精品解析：2024年广东省清远市清城区初中学业水平模拟考试(一) 数 学

清远市清城区2024年初中学业水平模拟考试（一） 数学 说明： 1．全卷共4页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 在，0，，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 对下图的对称性表述，正确的是（ ）． A. 轴对称图形 B. 中心对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形又不是中心对称图形 3. 据广东省交通运输厅预测，年春运期间，广铁预计发送旅客约万人次，将万用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 4. 某店铺连续5天销售衬衣件数分别为10，11，13，15，11．关于这组数据，以下结论错误的是（ ） A. 众数是11 B. 平均数是12 C. 方差是3.2 D. 中位数是13 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A B. C. D. 7. 若函数的图象经过点和，则a的值为（　　） A. 2 B. C. 1 D. 8. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 9. 如图，的半径为2，四边形是圆内接四边形，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，，，将沿着直线向右平移到的位置，与相交于点G，连接．下列结论： ①； ②是直角三角形； ③四边形的面积是； ④四边形是菱形； ⑤．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式的解集是________． 12. 若正多边形的一个内角等于，则这个正多边形的边数是______________． 13. 在平面直角坐标系中把抛物线向下平移两个单位长度所得的抛物线解析式为________． 14. 某件商品进价10元，标价15元，为了迎接国庆节的到来，商店准备打折出售，计划每件获利2元，则该商品应打_________折出售． 15. 如图，在边长为3的等边三角形中，以为直径构造半圆，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 17. 已知，代数式，． （1）因式分解A； （2）化简分式． 18. 如图，在中， （1）实践与操作：用尺规作图法作边的高（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，，求的长． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 某校为了解学生最喜爱数学活动项目，随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）参与此次抽样调查的学生人数是__________人，补全折线统计图； （2）图2中扇形C圆心角度数为__________． （3）全校学生共1500人，估计其中最喜爱“数学竞赛”项目的学生人数是多少？ 20. 近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：m千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：m千米 每千米行驶费用：________元 （1）用含m的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用； （2）若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程大于6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 21. 综合与实践 主题：用折纸折出特殊角 素材：一张矩形纸片． 步骤1：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 步骤2：如图2，再一次折叠纸片，使点D落在上的点处，折痕为． （1）直接写出的度数； （2）证明（1）中你发现的结论． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 综合探究 如图1，在四边形中，，，点O是的中点，分别为，的角平分线． （1）求证：； （2）如图2，以点O为圆心，为直径的与相切于点E，若，设，，求y关于x的函数表达式； （3）如图3，在（2）的条件下，连接与交于点G，与交于点F，试判断四边形的形状，并说明理由． 23. 综合运用 如图，抛物线交轴于点、，交轴于点，顶点为，直线与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）在第一象限内是否存在一点M使得与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接，将绕x轴上的动点顺时针旋转得到，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清远市清城区2024年初中学业水平模拟考试（一） 数学 说明： 1．全卷共4页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 在，0，，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，先化简绝对值，再根据负数小于0，0小于正数，据此即可作答． 【详解】解：， 则， ∴最小的数是， 故选：A． 2. 对下图的对称性表述，正确的是（ ）． A. 轴对称图形 B. 中心对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形又不是中心对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义判断即可：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴；把一个图形绕着某一点旋转180度，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合． 因此，此图不是轴对称图形，是中心对称图形． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称和中心对称的定义；掌握定义是解题关键． 3. 据广东省交通运输厅预测，年春运期间，广铁预计发送旅客约万人次，将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．解题关键在于表示时要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：， 故选：B 4. 某店铺连续5天销售衬衣的件数分别为10，11，13，15，11．关于这组数据，以下结论错误的是（ ） A. 众数是11 B. 平均数是12 C. 方差是3.2 D. 中位数是13 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数、平均数、方差、中位数的计算方法分别求出结果再进行判断即可．本题考查中位数、众数、平均数、方差，掌握中位数、众数、平均数、方差的计算方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、11出现了2次，出现的次数最多，则众数是11，故本选项不符合题意； B、平均数是，故本选项不符合题意； C、方差是：，故本选项不符合题意； D、把这些数从小到大排列为：10，11，11，13，15，中位数是11，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、相除，积的乘方，据此相关性质内容进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：A、，不符合题意，故该选项是错误的； B、，符合题意，故该选项是正确的； C、，不符合题意，故该选项是错误的； D、，不符合题意，故该选项是错误的； 故选：B． 