检测02 集合与常用逻辑用语（能力卷）- 2024-2025学年高一年级数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版专用）

检测02 集合与常用逻辑用语（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列说法中正确的是（    ） A．与定点等距离的点不能组成集合 B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素，其中是的三边长，则不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能组成集合 2．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）设集合，，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 4．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 6．（23-24高一上·陕西·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   7．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 8．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知集合，对于集合中的任意元素和，记.若集合，，均满足，则中元素个数最多为（    ） A．10 B．11 C．1023 D．1024 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·重庆·三模）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（    ） A．6 B． C．9 D． 11．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，则 . 13．（22-23高一上·新疆·期中）已知集合，，若，，则 . 14．（25-26高三上·全国·单元测试）已知集合.若元素，且的各元素之和为256，则集合 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·全国·课后作业）已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出A中其他所有元素． (2)0是不是集合A中的元素？ 16. (15分) （23-24高二下·河北·期末）已知或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. (15分) （23-24高一上·河北保定·期末）已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18. (17分) （24-25高一上·上海徐汇·开学考试）已知数集具有性质P；对任意的i，，与两数中至少有一个属于A． (1)请直接写出一个具有性质P的数集 (2)求证：． 19. (17分) （2025·江苏南通·一模）已知有限集，若，则称A为“完全集”． (1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由； (2)若集合为“完全集”，且a，b均大于0，证明：a，b中至少有一个大于2； (3)若A为“完全集”，且，求A． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测02 集合与常用逻辑用语（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列说法中正确的是（    ） A．与定点等距离的点不能组成集合 B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素，其中是的三边长，则不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能组成集合 2．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）设集合，，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 4．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 6．（23-24高一上·陕西·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   7．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 8．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知集合，对于集合中的任意元素和，记.若集合，，均满足，则中元素个数最多为（    ） A．10 B．11 C．1023 D．1024 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·重庆·三模）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，则满足A中有8个元素的m的值可能为（    ） A．6 B． C．9 D． 11．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，则 . 13．（22-23高一上·新疆·期中）已知集合，，若，，则 . 14．（25-26高三上·全国·单元测试）已知集合.若元素，且的各元素之和为256，则集合 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·全国·课后作业）已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出A中其他所有元素． (2)0是不是集合A中的元素？ 16. (15分) （23-24高二下·河北·期末）已知或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. (15分) （23-24高一上·河北保定·期末）已知集合，且. (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18. (17分) （24-25高一上·上海徐汇·开学考试）已知数集具有性质P；对任意的i，，与两数中至少有一个属于A． (1)请直接写出一个具有性质P的数集 (2)求证：． 19. (17分) （2025·江苏南通·一模）已知有限集，若，则称A为“完全集”． (1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由； (2)若集合为“完全集”，且a，b均大于0，证明：a，b中至少有一个大于2； (3)若A为“完全集”，且，求A． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B B A C B CD AB 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】根据集合中的元素的互异性、确定性等性质对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，与定点等距离的点是线段的垂直平分线上的所有点，满足集合中元素的性质，能构成集合，即A错误； 对于B，因为集合中的元素具有互异性，因此由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为4，可知B错误； 对于C，由集合中的元素具有互异性可知，各不相同，所以不可能是等腰三角形，即C正确； 对于D，高中学生中的游泳能手不具有确定性，不能组成集合，即D错误. 故选：C 2．B 【分析】利用全称量词命题的否定即可解答. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 它的否定是存在量词命题，即，， 故选：B. 3．C 【分析】根据，可得或，分别确定，再进行验证. 【详解】因为，所以. 所以或. 若，此时，，不成立，故不合题意； 若，此时，，成立. 故. 故选：C 4．B 【分析】根据充分性和必要性的概念，结合文中含义判断即可. 【详解】由文中意思可知，若“天将降大任于斯人也”，则必须“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，反之未必， 所以“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的必要不充分条件， 故选：B 5．B 【分析】根据集合相等的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】假设①，②错，③对， 因为， 所以有，此时； 假设①，③错，②对， 因为错，必有，而，不符合集合元素的互异性，假设不成立； 假设②，③错，①对， 因为错，所以， 因为错，所以对，而对，因此只能，不符合集合元素的互异性，假设不成立， 综上所述：， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用假设法、应用集合元素的互异性进行判断. 6．A 【分析】由题意先分别把集合求出来，然后对比集合，观察它们所具有的关系即可求解. 【详解】由题意可知集合是由6的正因数构成的集合， 而6的正因数有1，2，3，6， 所以， 若，则， 即或， 即或， 分别解得或，或， 所以， 从而可知集合是部分交叉的关系. 故选：A. 7．C 【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，再由可知，分类讨论的归属，从而得到集合的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合的子集的个数. 【详解】由题设可知，， 又因为，所以， 而， 因为的解为或，的两根满足， 所以分属方程与的根， 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 所以不管如何归属方程与，集合总是有4个元素， 故由子集个数公式可得集合的子集的个数为. 故选：C 8．B 【分析】分析可得当和同时为时，，当和至少有一个为时，，要使，则的所有元素的位置至多有个，讨论即可得到集合的元素个数的最值． 【详解】依题意，对于中元素和， 当和同时为时，， 当和至少有一个为时，， 要使得的一个子集中任两个不同元素、，均满足， 设集合中的元素记为， 则的所有元素的位置至多有个， 若位置为，其它位置为的元素有个， 若全为的有个， 综上中元素最多有个． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出的所有元素的位置至多有个，从而确定中元素个数的最大值. 9．CD 【分析】根据题意，转化为存在，设定，利用二次函数的性质，求得的最小值为，求得的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解. 【详解】由题意，存在，使得，即， 当时，即时，的最小值为，故； 所以命题“存在，使得”为真命题的充分不必要条件是的真子集， 结合选项可得，C和D项符合条件. 故选：CD. 10．AB 【分析】根据题意依次讨论当为6，，9，时，集合中的元素个数． 【详解】当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故A可选， 当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故B可选， 当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故C不可选， 当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故D不可选， 故选：AB． 11．AC 【分析】分别将各选项中式子或者集合变形，判断是否能变形成与集合M中元素一样的特征. 【详解】对于A，，则恒有， 即，则，故A选项正确； 对于B，，若，则存在使得， 即，又和同奇或同偶， 若和都是奇数，则为奇数，而是偶数； 若和都是偶数，则能被4整除，而不一定能被4整除， 所以不能得到，故B选项错误； 如果，可设， 对于C，， 可得，故C选项正确； 对于D，， 不一定成立，不能得到，故D选项错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛： 按照题目中关于集合中元素的定义，对选项中的算式进行变形整理，表示成中元素的形式，判断是否能够成立. 12． 【分析】求出方程组的解，根据集合交集的含义，即可得答案. 【详解】解，得或， 故， 故答案为： 13．3 【分析】根据题意可得1，，，然后分与讨论，即可得到结果. 【详解】由题意得1，，， 当时，则不满足元素互异性， 当即时，，，满足要求. 所以. 故答案为: 14．或 【分析】根据题意中集合的性质，分类讨论分析求解即可. 【详解】因为，则，又，故. 由知，，则，即或. 因为， 若，则，由知，存在使且，显然不成立； 若，则，存在使，则. 由于的各元素之和为，则，又，故. ①当时，则，因为的各元素之和为，所以，解得. ②当时，则，故. 又，故，则. 若，则，无正整数解； 若，则，解得. 综上所述，或. 故答案为：或. 15．(1)A中其他所有元素为，，2 (2)0不是A的元素 【分析】（1）根据元素与集合的关系得出其他元素； （2）利用反证法结合元素与集合的关系求解即可. 【详解】（1）由题意可知：， 则，，，， 所以A中其他所有元素为，，2． （2）假设，则， 而当时，不存在，假设不成立， 所以0不是A的元素. 16．(1)； (2). 【分析】（1）根据题意得到是假命题，结合一元二次方程的性质，列出不等式即可求解； （2）根据（1）的结论，得出命题是真命题的范围，再将问题转化为集合间的真子集关系，从而得到不等式组即可求解. 【详解】（1）因为命题是真命题，所以命题是假命题，即关于的方程无实数根. 当时，方程无解，符合题意； 当时，，解得. 故实数的取值范围是. （2）由（1）知若命题是真命题，则或. 因为命题是命题的必要不充分条件， 所以或⫋或， 则解得， 所以实数的取值范围是. 17．(1) (2) 【分析】（1）由命题是真命题，可知，又，可得的取值范围； （2）由是的充分不必要条件,得是的真子集，又，可得的取值范围. 【详解】（1）因为，所以 命题是真命题，可知， 因为，， ，, 故的取值范围是. （2）若是的充分不必要条件,得是的真子集，， ，解得， 故的取值范围是. 18．(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）写出数集，再由性质的定义判断即可. （2）构造一个新的集合，证明与集合相等，再求和即可. 【详解】（1）数集. 显然，，，，，，，，，都属于数集， 所以具有性质的一个数集为. （2）数集具有性质，则与中至少有一个属于，且， 由，得，则，即，因此， 又，则，由数集具有性质，得， 又，则， 因此， 从而， 即， 所以. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 19．(1)是，理由见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据“完美集”定义判断即可； （2）由“完美集”定义及一元二次方程根与系数关系，结合判别式有，即可证； （3）讨论，并结合“完美集”定义判断、、是否存在完美集即可. 【详解】（1）由，， 所以， 故集合是“完全集”. （2）由题设，令，则是的两个不同的正实数根， 所以或（舍），即， 又，若都不大于2，则，矛盾，所以至少有一个大于2. （3）不妨令，则， 所以， 当，即，故，显然无解，不满足； 当，即，只能有，故存在一个“完美集”； 当，，即， 又，且， 此时，显然有矛盾， 所以时不存在“完美集”； 综上，. 【点睛】关键点点睛：根据完美集定义，结合题设条件、一元二次方程根与系数关系、分类讨论、反证法等判断并确定完美集. 学科网（北京）股份有限公司 $$