精品解析：天津市南开中学2025届高三上学期统练2数学试题

2025届南开中学高三数学统练2 一､单选题（每小题5分，共45分） 1. 已知数集满足：，，若，则一定有：（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助交集与并集的性质推导即可得. 【详解】由，， 故、或、， 由，故，故C正确，D错误； 同理，、或，，故A、B错误. 故选：C. 2. 设为虚数单位，，则实数 A. 2 B. 1 C. 0 D. −1 【答案】C 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式乘法运算化简即可得解. 【详解】由，得，所以， 故选:． 3. 函数的图象大致是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的零点排除两个选项，再求出函数的极大值，结合图形即可判断得解. 【详解】函数定义域为，由，得或，即函数有两个零点和，BC错误；，当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，因此函数在处取得极大值，D错误，A符合题意. 故选：A. 4. 某零售行业为了解宣传对销售额的影响，在本市内随机抽取了5个大型零售卖场，得到其宣传费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下： x（万元） 3 4 5 6 7 y（万元） 45 50 60 65 70 由统计数据知y与x满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额y的估计值为（ ） A. 89.5 B. 90.5 C. 92.5 D. 94.5 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求得样本中心点的坐标，进一步得，由此即可预测求解. 【详解】由表中数据可知，， 所以，解得， 所以当宣传费用时，销售额y的估计值为. 故选：B. 5. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，又，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，可知和的解，再将转化为，或，求解即可. 【详解】由题意可得当时，有，当或时，有， 所以当时，有或，即或， 当时，有，即， 由，可得，或，所以或， 所以的解集是. 故选：D 6. 已知函数满足：，则；当时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式，先得到，再由时的解析式，即可得出结果. 【详解】因为， 所以， 而，时，， 所以. 故选：A. 【点睛】本题主要考查求分段函数值，涉及对数的运算，属于基础题型. 7. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断出函数的值域，利用函数的值域为可得答案. 【详解】因为时，是单调递增函数，且， 时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在时有极小值，且极小值为， 要使函数的值域为，则， 可得. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点判断函数的单调性，利用单调性求出函数的值域. 8. 已知定义域为的函数为偶函数，且在区间上单调递减，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用偶函数，把自变量为负数等价到相反数来比较，利用对数运算估计和比较对数值的大小，再利用函数在区间上单调递减，就可以比较各选项. 【详解】因为，所以. 因为， 所以，即， 又， 所以，又在区间上单调递减， 所以， 即. 故选:A. 9. 函数满足：当时，，是奇函数．记关于的方程的根为，若，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数关于点对称，再画出函数和的图象，结合函数的对称性，判断交点的个数，利用数形结合，即可求解. 【详解】若函数是奇函数，则， 即，则函数关于点对称，所以 而也关于点对称，恒过点， 方程根，即为函数与交点的横坐标， 因为两个函数都关于点对称，所以交点也关于点对称，且其中一个交点是， 如图画出两个函数的图象， 若，根据对称性可知，轴左侧和右侧各有3个交点，如图， 当直线过点时，轴右侧有2个交点，此时， 当直线过点时，轴右侧有3个交点，此时， 所以满足条件的的取值范围是，选项中满足条件的只有. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确分析出函数的图象，尤其是，并且会利用数形结合，分析临界直线，即可求解. 二､填空题（每小题5分，共30分） 10. 已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数为幂函数求出的值，再通过的图象关于轴对称来确定的值. 【详解】由为幂函数，则，解得，或， 当时，，其图象关于轴对称， 当时，，其图象关于对称， 因此， 故答案为：2. 11. 的展开式中，不含字母的项为___________. 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，根据题意求出值，代入计算即得. 【详解】的展开式通项为：， 则不含字母的项为. 故答案为：. 12. 计算的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由对数的运算性质即可求解. 详解】原式 . 故答案为：8 13. 甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为， 且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为_________．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为_______ 【答案】 ①. 0.7 ②. 0.22. 【解析】 【分析】设甲击中无人机为事件，乙击中无人机为事件，无人机被击中为事件，无人机被击落为事件，利用对立事件的概率公式可求出无人机被击中的概率，利用全概率公式可求出无人机被击落的概率. 【详解】设甲击中无人机为事件，乙击中无人机为事件，无人机被击中为事件，无人机被击落为事件， 则，所以， 所以， 若无人机恰好被一人击中，即事件， 则， 若无人机被两人击中，即事件， 则， 所以 . 