专题01 方程解的存在性及方程的近似解重难点题型专训（12大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第一册）

专题01 方程解的存在性及方程的近似解重难点题型专训（12大题型+20道拓展培优） 题型一 求函数的零点 题型二 根据零点求函数解析式中的参数 题型三 根据零点判断函数值的符号 题型四 零点存在性定理的应用 题型五 根据零点所在的区间求参数范围 题型六 根据函数零点的个数求参数范围 题型七 根据一次函数零点的分布求参数范围 题型八 根据二次函数零点的分布求参数的范围 题型九 根据指对幂函数零点的分布求参数范围 题型十 用二分法求近似解的条件 题型十一 二分法求方程近似解的过程 题型十二 二分法求函数零点的过程 知识点一 函数的零点 1.概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. 2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 知识点二 函数零点存在定理 1.条件：①如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0. 2.结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 3.零点存在定理注意事项 ①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线； ②f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可，否则结论不一定成立. 满足上述两个条件，则函数y＝f(x)的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数根c，但不能确定有几个，只有再借助于f(x)在(a，b)内的单调性才能确定f(x)在(a，b)内零点的个数. 4. 求函数零点 （1）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （2）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 知识点三 一元二次方程根的分布与方程系数的关系 （1）设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是： ①当x1＜x2＜k时，有；②当k＜x1＜x2时，有；③当x1＜k＜x2时，； ④当x1，x2∈（k1，k2）时，有；⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有． 注：讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．当k=0时，也就是一元二次方程根的零分布． （2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧． 设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1，x2，且x1≤x2． ①；②； ③；④x1=0，x2＞0c=0，且；x1＜0，x2=0c=0，且． 知识点四 二分法 1.定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤： (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0； (2)求区间(a，b)的中点c； (3)计算f(c)，进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).　 注：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根． 【经典例题一 求函数的零点】 【例1】（23-24高二下·北京顺义·期末）函数的零点是（    ） A． B． C．10 D． 1．（2024高二上·北京·学业考试）函数的零点为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（20-21高三·北京·强基计划）在中，，直线上一点D满足，则这样的D点有 个． 3．（22-23高一下·北京海淀·开学考试）已知函数 (1)直接写出函数的零点和不等式的解集； (2)直接写出函数的定义域和值域； (3)求证：函数的图象关于点中心对称； (4)用单调性定义证明：函数在区间上是减函数； (5)设，直接写出它的反函数． 【经典例题二 根据零点求函数解析式中的参数】 【例2】（22-23高一上·北京大兴·期末）“”是“函数存在零点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（24-25高三上·湖北·开学考试）设函数，若，则a，b满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京海淀·一模）设函数 ①当时， ； ②若恰有2个零点，则a的取值范围是 ． 3．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数 (1)若函数只有一个零点，求的值； (2)证明：曲线是轴对称图形； (3)若函数的值域为，求的取值范围． 【经典例题三 根据零点判断函数值的符号】 【例3】（20-21高一上·江西景德镇·期中）函数在区间上的图象是连续不断的，且方程在上仅有一个实根，则的值（    ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．与0的大小关系无法确定 1．（22-23高一上·浙江·期中）已知实数是函数的一个零点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一·全国·课后作业）已知是函数的一个零点，若，，则 0， 0（填“>”“<”） 3．（23-24高一·全国·课堂例题）函数在区间 上有零点，是不是一定有? 【经典例题四 零点存在性定理的应用】 【例4】（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）“”是“函数在区间上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在区间具有单调性，且，则方程在区间上（    ） A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．有且只有一实根 2．（22-23高一上·辽宁丹东·期末）若实数满足，，则 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）证明：方程没有整数解． 【经典例题五 根据零点所在的区间求参数范围】 【例5】（23-24高二下·浙江绍兴·阶段练习）是方程有正实数根的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（23-24高一下·河南漯河·期末）函数，则“”是“函数在上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024高三·全国·专题练习）对于函数和，设，，若存在，，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是 . 3．（23-24高一上·云南昆明·期末）函数． (1)求和的值，判断的单调性并用定义加以证明； (2)设是函数的一个零点，当时，，求整数的最大值． 【经典例题六 根据函数零点的个数求参数范围】 【例6】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·广东广州·开学考试）已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数m取值范围值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·江苏·专题练习）已知，若互不相等，且，则的范围是 ． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程有8个不同的实根，求的取值范围． 【经典例题七 根据一次函数零点的分布求参数范围】 【例7】（20-21高二上·河南新乡·阶段练习）当时，函数的值有正也有负，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（21-22高一·全国·课后作业）已知函数在区间上存在零点，则（    ） A． B． C．或 D． 2．（23-24高一下·山东临沂·开学考试）已知函数与的零点分别为m和n，若存在m，n使得，则实数a的取值范围是 . 3．（21-22高一上·全国·课后作业）若函数在内有零点，求实数a的取值范围． 【经典例题八 根据二次函数零点的分布求参数的范围】 【例8】（24-25高三上·四川眉山·开学考试）若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·浙江宁波·期中）若函数在区间恰有两个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）方程的两个根均大于1，则实数m的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·天津·阶段练习）函数 (1)当时，求函数零点 (2)函数有两个零点，求m的取值范围； (3)函数在上有两个零点，求m的取值范围； 【经典例题九 根据指对幂函数零点的分布求参数范围】 【例9】（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知定义在正实数集上的函数设、、是互不相同的实数，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若函数与函数的零点相同，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东东莞·期中）已知函数，函数有四个不同的零点，， ，且，，则实数的取值范围是 ． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知关于的方程的根为负数，求的取值范围． 【经典例题十 用二分法求近似解的条件】 【例10】（22-23高一下·浙江杭州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）下列函数图象与轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）已知函数的图象如图，其中可以用二分法求零点的个数为 个． 3．（21-22高一上·福建莆田·期末）若函数有零点，但不能用二分法求其零点，求实数的值. 【经典例题十一 二分法求方程近似解的过程】 【例11】（24-25高一上·全国·随堂练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 1．（24-25高一上·全国·课后作业）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·云南昆明·期末）小明在学习在二分法后，利用二分法研究方程在（1，3）上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为 . 3．（24-25高一上·全国·课后作业）现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同.你能用一架天平尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？ (1)当时，若只称3次就可以找到此“坏乒乓球”，并得出它是偏轻还是偏重，该如何称？ (2)若已知“坏乒乓球偏轻”，当时，至少称几次就一定可以找到此“坏乒乓球”？ 【经典例题十二 二分法求函数零点的过程】 【例12】（24-25高一上·全国·课前预习）用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（    ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 1．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（22-23高一上·湖北武汉·阶段练习）函数的零点，对区间利用两次“二分法”，可确定所在的区间为 ． 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）求曲线和直线的交点的横坐标（误差不超过0.05）． 1．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知函数的零点分别为，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（21-22高一·吉林·期中）设x0是函数的零点，若，则的值满足（    ） A． B． C． D．的符号不确定 3．（2024·山东·模拟预测）已知函数，则使有零点的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·浙江宁波·期末）若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高一·江苏·单元测试）下列函数一定能用“二分法”求其零点的是（    ） A．（k，b为常数，且） B．（a，b，c为常数，且） C． D．（，k为常数） 6．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．命题，，则命题的否定为， B．“”是“”成立的充要条件 C．函数的最小值是 D．“”是“函数的零点个数为2”成立的充要条件 7．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是偶函数 C．的最小值为 D．方程有解 8．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列说法中正确的是（    ） A．若关于的方程的一个根大于，另一根小于，则 B．函数的值域为，则 C．函数与函数的图像关于对称 D．定义在区间上连续的函数，若，则在区间上函数没有零点 9．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）下列选项不正确的有（    ） A．若命题：，，则：， B．与是同一个函数 C．可以用二分法求函数的零点 D．， 10．（23-24高一上·广东广州·期末）教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表 1.25 1.375 1.40625 1.422 1.4375 1.5 0.02 0.33 分析表中数据，则下列说法正确的是：（    ） A． B．方程有实数解 C．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375 D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375 11．（23-24高一下·全国·课前预习）的零点为 . 12．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知函数，若方程有6个相异的实数根，则实数b的取值范围是 . 13．（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）已知函数在区间有零点，则的取值范围是 . 14．（23-24高一上·江苏·课前预习）二分法 对于区间上图象连续不断其的函数，通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法. 15．（23-24高一下·全国·课前预习）二分法 一般地，求零点的近似值，可以通过计算 函数值，从而不断缩小零点所在的区间来实现，这种求零点近似值的方法称为 . 