2.5.2：圆与圆的位置关系【7大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

2.5.2：圆与圆的位置关系 【考点归纳】 · 考点一、两圆位置关系的判断 · 考点二、由圆与圆的位置关系求参数问题 · 考点三、圆与圆的位置关系确定圆的方程 · 考点四、两圆的公共弦方程 · 考点五、两圆的公共弦长 · 考点六、两圆的公切线问题 · 考点七：圆与圆位置关系的综合 【知识梳理】 知识点　两圆的位置关系及其判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 【例题详解】 题型一、两圆位置关系的判断 1．（24-25高二上·全国）已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 2．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知圆，圆，则两圆的位置关系（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 3．（2024·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 题型二、由圆与圆的位置关系求参数问题 4．（23-24高二上·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河南洛阳·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·浙江）若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．1 D．2 题型三、圆与圆的位置关系确定圆的方程 7．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C． =16 D． 8．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 9．（21-22高二·全国·课后作业）与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 题型四、两圆的公共弦方程 10．（23-24高二上·天津南开·期中）已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为（    ）． A． B． C． D． 11．（23-24高二上·天津和平·期末）已知圆：和圆：，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是（    ） A．2 B．1 C．3 D．5 题型五、两圆的公共弦长 13．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 14．（23-24高二上·吉林白山·期末）已知圆与圆相交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·天津滨海新·期末）已知圆：和圆：交于A，B两点，则下列结论中，正确的个数为（    ） ①两圆的圆心距； ②直线AB的方程为； ③； ④圆上的点到直线的最大距离为． A．1 B．2 C．3 D．4 题型六、两圆的公切线问题 16．（24-25高三上·全国·单元测试）若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·安徽滁州·期末）圆与圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（2024高二上·全国）已知圆和圆，则圆与圆的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型七：圆与圆位置关系的综合 19．（23-24高二下·上海·期中）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 20．（23-24高二上·广东中山·期中）已知圆过点，圆. (1)求圆的方程； (2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长. 21．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知点，是圆上的一动点，点是线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)已知、是直线上两个动点，且．若恒为锐角，求线段中点的横坐标取值范围． 【高分演练】 一、单选题 22．（2024·江西宜春·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知点关于直线的对称点Q落在圆上，则（    ） A．1 B． C． D．0 24．（2024·辽宁·二模）已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 25．（2024·广东广州·二模）若直线与圆相切，则圆与圆（    ） A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点 26．（23-24高二上·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二上·山东烟台·期末）若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 28．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 29．（23-24高二上·湖北恩施·阶段练习）若存在，使直线与的交点在圆：上，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）已知圆，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 二、多选题 31．