故答案为：， 14. 已知函数对任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知在上单调递减，令，则由复合函数单调性可知二次函数在上单调递减，由此列不等式组即可求解. 【详解】由题意可知，在上单调递减， 令，则在上单调递减，且在上恒成立， 所以，解得， 故答案为： 15. 设函数，若方程有三个实数根,满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数得出根，再应用指对数转化结合换元法得到，再利用导数求解其值域即可. 【详解】因为，所以，作出其图象如下图所示： 则由图知且, 满足，即， 故，令且， 则上式， 令，则，，故 在内单调递增，则. 故答案为： 三､解答题 16. 已知函数. （1）若函数y=f(x)在上的最大值为8，求实数m的值； （2）若函数y=f(x)在(1，2)上有唯一的零点，求实数m的取值范围. 【答案】（1）1或-1；（2）. 【解析】 【分析】（1）令，则，由的取值范围求出的取值范围，对二次函数的对称轴分类讨论，分别求出参数的值； （2）依题意函数在上有唯一的零点，令，又，，对分三种情况讨论，最后取并集； 【详解】解：因为， 令，则， （1）因，所以，所以， 当，即m≥0时，此时当t=-2，即时，y取最大值， 即4+2m+2=8，解得m=1，满足； 当，即时，此时当t=2时，即x=4时，y取最大值， 即4-2m+2=8，解得m=-1，满足.所以实数m的值为1或-1. （2）因为x∈(1，2)，所以， 因为函数y=f(x)在(1，2)上有唯一的零点，且在(1，2)是增函数， 所以函数在(0，1)上有唯一的零点， 令g(t)=t2-mt+2，因为g(0)=2，g（1）=3-m， ①当g（1）=3-m<0，即m>3时，满足题意 ②当g（1）=3-m=0，则m=3时，此时g(t)=t2-3t+2， 令g(t)=t2-3t+2=0，解得t=1或t=2，不满足； ③当g（1）=3-m>0时，且此时无解； 综上，实数m的取值范围为(3，+∞). 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 17. 已知函数，其中a是大于0的常数． （1）求函数的定义域； （2）当时，求函数在上的最小值； （3）若对任意恒有，试确定的取值范围． 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求函数的定义域，就是求，可以通过对分类讨论解决； （2）可以构造函数，根据对勾函数的性质得到在上的单调性，再利用复合函数的性质可以求得在上的最小值； （3）对任意恒有，即对恒成立，转化为是的函数，即可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：由得，，等价于， 因为方程的， 当，即时，恒成立，所以解得， 当，即时，原不等式即为，解得且； 当，即，又，即时， 方程的两根、， 所以解得或， 综上可得当时，定义域为， 当时，定义域为且， 当时，定义域为或 【小问2详解】 解：设， 因为，由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以，又，所以在上单调递增， 又在定义域上单调递增 在上是增函数， 在上的最小值为； 【小问3详解】 解：对任意恒有， 即对恒成立 ，而在上是减函数， ， 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，，. （1）若点是边的中点，点是边的中点，求异面直线，所成角的余弦值； （2）求平面和平面的夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值?若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）取中点，证得平面，进而得到，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得和，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）由（1），求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，求得，求得平面的一个法向量，结合平面，列出方程组，即可求解. 【小问1详解】 解：取中点，连接，，因为，所以 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 又因为平面，平面，所以，， 因为，，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，，，，，可得，， 设异面直线，所成角为，则. 所以异面直线，所成角余弦值为. 【小问2详解】 解：由（1）得，. 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 因为平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 解：设是棱上一点，则存在使得， 设，则，， 所以.所以，，， 所以.所以， 因为，，且，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量. 若平面，则，所以，此时方程组无解， 所以在棱上不存在点，使得平面. 19. 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，直线：交椭圆C于M，N两点，当直线过点时，的周长为8. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设P为x轴上一点，是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的方程及点P的坐标. 【答案】（1） （2）直线方程为，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）由的周长借助椭圆的定义可求，再结合椭圆的离心率求得，进而求得椭圆C的标准方程； （2）联立直线和椭圆的方程，表示出的中点的坐标，根据，表示出点的坐标，再由列出等式，求出，即得解． 