准方程的方法 ①先定位：根据焦点或准线的位置； ②再定形：即根据条件求p. 2.抛物线性质的应用技巧 ①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程； ②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算． 【例1】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知抛物线经过点，点到抛物线的焦点的距离为3，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（多选）（22-23高二上·江苏淮安·期中）对于抛物线上，下列描述正确的是（       ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【变式1-2】（22-23高二上·江苏常州·期中）已知点，直线l：，动点P到点F间的距离等于它到直线l的距离． (1)试判断动点P的轨迹C的形状，并写出C的方程； (2)求动点P到直线的距离与到y轴的距离之和的最小值． 【变式1-3】（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上． (1)求该抛物线的方程； (2)若该抛物线上点A的横坐标为2，求点A到该抛物线焦点的距离． 【变式1-4】（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线C：的离心率为，抛物线D：的焦点为F，准线为，直线交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，的面积为3. (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)求抛物线D的方程. 【考点题型二】抛物线的准线 方法总结： 1.当抛物线的焦点在x轴上，且抛物线方程为(>0)，准线为 2.当抛物线的焦点在y轴上，且抛物线方程为(>0)，准线为 【例2】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离为（      ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式2-2】（22-23高二上·江苏常州·期中）已知抛物线 的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为，若，则到轴的距离为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【变式2-3】（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．为中点 【变式2-4】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知抛物线C：的焦点为F，P是抛物线C上的动点，且在第一象限．过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q．若直线PF的斜率为，则是面积为 ． 【考点题型三】抛物线弦长 方法总结：活用抛物线焦点弦的四个结论 抛物线的焦点弦问题一直是高考命题的一个热点，该问题常与弦长、三角形面积、向量、不等式等知识相融合，考查学生的转化与化归意识和灵活解题能力．命题点主要体现在焦点弦的四个结论上： 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1·x2＝. (2)y1·y2＝－p2. (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角)． (4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点) 【例3】（23-24高二上·江苏无锡·期中）斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式3-1】（23-24高二上·江苏·期中）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若面积是面积的两倍，则＝（    ） A．4 B． C．5 D． 【变式3-2】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，则 ． 【变式3-3】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，当直线的倾斜角为时，． (1)求抛物线的标准方程和准线方程； (2)记为坐标原点，直线分别与直线交于点，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标． 【变式3-4】（22-23高二上·浙江嘉兴·期中）倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于A，两点 (1)求抛物线的准线方程； (2)求的面积（为坐标原点）. 【考点题型四】中点弦 方法总结：抛物线的中点弦问题通常涉及到在抛物线上选取两点，然后找到这两点所确定的弦的中点，进而研究中点弦的性质。 【例4】（23-24高二上·江苏盐城·期中）若直线l过抛物线的焦点，与抛物线相交于A，B两点，且，则线段的中点P到y轴的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-1】（22-23高二下·江苏镇江·期中）青花瓷是中华陶乲烧制工艺的珍品，属秞下彩瓷.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，碗口直径为，碗深.瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线，碗里有一根长度为的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上.