（23-24高二下·河南·期中）已知圆，，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆相交，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交弦长为 32．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知圆和圆，则（    ） A．两圆的公共弦所在的直线方程为 B．圆上到直线的距离为1的点恰有2个 C．圆的内部与圆的内部的公共部分的周长为 D．若点在圆上，点在圆上，则的最大值为6 33．（22-23高二下·甘肃庆阳·期末）点在圆：上，点在圆：上，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 34．（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知圆与圆，则（    ） A．两圆的圆心距为 B．两圆的公切线有3条 C．两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D．两圆相交，且公共弦的长度为 35．（23-24高二上·山西运城·期末）已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（    ） A．若两圆有3条公切线，则 B．若两圆公共弦所在的直线方程为，则 C．若两圆公共弦长为，则 D．若两圆在交点处的切线互相垂直，则 三、填空题 36．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆：与圆：有且仅有三条公切线，则a的值为 ． 37．（24-25高二上·上海）已知圆：和圆：的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为 ． 38．（2024·贵州遵义·三模）已知点P是椭圆上除顶点外的任意一点，过点P向圆引两条切线，，设切点分别是M，N，若直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，则面积的最小值是 ． 39．（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆O：圆：，则下列结论正确的是 ． ①无论k取何值，圆心始终在直线上； ②若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为； ③若圆O与圆的公共弦长为，则或； ④与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为． 四、解答题 40．（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 41．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知圆：和圆：． (1)若圆与圆相交，求r的取值范围； (2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值． 42．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知圆：． (1)若直线过定点，且与圆相切，求的方程； (2)若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程． 43．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心在直线上. (1)若圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为，求圆心的坐标 (2)若圆与直线相切，且与圆相外切，判断是否存在符合题目要求的圆. 44．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 45．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知圆C的圆心为（且），，圆C与x轴、y轴分别交于A，B两点（与坐标原点O不重合），且线段为圆C的一条直径． (1)求证：的面积为定值； (2)若直线经过圆C的圆心，设P是直线l：上的一个动点，过点P作圆C的切线，，切点为G，H，求线段长度的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5.2：圆与圆的位置关系 【考点归纳】 · 考点一、两圆位置关系的判断 · 考点二、由圆与圆的位置关系求参数问题 · 考点三、圆与圆的位置关系确定圆的方程 · 考点四、两圆的公共弦方程 · 考点五、两圆的公共弦长 · 考点六、两圆的公切线问题 · 考点七：圆与圆位置关系的综合 【知识梳理】 知识点　两圆的位置关系及其判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 【例题详解】 题型一、两圆位置关系的判断 1．（24-25高二上·全国）已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 【答案】C 【分析】将两个圆化为圆的一般方程，得其圆心与半径，再根据圆心距与半径和差的关系判断两圆的位置关系即可. 【详解】圆，化为，圆心为，半径为； 圆，化为，圆心为，半径为． 则两圆心距离为， 因为，所以圆与圆相交． 故选：C． 2．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知圆，圆，则两圆的位置关系（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 【答案】B 【分析】根据圆的方程求得圆心和半径，再由圆心距和两半径之间的关系可得两圆外切. 