检测06 函数的概念与性质（能力卷）- 2024-2025学年高一年级数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版专用）

检测06 函数的概念与性质（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024高三·北京·专题练习）下列各组中的两个函数是同一函数的是（    ） ①，；②，；③，；④，． A．①② B．②③ C．③ D．③④ 2．（21-22高一上·河南平顶山·期末）定义运算，则函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知幂函数（且）为奇函数，且在区间上递增，则m等于（    ） A．1 B．2 C．1或3 D．3 4．（2024高三·全国·专题练习）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·湖南·开学考试）已知函数的值域为，且在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一上·江苏·专题练习）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024高三·全国·专题练习）设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·吉林长春·一模）定义在的函数满足，且当时，，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D． 11．（23-24高一上·四川成都·期末）已知为实数，表示不超过的最大整数，例如，.则（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024高三·北京·专题练习）已知是二次函数，且，，则 ． 13．（2024高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，则 ． 14．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”．若，，则函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高三上·陕西榆林·阶段练习）已知二次函数满足，且的最大值是4，求二次函数的解析式． 16. (15分) （24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知的定义域为，求的定义域； （2）若函数的定义域为，求的定义域． 17. (15分) （24-25高一上·全国·课后作业）若函数为幂函数，且在上单调递减. (1)求实数m的值； (2)若函数，且， ①判断函数的单调性，并证明； ②求使不等式成立的实数t的取值范围. 18. (17分) （23-24高一·全国·课后作业）给出定义：若a，b为常数，满足，则称函数的图象关于点成中心对称．已知函数，定义域为A． (1)判断的图象是否关于点成中心对称； (2)当时，求证：． (3)对于给定的，设计构造过程：，，…，，…．如果（），构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止．若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值． 19. (17分) （24-25高三上·四川眉山·开学考试）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)用定义判断在区间上的单调性： (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测06 函数的概念与性质（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024高三·北京·专题练习）下列各组中的两个函数是同一函数的是（    ） ①，；②，；③，；④，． A．①② B．②③ C．③ D．③④ 2．（21-22高一上·河南平顶山·期末）定义运算，则函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知幂函数（且）为奇函数，且在区间上递增，则m等于（    ） A．1 B．2 C．1或3 D．3 4．（2024高三·全国·专题练习）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·湖南·开学考试）已知函数的值域为，且在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一上·江苏·专题练习）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024高三·全国·专题练习）设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·吉林长春·一模）定义在的函数满足，且当时，，则（    ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D． 11．（23-24高一上·四川成都·期末）已知为实数，表示不超过的最大整数，例如，.则（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024高三·北京·专题练习）已知是二次函数，且，，则 ． 13．（2024高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，则 ． 14．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”．若，，则函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高三上·陕西榆林·阶段练习）已知二次函数满足，且的最大值是4，求二次函数的解析式． 16. (15分) （24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知的定义域为，求的定义域； （2）若函数的定义域为，求的定义域． 17. (15分) （24-25高一上·全国·课后作业）若函数为幂函数，且在上单调递减. (1)求实数m的值； (2)若函数，且， ①判断函数的单调性，并证明； ②求使不等式成立的实数t的取值范围. 18. (17分) （23-24高一·全国·课后作业）给出定义：若a，b为常数，满足，则称函数的图象关于点成中心对称．已知函数，定义域为A． (1)判断的图象是否关于点成中心对称； (2)当时，求证：． (3)对于给定的，设计构造过程：，，…，，…．如果（），构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止．若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值． 19. (17分) （24-25高三上·四川眉山·开学考试）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)用定义判断在区间上的单调性： (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得求实数的取值范围． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C A C B B D ABD ABC 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】根据题意，结合同一函数的概念，逐个判定，即可求解. 【详解】对于①中，函数与， 则两个函数的定义域不同，所以不是同一函数； 对于②中，函数，与的对应关系不同，所以不是同一函数； 对于③中，函数，与， 可得两函数的的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数； 对于④中，函数，与， 可得两函数的的定义域不同，所以不是同一函数． 