使用条件：函数的图象在区间上是一段连续曲线，且区间端点的函数值满足. 16．（23-24高一下·安徽·开学考试）已知函数. (1)若，且，求函数的零点； (2)若，函数的定义域为I，存在，使得在上的值域为，求实数t的取值范围. 17．（23-24高一上·北京东城·期末）已知函数，，. (1)当时，判断函数的奇偶性并证明； (2)当且时，利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增； (3)求证：当且时，方程在内有实数解. 18．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知关于x的方程． (1)若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小，求实数m的取值范围； (2)若方程有两个实根α，β，且满足，求实数m的取值范围； (3)若方程至少有一个正根，求实数m的取值范围． 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的一个为正数的零点（结果精确到0.1）． 20．（24-25高一上·全国·课堂例题）用二分法求函数在区间内的一个零点的近似值．（误差不超过0.01） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 方程解的存在性及方程的近似解重难点题型专训（12大题型+20道拓展培优） 题型一 求函数的零点 题型二 根据零点求函数解析式中的参数 题型三 根据零点判断函数值的符号 题型四 零点存在性定理的应用 题型五 根据零点所在的区间求参数范围 题型六 根据函数零点的个数求参数范围 题型七 根据一次函数零点的分布求参数范围 题型八 根据二次函数零点的分布求参数的范围 题型九 根据指对幂函数零点的分布求参数范围 题型十 用二分法求近似解的条件 题型十一 二分法求方程近似解的过程 题型十二 二分法求函数零点的过程 知识点一 函数的零点 1.概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. 2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 知识点二 函数零点存在定理 1.条件：①如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0. 2.结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 3.零点存在定理注意事项 ①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线； ②f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可，否则结论不一定成立. 满足上述两个条件，则函数y＝f(x)的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数根c，但不能确定有几个，只有再借助于f(x)在(a，b)内的单调性才能确定f(x)在(a，b)内零点的个数. 4. 求函数零点 （1）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （2）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 知识点三 一元二次方程根的分布与方程系数的关系 （1）设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是： ①当x1＜x2＜k时，有；②当k＜x1＜x2时，有；③当x1＜k＜x2时，； ④当x1，x2∈（k1，k2）时，有；⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有． 注：讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．当k=0时，也就是一元二次方程根的零分布． （2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧． 设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1，x2，且x1≤x2． ①；②； ③；④x1=0，x2＞0c=0，且；x1＜0，x2=0c=0，且． 知识点四 二分法 1.定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤： (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0； (2)求区间(a，b)的中点c； (3)计算f(c)，进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).　 注：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根． 【经典例题一 求函数的零点】 【例1】（23-24高二下·北京顺义·期末）函数的零点是（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】令即可求解. 【详解】令，可得，解得， 故函数的零点是. 故选：A. 1．（2024高二上·北京·学业考试）函数的零点为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】解方程求得方程的根，即可得相应函数的零点. 【详解】令，则， 即函数的零点为0， 故选：B 2．（20-21高三·北京·强基计划）在中，，直线上一点D满足，则这样的D点有 个． 【答案】3 【分析】以点C为原点建立平面直角坐标系，设，且，则根据题设条件可得关于的方程，求出其解后可得D点个数. 【详解】以点C为原点建立平面直角坐标系， 设，且， 则， 即，其中. 也即． 故或， 故或或， 综上所述，这样的D点有3个． 故答案为：3. 3．（22-23高一下·北京海淀·开学考试）已知函数 (1)直接写出函数的零点和不等式的解集； (2)直接写出函数的定义域和值域； (3)求证：函数的图象关于点中心对称； (4)用单调性定义证明：函数在区间上是减函数； (5)设，直接写出它的反函数． 【答案】(1)1   (2)   (3)证明过程见解析 (4)证明过程见解析 (5) 【分析】（1）根据函数的零点定义和除法不等式解法即可求解；（2）定义域的求法和分离常数法求值域即可求解；（3）根据函数对称性的证明即可求解；（4）根据函数单调性的证明即可求解；（5）根据反函数的求法即可求解. 【详解】（1）令， 解得， 故零点为1， 由， 得， 所以， 所以等式的解集为：. （2）因为， 所以， 所以函数的定义域为. ， 所以值域为：. （3）， 所以， 所以函数的图象关于点中心对称. （4）在区间上任意取 所以， 所以函数在区间上是减函数. （5） 所以， 所以. 【经典例题二 根据零点求函数解析式中的参数】 【例2】（22-23高一上·北京大兴·期末）“”是“函数存在零点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据函数零点的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【详解】若函数存在零点，则有实数解，即有实数解， 因为，所以，而，由得， 则“”是“函数存在零点”的充分必要条件. 故选：C 1．（24-25高三上·湖北·开学考试）设函数，若，则a，b满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得在定义域上单调增且零点为，且在定义域上单调减且零点为，即可得到两函数的零点重合，从而得到结果. 【详解】， 且恒成立，在定义域上单调增且零点为， 在定义域上单调减且零点为， 故与在定义域内函数值正负相反且零点重合，则. 故选：C 2．