第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：二次函数与反比例函数、相似形）-2024-2025学年九年级数学上学期重难点专题提升精讲精练（沪科版）

第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） 【考试范围：二次函数与反比例函数、相似形】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24九年级上·河南郑州·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）、、、是成比例线段，其中，，，则线段的长可能为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 3 4 5 … y … … 关于它的图象，下列判断正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．一定经过点 D．在对称轴左侧部分自左至右是下降的 5．（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标为（ ） A． B．或 C． D．或 7．（2024·安徽合肥·二模）如图，是的中线，点E是的中点，连接并延长，交于点F，若．则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（    ） A． B． C． D． 9．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，已知二次函数、、为常数，的图像与轴交于，两点．下列结论中错误的有（    ） ①；②若点和均在抛物线上，则；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 10．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为．若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标为 ． 12．（24-25九年级上·重庆·开学考试）黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若，则AB的长为 ．（结果保留根号） 13．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）小明推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系式为，当铅球行进的高度为时，铅球行进的水平距离 ． 14．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，中，点、分别为、的中点，连接，线段、相交于点，若，则 ． 15．（2024·福建莆田·模拟预测）已知抛物线过不在x轴上的四个点，，，．若A，B，C，D四个点中有且只有一个点在x轴上方，则m的取值范围为 ． 16．（2024·山西·二模）如图，已知中，，，点在的延长线上，连接，点在边上，连接交于点，若，，则的长为 . 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)判断点是否在此抛物线上？ 18．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，、交于点E，，且平分． (1)求证：； (2)若，，，则的长为 ． 19．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标； (2)该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离． 20．（2024·福建南平·模拟预测）如图，在中，D是边上一点，且 (1)在边上求作点E，使；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）所作的图形中，若，求的长. 21．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线的解析式为． (1)请直接写出：抛物线的解析式 ，直线的解析式 ； (2)当时，的取值范围是 ； (3)当时，x的取值范围是 ． 22．（2024·云南德宏·一模）如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一动点，直线交轴于点，直线交轴于点，求的值． 23．（24-25九年级上·山东济南·开学考试）在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： (1)用含t的代数式表示的面积S； (2)当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 24．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得第一获得金牌，陈芋汐位列第二获得银牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． 水平距离 3 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如上：根据上述数据，直接写出的值为______，直接写出满足的函数关系式：______； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系：，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则______（填，，）； (3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.4秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 25．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； (3)在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） 【考试范围：二次函数与反比例函数、相似形】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24九年级上·河南郑州·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数为常数，，顶点坐标是，据此求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）、、、是成比例线段，其中，，，则线段的长可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义得到，据此代值计算判断即可． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段，，，， ∴， ∴， 故选：D． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数图象的综合判断，分当时，当时两种情况；先确定一次函数经过的象限，再确定二次函数的开口方向，看是否一致即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，且与y轴交于，故A符合题意，B、D不符合题； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向下，且与y轴交于，故C不符合题意； 故选：A． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 3 4 5 … y … … 关于它的图象，下列判断正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．一定经过点 D．在对称轴左侧部分自左至右是下降的 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的解析式，由表格中点，，可知抛物线的对称轴为直线．设抛物线的解析式为，将，分别代入，可解得，再进一步解答即可． 【详解】解：∵点，在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线． 设抛物线的解析式为，将，分别代入， ， 可解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分自左至右是上升的． 