则筷子的中点离桌面的距离为（    ）      A． B． C． D．   【变式4-2】（多选）（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于两点，，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．若，则点到轴的距离为6 C．的最小值为5 D．若，则的面积为 【变式4-3】（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为3，则弦的长 【变式4-4】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则中点M到抛物线准线的距离为 . 【考点题型五】抛物线中的最值 方法总结：与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算．　 【例5】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（    ）. A． B．2 C． D． 【变式5-1】（23-24高二下·江苏盐城·期中）设点是曲线上一点，则点到直线最小的距离为 . 【变式5-2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为 ． 【变式5-3】（23-24高二上·江苏徐州·期中）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形（Cassinioval）.在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于，化简得曲线， 则的最大值为 . 【变式5-4】（23-24高二上·江苏·期中）已知抛物线，过作互相垂直的两条直线，与抛物线相交于两点，与抛物线相交于两点，线段的中点分别为． (1)证明：直线过定点； (2)若线段的中点记为E，求点E的纵坐标的最小值． 【考点题型六】直线与抛物线的位置关系 方法总结：解决直线与抛物线位置关系问题的方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法． [注意]　涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解． 【例6】（22-23高二下·上海浦东新·开学考试）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【变式6-1】（多选）（23-24高二上·陕西·期中）过点且与抛物线只有一个交点的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的方程为，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程. 【变式6-3】（23-24高二下·贵州六盘水·期中）在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线C：相切. (1)求m的值； (2)已知点，在抛物线C上，A，B分别位于第一象限和第四象限，且，过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为，，当四边形面积取最小值时，求直线的方程. 【变式6-4】（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知抛物线：，点为抛物线外一点（如图），过点D作的两条切线，切点分别为A，B. (1)求证：直线的方程为； (2)若在直线上，以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程. 【考点题型七】抛物线中的轨迹方程 方法总结：通过抛物线的定义:抛物线可以定义为平面内与一定点和一定直线(定直线不经过定点)的距离相等的点的轨迹，其中定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线。这个定义是抛物线轨迹方程的基础，通过这个定义可以推导出抛物线的标准方程。 【例7】（多选）（23-24高二上·浙江台州·期中）已知、，则下列命题中正确的是（    ） A．平面内满足的动点P的轨迹为椭圆 B．平面内满足的动点P的轨迹为双曲线的一支 C．平面内满足的动点P的轨迹为抛物线 D．平面内满足的动点P的轨迹为圆 【变式7-1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为2，记C的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程，并说明E为何种曲线； (2)已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，且，求证：直线BD经过定点. 【变式7-2】（22-23高二上·江苏连云港·期中）平面内动点到点的距离与到直线距离相等. (1)求动点的轨迹方程； (2)设过点的直线交动点的轨迹于两点，求值. 【变式7-3】（23-24高二上·浙江·期中）平面上的动点到定点的距离等于点P到直线的距离，记动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)直线与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点为M.是否存在这样的直线l，使得，若存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由. 【变式7-4】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05抛物线的概念与几何性质 【清单01】抛物线的概念与标准方程 一．抛物线的定义 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 注意：1.定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． 2.抛物线的定义用集合语言表示为：P＝{M||MF|＝d}(d为M到直线l的距离)． 3.定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M点；一个定点F(抛物线的焦点)； 一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)． 4.抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 二．抛物线的标准方程 抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 (>0) F() (>0) F(-) (>0) F() (>0) F() 【清单02】抛物线的几何性质 类型 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 图象 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 【清单03】直线与抛物线的位置关系 一.直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系主要有三种:相交、相切和相离 1. 当直线与抛物线有两个不同的交点时，称为相交; 2. 当直线与抛物线只有一个交点时，称为相切; 3. 当直线与抛物线没有交点时，称为相离， 二.直线与抛物线的位置关系判定方法 1.相交:当直线的斜率k不为0时，;通过联立直线和抛物线的方程，得到的二次方程的判别式Δ>0，表示有两个不同的实根，即直线与抛物线相交 2.相切:当直线的斜率k不为0时，通过联立直线和抛物线的方程，得到的二次方程的判别式Δ=0，表示有两个相同的实根，即直线与抛物线相切。 3.相离:当直线的斜率k不为0时，通过联立直线和抛物线的方程，得到的二次方程的判别式Δ<0，表示没有实根，即直线与抛物线相离 三.直线与抛物线位置关系的应用 弦长问题:当直线过抛物线的焦点时，弦长AB可以通过公式AB=计算; 当直线不过焦点时，弦长AB可以通过公式AB=计算。 【考点题型一】抛物线的定义与标准方程 方法总结： 1.求抛物线标准方程的方法 ①先定位：根据焦点或准线的位置； ②再定形：即根据条件求p. 2.抛物线性质的应用技巧 ①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程； ②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算． 【例1】（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知抛物线经过点，点到抛物线的焦点的距离为3，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点在抛物线上及焦半径公式列方程组求出，进而可得准线方程. 【详解】由已知，解得， 故抛物线的准线方程为， 故选：A. 【变式1-1】（多选）（22-23高二上·江苏淮安·期中）对于抛物线上，下列描述正确的是（       ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【答案】ACD 【分析】化为标准方程后，得出焦参数，从而可得抛物线的性质，判断各选项． 【详解】由已知抛物线标准方程是，，， 所以焦点坐标为，开口方向向上，A正确，B错误； 焦点到准线的距离为，C正确； 准线方程是，D正确． 故选：ACD． 【变式1-2】（22-23高二上·江苏常州·期中）已知点，直线l：，动点P到点F间的距离等于它到直线l的距离． (1)试判断动点P的轨迹C的形状，并写出C的方程； (2)求动点P到直线的距离与到y轴的距离之和的最小值． 【答案】(1)抛物线， (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义求得正确答案. （2）结合抛物线的定义以及点到直线的距离公式求得正确答案. 【详解】（1）因为动点P与点F间的距离等于它到直线l的距离， 所以点P的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线． 又因为点，直线l：，则抛物线开口向右，且焦点F到准线l的距离为4， 所以轨迹C的方程为． （2）动点P到y轴的距离等于到焦点的距离“减”， 所以动点P到直线的距离与到y轴的距离之和的最小值为： 到直线，即的距离“减”， 即. 【变式1-3】（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上． (1)求该抛物线的方程； (2)若该抛物线上点A的横坐标为2，求点A到该抛物线焦点的距离． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）求出焦点坐标，设出抛物线方程，从而得到，求出及抛物线方程； （2）由焦半径公式进行求解. 【详解】（1）中，令得：， 则焦点坐标为，故设抛物线方程为， 故，解得：， 故抛物线方程为； （2）设点A到该抛物线焦点的距离为， 由抛物线的定义可知：. 【变式1-4】（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线C：的离心率为，抛物线D：的焦点为F，准线为，直线交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，的面积为3. (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)求抛物线D的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用离心率可得，从而可求渐近线方程； （2）先求出抛物线的准线方程，再根据面积可求，从而可得抛物线方程. 