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，因为相似比是，所以面积比是相似比的平方，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 7. 若函数的图象经过点和，则a的值为（　　） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是求解反比例函数的解析式，反比例函数的性质，先由可得，再求解即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 把代入，得：， 故选：A． 8. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此利用判别式求出k的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，的半径为2，四边形是圆内接四边形，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理和弧长公式，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理和弧长公式是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理得，再代入弧长公式计算即可． 【详解】解：， ， ， 的长为：． 故选：C． 10. 如图，中，，，，将沿着直线向右平移到的位置，与相交于点G，连接．下列结论： ①； ②是直角三角形； ③四边形的面积是； ④四边形是菱形； ⑤．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由平移的性质得，，，，则四边形是平行四边形，，，故①不正确；再由勾股定理的逆定理求出，即可推出是直角三角形，故②正确；然后设的边上的高为，由面积法求出，再求出，故③正确；由，即可推出平行四边形是菱形，故④正确；最后由，证与不全等，即可得出结果． 【详解】解：由平移的性质得：，，，， 四边形是平行四边形， 则，，故①不正确； ， 即， ， ， 是直角三角形，故②正确； 设的边上的高为， 则， ， ，故③正确； ， 平行四边形是菱形，故④正确； ， ，， ， 与不全等，故⑤不正确； 综上所述，正确结论的个数为3， 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算、全等三角形的判定等知识，熟练掌握平移的性质和勾股定理的逆定理是解题的关键． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式的解集是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照移项，合并同类项的步骤解不等式即可． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 故答案为：． 12. 若正多边形的一个内角等于，则这个正多边形的边数是______________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，先求出该正多边形的一个外角等于，再根据正多边形外角和为360度进行求解即可． 【详解】解：∵正多边形一个内角等于， ∴该正多边形的一个外角等于， ∴这个正多边形的边数是， 故答案为：6． 13. 在平面直角坐标系中把抛物线向下平移两个单位长度所得的抛物线解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握“上加下减，左加右减”的平移规律是本题解题的关键． 直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，把抛物线向下平移两个单位长度所得的抛物线解析式为． 故答案为． 14. 某件商品进价10元，标价15元，为了迎接国庆节的到来，商店准备打折出售，计划每件获利2元，则该商品应打_________折出售． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设打折，用含的式子表示出售价，再减去进价就是利润，列出方程求解即可． 【详解】解：设打折，根据题意得 解得 即打8折出售． 故答案为：８． 15. 如图，在边长为3的等边三角形中，以为直径构造半圆，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，根据等边三角形的判定与性质求出、、是边长相等的等边三角形，再根据阴影部分的面积求解即可．此题考查了扇形的面积、等边三角形的性质，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，， 是等边三角形的边长为3， ，， 以为直径构造半圆， ， 、是等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）0；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂的性质、乘方的意义和算术平方根的定义，先算乘方和开方，再算加减即可； （2）把两个方程相加，消去，求出，再把的值代入②，求出即可． 本题主要考查了算术平方根、零次幂、乘方和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握零指数幂的性质、乘方的意义和算术平方根的定义． 【详解】解： ； （2）， 得：， ∴， 把代入②得：， 原方程组的解为：． 17. 已知，代数式，． （1）因式分解A； （2）化简分式． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了因式分解和分式的化简，熟练掌握提公因式法和分式的基本性质是解题的关键． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）把分子和分母因式分解后约分即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ． 18. 如图，在中， （1）实践与操作：用尺规作图法作边的高（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂线及解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义并熟记特殊角的三角函数值是解题关键． （1）过点作边的垂线，垂足为，即为所求； （2）利用、的正切值分别求出、的长即可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示：为所要求作的高． 【小问2详解】 ∵为边上的高， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 在中，，即， ∴， ∴． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 某校为了解学生最喜爱的数学活动项目，随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）参与此次抽样调查的学生人数是__________人，补全折线统计图； （2）图2中扇形C的圆心角度数为__________． （3）全校学生共1500人，估计其中最喜爱“数学竞赛”项目的学生人数是多少？ 【答案】（1）120，见解析 （2）90° （3）最喜爱“数学竞赛”项目的学生人数约为375人． 