第三章代数式3.2 代数式的值-2024-2025学年七年级数学题型大全精讲（人教版2024）

人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 人教2024新版 七年级上册数学题型大全 第三章 代数式 3.2代数式的值 学习目标 1.理解代数式的值的概念； 2.会根据具体情况求代数式的值； 3.感悟整体的数学思想在求代数式值中的运用。 思维导图 题型导览 人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 题型1——直接代入法求代数式的值 题型2——整体代入法求代数式的值 题型3——代数式求值的实际应用 题型4——与图形有关的求代数式的值 题型5——与程序图有关的求代数式的值 题型6——与规律有关的求代数式的值 知识详解 知识点1：代数式的值 1.代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 名师点拨： （1）当字母取不同的值时，代数式的值一般也不同； （2）一个代数式中有多个不同的字母时，字母和其所取的数值要对应． 知识点2：代数式的值的求法 1. 代数式的值求法一般有两种常用的： · 直接带入法：把字母用对应的数值代替，然后进行计算； · 整体代入法：已知条件中给的如果不是字母的值，而是方程或其他形式，一般都需要采用整体代入法，首先将所求代数式变形，变成含有所给条件的形式，然后再代入求值。 典例大全 题型1 直接代入法求代数式的值 例题1．当，时，求下列代数式的值． (1) (2) 【变式训练】 1．当时，求下列各代数式的值： (1)；(2)；(3)． 2．已知，求下列各代数式的值． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 3．当分别取下列值时，求代数式的值． (1)； (2)． 4．当，，时，计算代数式的值． 题型2 整体代入法求代数式的值 例题2．已知式子的值是3，求式子的值． 【变式训练】 1．已知，求的值． 2．已知，互为倒数，是最大的负整数，且，互为相反数． (1)则______，______； (2)求代数式的值． 3．若x与y互为相反数，m与n互为倒数，，求的值． 4．已知与互为倒数，与互为相反数，，求的值． 题型3 代数式求值的实际应用 例题3．已知，如图，某长方形广场的四角都有一块边长为米的正方形草地，若长方形的长为米，宽为米． (1)请用代数式表示阴影部分的面积； (2)若长方形广场的长为20米，宽为10米，正方形的边长为1米，求阴影部分的面积． 【变式训练】 1．某单位在春节期间准备组织部分员工到北京旅游，现联系了甲、乙两家旅行社．两家旅行社报价均为1800元/人，并都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位员工八折优惠；而乙旅行社是免去一位带队管理员工的费用，其余员工八五折优惠． (1)如果设参加旅游的员工共有人，则甲旅行社的费用为___________元，乙旅行社的费用为_________元．（用含a的代数式表示，并化简） (2)假如这个单位现组织包括管理员工在内的共20名员工到北京旅游，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由． 2．如图，池塘边有一块长为21米，宽为18米的长方形土地，现在将其余两面留出宽都是x米的小路，余下的长方形部分做菜地． (1)长方形菜地的面积为_____________平方米（用含x的代数式表示，不需要化简）； (2)当时，长方形菜地的面积是多少平方米？ 3．七年级新学期，两摞规格相同准备发放的数学课本整齐地叠放在课桌面上，小英对其高度进行了测量，请根据图中所给出的数据信息，解答下列问题： (1)每本数学课本的厚度是 cm； (2)若课本数为（本），整齐叠放在桌面上的数学课本顶部距离地面的高度的整式为 （用含的整式表示）； (3)现课桌面上有48本此规格的数学课本，整齐叠放成一摞，若从中取出13本，求余下的数学课本距离地面的高度． 4．小明和父母一起开车从地出发到距家路程为350千米的地旅游，出发前，汽车油箱内已经加满油，已知油箱内剩余油量Q（L）与行驶路程x（千米）之间的关系式为． (1)该车加满油后油箱内有油______升； (2)当汽车到达地时，求剩余油量的值． 题型4 与图形有关的求代数式的值 例题4．如图，在一个底为a，高为h的三角形铁皮上剪去一个半径为r的半圆． (1)用含a，h，r的代数式表示剩下铁皮（阴影部分）的面积S． (2)请求出当，，时，S的取值（取）． 【变式训练】 1．为响应“创建全国文明城市”的号召，林州市不断美化环境，拟在一块长为，宽为的长方形空地上修建如图所示的十字形花圃（空白部分），在花圃内种花，其余部分（阴影部分）种草． (1)求花圃的面积（用含x的式子表示）； (2)若在花圃内种花的费用为每平方米90元，在阴影部分种草的费用为每平方米40元，当时，求美化这块空地共需要多少元？ 2．某学校办公楼前有一块长为，宽为的长方形空地，在中心位置留出一个半径为的圆形区域建一个喷泉，两边是两块长方形的休息区，阴影部分为绿地． (1)用含字母和的式子表示阴影部分的面积； (2)当时，阴影部分面积是多少（取3）？ 3．铜钱是我国的早期货币，外圆内方的构造彰显了数学之美，图中铜钱外部的圆半径为a (1)请用含有a，b的式子表示3个铜钱阴影部分的总面积； (2)当，，则3个铜钱阴影部分的总面积是多少？（） 4．某学校要对如图所示的一块长方形空地进行绿化，长方形的长为a，宽为b，分别以A，B为圆心，b长为半径作扇形，图中阴影部分种植D草坪． (1)用含有a，b的代数式表示种植草坪部分（阴影部分）的面积S（结果保留π）． (2)若，求种植草坪部分的面积S的值（π取3）． 题型5 与程序图有关的求代数式的值 例题5．