【详解】（1）设半焦距为， 由题意，双曲线C：的离心率为， 可得，解得， 所以双曲线C的渐近线方程为. （2）不妨设M在x轴下方，N在x轴上方， 由抛物线D：，可得其准线方程为， 代入渐近线方程得，所以， 则，解得， 所以抛物线D的方程为. 【考点题型二】抛物线的准线 方法总结： 1.当抛物线的焦点在x轴上，且抛物线方程为(>0)，准线为 2.当抛物线的焦点在y轴上，且抛物线方程为(>0)，准线为 【例2】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】将抛物线方程化为标准形式，即可得其准线为，结合圆的方程可得，即可得结果. 【详解】因为抛物线方程为，即，可知其准线为， 又因为圆，即，可知圆心为，半径， 由题意可得：，解得. 故选：C. 【变式2-1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离为（      ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义运算即可. 【详解】抛物线， 根据抛物线的定义，得焦点到准线的距离为. 故选:B. 【变式2-2】（22-23高二上·江苏常州·期中）已知抛物线 的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为，若，则到轴的距离为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义，结合条件表示出的长度，然后列出方程即可得到结果. 【详解】由题意可知，不妨令在轴上方，准线与轴交点为,如图所示 因为点在C上，根据抛物线的定义可得，且，则, 所以为等腰三角形，且,解得， 在中，,即即，解得，所以到轴的距离为. 故选：A. 【变式2-3】（多选）（23-24高二上·江苏常州·期中）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．为中点 【答案】BCD 【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误. 【详解】如下图所示： 分别过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、. 抛物线的准线交轴于点，则， 由于直线的斜率为，其倾斜角为， 轴，，由抛物线的定义可知，， 则为等边三角形， ，则， 设，，由，则，可得 ， 所以 ， ,解得 所以,所以B正确. ，得， A选项错误； 所以,满足,所以C正确. 而,所以D正确. 故选：BCD 【变式2-4】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知抛物线C：的焦点为F，P是抛物线C上的动点，且在第一象限．过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q．若直线PF的斜率为，则是面积为 ． 【答案】 【分析】确定焦点坐标，设，根据斜率得到，，再计算面积即可. 【详解】抛物线的焦点为，设，，则， 解得或（舍），，准线方程为，则， . 故答案为：. 【考点题型三】抛物线弦长 方法总结：活用抛物线焦点弦的四个结论 抛物线的焦点弦问题一直是高考命题的一个热点，该问题常与弦长、三角形面积、向量、不等式等知识相融合，考查学生的转化与化归意识和灵活解题能力．命题点主要体现在焦点弦的四个结论上： 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1·x2＝. (2)y1·y2＝－p2. (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角)． (4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点) 【例3】（23-24高二上·江苏无锡·期中）斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先设点和，设直线方程为，联立直线和抛物线方程，利用弦长公式可计算出的值. 【详解】设点和，设直线方程为， 联立方程：，可得：， ， 线段的长为：， 得， 故选：C. 【变式3-1】（23-24高二上·江苏·期中）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若面积是面积的两倍，则＝（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】当直线l的斜率为0时，不合要求，设过F的直线l的方程为，与抛物线联立后得到两根之和，两根之积，根据面积之比得到，从而求出，，进而由抛物线焦点弦公式进行计算. 【详解】由题意得，当直线l的斜率为0时，此时与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去； 设过F的直线l的方程为，与抛物线联立得， ， 设，，则， 因为面积是面积的两倍，所以， 则，解得，则， 则，解得， 故，    则. 故选：B 【变式3-2】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得抛物线方程为，直线方程为，联立方程组，结合抛物线的焦点弦长公式，即可求解. 【详解】如图所示，由抛物线的焦点为， 可得，解得，所以抛物线的方程为， 又由过点且斜率为的直线， 联立方程组，整理得，其中， 设，可得， 又由抛物线的定义，可得. 故答案为：. 【变式3-3】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，当直线的倾斜角为时，． (1)求抛物线的标准方程和准线方程； (2)记为坐标原点，直线分别与直线交于点，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)， (2)证明见解析，定点坐标为或 【分析】（1）根据已知得出直线的方程，与抛物线联立，根据过焦点的弦长公式，列出关系式，即可得出，即可得解； （2）设，联立方程根据韦达定理得出的关系，进而表示出的方程，求出的坐标，得出圆的方程，进而可得出定点坐标. 