【解析】 【分析】本题考查的是扇形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据的人数和所占的百分比求出调查的总人数，再用总人数减去其它的人数，求出数学展示的人数，从而补全折线统计图； （2）用乘以所占的百分比，即可得出答案； （3）用总人数乘以最喜爱“数学竞赛”的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：此次抽样调查的学生人数是：（人； 数学展示的人数有：（人， 补折线全统计图如下： 故答案为：120； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人， 答：最喜爱“数学竞赛”项目的学生人数约为375人． 20. 近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：m千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：055元/千瓦时 续航里程：m千米 每千米行驶费用：________元 （1）用含m的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用； （2）若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程大于6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】（1）（或）； （2）①燃油车每千米行驶费用为0.75元，纯电动汽车每千米行驶费用为0.11元；②他们购买纯电动汽车的年费用更低． 【解析】 【分析】（1）根据表中信息，可以表示新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.64元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； ②先分别算出购买燃油车的年费和购买纯电动汽车的年费，再进行比较，即可作答． 本题考查列代数式的问题，分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 【小问1详解】 解：新能源车的每千米行驶费用为：（元）； 故答案为：（或）． 【小问2详解】 解：①， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴（元），（元）， 答：燃油车的每千米行驶费用为0.75元，新能源车的每千米行驶费用为0.11元； ②购买燃油车的年费：（元） 购买纯电动汽车的年费：（元） ∵ ∴他们购买纯电动汽车的年费用更低． 21. 综合与实践 主题：用折纸折出特殊角 素材：一张矩形纸片． 步骤1：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 步骤2：如图2，再一次折叠纸片，使点D落在上的点处，折痕为． （1）直接写出的度数； （2）证明（1）中你发现的结论． 【答案】（1）； （2），证明见解析． 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质和特殊角的三角函数． （1）根据题意写出答案即可； （2）根据折叠的性质和特殊角的三角函数进行证明即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，； 【小问2详解】 解：证明：由折叠的性质可知， ，， ∴ ∴， ∴ ∴． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 综合探究 如图1，在四边形中，，，点O是的中点，分别为，的角平分线． （1）求证：； （2）如图2，以点O为圆心，为直径的与相切于点E，若，设，，求y关于x的函数表达式； （3）如图3，在（2）的条件下，连接与交于点G，与交于点F，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2） （3）四边形是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质，得出，由角平分线的定义得出，运用垂直的定义解答即可； （2）连接，得出，再利用圆的切线的性质定理，切线长定理和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）连接，利用（1）（2）的结论，以及圆的切线的性质定理，则，，得出垂直平分，即，运用三个内角等于90度来证明四边形是矩形，进行解答即可． 【小问1详解】 证明：， ， ，分别为，的角平分线， ，， ， ， ， ； 小问2详解】 解：连接，如图， 点是的中点， ， 与相切于点， ，． ． ， ， ， ． 分别与，，相切于点，，， ，， ，， ， ∵， ， ， 即：， ． 【小问3详解】 解：四边形是矩形，理由如下： 为直径， ． 由（1）得：， 由（2）得：是的切线， 连接，如图， ，， 垂直平分， ． ， 四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，平行线的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，切线长定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 23. 综合运用 如图，抛物线交轴于点、，交轴于点，顶点为，直线与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）在第一象限内是否存在一点M使得与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接，将绕x轴上的动点顺时针旋转得到，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为或或 （3）的取值范围为或 【解析】 【分析】（1）根据解析式得出、，直线的解析式为，利用待定系数法求出、的值即可得答案； （2）由（1）中解析式可得是等腰直角三角形，分、、三种情况，利用等腰三角形的对称性分别求解即可得答案； （3）分和两种情况，分别求出点、落在抛物线上时的值即可得答案． 【小问1详解】 解：∵，顶点为， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，把，代入，得， 解得： ∴直线的解析式为， 【小问2详解】 存在， 把代入，得， 解得：， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 如图1，若，则，， ∴轴，与直线交于点， ∴， 如图，若，则，， ∵点是抛物线的顶点， ∴点与点关于直线对称， ∴， 如图，若，则，， 过点作于点，则 ∴点与点关于直线对称， ∴， 综上，点M的坐标为或或． 【小问3详解】 ①若，当旋转后点落在抛物线上时（如图），线段与抛物线只有一个公共点． ∴的坐标是， ∴， 解得：，，（不合题意，舍去） 当旋转后点落在抛物线上时（如图），线段与抛物线只有一个公共点． 把代入得：， 解得：，， ∴，， ∴， ∴点与点重合 ∴当时，若线段与抛物线只有一个公共点，的取值范围为． 若，当旋转后点落在抛物线上时（如图），线段与抛物线只有一个公共点，此时，点与点重合，故， 当旋转后点落在抛物线上时（如图），线段与抛物线只有一个公共点． 连接、，过点作轴于， ∵将绕x轴上的动点顺时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴ 解得：（不合题意，舍去），． ∴当时，若线段与抛物线只有一个公共点，的取值范围为． 综上，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合、待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质及解一元二次方程，熟练掌握相关性质及判定定理，并运用分类讨论的数学思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$