如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是多少？（写出计算过程） 【变式训练】 1．如图，要使输出值大于50，求输入的最小正整数的值． 2．下面是一组数值转换机的示意图． (1)写出图（b）中的转化步骤：①_____，②_____，③_____； (2)图（b）中，若，求输出的值； (3)图（a）中，若，求x的值． 3．如图所示是王老师设计的一个运算程序． (1)这个运算程序所表示的式子为______（用含、的代数式表示）； (2)当，时，求这个程序输出的结果． 4．如图是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值为，输入y的值为2，求输出的结果； (2)用含x，y的代数式表示输出的结果为：______； (3)若输入x的值为2，输出的结果为8，求输入y的值； (4)若y是x的3倍（为常数），且不论取任意负数时，输出的结果都是0，求的值． 题型6 与规律有关的求代数式的值 例题6．合肥骆岗中央公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．已知图1中有1块六边形地砖，6块正方形地砖，6块三角形地砖；图2中有2块六边形地砖，11块正方形地砖，10块三角形地砖；…． (1)按照以上规律可知，图4中有______块正方形地砖； (2)若铺设这条小路共用去n块六边形地砖，分别用含n的代数式表示用去的正方形地砖、三角形地砖的数量； (3)若，求此时三角形地砖的数量． 【变式训练】 1．某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一圈的图案如图②所示． 【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；…    【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 2．按如下规律摆放三角形： (1)图有______个三角形，图有______个三角形，图有______个三角形． (2)按上述规律排列下去，第个图形中有多少个三角形？ (3)按上述规律排列下去，第个图形中有多少个三角形？ 3．已知有下列两个代数式：①；②． (1)当时，代数式①的值是____________；代数式②的值是____________． (2)当时，代数式①的值是____________；代数式②的值是____________． (3)观察（1）和（2）中代数式的值，你发现代数式和的关系为___________． (4)利用你发现的规律，求的值． 4．如图，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1个图形中“”的个数为，第2个图形中“”的个数为，第3个图形中“”的个数为 根据图形的排列规律，解答下列问题： (1)直接写出______________； (2)猜想第个图形中“”的个数，（用含的式子表示，不用说明理由） (3)利用（2）的结论，求第2022个图形中“”的个数． 题型检测 一、选择题（本大题共10小题） 1．若，，则的值为（    ） A．或8 B．2或8 C．2或 D．或 2．若，则的值为（   ） A．1 B．0 C．2023 D． 3．下列求代数式的值的计算，正确的是（    ） A．当时，代数式 B．当时，代数式 C．当时，代数式 D．当时，代数式 4．是最小的自然数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．“△”表示一种运算符号，其意义是：，那么等于（　　） A．1 B． C．5 D． 6．已知，则代数式的值是（　　） A． B．1 C． D．2 7．若的值为1，则整式的值为（    ） A． B．3 C．0 D．9 8．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．若代数式的值为6，则代数式的值是（    ） A． B．9 C．19 D． 10．小亮按如图所示的程序输入一个数x等于10，最后输出的结果为（   ） A．51 B．251 C．256 D．255 二、填空题（本大题共10小题） 11．已知，则 ． 12．定义一种新运算“※”，对于任意的两个有理数，．问：若与互为倒数，与5互为相反数，的值为 ． 13．若，则 ． 14．已知与互为相反数，与互为倒数，，则的值是 ． 15．对于两个数a，b，规定，那么 ． 16．若，则 ． 17．已知，则的值为 ． 18．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为，则输出的结果是 ． 19．观察下列图形中的数字排列规律，在第（9）个图中，的值是 ． 20．如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第n个数记为，则 ． 三、解答题（本大题共4小题） 21．求下列代数式的值． (1)当时，时，求代数式的值； (2)当，，时，求代数式的值． 22．当时，求下列代数式的值． (1) (2)． 23．已知． (1)当a，b异号时，求的值． (2)当时，求的值． 24．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，该商店有两种优惠办法：A：买一只茶壶送一只茶杯；B：按总价的付款．现有一顾客需购买4只茶壶，茶杯若干只(不少于4只)，设购买的茶杯x只． 求： (1)按A、B两种方法购买应分别付款多少元？(用含x的式子表示) (2)若购买茶杯16只，则A、B两种办法中哪一种更省钱？请计算说明． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 人教2024新版 七年级上册数学题型大全 第三章 代数式 3.2代数式的值 学习目标 1.