将代入，得． 故选C． 5．（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的定义，二次函数与x轴有两个交点，则与之对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求出k的取值范围，再结合二次项系数不为0即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴且， 故选：C． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查位似变换，熟练掌握位似变换的概念是解题的关键，利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或进行求解即可． 【详解】解：∵点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， ∴点A的对应点的坐标为或 ∴点的坐标为或， 故选：D． 7．（2024·安徽合肥·二模）如图，是的中线，点E是的中点，连接并延长，交于点F，若．则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中线，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点A作平行线交延长线于点G，可得，通过比例式即可求出，即可解决问题． 【详解】解：过点A作平行线交延长线于点G， ∵， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似多边形的性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 设，，由矩形与矩形相似得，求出，解方程得，先求出，进而可求出． 【详解】解：由题意得，，，． 设，， 则，， ∵是正方形， ∴， ∴． ∵矩形与矩形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 故选D． 9．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，已知二次函数、、为常数，的图像与轴交于，两点．下列结论中错误的有（    ） ①；②若点和均在抛物线上，则；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，对于①，先确定a，b，c的值，进而判断；先求出对称轴，再根据点离对称轴的距离，及抛物线的增减性判断②；根据对称轴求出，再将点代入函数关系式，求出，即可判断③；根据，可判断④． 【详解】由图象开口向下，可知，图象交y轴正半轴，可知，再根据“左同右异”，可知，则，故①正确； 二次函数（为常数，）的图象与轴交于点， 该函数的对称轴为直线， 和对应的函数值相等，当时，随的增大而增大， 若点和均在抛物线上，则，故②正确； 对称轴是直线， ， ， 点在该函数图象上， ， ， 即， ，故③正确； ， ， ， 即，故④错误； 故选：A． 10．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为．若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象抛物线与轴及常函数直线的交点横坐标与一元二次方程根的关系．根据题意可知一元二次方程的根应为整数，通过抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为．可以画出大致图象判断出直线，观察图象当时，抛物线始终与轴相交于与．故自变量的取值范围为．所以可以取得整数，1，2共3个．由于与关于对称轴直线对称，所以与对应一条平行于轴的直线，，时对应一条平行于轴且过抛物线顶点的直线，从而确定时，的值应有2个． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ，解得． 又抛物线与轴的一个交点为， 把代入得，， 解得：． ． 对称轴，最大值． 如图所示， 顶点坐标为， 令， 即， 解得或． 当时，抛物线始终与轴交于与， ． 即常函数直线，由， ， 由图象得当时，，其中为整数时，，1，2． 一元二次方程的整数解有3个． 又与关于直线轴对称， 当时，直线恰好过抛物线顶点， 所以值可以有2个． 故选：B． 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与，轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握二次函数图像与系数的关系是解题的关键； 求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题，将代入，即可求解； 【详解】解：抛物线与轴的交点， 当，则， 故交点坐标为； 故答案为：． 12．（24-25九年级上·重庆·开学考试）黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若，则AB的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点．设，利用黄金分割点可以得到成比例线段，；代入数值变形得，解方程即可求解． 【详解】解：∵C、D两点都是的黄金分割点，设， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）小明推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系式为，当铅球行进的高度为时，铅球行进的水平距离 ． 【答案】2或6 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，把代入函数解析式求解即可。 【详解】解：把代入， 得， 解得，， 故答案为：2或6. 14．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，中，点、分别为、的中点，连接，线段、相交于点，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．根据重心定义得到点为的重心，再根据重心的性质得，所以． 【详解】解：点、分别为、的中点， 点为的重心， ， 而， ． 故答案为4 15．（2024·福建莆田·模拟预测）已知抛物线过不在x轴上的四个点，，，．若A，B，C，D四个点中有且只有一个点在x轴上方，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 把解析式化成顶点式，求得对称轴，即可判断关于对称，由题意在轴下方，然后根据各点到对称轴的距离得出，点在轴上方，不在轴上方，据此列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线； ∴关于对称， ， ∵四个点中有且只有一个点在轴上方， ∴在轴下方， ∵， ∴，点在轴上方，不在轴上方， ∴时，， ∴， ∴， 时，． ∴， ∴， 综上所述，． 故答案为：． 16．（2024·山西·二模）如图，已知中，，，点在的延长线上，连接，点在边上，连接交于点，若，，则的长为 . 【答案】 【分析】过作交于，利用等边对等角得出，，结合三角形外角的性质可得出，利用平行线的性质，三角形外角的性质可得出，证明，得出，证明，求出，即可求解． 【详解】解：如图，过作交于， ，， ，， 又，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)判断点是否在此抛物线上？ 【答案】(1) (2)点不在此抛物线上 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征， （1）只需把点的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题； （2）只需计算当时抛物线上所对应点的函数值是否等于，即可解决问题； 解题的关键是掌握：二次函数图像上点的坐标满足其解析式；若点的坐标满足函数的解析式，则该点在函数的图像上． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴的值为； （2）∵当时，， ∴点不在此抛物线上． 18．