检测03 一元二次函数、方程和不等式（基础卷） -2024-2025学年高一年级数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版专用）

检测03 一元二次函数、方程和不等式（基础卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 3．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江苏·开学考试）已知都是正数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．（2024·湖北黄冈·一模）若，且，则的最小值为（    ） A．20 B．12 C．16 D．25 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 8．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数的定义域为区间，其中，，若的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）下列不等式中，推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（22-23高一上·山东济南·阶段练习）设正实数满足，则下列说法中正确的有（    ） A．有最大值 B．有最大值4 C．有最大值 D．有最小值 11．（23-24高一·江苏·单元测试）某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为，欲使每小时的油耗不超过，则速度x的值可为（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）若集合，，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 13．（2023高一·江苏·专题练习）给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③对于正数a，b，m，若，则． 其中真命题的序号是 ． 14．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知，，则的最大值是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一上·北京·期中）已知函数，． (1)当时，画出函数图象并指出函数的最大值和最小值； (2)求实数的取值范围，使在区间上是单调函数． 16. (15分) （23-24高一上·浙江温州·阶段练习）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请证明你的结论. 17. (15分) （23-24高一上·江西南昌·阶段练习）（1）已知，，且，求的最小值； （2）求函数的最小值． 18. (17分) （22-23高一上·江苏镇江·期中）已知二次函数 (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)若且，求的最小值； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 19. (17分) （23-24高一上·山东聊城·阶段练习）（1）已知，，求的取值范围． （2）已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测03 一元二次函数、方程和不等式（基础卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 3．（23-24高一上·山东泰安·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江苏·开学考试）已知都是正数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．（2024·湖北黄冈·一模）若，且，则的最小值为（    ） A．20 B．12 C．16 D．25 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 8．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数的定义域为区间，其中，，若的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）下列不等式中，推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（22-23高一上·山东济南·阶段练习）设正实数满足，则下列说法中正确的有（    ） A．有最大值 B．有最大值4 C．有最大值 D．有最小值 11．（23-24高一·江苏·单元测试）某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为，欲使每小时的油耗不超过，则速度x的值可为（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）若集合，，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 13．（2023高一·江苏·专题练习）给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③对于正数a，b，m，若，则． 其中真命题的序号是 ． 14．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知，，则的最大值是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一上·北京·期中）已知函数，． (1)当时，画出函数图象并指出函数的最大值和最小值； (2)求实数的取值范围，使在区间上是单调函数． 16. (15分) （23-24高一上·浙江温州·阶段练习）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请证明你的结论. 17. (15分) （23-24高一上·江西南昌·阶段练习）（1）已知，，且，求的最小值； （2）求函数的最小值． 18. (17分) （22-23高一上·江苏镇江·期中）已知二次函数 (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)若且，求的最小值； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 19. (17分) （23-24高一上·山东聊城·阶段练习）（1）已知，，求的取值范围． （2）已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A D B D D A ACD ACD 题号 11 答案 ABC 1．A 【分析】举出反例即可判断A；根据不等式的性质即可判断BD；利用作差法即可判断C. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，由，得，故B正确； 对于C，， 由，得，所以，故C正确； 对于D，由，得，又，所以，故D正确． 故选：A． 2．A 【分析】根据题意可得，，，利用基本不等式求最值. 【详解】因为，，，则，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：A. 3．A 【分析】根据基本不等式可求得的最小值，从而可得实数m的取值范围. 【详解】由，可得：， 又因为，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以， 由恒成立，可得，即实数m的取值范围为. 故选：A. 4．D 【分析】根据总时长小于1列不等式，即汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时即得． 【详解】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即， 故选：D． 5．B 【分析】举出反例以及结合基本不等式判断“”和“”的逻辑关系，即得答案. 【详解】由题意可知当时，可取，显然不能推出； 当时，且，所以，即，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 6．D 【分析】利用，结合基本不等式可求和的最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 7．D 【分析】先求出每一个不等式，然后由不等式组整数解只有，列出关于的不等式组，从而可求出的取值范围. 【详解】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于x的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，的解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 故选：D 8．A 【分析】分在对称轴的两侧和同侧求它的最大值和最小值. 【详解】因为，所以二次函数的图象是开口向上的抛物线，且过原点，对称轴为：，顶点坐标为：. ①    为使最大，则应该尽量大，尽量小，如下图所示： 此时，因为函数的值域为，所以. 所以，且，即为方程的两根. 由. 所以，所以. 即的最大值为； ②    为使最小，应该在抛物线对称轴的同侧，根据抛物线的对称性，不妨在抛物线右侧.如下图： 此时，且. 由， 由， 所以（当且仅当即时取“”，但所以等号取不到） 所以. 综上可知：. 故选：A 【点睛】方法点睛：求二次函数在给定区间上的的值域问题，通常要讨论给定的区间和对称轴的位置关系. 9．ACD 【分析】A选项，分，，三种情况，得到，故A正确；BCD选项，根据不等式性质进行判断. 【详解】A选项，显然均不为0， 若，此时，不合要求， 若，此时，满足要求，所以， 若，此时，不合要求， 故，A正确； B选项，因为，所以，， 两边同时乘以，得，B错误； C选项，，故，则，, 不等式两边同时乘以，得，C正确； D选项，由不等式性质得到，若，则，D正确. 故选：ACD 10．ACD 【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误. 【详解】对于A选项，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，A选项正确； 对于B选项，由基本不等式可得 ， 当且仅当，即时, 等号成立，即的最小值是4，B不正确； 对于C选项，，则， 当且仅当时，等号成立，C选项正确. 对于D选项，，所以，， 当且仅当时，等号成立，D选项正确； 故选：ACD. 11．ABC 【解析】先利用120km/h时的油耗，计算出的值，然后根据题意“油耗不超过”列不等式，解不等式求得的取值范围. 【详解】由汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为， ，解得：，故每小时油耗为， 由题意得，解得：， 又，故，所以速度的取值范围为. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题考查利用待定系数法求解析式，考查一元二次不等式的解法，解题的关键是先利用120km/h时的油耗，计算出的值，然后代入根据题意解不等式，考查实际应用问题，属于中档题. 12． 【分析】先求解一元二次不等式得出集合，由题意推得是的真子集,求解不等式组即得. 【详解】由可得，，即， 因“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集, 故有，或，解得：. 故答案为：. 13．①③ 【分析】①③可利用不等式基本性质推出；②可举出反例. 【详解】对于①，若，则，又，所以，所以，所以①正确； 对于②，若，则,即，②错误； 对于③，对于正数a，b，m，若，则，所以， 所以，又，所以，③正确． 综上，真命题的序号是①③． 故答案为：①③ 14． 【分析】先求出的最小值，再将化为，即可求得答案. 【详解】因为，， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立， 所以，即的最大值是， 故答案为： 15．(1)作图见解析，最大值为，最小值为 (2) 【分析】（1）当时，作出函数在上的图象，结合图象可得出函数的最大值和最小值； （2）对函数在上的单调性进行分类讨论，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，，， 作出函数在上的图象如下图所示： 由图可知，，. （2）解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线. 当时，即当时，函数在上单调递增； 当时，即当时，函数在上单调递减. 综上所述，实数的取值范围是. 16．(1) (2)变好，证明见详解 【分析】（1）设该公寓窗户面积为，依题意列出不等式组求解可得； （2）记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c，表示出增加面积前后的比值作差比较即可作出判断. 【详解】（1）设该公寓窗户面积为，则地板面积为， 依题意有，解得， 所以，这所公寓的窗户面积至少为. （2）记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c. 由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为，且， 所以，即, 所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了. 17．（1）3；（2）9． 【分析】（1）依题意可得，则，利用基本不等式计算可得； （2）令，则，利用基本不等式计算可得； 【详解】（1）∵，，且，所以， 则， 当且仅当时等号成立，因此的最小值为3． （2）因为，所以，令，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立； 所以函数的最小值为． 18．(1)不等式的解集为. (2)的最小值为； (3)的最小值为. 【分析】（1）由条件可得是方程的解，由此可求，结合一元二次不等式解法求的解集； （2）由已知可得，结合基本不等式求结论； （3）由条件可得，由此可得，换元并结合基本不等式可求其最小值. 【详解】（1）由已知的解集为，且， 所以是方程的解， 所以，， 所以，， 所以不等式可化为， 所以， 故不等式的解集为. （2）因为， 所以 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立， 即当且仅当， 时等号成立； 所以的最小值为； （3）因为对任意，不等式恒成立， 所以，， 所以，， ， 令，则，， 所以， 当且仅当，时等号成立， 即当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 19．（1）；（2） 【分析】（1）根据不等式的性质通过乘积及和的运算得出式子范围即可； （2）通过基本不等式1的活用得出最小值即可转化恒成立问题求参. 【详解】（1）因为，所以． 又，所以，即． （2）由， 则． 当且仅当即时取到最小值16． 若恒成立，则． 学科网（北京）股份有限公司 $$