（2023·北京海淀·一模）设函数 ①当时， ； ②若恰有2个零点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由分段函数解析式先求，再求的值，结合零点的定义分段求零点，由条件求a的取值范围. 【详解】当时，， 所以， 所以， 令，可得 当时，， 所以或， 当或时，方程在上有唯一解， 当或时，方程在上的解为或， 当时，， 所以当时，， 当时，方程在上无解， 综上，当时，函数有两个零点， 当时，函数有两个零点， 当时，函数有三个零点， 当时，函数有两个零点， 因为恰有2个零点，所以或， 所以a的取值范围是. 故答案为：；. 3．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数 (1)若函数只有一个零点，求的值； (2)证明：曲线是轴对称图形； (3)若函数的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由有一个解，即方程有一个根，根据判别式为0求解即可； （2）因为关于直线对称，不妨猜测也关于直线对称，因此只需验证是否成立即可； （3）若函数的值域为，只需能取遍所有正数即可，因此方程的判别式即可. 【详解】（1）依题意， 所以方程有一个解， 即方程只有一个根， 所以， 解得. （2）因为， 所以关于直线对称， 因此曲线是轴对称图形. （3）若函数的值域为， 只需能取遍所有正数即可， 因此方程的判别式， 解得. 【经典例题三 根据零点判断函数值的符号】 【例3】（20-21高一上·江西景德镇·期中）函数在区间上的图象是连续不断的，且方程在上仅有一个实根，则的值（    ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．与0的大小关系无法确定 【答案】D 【解析】先由题中条件，判定，再举例判断可能大于0或小于0，即可得出结果. 【详解】因为函数在区间上的图象是连续不断的，且方程在上仅有一个实根，所以当时，对应区间内的任意实数，都有，所以； 若，满足在区间上的图象是连续不断的，且方程在上仅有一个实根，此时； 若，也满足在区间上的图象是连续不断的，且方程在上仅有一个实根，此时； 所以的值与0的大小关系无法确定. 故选：D. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于，根据方程在上仅有一个实根，判断出，再结合特例法，即可得出结果. 1．（22-23高一上·浙江·期中）已知实数是函数的一个零点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先判断函数的单调性，再结合判断即可. 【详解】因为与在是增函数， 所以在上递增，且， 所以当时，有， 即. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的零点及函数的单调性，属于基础题. 2．（21-22高一·全国·课后作业）已知是函数的一个零点，若，，则 0， 0（填“>”“<”） 【答案】 【分析】根据基本函数的增减性，判定的单调性，根据零点确定零点左右两侧函数值的正负即可. 【详解】函数 ， 在 上均单调递增， 函数在上单调递增， 由 ，， 得 ， 由 ， ，得 ． ∴①处填“＜”，②处填“＞”. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性，函数的零点，属于中档题. 3．（23-24高一·全国·课堂例题）函数在区间 上有零点，是不是一定有? 【答案】答案见解析 【详解】不一定，如在区间 上有零点0，但是. 【经典例题四 零点存在性定理的应用】 【例4】（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）“”是“函数在区间上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据零点存在性定理，列出不等式求解的范围，再根据充分必要条件的知识判断即可. 【详解】因为在区间上存在两个零点， 所以, 解得或, 因为集合是集合或的真子集， 所以“”是“函数在上存在零点”的充分不必要条件. 故选：A. 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在区间具有单调性，且，则方程在区间上（    ） A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．有且只有一实根 【答案】B 【分析】根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为,在区间具有单调性， 但是的连续不知道， 因此根据零点存在性定理可知在区间至多只有一实根. 故选：B. 2．（22-23高一上·辽宁丹东·期末）若实数满足，，则 . 【答案】1 【分析】令，易知为单调递增函数，函数变形同构可得，进而求解即可. 【详解】令，易知为单调递增函数，， 即有且仅有一个零点， 又由题可知，即， 所以， 所以，即， 又，得， 所以. 故答案为：1. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）证明：方程没有整数解． 【答案】证明见解析 【分析】构造函数，利用函数的单调性和零点存在性原理，可得在区间上有零点，且仅有一个，即可证明结果. 【详解】令，易知，且在区间上单调递增， 又，， 由零点存在性原理知，在区间上有零点，且仅有一个， 即方程，在区间上有解，且仅有一个， 所以方程没有整数解. 【经典例题五 根据零点所在的区间求参数范围】 【例5】（23-24高二下·浙江绍兴·阶段练习）是方程有正实数根的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据零点的几何意义，将方程有正根问题等价转化为函数求零点问题，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】由方程有正实数根，则等价于函数有正零点，由二次函数的对称轴为，则函数只能存在一正一负的两个零点，则，解得， 所以，所以是的必要不充分条件， 故选：B 1．（23-24高一下·河南漯河·期末）函数，则“”是“函数在上存在零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】首先得出“函数在上存在零点”的充要条件是的取值范围是，进一步结合必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】设方程即方程在上存在零点， 令，显然在上单调递减， 而，所以的值域为， 所以函数在上存在零点当且仅当的取值范围是， 所以“”是“函数在上存在零点”的必要不充分条件. 故选：C. 2．（2024高三·全国·专题练习）对于函数和，设，，若存在，，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题知函数有唯一零点为1，进而得在上有解，再根据二次函数零点分布求解即可. 【详解】因为，所以在R上为增函数， 又，所以有唯一零点为1， 令的零点为，依题意知，即， 即函数在上有零点， 令，则在上有解，即在上有解， 因为， 当且仅当，即时，取等号，所以， 故答案为：. 3．（23-24高一上·云南昆明·期末）函数． (1)求和的值，判断的单调性并用定义加以证明； (2)设是函数的一个零点，当时，，求整数的最大值． 【答案】(1)，，在定义域上单调递增，证明见解析， (2)整数的最大值为 【分析】（1）由函数解析式直接求解和，判断在定义域上单调递增，利用定义法证明即可； （2）由已知可得，由可得，由，可得，从而求出的取值范围，进而可得的取值范围，即可得解． 【详解】（1），， 判断在定义域上单调递增，证明如下： 在上任取，，且， 则， 因为，，所以，，，所以，， 所以，即，所以， 所以在定义域上单调递增． （2）由题意得，即， ，则，即， 由是上的增函数， 所以，又， 所以， ， 令,，则， 所以在,上单调递减， 所以，即， 当时，， 所以，所以整数的最大值为． 