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，、交于点E，，且平分． (1)求证：； (2)若，，，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质． （1）由等边对顶角及角平分线的定义可得，再根据对顶角相等即可得证结论； （2）根据相似三角形的对应边成比例即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：2 19．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标； (2)该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离． 【答案】(1)抛物线的解析式为，抛物线的顶点的坐标为； (2)原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析，二次函数的平移． （1）根据题意设抛物线的解析式为，将代入求解即可，再配成顶点式，即可写出顶点的坐标； （2）先求得新抛物线顶点的坐标为，利用平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点的坐标为； （2）解：∵， ∴新抛物线顶点的坐标为， ∵抛物线的顶点的坐标为， ∴原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线． 20．（2024·福建南平·模拟预测）如图，在中，D是边上一点，且 (1)在边上求作点E，使；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）所作的图形中，若，求的长. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）作，再结合同位角相等，推出； （2）先因为平行线分线段成比例，得出，再结合两边成比例夹角相等证明再运用相似三角形的性质列式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求 （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 即 ∴ 21．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线的解析式为． (1)请直接写出：抛物线的解析式 ，直线的解析式 ； (2)当时，的取值范围是 ； (3)当时，x的取值范围是 ． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数，二次函数的关系式，二次函数图象的性质， （1）先设顶点式，再将顶点坐标代入，并将点代入可得答案.然后令，求出点B，再根据待定系数法求出直线的关系式； （2）当时求出y，再结合顶点坐标得出函数最大值，即可得出答案； （3）分三种情况讨论，可得答案． 【详解】（1）设二次函数的关系式为， ∵抛物线的顶点为， ∴二次函数的关系式为． ∵抛物线经过点， ∴二次函数的关系式为， 解得， ∴二次函数的关系式为． 当时，， ∴点． ∵直线经过点A，B， ∴， 解得， ∴直线的关系式为； 故答案为：，； （2）当时，， 当时，函数值y随着x的增大而增大，最大值为4，当时，函数值y随着x的增大而减小， ∴． 故答案为：； （3）当时，当时，， ∴当时，； 当时，． 所以当时，x的取值范围是或． 22．（2024·云南德宏·一模）如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一动点，直线交轴于点，直线交轴于点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）设点的坐标为，分别求出直线，的解析式，再求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点和， ， 解得：， 抛物线的解析式为 （2）解：根据题意，设点的坐标为， 设直线的解析式为：， ， ，    解得， 即直线的解析式为：， 令，，               ，         同理可求出直线的解析式为：， 令，，      根据题意可知：若，则、、、四点重合，不符合题意，故 ． 23．（24-25九年级上·山东济南·开学考试）在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： (1)用含t的代数式表示的面积S； (2)当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了直角三角形的面积公式，勾股定理，相似三角形的性质，解本题的关键时用分类讨论的思想和方程思想解决问题． （1）由点，点的运动速度和运动时间，又知的长，可将、用含的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解； （2）在中，当秒，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出； （3）应分两种情况：当时，根据，可将时间求出；当时，根据，可求出时间． 【详解】（1）解：由题意得， 则， ∴的面积为； （2）解：由题意得， 则， 当秒时，， 在中，由勾股定理得； （3）解：由题意得， 则， ∵． ∴①当时，， 即， 解得秒； ②当时，， 即， 解得秒． ∴秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似． 24．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得第一获得金牌，陈芋汐位列第二获得银牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． 水平距离 3 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如上：根据上述数据，直接写出的值为______，直接写出满足的函数关系式：______； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系：，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则______（填，，）； (3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.4秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【答案】(1)，； (2) (3)她当天的比赛能成功完成此动作． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）利用待定系数法求出解析式，即可； （2）分别求出两个解析式当时，的值，进行比较即可； （3）先求出的值，再求出时的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，图象过点，，， ， ， ， 解得：， ； 故答案为：，； （2）解：， 当时：， 解得：或（不合题意，舍去）； 米； ， 当时：， 解得：或（不合题意，舍去）； ， ， 故答案为：； （3）解：， ， ， ， 当时，， ， 即她在水面上能够完成此动作， 她当天的比赛能成功完成此动作． 25．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； (3)在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）求解直线为，设，则，可得，再进一步求解； （3）如图，当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，再利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把点，代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵当时，， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 最大值为：； ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形； 如图，当为对角线时， ∵，，设，， ∴，解得：， ∴； 当为对角线时，如图， 同理可得：，解得：， ∴； 如图，当为对角线时， 同理可得：，解得：， ∴； 综上：点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，方程组的解法，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$