综上，是同一函数的只有③． 故选：C． 2．B 【分析】根据运算得到函数解析式作图判断. 【详解】， 其图象如图所示： 故选：B 3．C 【分析】根据幂函数的单调性及奇偶性求解即可. 【详解】因为幂函数（且）在区间上递增， 所以且，所以， 当时，幂函数为奇函数，符合题意； 当时，幂函数为偶函数，不符合题意； 当时，幂函数为奇函数，符合题意，综上m等于1或3. 故选：C 4．A 【分析】根据已知抽象函数式，赋值得到是以为周期的周期函数，即可求解. 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以， 又，所以， 则，即， 所以，则是以为周期的周期函数， 因为，， 所以，，， 则， 所以． 故选：A 5．C 【分析】求出函数的定义域，结合单调区间确定的取值，再由值域确定的取值即可. 【详解】函数中，，即，则函数的定义域为， 由在上单调递减，得，因此， 由函数的值域为，得，， 显然，否则与在上单调递减矛盾， 因此，此时在上单调递减，符合题意， 所以的取值范围是. 故选：C 6．B 【分析】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集，计算出函数的值域后，分、及计算出函数的值域，再借助子集定义计算即可得. 【详解】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集， 当时，，即的值域为， 若，则，即的值域为，而，符合要求； 若，则由一次函数的性质可得， 则有，解得，又，故； 若，则由一次函数的性质可得， 则有，解得，又，故； 综上所述，. 故选：B. 7．B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 8．D 【分析】 由题设条件画出函数的简图，由图象分析得出的取值范围. 【详解】当时，， 则， 即当时，， 同理当时，； 当时，. 以此类推，当时，都有. 函数和函数在上的图象如下图所示： 由图可知，，，解得， 即对任意，都有，即的取值范围是. 故选：D. 9．ABD 【分析】由题意由是定义在R上的奇函数得函数的周期为4，即可得出结果. 【详解】因为 为奇函数且满足 ， 故，故可知 的周期为4 ， 所以 ， ， 因为当 时， ，所以 ，即, 故选：ABD 10．ABC 【分析】根据奇偶性的定义分析判断A，根据函数单调性的定义分析判断B，利用赋值法分析判断C，根据选项C及函数单调性判断D. 【详解】对于A，令，可得，再令，可得，且函数定义域为，所以函数为奇函数，故A正确； 对B，令，则，，可得，所以， 由函数性质可得，即，所以在上单调递增，故B正确； 对于C，令，可得，所以，即，故C正确； 对D，因为函数为增函数，所以，由C可知，故D错误. 故选：ABC 11．BCD 【分析】举反例判断A；结合的含义以及利用数形结合，可判断B；讨论x是否为整数，分类说明，判断C；利用作差法，结合的基本性质，可判断D. 【详解】对于A，不妨取，则， 则此时，A错误； 对于B，由定义表示不超过的最大整数，可知成立， 如图，作出的图象，可知成立， 故，B正确； 对于C，若x为整数，则，成立； 若x为有小数部分的数，不妨设， 由于， 故成立等价于成立， 等价于成立， 当时，上式左边=0，右边=0，成立， 当，上式左边=1，右边=1，成立，故成立，C正确； 对于D，，当时等号成立， 故，而后面等号在x为整数时取到，故等号不同时成立，则，D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题考查取整函数的知识点，解答的关键是要理解取整函数的含义，明确其基本的性质，由此结合各选项，即可判断答案. 12． 【分析】根据题意，利用待定系数，设，准确运算，即可求解. 【详解】设， 因为，可得， 又因为，可得， 即，所以, 解得，所以． 故答案为：. 13． 【分析】由进行求解． 【详解】因为函数为偶函数，所以， 即， 即， 两边平方，化简可得． 要使上式恒成立，则，即． 故答案为： 14． 【分析】结合所给条件，可得函数与的“偏差”为，结合绝对值不等式，求出即可得. 【详解】令， 令， 因为，所以，， 由，则， 令，即，解得， 则， 故当且仅当时，有. 故函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于结合题意得到，从而可得出取最小值时，的值. 15． 【分析】假设二次函数的表达式，根据题意可知对称轴为1，顶点,又经过，进而求出表达式. 【详解】因为为二次函数，且， 所以的对称轴为， 又的最大值为， 所以的顶点为， 设， 所以，解得， 所以. 16．（1）；（2）． 【分析】（1）由的定义域，要求的定义域，解不等式组即可； （2）由的定义域为，可得，则要求的定义域，解不等式组即可. 【详解】（1）∵的定义域为，∴要求的定义域， 即解不等式组，解得或， 故的定义域为． （2）∵的定义域为，∴， 则，即的定义域为， ∴要求的定义域，即解不等式组， 解得，故的定义域为． 17．(1)1 (2)①在区间上单调递增，证明见解析；② 【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值再由题设条件取舍； （2）①根据单调性相同的两函数在公共区间上具有相同的单调性性质即得； ②利用①的结论求解抽象不等式即得. 【详解】（1）由题意知，解得：或， 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意； 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意； 所以实数的值为1. （2）①，在区间单调递增.证明如下： 任取，则， 由可得：，，则，即， 故在区间单调递增. ②由①知，在区间单调递增， 又由可得：，解得解得，所以实数t的取值范围是. 18．(1)的图象关于点成中心对称 (2)证明见解析 (3) 【分析】由已知，可将代入解析式验证，并可证明函数关于中心对称。 可通过定义证明函数的单调性，并由单调性证明 由题设条件构造过程可以无限进行下去即关于x的方程无解， 即关于x的方程无解或有唯一解，代入可解得 【详解】（1）因为， 所以． 由定义可知，的图象关于点成中心对称． （2）设， 则， 所以在上是增函数， 所以在上是增函数， 所以当时，，即． （3）因为构造过程可以无限进行下去， 所以对任意恒成立， 即关于x的方程无解， 即关于x的方程无解或有唯一解， 所以或，解得． 【点睛】本题侧重考查逻辑推理、数学运算素养．对逻辑推理的考查主要体现在利用定义推理得到结论，对数学运算的考查主要体现在推理过程中的计算． 19．(1) (2)函数在上单调递增 (3)． 【分析】（1）设函数的图象的对称中心为，根据函数成中心对称的充要条件建立方程，结合待定系数法计算即可； （2）利用单调性定义直接作差证明即可； （3）根据条件先将问题等价变形为函数的值域为值域的子集，由（2）得值域结合二次函数的单调性分类讨论计算的值域计算即可. 【详解】（1）设函数的图象的对称中心为，则， 即， 整理得， 可得，解得， 所以的对称中心为； （2）函数在上单调递增； 证明如下：任取且， 则， 因为且，可得且 所以即 所以函数在上单调递增； （3）由对任意，总存在，使得 可得函数的值域为值域的子集， 由（2）知在上单调递增，故的值域为， 所以原问题转化为在上的值域， ①当时，即时，在单调递增， 又由，即函数的图象恒过对称中心， 可知在上亦单调递增，故在上单调递增， 又因为，故， 因为，所以，解得， ②当时，即时，在单调递减，在单调递增， 因为过对称中心，故在递增，在单调递减， 故此时 欲使，只需且 解不等式，可得，又，此时； ③当时，即时，在递减，在上亦递减， 由对称性知在上递减，所以， 因为，所以解得， 综上可得：实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$