【详解】易知圆的圆心为，半径为； 圆可化为，圆心，半径为； 圆心距，所以两圆外切. 故选：B 3．（2024·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离公式求的值，再利用几何法判断两圆的位置关系. 【详解】圆： ，所以圆心，半径为. 由点到直线距离公式得：，且，所以. 又圆的圆心，半径为：1. 所以，. 由，所以两圆内含. 故选：D 题型二、由圆与圆的位置关系求参数问题 4．（23-24高二上·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆心距离与半径和与差的关系列不等式求解. 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 若圆与圆有公共点， 则，又，所以. 故选：D 5．（23-24高二上·河南洛阳·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点，由圆与圆的位置关系建立不等式求解即可． 【详解】因为圆上总存在两个点到点的距离为， 所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点， 则圆与圆相交， 所以，即， 解得：且， 所以实数的取值范围是． 故选：D． 6．（23-24高二下·浙江）若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用圆和圆的位置关系求解参数即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 由题意得圆与圆只有一个交点， 可得两圆内切或外切，易得圆心距，半径差与和分别为或， 当两圆内切时，解得或， 当两圆外切时，无解，结合选项 故选：D 题型三、圆与圆的位置关系确定圆的方程 7．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C． =16 D． 【答案】B 【分析】根据两圆外切求圆的半径，即可求解. 【详解】由题意可知，两圆的圆心距为5，设圆的半径为， 因为两圆相外切，则，得， 所以圆的方程为. 故选：B 8．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知圆C与圆的公共弦是圆的直径，圆C与圆的公共弦是圆的直径，进而设圆C的圆心为，半径为得，再结合距离公式解方程即可得答案. 【详解】圆C平分圆C1等价于圆C与圆的公共弦是圆的直径． 同理圆C与圆的公共弦是圆的直径 设圆C的圆心为，半径为，则， 所以，即，解得 所以圆C的方程为． 故选：A 9．（21-22高二·全国·课后作业）与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出过圆心与直线垂直的直线方程，所求圆的圆心在此直线上，又圆心到直线的距离可得所求圆的半径，设所求圆的圆心为，且圆心在直线的左上方，利用、 可得答案. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 过圆心与直线垂直的直线方程为，所求圆的圆心在此直线上，又圆心到直线的距离为，则所求圆的半径为， 设所求圆的圆心为，且圆心在直线的上， 所以，且，解得（不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为. 故选：C． 题型四、两圆的公共弦方程 10．（23-24高二上·天津南开·期中）已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆相减得到公共弦所在直线方程. 【详解】圆与圆相减得 ，化简为， 两圆的公共弦所在直线方程为. 故选：B 11．（23-24高二上·天津和平·期末）已知圆：和圆：，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接将两圆方程作差即可得公共弦方程. 【详解】由题意圆：和圆：， 将两式作差得，圆与圆的公共弦所在的直线方程为，整理得. 故选：B. 12．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是（    ） A．2 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据两圆的方程作差可得弦所在直线方程，利用圆的几何性质求出弦长即可. 【详解】由题意所在的直线方程为： ， 即公共弦所在直线方程为， 因为圆的圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为1， 所以． 故选：A． 题型五、两圆的公共弦长 13．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】判断两圆相交，求出两圆的公共弦方程，根据圆的弦长的几何求法，即可求得答案. 【详解】由题意知圆，即圆， 圆心为，半径， 圆，即圆， 圆心为，半径， 则，即两圆相交， 将圆和圆的方程相减， 可得直线的方程为， 则到直线的距离为， 故弦的长为， 故选：A 14．（23-24高二上·吉林白山·期末）已知圆与圆相交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出公共弦所在的直线方程以及公共弦长，利用面积公式计算即可. 【详解】联立,相减可得直线：， 所以到直线的距离为， 利用圆与直线相交可得：， 所以. 故选：A. 15．（23-24高二上·天津滨海新·期末）已知圆：和圆：交于A，B两点，则下列结论中，正确的个数为（    ） ①两圆的圆心距； ②直线AB的方程为； ③； ④圆上的点到直线的最大距离为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出圆的圆心与半径，求解圆心距判断①；求出相交弦数值的直线方程判断②；求解弦长判断③；利用点到直线的距离求解判断④即可． 