【点睛】方法点睛；已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【经典例题六 根据函数零点的个数求参数范围】 【例6】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法设，则方程等价为，根据指数函数和对数函数图象和性质求出，利用数形结合进行求解即可． 【详解】令，则． ①当时，若；若，由，得． 所以由可得或． 如图所示，满足的有无数个，方程只有一个解，不满足题意； ②当时，若，则；若，由，得． 所以由可得，当时，由，可得， 因为关于的方程有且仅有两个实数根，则方程在]上有且仅有一个实数根， 若且，故； 若且，不满足题意． 综上所述，实数的取值范围是， 故选：C． 1．（24-25高三上·广东广州·开学考试）已知函数，若方程有3个不同的实根，则实数m取值范围值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解二次方程，即可求得的结果，根据的图像，数形结合，即可容易求得参数的范围，属中档题. 【详解】由， 得或，作出的图象，如图所示， 由图可知，要使方程有3个不同的实根， 当，即时，，符合题意， 当，即时，，符合题意， 所以所求范围是. 故选：C. 2．（2024高一上·江苏·专题练习）已知，若互不相等，且，则的范围是 ． 【答案】 【分析】画出函数的大致图象，根据图象知，，且， ，再建立的函数并结合对勾函数求出范围. 【详解】函数在，上单调递减，在上单调递增，， 画出的图象，如图， 令，由，得，，， 由，得，即，由，得， 于是，由对勾函数性质知，在上递增，则， 所以的范围是． 故答案为： 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程有8个不同的实根，求的取值范围． 【答案】 【分析】先讨论，结合函数解析式，确定显然不满足题意；再讨论，画出的图象，利用数形结合的方法，即可求出结果. 【详解】若，当时，恒成立； 当时，由得，即仅有一个根； 所以由可得，则；即方程仅有一个实根； 故不满足有8个不同的实根； 若时, 画出的大致图象如下， 由可得，，， 又有8个不同的实根， 由图象可得，显然有三个根，显然有两个根， 所以必有三个根，而，， 为使有三个根，只需，结合，解得． 综上，，即的取值范围是． 【经典例题七 根据一次函数零点的分布求参数范围】 【例7】（20-21高二上·河南新乡·阶段练习）当时，函数的值有正也有负，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，结合函数零点存在定理进行求解即可. 【详解】. 当时，，函数值恒为正，不符合题意； 当时，要想函数的值有正也有负， 只需，即. 综上所述：. 故选：C 1．（21-22高一·全国·课后作业）已知函数在区间上存在零点，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】首先判断函数在上单调，利用零点存在性定理即可求解. 【详解】∵在区间上单调且存在零点， ∴， ∴或． 故选：C 【点睛】本题考查了利用零点存在性定理求参数的取值范围，需掌握定理的内容，属于基础题. 2．（23-24高一下·山东临沂·开学考试）已知函数与的零点分别为m和n，若存在m，n使得，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先根据函数的单调性和零点存在性定理，确定实数的值，并根据，确定实数的取值范围，并根据函数零点的取值范围，采用参变分离的方法，转化为求函数的值域问题. 【详解】对于函数， 明显函数在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以函数在定义域上单调递增， 又，所以， 所以，即， 即函数在上存在零点， 令，得， 令，， 对于函数，由对勾函数的性质可得其在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以的值域为， 所以实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考察函数零点问题，关键是求得的值，并转化为已知函数零点的范围，求参数的取值，后面利用参变分离，转化为函数的值域问题，问题就会迎刃而解. 3．（21-22高一上·全国·课后作业）若函数在内有零点，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】先考虑时,不成立;再考虑时有,从而解不等式即可. 【详解】时,不成立; 函数在内有零点, 当时有, 即，即 解得或， 故实数a的取值范围是. 【经典例题八 根据二次函数零点的分布求参数的范围】 【例8】（24-25高三上·四川眉山·开学考试）若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数在区间内恰有一个零点转化为方程在区间内恰有一根，然后分类讨论结合一次方程和二次方程根的分布列不等式求解即可. 【详解】因为函数在区间内恰有一个零点转化为方程在区间内恰有一根， 当时，方程可化为，解得，满足题意； 当时，方程为一元二次方程，其对称轴为，. 若，，此时方程的解为，满足题意； 若，由题意只需，解得且， 又时，，经检验满足题意，时，，经检验满足题意， 所以且； 综上，实数a的取值范围为. 故选：D 1．（23-24高二下·浙江宁波·期中）若函数在区间恰有两个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由得是的一个零点，从而将问题转化成在区间恰有一个非0的零点，再根据和两种情形进行分析，当时情形将零点求出即可判断是否符合；对于情形结合根的分布得，接着解该不等式即可，最后综合两种情形即可得解. 【详解】由题，所以是的一个零点， 因为函数在区间恰有两个零点， 所以函数在区间恰有一个非0的零点， 当，即时有一个零点， 将代入整理得即，解得， 故时有一个零点为，符合； 当，即时， 由根的分布情况得，即，解得，符合. 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 2．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）方程的两个根均大于1，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合二次函数的图像和性质，根据一元二次方程根的分布，求参数的范围. 【详解】,因为的两个实数根均大于1， 所以，解得，所以m的取值范围为． 故答案为：. 3．（23-24高一上·天津·阶段练习）函数 (1)当时，求函数零点 (2)函数有两个零点，求m的取值范围； (3)函数在上有两个零点，求m的取值范围； 【答案】(1)1； (2)或； (3). 【分析】（1）把代入，求出零点. （2）利用判别式大于0，解不等式即得. （3）利用一元二次方程实根分布规律，列出不等式组求解即得. 【详解】（1）当时，，由，解得， 所以函数零点为1. （2）由函数有两个零点，得方程有两个不等实根， 因此，解得或， 所以m的取值范围是或. （3）由函数在上有两个零点，得，解得， 所以m的取值范围是. 【经典例题九 根据指对幂函数零点的分布求参数范围】 【例9】（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知定义在正实数集上的函数设、、是互不相同的实数，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先画出函数的图象，根据图象分析，即可求出的取值范围． 【详解】由则画出函数的图象，如图所示， 不妨令，则，即，得， 当时，单调递减，且与轴交于点，则， 所以的取值范围为. 故选：B． 1．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若函数与函数的零点相同，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设函数的零点为，由可得出，可求出的值，可得出，进而可得出，由此可知，方程无解或方程与方程的解相同，可得出或，可求得的取值范围，进而可得出的取值范围. 