理解代数式的值的概念； 2.会根据具体情况求代数式的值； 3.感悟整体的数学思想在求代数式值中的运用。 思维导图 题型导览 人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 题型1——直接代入法求代数式的值 题型2——整体代入法求代数式的值 题型3——代数式求值的实际应用 题型4——与图形有关的求代数式的值 题型5——与程序图有关的求代数式的值 题型6——与规律有关的求代数式的值 知识详解 知识点1：代数式的值 1.代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 名师点拨： （1）当字母取不同的值时，代数式的值一般也不同； （2）一个代数式中有多个不同的字母时，字母和其所取的数值要对应． 知识点2：代数式的值的求法 1. 代数式的值求法一般有两种常用的： · 直接带入法：把字母用对应的数值代替，然后进行计算； · 整体代入法：已知条件中给的如果不是字母的值，而是方程或其他形式，一般都需要采用整体代入法，首先将所求代数式变形，变成含有所给条件的形式，然后再代入求值。 典例大全 题型1 直接代入法求代数式的值 例题1．当，时，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把a与b的值代入原式计算即可求出值； （2）把a与b的值代入原式计算即可求出值． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式训练】 1．当时，求下列各代数式的值： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)10 (2) (3)25 【分析】（1）把a与b的值代入，先算括号内的，再算乘法即可求出值； （2）将a与b的值代入，先算乘方，再算乘法，最后算加减计算即可求出值解答； （3）将a与b的值代入，先算乘方，再算乘法，最后算加减计算即可求出值解答． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式 2．已知，求下列各代数式的值． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)5 (2)4 (3) (4)2 (5)0 【分析】（1）把代入进行计算即可； （2）把代入进行计算即可； （3）把代入进行计算即可； （4）把代入进行计算即可； （5）把代入进行计算即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）当时， ； （3）当时， ； （4）当时， ； （5）当时， ． 3．当分别取下列值时，求代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将的值代入代数式计算即可得到结果； （2）将的值代入代数式计算即可得到结果． 【详解】（1）当时，原式 （2）当时，原式 4．当，，时，计算代数式的值． 【答案】 【分析】直接将，，代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 即值为：． 题型2 整体代入法求代数式的值 例题2．已知式子的值是3，求式子的值． 【答案】5 【分析】若从已知条件出发先求出x的值，再代入计算，目前来说是不可能的．因此可把看作一个整体，采用整体代入法，则问题可迎刃而解． 【详解】解：， ， ． 【变式训练】 1．已知，求的值． 【答案】 【分析】将直接带入到中即可． 【详解】解：当时，． 2．已知，互为倒数，是最大的负整数，且，互为相反数． (1)则______，______； (2)求代数式的值． 【答案】(1)1，0 (2)0 【分析】本题考查相反数与倒数的定义与运用，代数式求值，准确计算是本题的解题关键． （1）根据相反数与倒数的定义即可得到答案； （2）根据要求计算即可，注意的部分可以提公因数． 【详解】（1），互为倒数，且，互为相反数， ，； （2）∵是最大的负整数， ∴ ∴ ． 3．若x与y互为相反数，m与n互为倒数，，求的值． 【答案】0 【分析】此题考查了代数式求值，求得是解本题的关键． 【详解】解：与y互为相反数，m与n互为倒数，， ，，， ∴． 4．已知与互为倒数，与互为相反数，，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查倒数、相反数与绝对值的意义及代数式的值．由题意易得，，，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：，，， 当时，； 当时，． 题型3 代数式求值的实际应用 例题3．已知，如图，某长方形广场的四角都有一块边长为米的正方形草地，若长方形的长为米，宽为米． (1)请用代数式表示阴影部分的面积； (2)若长方形广场的长为20米，宽为10米，正方形的边长为1米，求阴影部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)196平方米 【分析】（1）根据图形中的数据，可以用含、、的代数式表示出阴影部分的面积； （2）将，，代入（1）中的代数式，即可求得阴影部分的面积． 本题考查列代数式、代数式求值，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式，求出相应的代数式的值． 【详解】（1）解：∵某长方形广场的四角都有一块边长为米的正方形草地，若长方形的长为米，宽为米． ∴由图可得，阴影部分的面积是平方米； （2）解：当，，时， （平方米）， 即阴影部分的面积是196平方米． 【变式训练】 1．某单位在春节期间准备组织部分员工到北京旅游，现联系了甲、乙两家旅行社．两家旅行社报价均为1800元/人，并都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位员工八折优惠；而乙旅行社是免去一位带队管理员工的费用，其余员工八五折优惠． (1)如果设参加旅游的员工共有人，则甲旅行社的费用为___________元，乙旅行社的费用为_________元．（用含a的代数式表示，并化简） (2)假如这个单位现组织包括管理员工在内的共20名员工到北京旅游，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由． 【答案】(1)， (2)该单位选择甲旅行社比较优惠． 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值． （1）根据两个旅行社的收费方案列出代数式即可； （2）把分别代入（1）中的代数式，通过比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由甲旅行社对每位员工八折优惠， 得甲旅行社的总费用为元， 由乙旅行社是免去一位带队管理员工的费用，其余员工八五折优惠， 得乙旅行社的总费用为元， 故答案为：，； （2）解：当时， 甲旅行社的总费用为元， 乙旅行社的总费用为元， ， 该单位选择甲旅行社比较优惠． 2．如图，池塘边有一块长为21米，宽为18米的长方形土地，现在将其余两面留出宽都是x米的小路，余下的长方形部分做菜地． (1)长方形菜地的面积为_____________平方米（用含x的代数式表示，不需要化简）； (2)当时，长方形菜地的面积是多少平方米？ 【答案】(1)平方米 (2)菜地的面积为平方米 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是掌握长方形的面积公式． （1）由长方形的面积公式即可列出代数式； （2）把代入代数式即可求得答案． 【详解】（1）解：根据题意得菜地的面积为：平方米， 故答案为：平方米． （2）解：当米时， 平方米 答：菜地的面积为平方米． 3．七年级新学期，两摞规格相同准备发放的数学课本整齐地叠放在课桌面上，小英对其高度进行了测量，请根据图中所给出的数据信息，解答下列问题： (1)每本数学课本的厚度是 cm； (2)若课本数为（本），整齐叠放在桌面上的数学课本顶部距离地面的高度的整式为 （用含的整式表示）； (3)现课桌面上有48本此规格的数学课本，整齐叠放成一摞，若从中取出13本，求余下的数学课本距离地面的高度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查列代数式，代数式求值，弄清高度就是数学课本的高度与讲台的高度之和是解题关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据一本课本的厚度，课本距离地面的高度就是讲台的高度加上课本的高度； （3）叠放桌上课本的数学课本数是，即为x值，代入即可求得代数式的值． 【详解】（1）解：一本课本的高度． 故答案为：0.5． （2）解：讲台高度为：， ∴整齐叠放在桌面上的数学课本距离地面的高度为． 故答案为： （3）解：当时， 原式 答：余下的数学课本距离地面的高度． 4．小明和父母一起开车从地出发到距家路程为350千米的地旅游，出发前，汽车油箱内已经加满油，已知油箱内剩余油量Q（L）与行驶路程x（千米）之间的关系式为． (1)该车加满油后油箱内有油______升； (2)当汽车到达地时，求剩余油量的值． 【答案】(1)升(2)升 【分析】本题考查的是求解函数的函数值，理解函数关系式的含义是解本题的关键； （1）由函数关系式可得该车加满油后油箱内有油升； （2）把代入函数解析式可得答案． 【详解】（1）解：∵油箱内剩余油量Q（L）与行驶路程x（千米）之间的关系式为． ∴该车加满油后油箱内有油升； （2）当千米时， ∴（升） 题型4 与图形有关的求代数式的值 例题4．如图，在一个底为a，高为h的三角形铁皮上剪去一个半径为r的半圆． (1)用含a，h，r的代数式表示剩下铁皮（阴影部分）的面积S． (2)请求出当，，时，S的取值（取）． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查列代数式及求代数式的值，结合图形列出代数式是解题关键． （1）根据即可得到阴影部分的面积，熟练掌握把不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解题的关键； （2）把字母的值代入（1）中的代数式即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）当时， ． 【变式训练】 1．为响应“创建全国文明城市”的号召，林州市不断美化环境，拟在一块长为，宽为的长方形空地上修建如图所示的十字形花圃（空白部分），在花圃内种花，其余部分（阴影部分）种草． (1)求花圃的面积（用含x的式子表示）； (2)若在花圃内种花的费用为每平方米90元，在阴影部分种草的费用为每平方米40元，当时，求美化这块空地共需要多少元？ 【答案】(1)(2)元 【分析】本题考查列代数式，整式四则运算的实际应用及代数式求值． （1）根据图形列代数式，根据整式四则运算法则计算即可； （2）结合（1）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解：由图可得，空白部分为：， 即花圃的面积为； （2）解：当时，种花的面积为：， 种草的面积为：， （元）， 即美化这块空地共需要元． 2．某学校办公楼前有一块长为，宽为的长方形空地，在中心位置留出一个半径为的圆形区域建一个喷泉，两边是两块长方形的休息区，阴影部分为绿地． (1)用含字母和的式子表示阴影部分的面积； (2)当时，阴影部分面积是多少（取3）？ 【答案】(1)阴影部分的面积为； (2)阴影部分面积为13 【分析】本题考查了列代数式，代数式的求值． （1）利用阴影部分的面积等于大长方形的面积减去两个小长方形的面积以及圆的面积即可求解； （2）代入数据，即可求解． 【详解】（1）解：∵长方形空地的长为，宽为， ∴长方形空地的面积是， ∵圆的半径为， ∴圆的面积是， ∵长方形休息区的长为，宽为， ∴两块长方形的休息区的面积是， ∴阴影部分的面积； （2）解：当时， 阴影部分面积． 3．铜钱是我国的早期货币，外圆内方的构造彰显了数学之美，图中铜钱外部的圆半径为a (1)请用含有a，b的式子表示3个铜钱阴影部分的总面积； (2)当，，则3个铜钱阴影部分的总面积是多少？（） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式及代数式求值，结合已知条件列得正确的代数式是解题的关键． （1）由题意，利用圆的面积公式及正方形的面积公式列得代数式即可； （2）将已知数值代入（1）中所求的结果中计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得 3个铜钱阴影部分的总面积为： ； （2）解：当，时， 原式 ， 故3个铜钱阴影部分的总面积是． 4．某学校要对如图所示的一块长方形空地进行绿化，长方形的长为a，宽为b，分别以A，B为圆心，b长为半径作扇形，图中阴影部分种植D草坪． (1)用含有a，b的代数式表示种植草坪部分（阴影部分）的面积S（结果保留π）． (2)若，求种植草坪部分的面积S的值（π取3）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，利用长方形的面积减去扇形的面积表示阴影部分的面积是解题的关键． （1）利用长方形的面积两个扇形的面积阴影部分面积，即可求解． （2）将，代入 （1）中的代数式计算即可求解． 【详解】（1）长方形的面积为：， 一个扇形的面积为：， 阴影部分面积为： ； （2）当，时， ． 题型5 与程序图有关的求代数式的值 例题5．如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是多少？（写出计算过程） 【答案】最后输出的结果y是 【分析】此题考查了有理数的混合运算和代数式的值，根据题意得到代数式为，依次进行计算，直到结果符合要求，输出为止． 【详解】解：根据题意，得， 输入时，， 当时，， 当时，， ∴最后输出的结果y是． 【变式训练】 1．如图，要使输出值大于50，求输入的最小正整数的值． 【答案】 【分析】本题考查流程图，根据流程图，分两种情况：当为奇数时；当为偶数时解不等式，比较两种情况的结果即可得到答案，看懂流程图分类求解是解决问题的关键． 【详解】解：当为奇数时，，解得，则输入的最小正整数的值为； 当为偶数时，，解得，则输入的最小正整数的值为； , 综上所述，要使输出值大于50，输入的最小正整数的值为． 2．下面是一组数值转换机的示意图． (1)写出图（b）中的转化步骤：①_____，②_____，③_____； (2)图（b）中，若，求输出的值； (3)图（a）中，若，求x的值． 【答案】(1)，， (2) (3)3或 【分析】（1）根据图形和算式得出答案即可； （2）把代入，再求出答案即可； （3）把代入，再求出答案即可． 本题考查了求代数式的值，能根据图形得出算式是解此题的关键． 【详解】（1）解：由图形和算式为得到图（b）中的转化步骤是： ①，②，③． 故答案为：，，； （2）当时， ； （3）由题意可得，图（a）中的算式为， 当时， ， 解得：或， 答：x的值为3或． 3．如图所示是王老师设计的一个运算程序． (1)这个运算程序所表示的式子为______（用含、的代数式表示）； (2)当，时，求这个程序输出的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据程序写出代数式即可． （2）代入求值即可． 【详解】（1）根据程序图可知，这个运算程序所表示的式子为 故答案为： （2）当，时， ． 4．如图是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值为，输入y的值为2，求输出的结果； (2)用含x，y的代数式表示输出的结果为：______； (3)若输入x的值为2，输出的结果为8，求输入y的值； (4)若y是x的3倍（为常数），且不论取任意负数时，输出的结果都是0，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或． 【分析】本题考查了整式的加减中的程序计算，正确理解程序是解题的关键． (1)根据程序，得，计算即可． (2)根据程序，列出代数式，计算即可． (3)根据程序，列出等式，计算即可． (4)根据程序，列出等式，计算即可． 【详解】（1）根据程序，得． （2）根据程序，得， 故答案为：． （3）根据程序，得， ∴， 解得或． （4）根据程序，得， ∴， ∴， 解得或． 题型6 与规律有关的求代数式的值 例题6．合肥骆岗中央公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．已知图1中有1块六边形地砖，6块正方形地砖，6块三角形地砖；图2中有2块六边形地砖，11块正方形地砖，10块三角形地砖；…． (1)按照以上规律可知，图4中有______块正方形地砖； (2)若铺设这条小路共用去n块六边形地砖，分别用含n的代数式表示用去的正方形地砖、三角形地砖的数量； (3)若，求此时三角形地砖的数量． 【答案】(1)21 (2)用去的正方形地砖的块数为块，三角形地砖的块数为块． (3)此时三角形地砖的数量为202块． 【分析】本题主要考查图形的规律并用代数式表示，理解图形的数量关系，掌握整式的运算是解题的关键． （1）根据图形的数量，找出数量关系即可求解； （2）根据（1）中的数量关系列式求解即可； （3）把代入上述的数量关系式即可求解． 