【详解】圆的圆心，半径为：2；圆的圆心，半径为； 对于①，两圆的圆心距，所以①不正确； 对于②，两圆相交，两个圆的方程作差可得，即，所以②正确； 对于③，圆到直线的距离为：，所以，所以③不正确； 对于④，圆上的点到直线的最大距离为：，所以④正确； 故选：B． 题型六、两圆的公切线问题 16．（24-25高三上·全国·单元测试）若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆相切的关系及点到直线的位置关系即可求解. 【详解】已知的圆心，半径是的圆心是，半径是2． 由题知直线是和的公切线， 当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以， 由，解得， 则有． 故选：A． 17．（23-24高二上·安徽滁州·期末）圆与圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据两圆的一般方程求出两圆圆心、半径，求出圆心距.根据圆心距与两半径之间的关系可得两圆外离，即可得出答案. 【详解】根据题意： 圆，， 其圆心为，半径； 圆，， 其圆心为，半径； 两圆的圆心距，所以两圆外离， 所以公切线条数有4条. 故选：D. 18．（2024高二上·全国）已知圆和圆，则圆与圆的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分析两圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案． 【详解】根据题意，圆，即， 其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， 两圆的圆心距， 因此两圆外切； 则圆与圆的公切线有3条． 故选：C． 题型七：圆与圆位置关系的综合 19．（23-24高二下·上海·期中）已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案； （2）利用待定系数法和相切可求圆的方程. 【详解】（1）由可得，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得弦长为. （2）设， 则，解得，； 因为圆与圆相切于原点，且圆过点， 所以，， 两边平方整理可得，平方可求， 代入可得，所以圆的方程为. 20．（23-24高二上·广东中山·期中）已知圆过点，圆. (1)求圆的方程； (2)判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长. 【答案】(1) (2)和圆相交，理由见解析， 【分析】（1）先设出圆的一般方程，把已知点代入，可求解； （2）先确定两个圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和、差的关系，确定两圆的位置关系.再用直线与圆相交求弦长的方法求公共弦长. 【详解】（1）设圆的一般方程为：，把已知点代入得： ， 所以圆的方程为： （2）由（1）得圆的标准方程为：. ∴，，， ∵ 所以圆和圆相交， 设交点为A，B，直线AB方程为即： ， 所以到直线AB的距离所以. 两圆公共弦的长. 21．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知点，是圆上的一动点，点是线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)已知、是直线上两个动点，且．若恒为锐角，求线段中点的横坐标取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，由中点坐标公式可得出，由已知可得出，将代入等式，化简可得出点的轨迹方程； （2）设，则，分析可知以中点为圆心，为半径的圆与圆外离，利用圆与圆的位置关系可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围，即为所求. 【详解】（1）解：设，因为点是线段的中点，则，可得， 因为点在圆上，则，即， 整理可得， 所以点的轨迹方程为. （2）解：设，则， 当在圆上运动时，恒为锐角， 等价于以中点为圆心，为半径的圆与圆外离． 且圆的圆心坐标为，半径为， 所以，解得或， 所以线段中点的横坐标取值范围为． 【高分演练】 一、单选题 22．（2024·江西宜春·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，再求出圆心到公共弦的距离，由弦长即可求出两圆的公共弦长. 【详解】由，作差 得两圆的公共弦所在直线的方程为． 由，得． 所以圆心，半径， 则圆心到公共弦的距离． 所以两圆的公共弦长为． 故选：D． 23．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知点关于直线的对称点Q落在圆上，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据点关于直线对称确定Q在圆上．联立，求出Q点坐标，根据对称知识，即可求得答案. 【详解】由题可知，直线l经过坐标原点O，所以， 则Q在圆上． 联立方程组，两式相减得， 代入得，则， 即，则， 而关于直线对称， 则， 故选：A 24．（2024·辽宁·二模）已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称可知是圆和圆圆心连线的垂直平分线，利用垂直关系求解斜率，由点斜式方程即可． 【详解】圆，圆心，半径， ，圆心，半径， 由题意知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线， ，，的中点， 圆心连线的斜率为，则直线的斜率为， 故的方程：，即,故C正确． 故选：C． 25．（2024·广东广州·二模）若直线与圆相切，则圆与圆（    ） A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点 【答案】B 【分析】由直线与圆相切，得，则圆的圆心在圆上，两圆相交. 