【详解】（1）由已知可得，抛物线的焦点坐标为， 直线的方程为， 联立，消得， 恒成立， 设，，由韦达定理可得， 则，所以， 所以抛物线的方程为，准线方程为. （2）由（1）得，依题意可设直线， 联立，消得， 恒成立， 则，， 又，， 令，则，即， 同理可得， 设圆上任意一点为， 因为为直径，所以， 所以，即， 整理可得， 令，可得或， 所以以为直径的圆过定点，定点坐标为或. 【点睛】思路点睛：直线或圆过定点问题，先根据已知表示出直线或圆的方程，令参数的系数为0，得出方程，求解即可得出求出定点的坐标. 【变式3-4】（22-23高二上·浙江嘉兴·期中）倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于A，两点 (1)求抛物线的准线方程； (2)求的面积（为坐标原点）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的方程，即可得出答案； （2）由已知求出直线的方程，代入抛物线得出，解法一：求解得出的值，然后根据弦长公式求出，然后根据点到直线的距离，结合面积公式即可得出答案；解法二：根据抛物线的定义求出，然后根据点到直线的距离，结合面积公式即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，，焦点在轴上， 所以，抛物线的准线方程为. （2）∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为. 又∵倾斜角为的直线，所以斜率为， ∴直线AB的方程为：. 代入抛物线方程消去y并化简得. 解法一：解得， 所以． 又点到直线的距离为， 所以. 解法二：，设，则， 过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示．    ． 点到直线的距离为， 所以. 【考点题型四】中点弦 方法总结：抛物线的中点弦问题通常涉及到在抛物线上选取两点，然后找到这两点所确定的弦的中点，进而研究中点弦的性质。 【例4】（23-24高二上·江苏盐城·期中）若直线l过抛物线的焦点，与抛物线相交于A，B两点，且，则线段的中点P到y轴的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用抛物线定义有，结合已知得，即可确定线段的中点P到y轴的距离. 【详解】由抛物线方程知：，即， 所以线段的中点P到y轴的距离为. 故选：D 【变式4-1】（22-23高二下·江苏镇江·期中）青花瓷是中华陶乲烧制工艺的珍品，属秞下彩瓷.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，碗口直径为，碗深.瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线，碗里有一根长度为的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上.则筷子的中点离桌面的距离为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线的方程，代入点，求得抛物线的方程，利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示， 设抛物线的方程为，其焦点为， 碗口直径为，碗深，所以抛物线过点， 所以，解得，所以抛物线的方程为， 设，过中点作轴， 由抛物线的定义可得，解得， 所以，所以筷子的中点离桌面的距离为. 故选：B.    【变式4-2】（多选）（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于两点，，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．若，则点到轴的距离为6 C．的最小值为5 D．若，则的面积为 【答案】ACD 【分析】对于A：直接根据焦点到准线的距离可得；对于B：利用抛物线的定义以及梯形中位线的长度公式来求解；对于C：直接利用两点之间线段最短来解答；对于D：利用焦半径公式求出点坐标，进而可用面积公式求解. 【详解】由焦点到准线的距离为4可得， 即抛物线的方程为，A正确； 过点作准线的垂线，垂足分别为， 由抛物线的定义得， 所以点到轴的距离为，B错误； 根据图像点的位置可得，C正确； 设，不妨取，则， 得， 所以，D正确 故选：ACD. 【变式4-3】（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为3，则弦的长 【分析】利用抛物线的定义即可得出． 【详解】由题设知线段AB的中点到准线的距离为4， 设A，B两点到准线的距离分别为， 由抛物线的定义知：． 故答案为：8 【变式4-4】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则中点M到抛物线准线的距离为 . 【答案】4 【分析】抛物线的焦点，准线方程为，由中点坐标公式可得的横坐标，由此求得点到抛物线准线的距离. 【详解】由抛物线的方程可得， 故它的焦点，准线方程为． 由中点坐标公式可得PQ的中点， 由于，则M到准线的距离为， 故答案为：4. 【考点题型五】抛物线中的最值 方法总结：与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算．　 【例5】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（    ）. A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】运用抛物线的定义将距离之和的最小值问题转化为三点共线问题，后求最值即可. 【详解】解：如图 过点作抛物线的准线的垂线，垂足为M，由抛物线的定义可知，， 要使点P到点的距离与到该抛物线准线的距离之和最小，则当Q，P，F三点共线时最小，最小值为. 故选：A. 【变式5-1】（23-24高二下·江苏盐城·期中）设点是曲线上一点，则点到直线最小的距离为 . 【答案】/ 【分析】设，利用点到直线距离公式表示出点P到直线距离，根据函数最值即可求解. 【详解】点P在曲线上，设， 则点P到直线l的距离为， 当时，. 故答案为：. 【变式5-2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线的准线为， 如图，过点作垂直准线于点， 则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式5-3】（23-24高二上·江苏徐州·期中）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形（Cassinioval）.在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于，化简得曲线， 则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据轨迹方程求出的取值范围，再求最值即可得解. 【详解】由动点满足的方程为， 所以，即， 解得， 故， 故，即的最大值为. 故答案为： 【变式5-4】（23-24高二上·江苏·期中）已知抛物线，过作互相垂直的两条直线，与抛物线相交于两点，与抛物线相交于两点，线段的中点分别为． (1)证明：直线过定点； (2)若线段的中点记为E，求点E的纵坐标的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）设直线方程及点坐标，利用韦达定理及中点坐标公式表示点坐标，再表示直线即可； （2）结合（1）的结论及整体的思想由二次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）由题意可知两直线都存在斜率且不为0，不妨设， 则，， 联立， 所以，即， 同理可得， 则， 所直线方程为：， 显然该直线恒过定点； （2）由上可知点E的纵坐标为： ， 当且仅当时取得最小值. 【考点题型六】直线与抛物线的位置关系 方法总结：解决直线与抛物线位置关系问题的方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法． [注意]　涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解． 【例6】（22-23高二下·上海浦东新·开学考试）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【分析】考虑直线斜率存在，和不存在三种情况，设直线方程为，联立方程，根据得到答案. 【详解】点在抛物线上，易知当直线斜率不存在时不满足； 当直线斜率时，易知满足条件； 当直线斜率存在且时，设直线方程为，即， ，整理得到，， ，解得，直线方程为. 综上所述：满足条件的直线有2条. 故选：C 【变式6-1】（多选）（23-24高二上·陕西·期中）过点且与抛物线只有一个交点的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】 由已知当直线与抛物线对称轴平行时成立，当直线与抛物线对称轴不平行时，设点斜式，联立方程，利用判别式确定方程只有一个解时的斜率，即可得解. 【详解】由已知抛物线方程为，其对称轴为， 当直线与抛物线对称轴平行时，直线方程为，此时与抛物线只有一个交点成立， 当直线与抛物线对称轴不平行时，可知直线斜率存在， 设直线方程为， 联立直线与抛物线，得， 由直线与抛物线只有一个交点，可知， 解得或， 所以直线方程为或，即，或， 综上所述：直线方程为或，或， 故选：ABC. 【变式6-2】（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的方程为，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程. 【答案】，，. 【分析】考虑直线与对称轴平行、斜率不存在和斜率存在三种情况，当斜率存在时，设出直线方程，联立抛物线，由根的判别式为0，求出斜率，得到直线方程. 【详解】因为，所以点在抛物线外， 当直线斜率不存在时，直线方程为，为抛物线的切线，满足题意； 当直线斜率为0时，直线方程为，与抛物线对称轴平行，满足题意； 当直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 联立，消去整理可得， 因为只有一个公共点， 所以，解得，所以直线为， 综上，直线方程为，，. 【变式6-3】（23-24高二下·贵州六盘水·期中）在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线C：相切. (1)求m的值； (2)已知点，在抛物线C上，A，B分别位于第一象限和第四象限，且，过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为，，当四边形面积取最小值时，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意联立方程结合判别式分析求解即可； （2）设直线的方程为，，联立方程可得韦达定理，结合求得，进而可得四边形面积为，换元结合函数单调性分析求解. 【详解】（1）因为直线与抛物线C：相切， 所以方程组有唯一解，所以有唯一解， 所以，且，解得． （2）设直线的方程为，， 因为点在抛物线上，分别位于第一象限和第四象限， 联立方程，消去x得， 则，可得， 因为，即， 整理得， 即，解得， 可知直线的方程为，可知，，符合题意， 则四边形的面积为 ． 令， 所以， 因为在上恒成立， 可知在上单调递增， 当且仅当，即时，， 所以四边形面积的最小值为，此时直线的方程为. 