【详解】设的零点为，则， 又，故，即，解得， 所以，， 所以， 因为函数与函数的零点相同， 所以方程无解或方程与方程的解相同， 若方程无解，则，解得， 若方程与方程的解相同， 等式与等式作差可得. 综上所述，，则，所以， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查依据方程的根求参数的取值范围，解题的关键在于利用函数的零点的定义得出，求出的值，进而化简函数的解析式，结合二次函数的零点问题求解. 2．（23-24高一下·广东东莞·期中）已知函数，函数有四个不同的零点，， ，且，，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的图象特征可得，再由对数的运算性质得，然后代入可求得结果. 【详解】的图象如图所示， 因为的图象关于直线对称，且函数有四个不同的零点，， ， 所以，， 所以， 因为， 所以，得， 即实数的取值范围为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是画出函数图象，结合图象求解，考查数形结合的思想，属于中档题. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知关于的方程的根为负数，求的取值范围． 【答案】 【分析】将题设方程变形为，依题意，将其转化成函数与的图像交点的横坐标为负数，结合图象观察，即得，解之即得. 【详解】方程可变形为，则原方程的根为负数等价于的根为负数， 即函数与图象交点的横坐标为负数．如图，    则由图知，只需使，解得． 【经典例题十 用二分法求近似解的条件】 【例10】（22-23高一下·浙江杭州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一分析各个选项的函数是否有零点，零点两侧符号是否相反即可得解. 【详解】对于A，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故A正确； 对于B，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故B正确； 对于C，不是单调函数，有唯一零点，但函数值在零点两侧都是正的， 所以不可用二分法求零点，故C错误； 对于D，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故D正确. 故选：C. 1．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）下列函数图象与轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的要求结合零点存在性定理分析判断. 【详解】由题意可知：二分法求零点要求函数连续不断且满足零点存在性定理，即成立， 对比选项可知：ACD均符合， 但选项B：恒成立，不满足零点存在性定理，故B错误. 故选：B. 2．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）已知函数的图象如图，其中可以用二分法求零点的个数为 个． 【答案】3 【详解】二分法求零点时零点附近函数值要变号，所以个数为3个 3．（21-22高一上·福建莆田·期末）若函数有零点，但不能用二分法求其零点，求实数的值. 【答案】2或. 【分析】根据函数有零点，且不能用二分法求其零点，判断函数图象在轴上方或下方（包括轴），且与轴有交点，由此讨论求出的值． 【详解】由题意得，函数有零点，但不能用二分法求其零点， 因为函数有零点，且不能用二分法求其零点， 所以函数的图象在轴上方或下方（包括轴），且与轴有交点． 当时，得，函数，能用二分法求出零点，不符合题意； 当时，得，函数为二次函数， 因为函数有零点，且不能用二分法求其零点， 所以函数的图象与轴有1个交点， 所以关于 的一元二次方程有两个相等实根， 即，解得或． 综上，或. 【经典例题十一 二分法求方程近似解的过程】 【例11】（24-25高一上·全国·随堂练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 【答案】D 【分析】利用零点存在性定理找到零点所在区间，即可获得方程的近似解 【详解】， ，零点在区间内， 即该方程的根在区间内，结合各选项，方程的近似解为1.421875. 故选：D. 1．（24-25高一上·全国·课后作业）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二分法即可判断. 【详解】根据, 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 2．（22-23高一上·云南昆明·期末）小明在学习在二分法后，利用二分法研究方程在（1，3）上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为 . 【答案】 【分析】设，计算，，，，得到答案. 【详解】设，则，， ，；，， 故近似解所在的区间为. 故答案为： 3．（24-25高一上·全国·课后作业）现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同.你能用一架天平尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？ (1)当时，若只称3次就可以找到此“坏乒乓球”，并得出它是偏轻还是偏重，该如何称？ (2)若已知“坏乒乓球偏轻”，当时，至少称几次就一定可以找到此“坏乒乓球”？ 【答案】(1)答案见解析 (2)至少称4次就一定可以找到这个“坏乒乓球” 【分析】（1）（2）由二分法的相关知识即可求解； 【详解】（1）第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况： ①若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中，第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个“好乒乓球”为另一边，放在天平上. （i）若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个“好乒乓球”放上天平一看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重； （ii）若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是偏轻还是偏重，任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”. ②若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边偏重，从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左边4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面“好乒乓球”中取3个乒乓球补入左边，看天平，有三种可能. （i）若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重； （ii）若左边重，则“坏乒乓球”已从一边换到另一边，因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻； （ⅲ）若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个（左右各一），“坏乒乓球”是其中之一（暂不知是偏轻还是偏重）. 显然对于以上两种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是偏轻还是偏重. （2）将26个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面； 从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面； 将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面； 从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一个即是“坏乒乓球”. 