【详解】直线与圆相切， 则圆心到直线的距离等于圆的半径1， 即，得. 圆的圆心坐标为，半径为， 其圆心在圆上，所以两圆相交. 故选：B 26．（23-24高二上·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化圆方程为标准形式，方程表示圆以及圆心距满足的关系式即可列不等式求解. 【详解】由题意：即：，它的圆心半径分别为， ：即：，它的圆心半径分别为， 所以圆心距满足，解得， 所以. 故选：D. 27．（23-24高二上·山东烟台·期末）若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到到的距离与到直线的距离相等，再利用抛物线的定义即可得解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 设动圆圆心的坐标为，半径为，则， 又动圆与直线相切，即到直线的距离为， 所以到直线的距离为， 所以到的距离与到直线的距离相等， 所以的轨迹为抛物线，其焦点为， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将问题转化为到定点与定直线的距离相等，从而得解. 28．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 【答案】C 【分析】求出两圆心距离，判断其与两圆半径和的大小即可得答案. 【详解】圆：， 即，圆心，半径， 圆：， 即，圆心，半径， 所以当时， 所以圆与圆的位置关系是外离. 故选：C. 29．（23-24高二上·湖北恩施·阶段练习）若存在，使直线与的交点在圆：上，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线所过的定点，进而求出点的轨迹，再利用两圆有公共点列式求解即得. 【详解】直线过定点，直线过定点， 线段的中点，显然，即直线， 因此的交点在以点为圆心，为半径的圆上，除点外， 则点的轨迹方程为圆且， 又圆的圆心，半径为1， 依题意，圆与圆有公共点，则有，而，即 因此，所以实数的取值范围为. 故选：A 30．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）已知圆，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】利用圆与圆的位置关系结合椭圆定义可得的轨迹为椭圆：．即可利用垂直关系，结合椭圆上的点到焦点的距离的最值，即可求解. 【详解】如图， 设圆的半径为，则，， 则， 的轨迹为椭圆，焦点为，， ，即，，． 椭圆方程为：． 由，得，故， ，要使的值最大，则最大， 为椭圆的左焦点，故 即． 故选：D． 二、多选题 31．（23-24高二下·河南·期中）已知圆，，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆相交，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交弦长为 【答案】ABD 【分析】根据题意求圆心和半径.对于AB：根据圆与圆的位置关系分析求解；对于C：结合选项A分析判断；对于D：先两圆方程作差求公共弦所在直线的方程，结合垂径定理求弦长. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径； 则， 对于选项A：若圆和圆相交，则， 即，解得，故A正确； 对于选项B：若和外切，则， 即，解得，故B正确； 对于选项C：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 所以圆和圆有且仅有2条公切线，故C错误； 对于选项D：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 且圆，， 两圆方程作差得，即公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以公共弦长为，故D正确. 故选：ABD 32．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知圆和圆，则（    ） A．两圆的公共弦所在的直线方程为 B．圆上到直线的距离为1的点恰有2个 C．圆的内部与圆的内部的公共部分的周长为 D．若点在圆上，点在圆上，则的最大值为6 【答案】AD 【分析】对于A：根据两圆公共弦的求法分析运算；对于B：根据圆心到直线的距离结合圆的性质分析求解；对于CD：根据圆的性质分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 可得，即，可知两圆相交. 对于选项A：两圆的公共弦所在的直线方程为：，即，故A正确； 对于选项B：因为圆心到直线的距离， 且圆半径为2，可知圆与直线相交，而垂直且到距离为， 由知轴与圆相切，故是圆被所截劣弧上唯一到距离为1的点； 过作直线的平行线，则和轴是平面上到距离为1的所有点的集合， 而和圆相交于点和点；如下图示， 所以共3点符合题意，故B错误； 对于选项C：直线与轴交于点，交两圆于S，T， 在中，则，可得，即， 可得弓形TOS的周长为，故所求公共部分周长为，故C错误； 对于选项D：由圆的性质可知：当M，N和两圆圆心共线，且在两圆心的两侧时，最大， 所以最大值为圆心距和两个半径的和，故D正确． 故选：AD． 33．（22-23高二下·甘肃庆阳·期末）点在圆：上，点在圆：上，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】先求出两个圆的圆心坐标和半径，根据圆心距可得两圆相离，从而求得两圆上动点的距离最值，计算直线斜率公式判断各个选项； 【详解】对于A、B选项：由题意得：，半径为1， ：，，半径为1， 圆心距为，又点在圆上，点在圆上， ，，故A错误，B正确； 对于C选项：两个圆心所在直线斜率为，C正确； 对于D选项：圆心距，所以无公共弦，D错误； 故选：BC． 