【小问1详解】 因为的周长为8，由椭圆的定义， ，所以， 又椭圆C的离心率为，即，∴， ∴， ∴椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 设，，的中点为，， 联立，整理得， 因为直线与椭圆C交于M，N两点，故，解得， ，， 则，代入，∴，故， 因为是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，∴， 故，即，解得，故， 由，故，即， 又，， 所以， 经计算，，因为，所以， 所以直线的方程为，点的坐标为. 20. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）讨论的单调性； （2）若方程有两个不同的根． (i)求的取值范围； (ii)证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）(i)参变分离可得，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最值，即可求出的取值范围；(ii) 不妨设，则，分、两种情况讨论，当时，，利用导数说明函数的单调性，即可证明，再由基本不等式即可得证. 【小问1详解】 由题意得，，则， 由，解得． 显然， 若，则当时，单调递增，当时，单调递减； 若，则当时，单调递减，当时，单调递增． 综上，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减； 当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增． 【小问2详解】 （i）由，得， 设，由(1)得在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，当时，，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，故的取值范围是． （ii）不妨设，则，且． 解法一： 当时，，即； 当时，． 设 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以 又在区间内单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证． 解法二： 设，， 则， 所以在区间内单调递增， 又， 所以，即． 又，所以， 又在区间内单调递减． 所以，即， 又，所以，得证． 【点睛】方法定睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届南开中学高三数学统练2 一､单选题（每小题5分，共45分） 1. 已知数集满足：，，若，则一定有：（ ）. A. B. C. D. 2. 设为虚数单位，，则实数 A. 2 B. 1 C. 0 D. −1 3. 函数的图象大致是（    ） A. B. C. D. 4. 某零售行业为了解宣传对销售额的影响，在本市内随机抽取了5个大型零售卖场，得到其宣传费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下： x（万元） 3 4 5 6 7 y（万元） 45 50 60 65 70 由统计数据知y与x满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额y的估计值为（ ） A. 89.5 B. 90.5 C. 92.5 D. 94.5 5. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，又，则的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足：，则；当时，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知定义域为的函数为偶函数，且在区间上单调递减，则下列选项正确的是（ ） A. B. C D. 9. 函数满足：当时，，是奇函数．记关于方程的根为，若，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 1 二､填空题（每小题5分，共30分） 10. 已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是______． 11. 的展开式中，不含字母的项为___________. 12. 计算的值为______. 13. 甲乙两人射击一架进入禁飞区无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为， 且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为_________．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为_______ 14. 已知函数对任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围为__________. 15. 设函数，若方程有三个实数根,满足，则的取值范围是______. 三､解答题 16. 已知函数. （1）若函数y=f(x)在上的最大值为8，求实数m的值； （2）若函数y=f(x)在(1，2)上有唯一的零点，求实数m的取值范围. 17. 已知函数，其中a是大于0的常数． （1）求函数的定义域； （2）当时，求函数在上的最小值； （3）若对任意恒有，试确定的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，底面直角梯形，，，，平面平面，，. （1）若点是边的中点，点是边的中点，求异面直线，所成角的余弦值； （2）求平面和平面的夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值?若不存在，说明理由. 19. 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，直线：交椭圆C于M，N两点，当直线过点时，的周长为8. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设P为x轴上一点，是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的方程及点P的坐标. 20. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）讨论的单调性； （2）若方程有两个不同的根． (i)求的取值范围； (ii)证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$