综上可知，至少称4次就一定可以找到这个“坏乒乓球”. 【经典例题十二 二分法求函数零点的过程】 【例12】（24-25高一上·全国·课前预习）用二分法求函数的一个零点的近似值，其参考数据如下： x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875 -0.4567 -0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据上述数据，可得的一个零点近似值（误差不超过0.025）为（    ） A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125 【答案】B 【分析】根据二分法的性质即可求解. 【详解】已知，，则函数的零点的初始区间为[0.09375，0.125]， 所以零点在区间[0.09375,0.125]上，， 所以可以作为的一个零点近似值， 故选：B 1．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据函数零点的存在性定理可知零点，结合对二分法的理解即可得出结果. 【详解】因为， 由零点存在性知：零点， 根据二分法，第二次应计算，即. 故选：B. 2．（22-23高一上·湖北武汉·阶段练习）函数的零点，对区间利用两次“二分法”，可确定所在的区间为 ． 【答案】/ 【分析】根据零点存在的条件计算判断即可． 【详解】解： ，，而， ∴ 函数的零点在区间． 又，， ∴ 函数的零点在． 故答案为：． 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）求曲线和直线的交点的横坐标（误差不超过0.05）． 【答案】 【分析】在同一平面直角坐标系中，作出，的图象如图所示．设，由二分法的定义求解即可. 【详解】在同一平面直角坐标系中，作出，的图象如图所示， 可以发现方程有唯一解，记为，并且解在区间(1,2)内． 设，则的零点为． 用计算器计算得，； ，， ，， ，， ，， ∵， ∴曲线和直线的交点的横坐标约为． 1．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知函数的零点分别为，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查函数的零点问题，指数函数与对数函数互为反函数，令，利用指数函数与对数函数互为反函数和函数的对称性求出，即可求的值． 【详解】由题意，， 令， 因为与互为反函数，两个函数的图象关于直线对称， 且的图象也关于直线对称， 设， 则关于直线对称， 所以且 由可得， 所以． 由可得， 所以， 又代入上式可得， 则． 故选：A． 2．（21-22高一·吉林·期中）设x0是函数的零点，若，则的值满足（    ） A． B． C． D．的符号不确定 【答案】C 【分析】先判断函数是单调减函数，进而可得当 时． 【详解】∵x0是函数的零点，∴， 因为是单调递减函数，是单调递增函数， 所以函数是单调减函数， 故当 时，则， 故选：C． 3．（2024·山东·模拟预测）已知函数，则使有零点的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先判断，此时可得的单调性，依题意可得，令，结合函数的单调性及零点存在性定理得到存在使得，从而得到有零点的充要条件为，即可判断. 【详解】因为， 当时，，所以，没有零点，故A错误； 当时与在上单调递增，所以在上单调递增， ，要使有零点，则需， 即，令，则在上单调递减， 且，，， 所以存在使得， 所以有零点的充要条件为， 所以使有零点的一个充分条件是. 故选：D 4．（23-24高二下·浙江宁波·期末）若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对进行讨论，即可结合二次函数的性质以及零点存在性定理求解. 【详解】若时，，则，满足题意， 若，当，解得且，此时满足题意， 若时，，此时， 此时方程在只有一根，满足题意， 若时，，此时， 此时方程在只有一根，满足题意， 当，得时，此时， 此时方差的根为，满足题意， 综上可得或 故选：C 5．（21-22高一·江苏·单元测试）下列函数一定能用“二分法”求其零点的是（    ） A．（k，b为常数，且） B．（a，b，c为常数，且） C． D．（，k为常数） 【答案】A 【分析】根据二分法的概念，结合一次函数，二次函数，指数函数，反比例函数的性质依次讨论求解即可. 【详解】解：由指数函数与反比例函数的性质可知其没有函数零点，故C，D不能用“二分法”求其零点，故CD错误； 对于二次函数（a，b，c为常数，且），当时，不能用二分法，故B错误； 由于一次函数一定是单调函数，且存在函数零点，故可以用“二分法”求其零点，故A选项正确. 故选：A 6．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．命题，，则命题的否定为， B．“”是“”成立的充要条件 C．函数的最小值是 D．“”是“函数的零点个数为2”成立的充要条件 【答案】AC 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断A，根据必要条件的定义和不等式的性质判断B， 设，结合对勾函数性质求函数的最小值，判断C，根据零点的定义，结合指数函数和对数函数图象判断D. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，若，，则， 所以“”不是“”成立必要条件，故B错误； 对于C，设，则，， 设，， 由对勾函数的性质可得，函数在上单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以当时，取最小值，最小值为，故C正确； 对于D，令，则， 当时，作出函数，的图象， 由图可知函数的图象有两个交点， 所以当时，函数的零点个数为2；    当时，作出函数，的图象， 由图可知函数，的图象有1个或2个或3个交点， 所以当时，函数的零点个数为1或2或3，          所以“”是“函数的零点个数为2”成立的充分不必要条件， 故D错误. 故选：AC. 7．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是偶函数 C．的最小值为 D．方程有解 【答案】ABD 【分析】由函数的基本性质可判断ABC，由零点存在性定理可判断D. 【详解】因为， 所以，所以为偶函数，B正确； 当时，，令， 则，(也可利用复合函数的单调性说明的单调性) 故与均为增函数， 所以在区间上单调递增，A正确； 由偶函数对称性可知，在区间上单调递减， 所以，C错误； 令，所以， 由零点存在性定理可知方程有解，D正确. 故选：ABD 8．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列说法中正确的是（    ） A．若关于的方程的一个根大于，另一根小于，则 B．函数的值域为，则 C．函数与函数的图像关于对称 D．定义在区间上连续的函数，若，则在区间上函数没有零点 【答案】ABC 【分析】 由二次函数性质，对数函数性质及零点存在定理依次对每一选项进行判断，即可求解． 【详解】 对于，设，要使关于的方程的一个根大于，另一根小于， 则，即，解得，所以，故A对； 对于B，当时，函数，定义域为， 令，则，的值域为； 当时，令，要使函数的值域为，则的范围包含， 则，解得； 综上得的取值范围是，故B对； 对于C，函数，由， 则与互为反函数，所以与的图像关于对称，故C对； 对于D，设，则，，且在上连续， ，但在上有两个零点，故D错． 故选：ABC． 9．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）下列选项不正确的有（    ） A．若命题：，，则：， B．与是同一个函数 C．