34．（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知圆与圆，则（    ） A．两圆的圆心距为 B．两圆的公切线有3条 C．两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D．两圆相交，且公共弦的长度为 【答案】AC 【分析】根据圆的方程确定圆心坐标，求出两圆圆心距，判断A；判断两圆的位置关系，即可判断B；将两圆方程相减，即可得两圆公共弦所在的直线方程，判断C；利用几何法求得公共弦长，判断D. 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为 与圆的圆心为，半径为， 故两圆的圆心距为，A正确； 对于B，由于， 即圆与圆相交，两圆的公切线有2条，B错误； 对于C，由B可知两圆相交， 将圆与圆的方程相减， 得，即公共弦所在的直线方程为，C正确； 对于D，由B可知两圆相交，而， 到直线的距离为， 故两圆公共弦的长度为，D错误， 故选：AC 35．（23-24高二上·山西运城·期末）已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（    ） A．若两圆有3条公切线，则 B．若两圆公共弦所在的直线方程为，则 C．若两圆公共弦长为，则 D．若两圆在交点处的切线互相垂直，则 【答案】ABD 【分析】选项A，由两圆有条公切线，则两圆外切，由两圆圆心距与半径关系得；选项B，若两圆相交，由两圆方程作差得公共弦方程，先待定再验证相交可知；选项C，由半弦长、半径及圆心距关系可得；选项D，结合图形，由，可得等量关系求解. 【详解】设圆为圆，圆的圆心为，半径， 设圆为圆，圆的圆心为，半径， . A选项，若两圆有3条公切线，则两圆外切， 所以，A选项正确； B选项，由两式相减并化简得， 则， 此时，满足两圆相交，B选项正确； C选项，由两式相减并化简得， 到直线的距离为， 所以， 即，则解得或，C选项错误. D选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为， 根据圆的几何性质可知， 所以，D选项正确. 故选：ABD    三、填空题 36．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆：与圆：有且仅有三条公切线，则a的值为 ． 【答案】 【分析】将两圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，再由题意可知两圆外切，然后列方程可求出a的值. 【详解】由，可得，所以圆的圆心为，半径为a， 由，可得，所以圆的圆心为，半径为1， 因为两圆有且仅有三条公切线， 所以两圆外切，所以，解得． 故答案为： 37．（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆：和圆：的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为 ． 【答案】6 【分析】将两圆方程作差，得两圆的公共弦所在的方程，即可求解． 【详解】解：将两圆方程联立，得：， 得， 两式相减，得：， 则两圆的公共弦所在的方程为：， 因为公共弦所在的直线经过原点， 所以：， 得， 故答案为：6 38．（2024·贵州遵义·三模）已知点P是椭圆上除顶点外的任意一点，过点P向圆引两条切线，，设切点分别是M，N，若直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，则面积的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】设，求出以为直径的圆的方程，与圆的方程相减可得直线的方程，进而可求得的坐标，再求出和点到直线的距离，求出面积的表达式，进而可得出答案. 【详解】设， 则以为直径的圆的方程为， 与圆的方程相减得， 即是过切点的直线方程， 则，所以， 又因为点到直线的距离， 所以， 又因为在点P在椭圆上， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 即面积的最小值是.    故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设，求出以为直径的圆的方程，与圆的方程相减可得直线的方程，是解决本题的关键. 39．（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆O：圆：，则下列结论正确的是 ． ①无论k取何值，圆心始终在直线上； ②若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为； ③若圆O与圆的公共弦长为，则或； ④与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为． 【答案】①③④ 【分析】求出圆Ck的圆心坐标即可判断①；根据两圆有公共点的条件求出的范围即可判断②；求出公共弦所在直线方程，结合公共弦长和垂径定理求出的值即可判断③；根据的值求出圆的半径，利用两圆的半径求出外公切线长即可判断④. 【详解】对于①，圆的圆心坐标为，在直线上，①正确； 对于②，若圆O与圆有公共点，则，即，解得或，②错误； 对于③，将圆O与圆的方程作差可得公共弦所在直线的方程为， 则圆心O到该直线的距离，则，解得或，③正确； 对于④，当时，圆心距为3，圆O与圆外切，半径差为1，则外公切线长为，④正确． 故答案为：①③④    四、解答题 40．（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）由两圆外切，得两圆圆心之间的距离等于两圆半径的和，从而求出的值； （2）由两圆内切，得到两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，求解得出的值；由两圆心连线与两圆公切线垂直，根据已知两圆心连线的斜率求出两圆公切线的斜率，设出切线方程，再根据切线的性质求解未知量的值. 