【详解】（1）由图形可知，图1中六边形地砖块数为1，正方形地砖块数为，三角形地砖块数为； 图2中六边形地砖块数为2，正方形地砖块数为，三角形地砖块数为； 图3中六边形地砖块数为3，正方形地砖块数为，三角形地砖块数为；…， 由此可见，每增加1块六边形地砖，正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块， ∴图4中正方形地砖块数为21块． （2）由（1）发现的规律可知， 当铺设这条小路共用去n块六边形地砖时， 用去的正方形地砖的块数为块，三角形地砖的块数为块． （3）当时，三角形地砖的块数为（块）． 答：此时三角形地砖的数量为202块． 【变式训练】 1．某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一圈的图案如图②所示． 【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；…    【规律总结】 (1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个； (2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用含n的代数式表示）； (3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花费多少元？ 【答案】(1)60，5 (2)，n (3)当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元 【分析】本题主要考查图形的规律，理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据一直推行进行推理即可得到答案； （2）设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y，即可求出当地砖铺设了n圈时，地砖的总数；根据铺设了多少圈即可得出围成了多少的封闭图形； （3）根据曲线围成的封闭图形有25个，地砖铺设了25圈，进行就算即可． 【详解】（1）解：当地砖铺设了1圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有1个； 当地砖铺设了2圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有2个； 当地砖铺设了3圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有3个；…， 当地砖铺设了5圈时，共用地砖（块），曲线围成的封闭图形的个数有5个． （2）解：，n； 设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y， 铺设1圈形成如题图②所示的图案共用4块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有1个； 铺设2圈形成如题图③所示的图案共用12块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有2个； 铺设3圈形成如题图④所示的图案共用24块地砖，即；曲线围成的封闭图形的个数有3个； 当地砖铺设了n圈时，地砖的总数． 曲线围成的封闭图形有个； （3）解：曲线围成的封闭图形有25个， 地砖铺设了25圈， 当时，（块）． 每块地砖的价钱为18元， 共需花费的费用为（元）． 答：当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元． 2．按如下规律摆放三角形： (1)图有______个三角形，图有______个三角形，图有______个三角形． (2)按上述规律排列下去，第个图形中有多少个三角形？ (3)按上述规律排列下去，第个图形中有多少个三角形？ 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】（）观察图形即可求解； （）根据（）中的规律即可求解； （）把代入（）中的结果计算即可求解； 本题考查了图形的变化规律类问题，代数式求值，通过图形，找到变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由图形可得，图有个三角形，图有个三角形，图有个三角形， 故答案为：，，； （2）解：∵时，有个三角形，即个三角形， 时，有个三角形，即个三角形， 时，有个三角形，即个三角形， ∴第个图形中有个三角形； （3）解：当时，， ∴第个图形中有个三角形． 3．已知有下列两个代数式：①；②． (1)当时，代数式①的值是____________；代数式②的值是____________． (2)当时，代数式①的值是____________；代数式②的值是____________． (3)观察（1）和（2）中代数式的值，你发现代数式和的关系为___________． (4)利用你发现的规律，求的值． 【答案】(1)； (2)，； (3) (4) 【分析】此题考查了有理数乘法的应用，正确理解题意得到并解决问题是解题的关键． （1）将数值代入计算即可； （2）将数值代入计算即可； （3）由（1）和（2）得； （4）根据（3）的结论计算即可． 【详解】（1）解：当时， ， ， （2）当时， ， ， （3）由（1）和（2）中代数式的值，你发现代数式和的关系为， （4） ． 4．如图，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1个图形中“”的个数为，第2个图形中“”的个数为，第3个图形中“”的个数为 根据图形的排列规律，解答下列问题： (1)直接写出______________； (2)猜想第个图形中“”的个数，（用含的式子表示，不用说明理由） (3)利用（2）的结论，求第2022个图形中“”的个数． 