可以用二分法求函数的零点 D．， 【答案】BCD 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断A，根据同一函数的概念判断B，根据二分法适用条件判断C，根据根式运算判断D. 【详解】对于A，若命题：，，则：，，故A正确， 对于B，函数的定义域为， 的定义域为，定义域不同，两函数不是同一函数，故B错误； 对于C，，其零点为同号零点， 由用二分法求近似解需满足零点存在定理条件知C错误； 对于D，根据根式的定义知，故D错误. 故选：BCD 10．（23-24高一上·广东广州·期末）教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表 1.25 1.375 1.40625 1.422 1.4375 1.5 0.02 0.33 分析表中数据，则下列说法正确的是：（    ） A． B．方程有实数解 C．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375 D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375 【答案】BC 【分析】在R上是增函数，根据零点存在性定理进行判断零点所在的区间，根据二分法基本原理满足，，即可判断近似值. 【详解】∵与都是R上的单调递增函数， ∴是R上的单调递增函数， ∴在R上至多有一个零点，由表格中的数据可知：，， ∴在R上有唯一零点，零点所在的区间为， ∴，A错误；方程有实数解，B正确；，即精确度到0.1，则近似解可取为1.375，C正确； ，即精确度为0.01，则近似解不可取为1.4375，D错误. 故选：BC. 11．（23-24高一下·全国·课前预习）的零点为 . 【答案】0 【分析】根据题意令，即可求解函数的零点. 【详解】根据题意，令， 得， 所以函数的零点为. 故答案为：. 12．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知函数，若方程有6个相异的实数根，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意,作出函数的图象,进而数形结合,将问题转化为方程有两个不相等的实数根,再结合二次函数零点分布求解即可. 【详解】根据题意,作出函数的图象,如图: 令，因为方程有6个相异的实数根, 所以方程有两个不等的实根， 所以, 解得或, 不妨设这两根, 则或, 当时，，且，所以无解； 当时， 令, 只需,即,解得, 终上所述：. 故答案为:. 13．（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）已知函数在区间有零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】函数的零点可以转化为与函数放入图象有交点即可，因此只需确定再区间的范围即可. 【详解】令，当时，， 当且仅当时取等， 且， 所以若在区间有零点，只需与函数有交点即可, 所以的取值范围是. 故答案为： 14．（23-24高一上·江苏·课前预习）二分法 对于区间上图象连续不断其的函数，通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法. 【答案】一分为二 【分析】略 【详解】略 15．（23-24高一下·全国·课前预习）二分法 一般地，求零点的近似值，可以通过计算 函数值，从而不断缩小零点所在的区间来实现，这种求零点近似值的方法称为 . 使用条件：函数的图象在区间上是一段连续曲线，且区间端点的函数值满足. 【答案】 区间中点 二分法 【分析】略 【详解】略 16．（23-24高一下·安徽·开学考试）已知函数. (1)若，且，求函数的零点； (2)若，函数的定义域为I，存在，使得在上的值域为，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，解出方程即可； （2）考查函数的单调性，可得，转化为关于x的方程有两个不同的根，换元后转化关于λ的方程有两个不同的正实数根，，列出不等式组，解出即可. 【详解】（1）若，且，则， 令，则，解得， 即函数的零点为0. （2）因为，所以函数在定义域内单调递增， 函数在定义域内单调递增， 所以函数在定义域内单调递增. 因为函数的定义域为I，存在， 使得在上的值域为， 故， 所以关于x的方程有两个不同的根， 所以，即有两个不同的根. 令，则， 则关于λ的方程有两个不同的正实数根，， 所以， 解得，故实数t的取值范围为. 17．（23-24高一上·北京东城·期末）已知函数，，. (1)当时，判断函数的奇偶性并证明； (2)当且时，利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增； (3)求证：当且时，方程在内有实数解. 【答案】(1)为奇函数；证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先判断定义域是否关于原点对称，在利用判断函数为奇函数； （2）利用定义判断函数的单调性； （3）先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理判断方程在内有实数解. 【详解】（1）当时，，，定义域关于原点对称； ，即， 所以为定义在上的奇函数. （2）当且时，， 当时，设， ， 因为，所以，，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）当且时，， 设， ， 因为，所以， ，， 则，，， 所以，即， 所以在上单调递增； 因为，， 所以根据零点存在性定理：使； 所以当且时，方程在内有实数解. 18．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知关于x的方程． (1)若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小，求实数m的取值范围； (2)若方程有两个实根α，β，且满足，求实数m的取值范围； (3)若方程至少有一个正根，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）构建函数，根据二次函数图象列式求解； （2）根据二次函数图象结合零点分布分析求解； （3）分“有两个正根”、“有一个正根，一个负根”和“有一个正根，另一根为0”三种情况，结合二次函数图象分析求解. 【详解】（1）设， 若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小， 则的大致图象如图1所示， 可得，即，解得， 所以实数m的取值范围为． （2）若方程有两个实根α，β，且满足，的大致图象如图2所示， 可得，解得， 所以实数m的取值范围为． （3）方程至少有一个正根，则有三种可能的情况， ①有两个正根，此时如图3， 可得，解得； ②有一个正根，一个负根，此时如图4，可得，得； ③有一个正根，另一根为0，此时如图5， 可得，解得； 综上所述：当方程至少有一个正根时，实数m的取值范围为． 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的一个为正数的零点（结果精确到0.1）． 【答案】1.7 【分析】利用二分法即可求解. 【详解】由于，， 可取区间作为计算的初始区间， 用二分法逐次计算，列表如下： 端点（中点）坐标 计算中点的函数值 取区间 ， ， 因此可以看出，区间内的所有值精确到0.1都为1.7， 所以1.7就是所求函数精确到0.1的零点． 20．（24-25高一上·全国·课堂例题）用二分法求函数在区间内的一个零点的近似值．（误差不超过0.01） 【答案】 【分析】由零点的存在性定理，用二分法，逐步计算，直到区间长度小于等于为止，最后所得区间内的任何一个数均可作为函数的零点. 【详解】经计算，， 所以函数在内存在零点， 取的中点， 经计算， 因为， 所以， 如此继续下去，如下表： 区间 中点值 中点函数近似值 因为， 所以函数在区间内误差不超过的一个零点近似值可取为． 学科网（北京）股份有限公司 $$