精品解析：安徽省阜阳市北外附属新华外国语高级中学2025届高三上学期第一次段考数学试卷

2024-2025学年度北外新华高三年级第一学期第一次段考数学试卷 一、单选题共8题共40分 1. 若集合，，则（ ） A. B. [0，1] C. D. 2. 下列函数中，既为偶函数，又在（0，+∞）上为增函数的是（　　） A. B. C. D. 3. 函数与的图象关于直线对称，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数为定义在上的奇函数，对于任意的，且，都有，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 6. 已知正实数，满足，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 9 7. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题共3题共18分 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 若命题“”为真命题，则实数的取值范围是 C. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象 D. 的零点所在的一个区间为 10. 若函数既有极大值也有极小值，则（ ）． A. B. C. D. 11. 已知函数，的定义域均为R，且，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 为偶函数 C. 的周期为4 D. 三、填空题共3题共15分 12. 计算：________. 13. 已知函数，函数，若对任意，存在，使得，则实数m的取值范围为______． 14. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______. 四、解答题共5题共77分 15. 已知集合，且. （1）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数满足． （1）求证：是周期函数 （2）若，求的值． （3）若时，，试求时，函数的解析式． 17. 在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2021年底新能源汽车保有量为1500辆，2022年底新能源汽车保有量为2250辆，2023年底新能源汽车保有量为3375辆． （1）设从2021年底起经过年后新能源汽车保有量为辆，根据以上数据，试从且和且两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势，并说明理由，求出新能源汽车保有量关于的函数关系式； （2）2021年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，且传统能源汽车保有量每年下降，若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据：） 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：． 19. 设函数的定义域为.给定闭区间，若存在，使得对于任意， ①均有，则记； ②均有，则记. （1）设，求； （2）设.若对于任意，均有，求的取值范围； （3）已知对于任意⫋与均存在.证明：“为上的增函数或减函数”的充要条件为“对于任意两个不同的⫋与中至少一个成立”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度北外新华高三年级第一学期第一次段考数学试卷 一、单选题共8题共40分 1. 若集合，，则（ ） A. B. [0，1] C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得集合，，再求其并集即可． 【详解】由，得，故， 由，得，故， 故． 故选：D． 2. 下列函数中，既为偶函数，又在（0，+∞）上为增函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】要判断函数是否为偶函数，只要检验f（-x）=f（x）是否成立即可；然后再根据函数单调性的定义进行判断即可． 【详解】A：，f（-x）=-x-为奇函数，不符合条件； B：y=f（x）=2-x2，f（-x）=2-（-x）2=2-x2=f（x），为偶函数，但是在（0，+∞）上单调递减，不符合题意； C：y=x2+log2|x|，f（-x）=（-x）2+log2|-x|=f（x）为偶函数，且x＞0时，f（x）=x2+log2x在（0，+∞），上单调递增，符合题意； D：y=2|x|-x2满足f（-x）=f（x），即为偶函数，但是在（0，+∞）有，不是单调递增，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的定义的简单应用，属于基础试题． 3. 函数与的图象关于直线对称，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由条件求得，利用复合函数的单调性同增异减即可得解. 【解答】由题意可得函数，则 令，求得， 故的定义域为， 根据复合函数的单调性同增异减可知，即转化为求函数在上的减区间. 所以由二次函数的性质可得函数在上的减区间为， 故选：B. 4. 已知函数为定义在上的奇函数，对于任意的，且，都有，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给出的条件求出函数在上的单调性，根据奇偶性求出上的单调性以及零点，进而求出的解集. 【详解】解：由题意 在函数中，， 为奇函数， ∴， ∵对于任意的，且，都有， ∴函数在上单调递增，在上单调递增， 当时，若，则；若，则， 此时. 故选：D. 5. 已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程. 【详解】因为，所以， 联立可解得，所以，所以. 所以曲线在点处的切线方程为， 故所求的切线方程为. 