【详解】（1）由题意，圆：，可化为： 圆：，可化为：， 可得圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆相外切时，可得， 即， 解得， 所以时，两圆外切； （2）由（1）知，圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆内切时，可得， 即， 解得， 因为， 可得两圆公切线的斜率是， 设切线方程为，即 则圆心到切线的距离等于圆的半径， 即，解得， 当时，直线与圆：相交，舍去， 故所求公切线方程为 ，即． 41．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知圆：和圆：． (1)若圆与圆相交，求r的取值范围； (2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）先求出两圆的圆心和半径，然后由两圆相交，得，从而可求出r的取值范围； （2）设，，将直线方程代入圆方程化简，利用根与系数的关系，再结合列方程可求出实数k的值． 【详解】（1）圆：的标准方程为，则圆心，， 圆：的标准方程为，则圆心，， 所以． 因为圆与圆相交，所以， 即，解得， 所以r的取值范围为． （2）已知直线l：与圆交于P、Q两点， 设，，联立，得， 由，得， 所以， 所以，解得， 因为，所以． 42．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知圆：． (1)若直线过定点，且与圆相切，求的方程； (2)若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分类讨论直线斜率存在与否，再待定系数法设出切线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求切线的斜率，求出切线； （2）根据圆心在直线上，以及两圆外切的条件列出圆心坐标的方程组，求出圆心坐标即可． 【详解】（1）由圆：得圆心，半径， 当直线斜率存在时，设：，即， 所以，解得， 所以切线为，即， 当直线斜率不存在时，直线为，易知也是圆的切线， 所以直线的方程为：或； （2）设，则， 解得，；或，， 故所求圆的方程为或. 43．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心在直线上. (1)若圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为，求圆心的坐标 (2)若圆与直线相切，且与圆相外切，判断是否存在符合题目要求的圆. 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）依据圆心位置及与轴相切，利用弦长列方程即可解得圆心的坐标为； （2）利用直线和圆相切，以及两圆外切列方程即可求得不存在符合题目要求的圆. 【详解】（1）根据题意可设圆心，半径为； 由圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为，可得半径，如下图所示：    由勾股定理可得，解得， 此时圆心，半径为2，圆的方程为； 所以圆心的坐标为； （2）依题意设圆心，半径为，如下图所示：    因为圆心在直线上，所以； 若圆与直线相切可得， 若圆与圆相外切，则， 即，可得， 该方程，所以该方程无解， 故不存在满足题意的圆. 44．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线的性质，结合勾股定理即可由点到直线的距离公式求解， （2）根据两圆相减可得相交弦所在直线方程，即可根据点到直线的距离公式，结合弦长公式求解. 【详解】（1）设圆的半径为，过向圆所作切线的一个切点为， 由知，当最小时，切线段的长度有最小值，自圆心向直线引垂线段，此时有最小值． 圆心到直线的距离．即． ． 圆的方程为． （2）由圆：和圆：， 由于两圆的圆心距为， 故两圆相交， 两圆方程相减得，公共弦所在直线方程为． 圆心到直线的距离为． 弦长． 45．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知圆C的圆心为（且），，圆C与x轴、y轴分别交于A，B两点（与坐标原点O不重合），且线段为圆C的一条直径． (1)求证：的面积为定值； (2)若直线经过圆C的圆心，设P是直线l：上的一个动点，过点P作圆C的切线，，切点为G，H，求线段长度的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）求出圆的方程，分别令，求出，，即可求出的面积，即可证明； （2）因为直线经过圆的圆心，所以，结合，即可解出，可求出求圆的方程；由题意可得然P，G，C，H四点共圆，且为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆，可得圆的方程，由点到直线的距离、圆的弦长公式表示出，再由二次函数的性质即可求出求线段长度的最小值. 【详解】（1）设圆的方程为，由题可知点在圆上， 则圆的方程为， 整理得， 因为圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合）， 令，解得：；令，解得：； 则，． 所以，为定值． （2）因为直线经过圆的圆心，所以． 又，且，解得． 所以圆的方程为． 过点作圆的切线，，切点为，， 显然P，G，C，H四点共圆，且为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆，， 则圆的方程为， 即，① 又圆的半径，方程可化为，② ①－②，得圆与圆的相交弦所在直线的方程为 ． 点到直线的距离， 所以 ， 所以当时，取得最小值， 故线段长度的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$