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法： （1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解； （2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）． 【变式6-4】（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知抛物线：，点为抛物线外一点（如图），过点D作的两条切线，切点分别为A，B. (1)求证：直线的方程为； (2)若在直线上，以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用导数几何意义分别求出在，两点处的切线方程，再分别代入点即可发现A，B两点都在直线上，进而得到直线的方程. （2）由（1）得直线的方程，与抛物线联立，求出线段的中点为，再根据圆的性质所得建立方程进行研究即可. 【详解】（1）设，，由得， 所以在处的切线方程为， 同理在处的切线方程为， 两条切线都过，所以，， 显然A，B两点都在直线上， 所以直线的方程为. （2）若在直线上，则直线的方程为， 即直线过定点，不妨设直线的方程， 由，可得， 于是，， 设为线段的中点，则， 由于，而，与向量平行， ∴，解得或， 当时，，所求圆的方程为； 当时，，所求圆的方程为. 【考点题型七】抛物线中的轨迹方程 方法总结：通过抛物线的定义:抛物线可以定义为平面内与一定点和一定直线(定直线不经过定点)的距离相等的点的轨迹，其中定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线。这个定义是抛物线轨迹方程的基础，通过这个定义可以推导出抛物线的标准方程。 【例7】（多选）（23-24高二上·浙江台州·期中）已知、，则下列命题中正确的是（    ） A．平面内满足的动点P的轨迹为椭圆 B．平面内满足的动点P的轨迹为双曲线的一支 C．平面内满足的动点P的轨迹为抛物线 D．平面内满足的动点P的轨迹为圆 【答案】AD 【分析】由椭圆的定义可直接判定选项A；由双曲线的定义可直接判定选项B；由抛物线的定义可直接判定选项C；设点，列式化简即可判定选项D； 【详解】对于选项A,有、，且,由椭圆定义可知选项A正确; 对于选项B,有、，且,轨迹为射线，不符合双曲线的定义可知选项B错误; 对于选项C,有、，且,轨迹为线段的垂直平分线，不符合抛物线的定义可知选项C错误; 对于选项D,有、，且,设点，则，化简可得，可知选项D正确; 故选：AD 【变式7-1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为2，记C的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程，并说明E为何种曲线； (2)已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，且，求证：直线BD经过定点. 【答案】(1)，抛物线 (2)证明见解析 【分析】（1）设圆心，根据动圆过点，且在轴上截得的弦长为2列式可得结果； （2）设直线：，代入得，，再利用斜率公式和推出，从而可得结论成立. 【详解】（1）设圆心，半径为， 因为圆心为C的动圆过点，所以， 因为圆心为C的动圆在轴上截得的弦长为2，所以， 所以，即，所以曲线E是抛物线. （2）证明：设直线：， 联立，消去并整理得， ，即， 设，，则，， 因为，， 所以 ， 所以，将代入得，即， 所以直线：，所以直线BD经过定点.    【变式7-2】（22-23高二上·江苏连云港·期中）平面内动点到点的距离与到直线距离相等. (1)求动点的轨迹方程； (2)设过点的直线交动点的轨迹于两点，求值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线的定义可得答案； （2）设出直线方程，联立，结合韦达定理可得答案. 【详解】（1）因为点到点的距离与到直线距离相等， 所以动点的轨迹是以为焦点的抛物线，其方程为. （2）设直线的方程为， 联立，得， ，. 【变式7-3】（23-24高二上·浙江·期中）平面上的动点到定点的距离等于点P到直线的距离，记动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)直线与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点为M.是否存在这样的直线l，使得，若存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析. 【分析】 （1）根据抛物线的定义，直接写出曲线C的方程； （2）设，联立直线与抛物线，由得，应用韦达定理及中点公式得，结合求得，即可得结论. 【详解】（1） 由题意，动点P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故， 所以曲线C的方程为. （2）设，联立，得， 且，则，故，所以， 所以，又，即，不满足， 所以不存在满足要求的直线l.    【变式7-4】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）利用抛物线的定义或者直接把条件转化可得答案； （2）设出方程，利用垂直可得，进而得到定点或者利用直线的两点式方程，结合韦达定理可得定点. 【详解】（1）法一因为到点的距离与到直线的距离相等； 所以的轨迹是以为焦点为准线的抛物线故可设的方程为, 则有  所以, 故的方程为. 法二设的坐标为则有, 所以. 即, 所以的方程为. （2）法一设方程为， 因为，所以，即. 所以，即； 由得， 所以. 所以，即，所以； 所以方程为， 故恒过定点. 法二设 ，因为，所以； 所以，所以. 所以的方程为 ， 整理得， 所以，即， 所以直线恒过定点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司29 学科网（北京）股份有限公司 $$