【答案】(1)24 (2) (3) 【分析】 本题主要考查图形的变化规律，发现题目中“”的个数的变化规律，利用数形结合的思想作答． （1）根据每组图形规律列出点数即可求得； （2）根据第一问列出的点数特点总结规律即可； （3）把第二问总结的规律代入问题解题即可； 【详解】（1）∵， ， ， ∴． 故答案为：24 （2）， ， ， ． …… ． 故答案为： （3）当时， ． 题型检测 一、选择题（本大题共10小题） 1．若，，则的值为（    ） A．或8 B．2或8 C．2或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的意义及有理数减法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据绝对值的意义求出值，根据有理数减法法则计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴或， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴的值为或8． 故选：A． 2．若，则的值为（   ） A．1 B．0 C．2023 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，根据非负数的性质得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．下列求代数式的值的计算，正确的是（    ） A．当时，代数式 B．当时，代数式 C．当时，代数式 D．当时，代数式 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，直接把所给字母的值代入所求代数式中求解即可． 【详解】解：A、当时，代数式，原式计算正确，符合题意； B、当时，代数式，原式计算错误，不符合题意； C、当时，代数式，原式计算错误，不符合题意； D、当时，代数式，原式计算错误，不符合题意； 故选；A． 4．是最小的自然数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，有理数的有关概率，最小的自然数是1，最大的负整数是，绝对值最小的有理数是0，据此代值计算即可． 【详解】解：∵是最小的自然数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数， ∴， ∴， 故选：A． 5．“△”表示一种运算符号，其意义是：，那么等于（　　） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的混合运算，新定义运算的含义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据新定义运算的运算法则先列式，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 6．已知，则代数式的值是（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查的是代数式求值，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案．将整体代入求值，即可得到答案． 【详解】解：， ． 故选：C． 7．若的值为1，则整式的值为（    ） A． B．3 C．0 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，根据题意可得出，将变形后整体代入求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 则， ∴， 故选：B． 8．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求代数式的值，先把变形为，然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 9．若代数式的值为6，则代数式的值是（    ） A． B．9 C．19 D． 【答案】C 【分析】本题考查了求代数式的值．观察题中的两个代数式，可以把看成一个整体，求得的值后，代入所求代数式求值即可得解． 【详解】解：代数式的值是6， ， ． 故选：C． 10．小亮按如图所示的程序输入一个数x等于10，最后输出的结果为（   ） A．51 B．251 C．256 D．255 【答案】C 【分析】本题主要考查了与程序流程图有关的代数式求值，先把10作为输入的数，计算出的结果，若结果大于200，则输出，若结果不大于200，则把结果作为新数输入继续计算的值，如此重复上述过程直至计算的结果大于200进行输出即可． 【详解】解：当时，， 再把51作为输入的数，则， ∴输出的结果为256． 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题） 11．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据非负数的性质得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．定义一种新运算“※”，对于任意的两个有理数，．问：若与互为倒数，与5互为相反数，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算，根据相反数和倒数的定义，先求出，，再根据新定义列式进行计算即可． 【详解】解：∵与互为倒数， ∴， ∵与5互为相反数， ∴， ． 故答案为：． 13．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值和偶次方的非负数的性质，根据题意列出方程求出的值，然后相乘即可得解． 【详解】解：∵，而， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 14．已知与互为相反数，与互为倒数，，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查代数式求值求值，相反数以及倒数的定义，熟练掌握相反数的性质以及倒数的性质是解题的关键．根据题意得到，代入求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数，与互为倒数，， ∴，， ∴ ． 故答案为：0． 15．对于两个数a，b，规定，那么 ． 【答案】 【分析】根据新定义：可知，再根据有理数混合运算的法则即可解答． 本题考查了新定义下的运算，有理数的混合运算法则，明确新定义下的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵对于任意的两个数和，规定， ∴， 故答案为：． 16．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查代数式求值，将变形为，然后再整体代入计算即可 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：6 17．已知，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查代数式求值，将变形为，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为： 18．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为，则输出的结果是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的代数式求值，先把代入中求出的值，若结果比小，则的值作为输出结果，若结果比大或相等，则把的值作为新数输入，如此反复求解即可． 【详解】解：当开始输入时，， 当第二次输入时，， ∴输出结果为， 故答案为；． 19．观察下列图形中的数字排列规律，在第（9）个图中，的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要借助图形考查数字规律的变化，以及已知代数式求值，分别找到图中各部分对应的规律，左上角数字为，右上角数字为，下面数字为，再根据代数式求解即可． 【详解】解：左上角的数字为下面的数字加1，即： 右上角的数字为前一个乘以，即： 下面的数字为，即 则第n个图形中，左上角数字为，右上角数字为，下面数字为，那么第9图形中． 故答案为：． 20．如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第n个数记为，则 ． 【答案】2024 【分析】本题考查数字类规律探究，代数式求值，根据给出的数字，概括出，进而求出的值，求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2024． 三、解答题（本大题共4小题） 21．求下列代数式的值． (1)当时，时，求代数式的值； (2)当，，时，求代数式的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了求代数式的值． （1）将各字母的值代入即可求出答案． （2）将各字母的值代入即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，时，； （2）解：当，，时，． 22．当时，求下列代数式的值． (1) (2)． 【答案】(1)49 (2)49 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，正确计算是解题的关键． （1）先计算得，则，即可作答． （2）先计算得，而．即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： 23．已知． (1)当a，b异号时，求的值． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)11或5 【分析】本题考查了求代数式的值，绝对值的性质，解答的关键是读懂题意，列出正确算式，进行有理数的运算，掌握绝对值的定义． （1）利用绝对值的性质求出，的可能取值，再根据题意确定，的值，然后求的值即可； （2）利用绝对值的性质求出的取值，然后代入计算． 【详解】（1）解：，． ，， 、异号， ， 或， ； （2）∵， ∴， ∴， ∴或， ∴的值为11或5． 24．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，该商店有两种优惠办法：A：买一只茶壶送一只茶杯；B：按总价的付款．现有一顾客需购买4只茶壶，茶杯若干只(不少于4只)，设购买的茶杯x只． 求： (1)按A、B两种方法购买应分别付款多少元？(用含x的式子表示) (2)若购买茶杯16只，则A、B两种办法中哪一种更省钱？请计算说明． 【答案】(1)A：；B： (2)A种办法更省钱 【分析】本题考查列代数式和代数式求值，解题关键是理清两种优惠办法，难度不大． （1）根据题干中两种优惠办法列出它们的花费即可； （2）分别求出当购买茶杯16只时，两种优惠办法的花费再比较大小即可． 【详解】（1）设购买茶杯只，则两种优惠方法应付的钱分别为： A种方法：， B种方法：， （2）当时，， ， ∵ ∴购买茶杯16只，则A种办法更省钱． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$