故选：C. 6. 已知正实数，满足，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解. 【详解】因为，所以, 所以， 即 所以，解得， 当且仅当 ，解得 或时等号成立， 所以当时有最大值为9. 故选:D. 7. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数， 不符合题意，故B错误； C选项：记，则， 故为偶函数， 当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故C正确； D选项：记，则， 故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选：C. 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】，构造函数， 利用作差法比较函数的大小确定函数值的大小. 【详解】 构造函数， 令，， 则所以在单增， 所以，所以，所以，所以. 令,，， 所以在为减函数，所以， 所以，所以，所以， 所以. 故选：D. 【点睛】方法点睛：比较几个数值的大小可以将这些数值看作几个函数的函数值，通过比较函数在某个区间内的大小确定函数值的大小.函数比较大小可以用导数研究单调性来确定，还可以借助于函数不等式、切线不等式放缩等手段比大小. 二、多选题共3题共18分 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 若命题“”为真命题，则实数的取值范围是 C. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象 D. 的零点所在的一个区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据对数函数的定义即可求解；对B，由二次函数的性质可判断；对C，根据三角函数的平移原则即可判断；对D，根据函数单调性结合零点存在性定理即可判断. 【详解】对于A，令，解得，， 所以恒过定点，故选项A正确； 对于B，因为，，为真命题，则，解得，故B错误； 对于C，函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，故C正确； 对于D，因为在上均单调递增， 则在上单调递增， 又，，则根据零点存在性定理知其零点所在的一个区间为，故D正确. 故选：ACD 10. 若函数既有极大值也有极小值，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 11. 已知函数，的定义域均为R，且，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 为偶函数 C. 的周期为4 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据及得，通过赋值，结合判断A；根据题意结合偶函数判断B；通过赋值根据周期函数的定义判断C；根据函数的周期为6，并且结合及赋值法求得，进而求和判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：根据及 得，令，，可得， 且，可得，令，则， 则，即，可知为偶函数，故B正确； 对于C：令，则， 可知，， 可得，则， 所以，可知周期为6，故C错误； 对于D：因为，且，， 令，，可得，所以， 则，，，， 所以，又周期为6， 所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题. 三、填空题共3题共15分 12. 计算：________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据对数的运算法则即可计算. 【详解】原式 . 故答案为：. 13. 已知函数，函数，若对任意，存在，使得，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，利用导数求函数的最值问题即得. 【详解】由题意得 由题可得，时， 故在上单调递增，， 由题可得，时，时， 故在上单调递增，在上单调递减，， ，即， 解得 故答案为：. 14. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，作出函数的大致图象，令可得，或，由条件结合图象可得的取值范围. 【详解】当时，，所以， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 且，，， 当时，，当时，， 当时，与一次函数相比，函数增长速度更快， 从而， 当时，，所以， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 且，， 当时，，当时，， 当时，与对数函数相比，一次函数增长速度更快， 从而， 当，且时，， 根据以上信息，可作出函数的大致图象如下： 函数的零点个数与方程的解的个数一致， 方程，可化为， 所以或， 由图象可得没有解， 所以方程的解的个数与方程解的个数相等， 而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等， 由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题共5题共77分 15. 已知集合，且. （1）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由命题是真命题，可知，又，可得的取值范围； （2）由是的充分不必要条件,得是的真子集，又，可得的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以 命题是真命题，可知， 因为，， ，, 故的取值范围是. 【小问2详解】 若是的充分不必要条件,得是的真子集，， ，解得， 故的取值范围是. 16. 已知函数满足． （1）求证：是周期函数 （2）若，求的值． （3）若时，，试求时，函数的解析式． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意条件推出，得到函数的周期； （2）由（1）中的函数周期得到； （3）根据函数的周期和时的函数解析式，求出时的函数解析式，再由函数周期及，求出时的函数解析式，得到答案. 【小问1详解】 证明：由题意知，则．用代替x得，故是周期为4的周期函数． 【小问2详解】 若，则． 【小问3详解】 当时，，则，又周期为4， 所以． 当时，，则， 根据周期为4，则． 又，所以． 所以解析式为. 17. 在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2021年底新能源汽车保有量为1500辆，2022年底新能源汽车保有量为2250辆，2023年底新能源汽车保有量为3375辆． （1）设从2021年底起经过年后新能源汽车保有量为辆，根据以上数据，试从且和且两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势，并说明理由，求出新能源汽车保有量关于的函数关系式； （2）2021年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，且传统能源汽车保有量每年下降，若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据：） 【答案】（1）应选函数模型是且，理由见解析， （2）2030年底 【解析】 【分析】（1）由于新能源汽车保有量每年增长得越来越快，所以应该选择指数模型，然后将和代入函数中可求出，从而可求得关于的函数关系式； （2）设从2021年底起经过年后传统能源汽车保有量为辆，则有，由题意得，化简后两边取对数可求得结果. 【小问1详解】 由于新能源汽车保有量每年增长得越来越快， 因此应该选择指数模型，应选函数模型是且， 由题意得，解得， 所以． 【小问2详解】 设从2021年底起经过年后传统能源汽车保有量为辆，则有， 令， 即， 化简得， 解得， 故从2021年底起经过9年后，即2030年底新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车的保有量． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）先求定义域，再求导，分，，和四种情况，求出函数的单调性； （2）变形得到，构造，定义域为，求导，结合零点存在性定理得到存在唯一的，使得，故，并得到的单调性和最小值，求出最小值. 【小问1详解】 的定义域为， 故， 若时，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 当时，若时，，故在上单调递增， 若时，，令得或， 令得， 故在，上单调递增，在上单调递减； 若时，，令得或， 令得， 故在，上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 ， 即， 令，定义域为， ，其在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理得，存在唯一的，使得， 即，故， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值， 其中， 两边取对数得，故， 所以，证毕. 【点睛】关键点点睛：由导函数的单调性和零点存在性定理得到，存在唯一的，使得，故，并求出的最小值，证明出不等式. 19. 设函数的定义域为.给定闭区间，若存在，使得对于任意， ①均有，则记； ②均有，则记. （1）设，求； （2）设.若对于任意，均有，求的取值范围； （3）已知对于任意⫋与均存在.证明：“为上的增函数或减函数”的充要条件为“对于任意两个不同的⫋与中至少一个成立”. 【答案】（1） （2） （3） 先证明必要性： 若为上的严格增函数， 则任取，， 因为，所以或或或， 因为为上的严格增函数，所以可得： 或或或， 所以或成立. 同时对为上的严格减函数，同理可证. 下面证明充分性： 当与中至少一式成立时， 先任取 引理1．任取，总有（1）且；或者（2）且之一成立 证明：假设存在，使得， 记， 则， 因为存在，则或， 若，则，这与条件与其中至少一式成立矛盾； 同理，若也得出矛盾；假设不在端点取得是错误的； 同理可证，不在端点取得也是错误的.即任取， 总有①且； 或者②之一成立，引理1得证； 引理2，设，则 证明：由的定义得，若，得， 即为常值函数.哪么存在两个不同的，使得与同时成立， 这与条件与中至少一式成立矛盾； 所以，不成立，则成立.引理得证. 最后证明为上的严格减函数或严格增函数.根据引理1、引理2， （1）若且，则，任取，需考虑如下情况： 情况一：若，则，假设， 若， 则， ， 这与条件与中至少一式成立矛盾 若，则 ， 这与条件与中至少一式成立矛盾， 假设不成立 所以，成立.根据引理1得 根据刚才的证明把不等式换为对应可得：，，所以． 情况二：若，则， 否则，又，由此矛盾，所以成立.根据情况一可得， 因此．同理可得 情况三：若，用上述一可得， 情况四：若，由，利用情况二中的证明得，将对应，利用刚才的结论得． 情况五：若，同上述情况二可证明恒成立． 情况六：若，同上述情况一可证明恒成立． 综上所述，对任意都有，即为上的严格减函数． （2）若，且，则，按照一的方法可证，为R上的严格增函数函数． 综合（1），（2）可得为上的严格减函数或严格增函数.充分性得到证明； 综上所述，命题＂为上的增函数或减函数＂的充要条件为＂对于任意两个不同的 与中至少一个成立＂证毕. 【解析】 【分析】（1）通过导数求函数在区间单调性即可； （2）通过导数确定函数的单调性及极值，以及是在处的切线，在分类讨论和即可； （3）根据充要条件证明步骤，必要性、充分性分开证明即可. 【小问1详解】 因为时，恒成立， 故在上为严格增函数， 因此. 【小问2详解】 因为， 而， 因为， 故是在处的切线 而存在极值点，而，可得到如下情况： 极小值 极大值 情况一：当时，此时 ， 此时，不符题意舍去. 情况二：当时，此时与在上均为严格增函数， 因此当时，恒成立， 因此， 而在上成立，进而， 故. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $