重庆市育才中学教育集团2024——2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（模拟）

重庆市育才中学教育集团2024—2025学年九年级(上） 第一次月考数学试题（模拟） （全卷共四个答题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．下面的图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（        ） A．B．C． D． 2．抛物线的顶点坐标为（        ） A． B． C． D． 3．用配方法解方程时，原方程应变形为（    ） A． B． C． D． 4．如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（　　） A．为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50 B．了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查 C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性 D．甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是甲 6．如图，在等边 中，D 是边 上一点，连接．将绕点B逆时针旋转，得到，连接．若，，则的周长是（     ） A．17 B．18 C．19 D．以上都不对 7．如图，是的直径，，垂足为E，直线与相切于点C，交于点D，直线交的延长线于点P，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤；正确的结论有（        ） A．1个 B．3个 C．2个 D．4个 9．如图，正方形中，E为上一点，过B作于点G，延长至点F，使得，连接．若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 10．有依次排列的两个整式，，用后一个整式B与前一个整式A作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式B求和操作得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式求和操作得到新的整式，……，依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式．下列说法：①整式；②整式；③整式、整式和整式相同；④．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11． ． 12．我国政府为解决老百姓看病难问题，决定下调药品价格．某种药品经过两次降价，由每盒50元调至32元．则平均每次降价的百分率为 ． 13．一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率是 ． 14．如图，在正方形中，，把边绕点B逆时针旋转得到线段，连接并延长交于点E，则线段的长为 ． 15．如图，在正六边形中，和交于点O，过点O的直线交于点N（N不与E、F重合），交于点M．以点O为圆心，为半径的圆交直线于点H，G．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 16．已知关于x 的分式方程有整数解，且关于y 的不等式组有解且至多5个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为 ． 17．如图，四边形是的内接四边形，于点P，于点E．若，则 ． 18．若一个四位自然数M的各数位上的数字互不相同且均不为0，且千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这样的四位数为“平衡数”．将M的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，并规定，若为“平衡数”且，则 ，若s和t都是“平衡数”，其中，（且m，n，x，y均为整数），规定： ，若为整数，则k的最大值是 ． 三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20－26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．计算： (1) ； (2)． 20．学习了等腰三角形后，小颖进行了拓展性研究．她过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，她发现，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．她的解决思路是通过计算面积得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用无刻度直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点，点在边上．（只保留作图痕迹，不写作法） 已知：如图，在中，，于点，于点． 求证：．    证明：如图，连接． ，，， ，，． ， ①______， 即． ②______， ， ③______． 再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题填空： 过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④______． 21．最近重庆市实验中学校在体育课上加强了25秒定时跳绳的训练，为了解班上同学们的训练情况，体育教师分别随机调查了男生、女生各10名同学，记录下他们25秒跳绳的个数，并对数据进行整理、描述和分析（跳绳个数用x表示，共分为三组：跳绳个数为不合格，跳绳个数为达标，跳绳个数为优秀），下面给出了部分信息：10个男生25秒跳绳的个数分别是：64，66，70，70，71，71，72，72，72，82；10个女生25秒跳绳的个数属于达标的数据是：71，72，72，72，75，77；根据以上信息，解答下列问题： 男生、女生25秒跳绳个数统计表， 类别 平均数 中位数 众数 方差 男生 71 71 a 22.2 女生 71 b 72 18.6 女生25秒跳绳个数扇形统计图    (1)上述图表中___________，___________，___________； (2)根据以上数据，你认为男生还是女生的训练效果更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)现从男生、女生不合格的4名学生中随机抽取2人进行训练方式调整调研，请用画树状图或列表的方法求出被选中的2人恰好是男、女生各1人的概率． 22．某校为举办周年校庆活动，特定制了系列文创产品，其中花费了13000元购进纪念画册和骨瓷杯若干，已知骨瓷杯总费用比纪念画册总费用的3倍还多1000元． (1)求纪念画册和骨瓷杯的总费用各是多少元？ (2)若每本纪念画册的进价比每个骨瓷杯的进价多，而骨瓷杯数量比纪念画册数量多400个．求每本纪念画册和每个骨瓷杯的进价各是多少元？ 23．如图，四边形是边长为6的菱形，，动点P，Q分别以每秒2个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线A→D→C→B方向运动，点Q沿折线A→B→C→D方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点P，Q两点间的距离为y．    (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出点P，Q相距3个单位长度时t的值．（结果保留一位小数） 24．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点A的坐标为．请解答下列问题：（保留作图痕迹） (1)画出关于原点对称的图形，并写出的坐标； (2)求出的面积； 25．如图，抛物线经过点，且交x轴于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，过点D作轴，垂足为M，点P在直线下方抛物线上运动，过点P作，，求的最大值，以及此时点P的坐标． (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得，请写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程． 26．在中，，，点D为线段上一点，连接． (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，将线段绕D逆时针旋转得到线段，连接，，点F是线段中点，连接与延长线交于点G．当时，求证：． (3)在（2）的条件下，将线段绕B顺时针旋转得到线段，连接，求． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$1 重庆市育才中学教育集团 2024—2025 学年九年级(上） 第一次月考数学试题（模拟） （全卷共四个答题，满分 150分，考试时间 120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括辅助线）请一律用黑色 2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题 10个小题，每小题 4分，共 40分）在每个小题的下面，都给出了 代号为 A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确 答案所对应的方框涂黑． 1．下面的图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．抛物线𝑦 = − 1 2 (𝑥 + 1)2 − 1的顶点坐标为（ ） A．(−1, −1) B．(1,1) C．(−1,1) D．(1, −1) 3．用配方法解方程𝑥2 − 2𝑥 − 5 = 0时，原方程应变形为（ ） A．(𝑥 + 1)2 = 6 B．(𝑥 − 1)2 = 6 C．(𝑥 + 2)2 = 9 D．(𝑥 − 2)2 = 9 4．如图，⊙ 𝑂是四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的外接圆，若∠𝐴𝐵𝐶 = 110°，则∠𝐴𝐷𝐶的度数是（ ） A．60° B．70° C．80° D．90° 5．在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误．．的是（ ） A．为了解 1000 只灯泡的使用寿命，从中抽取 50 只进行检测，此次抽样的样本容量是 50 B．了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查 C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性 D．甲、乙二人 10 次测试的平均分都是 96 分，且方差𝑆 甲 2 = 2.5，𝑆 乙 2 = 2.3，则发挥稳定的是甲 6．如图，在等边△ 𝐴𝐵𝐶 中，D 是边𝐴𝐶 上一点，连接𝐵𝐷．将△ 𝐵𝐶𝐷绕点 B逆时针旋转60°，得到△ 𝐵𝐴𝐸，连接𝐸𝐷．若𝐵𝐶 = 10，𝐵𝐷 = 9，则△ 𝐴𝐸𝐷的周长是（ ） A．17 B．18 C．19 D．以上都不对 7．如图，𝐴𝐵是⊙ 𝑂的直径，𝐴𝐸 ⊥ 𝐸𝑃，垂足为 E，直线𝐸𝑃与⊙ 𝑂相切于点 C，𝐴𝐸交⊙ 𝑂于点 D，直线 𝐸𝐶交𝐴𝐵的延长线于点 P，连接𝐴𝐶，若∠𝐴𝑃𝐶 = 36°，则∠𝐶𝐴𝐸的度数是（ ） A．27° B．18° C．30° D．36° 2 8．如图，二次函数𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0)的图象经过点(− 1 2 ，0)，对称轴为直线𝑥 = 1，下列结 论：①𝑎𝑏𝑐 < 0；②𝑎 − 2𝑏 + 4𝑐 = 0；③2𝑎 + 𝑏 > 0；④𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑚(𝑎𝑚 + 𝑏)（其中𝑚 ≠ 1）；⑤𝑏 − 𝑐 > 0；正确的结论有（ ） A．1 个 B．3 个 C．2 个 D．4 个 9．如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，E为𝐵𝐶上一点，过 B作𝐵𝐺 ⊥ 𝐴𝐸于点 G，延长𝐵𝐺至点 F，使得𝐴𝐺 = 𝐺𝐹， 连接𝐶𝐹，𝐴𝐹．若∠𝐷𝐴𝐹 = 𝛼，则∠𝐷𝐶𝐹一定等于（ ） A．𝛼 B．60° − 2𝛼 C．2𝛼 D．45° − 𝛼 10．有依次排列的两个整式𝐴 = 𝑥 − 1，𝐵 = 𝑥 + 1，用后一个整式 B与前一个整式 A作差后得到新的整 式记为𝐶1，用整式𝐶1与前一个整式 B求和操作得到新的整式𝐶2，用整式𝐶2与前一个整式𝐶1作差后得到 新的整式𝐶3，用整式𝐶3与前一个整式𝐶2求和操作得到新的整式𝐶4，……，依次进行作差、求和的交替 操作得到新的整式．下列说法：①整式𝐶3 = 𝑥 + 1；②整式𝐶5 = 𝑥 + 3；③整式𝐶2、整式𝐶5和整式𝐶8相 同；④ 𝐶2024 𝐶2023 = 𝐶2021 𝐶2023 + 2．正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题 8个小题，每小题 4分，共 32分）请将每小题的答案直接填在答题 卡中对应的横线上． 11．( 1 3 ) −1 + |3 − π| = ． 12．我国政府为解决老百姓看病难问题，决定下调药品价格．某种药品经过两次降价，由每盒 50 元调 至 32 元．则平均每次降价的百分率为 ． 13．一个不透明的袋中装有 2 个红球和 1 个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一 个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率 是 ． 14．如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷 = 2√3，把边𝐵𝐶绕点 B逆时针旋转30°得到线段𝐵𝑃，连接𝐴𝑃并延长 交𝐶𝐷于点 E，则线段𝑃𝐸的长为 ． 15．如图，在正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹中，𝐵𝐸和𝐶𝐹交于点 O，过点 O的直线𝑀𝑁交𝐸𝐹于点 N（N不与 E、F 重合），交𝐵𝐶于点 M．以点 O为圆心，𝑂𝐵为半径的圆交直线𝑀𝑁于点 H，G．若𝐴𝐵 = 1，则图中阴影 部分的面积为 ．（结果保留𝜋） 16．已知关于 x 的分式方程 𝑎𝑥+1 2−𝑥 + 1 = 3 𝑥−2 有整数解，且关于 y 的不等式组{ 4𝑦 ≥ 3(𝑦 − 2) 2𝑦 − 𝑦−1 2 < 𝑎 有解且至多 5 个整数解，则所有满足条件的整数 a 的值之和为 ． 3 17．如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是⊙ 𝑂的内接四边形，𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷于点 P，𝑂𝐸 ⊥ 𝐴𝐵于点 E．若𝑂𝐸 = 1.5，则 𝐶𝐷 = ． 18．若一个四位自然数M的各数位上的数字互不相同且均不为 0，且千位上的数字与百位上的数字之 和等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这样的四位数为“平衡数”．将 M的千位上的数字与十 位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为𝑀′，并规定𝑃(𝑀) = 𝑀+𝑀′ 10 ，若2𝑎𝑏3为“平衡数”且(2𝑎𝑏3) = 68，则𝑎 + 𝑏 = ，若 s和 t都是“平衡数”，其中𝑠 = 3000 + 100𝑚 + 20 + 𝑛，𝑡 = 100(10𝑥 + 𝑦) + 51（1 ≤ 𝑚 ≤ 9，1 ≤ 𝑛 ≤ 9，1 ≤ 𝑥 ≤ 9，1 ≤ 𝑦 ≤ 9，且 m，n， x，y均为整数），规定： 𝑘 = 𝑃(𝑠) 𝑃(𝑡) ，若 𝑃(𝑡)−𝑃(𝑠) 4 为整数，则 k的最大值是 ． 三、解答题：（本大题共 8小题，19题 8分，20－26题各 10分，共 78分）解答时每小 题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过 程书写在答题卡中对应的位置上． 19．计算： (1) 𝑚(3𝑛 − 𝑚) + (𝑚 + 2𝑛)(𝑚 − 2𝑛)； (2) 𝑥−2 𝑥2+4𝑥+4 ÷ (1 − 4 𝑥+2 )． 20．学习了等腰三角形后，小颖进行了拓展性研究．她过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段， 她发现，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．她的解决思路是通过计算面积得出结论．请根 据她的思路完成以下作图与填空： 用无刻度直尺和圆规，过点𝐶作𝐴𝐵的垂线𝐶𝐷，垂足为点𝐷，点𝑃在𝐵𝐶边上．（只保留作图痕迹，不写 作法） 已知：如图，在△ 𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，𝑃𝐸 ⊥ 𝐴𝐵于点𝐸，𝑃𝐹 ⊥ 𝐴𝐶于点𝐹． 求证：𝑃𝐸 + 𝑃𝐹 = 𝐶𝐷． 证明：如图，连接𝐴𝑃． ∵ 𝑃𝐸 ⊥ 𝐴𝐵，𝑃𝐹 ⊥ 𝐴𝐶，𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵， ∴ 𝑆△𝐴𝑃𝐵 = 1 2 𝐴𝐵 ⋅ 𝑃𝐸，𝑆△𝐴𝑃𝐶 = 1 2 𝐴𝐶 ⋅ 𝑃𝐹，𝑆△𝐴𝐵𝐶 = 1 2 𝐴𝐵 ⋅ 𝐶𝐷． ∵ 𝑆△𝐴𝑃𝐵 + 𝑆△𝐴𝑃𝐶 = 𝑆△𝐴𝐵𝐶， ∴①______= 1 2 𝐴𝐵 ⋅ 𝐶𝐷， 即𝐴𝐵 ⋅ 𝑃𝐸 + 𝐴𝐶 ⋅ 𝑃𝐹 = 𝐴𝐵 ⋅ 𝐶𝐷． ∵②______， ∴ 𝐴𝐵 ⋅ (𝑃𝐸 + 𝑃𝐹) = 𝐴𝐵 ⋅ 𝐶𝐷， ∴③______． 再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，请你依照题目中的相 关表述完成下面命题填空： 过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④______． 21．最近重庆市实验中学校在体育课上加强了 25 秒定时跳绳的训练，为了解班上同学们的训练情况， 体育教师分别随机调查了男生、女生各 10 名同学，记录下他们 25 秒跳绳的个数，并对数据进行整 理、描述和分析（跳绳个数用 x表示，共分为三组：跳绳个数60 ≤ 𝑥 < 70为不合格，跳绳个数70 ≤ 𝑥 < 80为达标，跳绳个数𝑥 ≥ 80为优秀），下面给出了部分信息：10 个男生 25 秒跳绳的个数分别 是：64，66，70，70，71，71，72，72，72，82；10 个女生 25 秒跳绳的个数属于达标的数据是： 71，72，72，72，75，77；根据以上信息，解答下列问题： 4 男生、女生 25 秒跳绳个数统计表， 类别 平均数 中位数 众数 方差 男生 71 71 a 22.2 女生 71 b 72 18.6 女生 25 秒跳绳个数扇形统计图 (1)上述图表中𝑎 =___________，𝑏 =___________，𝑚 =___________； (2)根据以上数据，你认为男生还是女生的训练效果更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)现从男生、女生不合格的 4 名学生中随机抽取 2 人进行训练方式调整调研，请用画树状图或列表的 方法求出被选中的 2 人恰好是男、女生各 1 人的概率． 22．某校为举办周年校庆活动，特定制了系列文创产品，其中花费了 13000 元购进纪念画册和骨瓷杯 若干，已知骨瓷杯总费用比纪念画册总费用的 3 倍还多 1000 元． (1)求纪念画册和骨瓷杯的总费用各是多少元？ (2)若每本纪念画册的进价比每个骨瓷杯的进价多50%，而骨瓷杯数量比纪念画册数量多 400 个．求每 本纪念画册和每个骨瓷杯的进价各是多少元？ 23．如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是边长为 6 的菱形，∠𝐴 = 60°，动点 P，Q分别以每秒 2 个单位长度的速度同 时从点 A出发，点 P沿折线 A→D→C→B方向运动，点 Q沿折线 A→B→C→D方向运动，当两点相遇 时停止运动．设运动时间为 t秒，点 P，Q两点间的距离为 y． (1)请直接写出 y关于 t的函数表达式并注明自变量 t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出点 P，Q相距 3 个单位长度时 t的值．（结果保留一位小数） 24．如图，在平面直角坐标系中，三角形𝐴𝐵𝐶的三个顶点都在格点上，点 A的坐标为(2,4)．请解答下 列问题：（保留作图痕迹） (1)画出△ 𝐴𝐵𝐶关于原点对称的图形△ 𝐴1𝐵1𝐶1，并写出𝐴1、𝐵1、𝐶1的坐标； (2)求出△ 𝐴𝐵𝐶的面积； 5 25．如图，抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2 + 5𝑎𝑥 + 𝑏经过点𝐷(−1, −5)，且交 x轴于𝐴(−6,0)，B两点（点 A在点 B的 左侧），交 y轴于点 C． (1)求抛物线的解析式． (2)如图 1，过点 D作𝐷𝑀 ⊥ 𝑥轴，垂足为M，点 P在直线𝐴𝐷下方抛物线上运动，过点 P作𝑃𝐸 ⊥ 𝐴𝐷， 𝑃𝐹 ⊥ 𝐷𝑀，求𝑃𝐹的最大值，以及此时点 P的坐标． (3)将原抛物线沿射线𝐶𝐴方向平移 √5 2 个单位长度，在平移后的抛物线上存在点 G，使得∠𝐶𝐴𝐺 = 45°，请 写出所有符合条件的点 G的横坐标，并写出其中一个的求解过程． 26．在△ 𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵 = 90°，𝐴𝐶 = 𝐵𝐶，点 D为线段𝐴𝐵上一点，连接𝐶𝐷． (1)如图 1，若𝐴𝐶 = √3 + 1，𝐴𝐷 = √2，求线段𝐵𝐷的长． (2)如图 2，将线段𝐶𝐷绕 D逆时针旋转90°得到线段𝐷𝐸，连接𝐶𝐸，𝐵𝐸，点 F是线段𝐷𝐸中点，连接𝐵𝐹与 𝐶𝐷延长线交于点 G．当∠𝐸𝐵𝐹 = 30°时，求证：2𝐵𝐹 = 2𝐵𝐶 − √2𝐴𝐷． (3)在（2）的条件下，将线段𝐵𝐸绕 B顺时针旋转60°得到线段𝐵𝑃，连接𝐶𝑃，求 𝐶𝑃 𝐴𝐷 ． 数学答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效注意事项 姓名： 班级： 准考 证号： 22． 23．（1） （2）函数的性质为：____________________________________________ _______________________________________________________________ （3） 20． ① ② ③ ④ 21． （1）___________，___________，___________； （2） （3） 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称。 2. 选择题部分必须使用2B铅笔填涂；综合题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 贴条形码区 6cm × 3cm （正面朝上，切勿贴出方框） 填 涂 样 例 正确填涂 错误填涂 缺考标记，考生禁填！由监考员填涂 。 1、 选择题 9 A B C D 8 7 4 3 2 5 1 A B C D 10 A B C D A B C D 6 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 二、填空题 11． 12． 13． 14． 15． 16． 17． 18． 三、解答题 19．计算： (1) ； (2)． 17．（6分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25． 24． 26． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $$20． ① ② ③ ④ 21． （1）𝑎 =___________，𝑏 =___________，𝑚 =___________； （2） （3） 贴 条 形 码 区 6cm × 3cm （正面朝上，切勿贴出方框） 22． 23．（1） （2）函数的性质为：____________________________________________ _______________________________________________________________ （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 二、填空题 11． 12． 13． 14． 15． 16． 17． 18． 三、解答题 19．计算： (1) 𝑚(3𝑛 −𝑚) + (𝑚 + 2𝑛)(𝑚 − 2𝑛)； (2) 𝑥−2 𝑥2+4𝑥+4 ÷ (1 − 4 𝑥+2 )． 1 5 2 3 4 6 7 一、选择题 8 姓名： 班级： 准考 证号： A B C D 缺考标记，考生禁填！由监考员填涂 。 正确填涂 错误填涂 数学答题卡 注意事项 填 涂 样 例 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填 写清楚，并认真核对条形码上的姓名、 准考证号、座位号及科类名称。 2. 选择题部分必须使用 2B 铅笔填涂；综 合题部分必须使用 0.5毫米的黑色签字 笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 9 A B C D 10 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 25． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24． 26． 重庆市育才中学教育集团2024—2025学年九年级(上） 第一次月考数学试题（模拟） （全卷共四个答题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．下面的图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2．抛物线的顶点坐标为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据的顶点式即可得到答案，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：A 3．用配方法解方程时，原方程应变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论． 【详解】解：∵四边形内接于，， ， 故选：B 5．在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（　　） A．为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50 B．了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查 C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性 D．甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是甲 【答案】D 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查、判断事件发生的可能性、根据方差判断稳定性，根据全面调查与抽样调查的定义、方差的意义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50，说法正确，本选项不符合题意； B、了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查，说法正确，本选项不符合题意； C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性，说法正确，本选项不符合题意； D、甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是乙，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 6．如图，在等边 中，D 是边 上一点，连接．将绕点B逆时针旋转，得到，连接．若，，则的周长是（     ） A．17 B．18 C．19 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．由旋转的性质可得，，，可得是等边三角形，即可求，根据的周长，可求的周长． 【详解】解：将绕点逆时针旋转，得到 ，， ∴是等边三角形 ∵是等边三角形 ∴的周长 ∴的周长 故选：C． 7．如图，是的直径，，垂足为E，直线与相切于点C，交于点D，直线交的延长线于点P，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由切线的性质，可以证明，由平行线的性质、等腰三角形的性质，得到，由，求出的度数，即可得除答案． 【详解】解：连接， ∵与相切于点C， ∴半径， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质，关键是由条件证明． 8．如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤；正确的结论有（        ） A．1个 B．3个 C．2个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据二次函数的图象与系数的关系可判断①错误；由点可判断②正确；由对称轴为直线可判断③错误；由时，函数取得最小值，可判断④正确；由②③可求得和的值可判断⑤错误；据此即可求出答案． 【详解】解：①二次函数的图象开口向上，，函数的对称轴在轴右侧，则，而，故，故①错误，不符合题意； ②将点代入函数表达式得：，故②正确，符合题意； ③函数的对称轴为直线，即，故，故③错误，不符合题意； ④当时，函数取得最小值，又，则，即，故④错误，不符合题意； ⑤由②③得：，，则，故，故⑤错误，不符合题意； 综上，②正确． 故选：A． 9．如图，正方形中，E为上一点，过B作于点G，延长至点F，使得，连接．若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明全等三角形是解题的关键；过C作于H，证明，得，从而得，得，则可求得． 【详解】解：如图，过C作于H，则； 在正方形中，； ， ； ； ， ； 在与中， ， ， ； ， ， 即， ； ， ， ， ． 故选：A． 10．有依次排列的两个整式，，用后一个整式B与前一个整式A作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式B求和操作得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式求和操作得到新的整式，……，依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式．下列说法：①整式；②整式；③整式、整式和整式相同；④．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据依次进行作差、求和的交替操作可直接判断①②③，根据进而得出，即可判断④． 【详解】解：由题意依次计算可得： ， ， ，故①正确； ， ，故②正确； ， ， ，故③错误； ， 由上述得，, ∴， ∴， ∴，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查整式的加减，正确理解题意和熟练进行整式的运算是关键． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11． ． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，根据负整数指数幂和实数绝对值化简后1即可． 【详解】， 故答案为：． 12．我国政府为解决老百姓看病难问题，决定下调药品价格．某种药品经过两次降价，由每盒50元调至32元．则平均每次降价的百分率为 ． 【答案】 【分析】设这种药品平均每次降价的百分率为x，根据“药品经过两次降价，由每盒50元调至32元”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这种药品平均每次降价的百分率为x，根据题意得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 13．一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查画树状图或列表法求概率，解题的关键是画出所有的情况，再用概率公式进行求解． 根据题意画出树状图，再利用概率公式进行求解． 【详解】解：画树状图为 由此可得，一共有9种等可能的情况，两次摸出的球都是“红球”的有4种， ∴两次摸出的球都是“红球”的概率为． 故答案为： 14．如图，在正方形中，，把边绕点B逆时针旋转得到线段，连接并延长交于点E，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】根据旋转的思想得，，推出是等边三角形，得到，，解直角三角形得到，，即可作答． 【详解】解：四边形是正方形， ， 把边绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ∴是等边三角形， ，， ， ，， ，， 故答案为：． 15．如图，在正六边形中，和交于点O，过点O的直线交于点N（N不与E、F重合），交于点M．以点O为圆心，为半径的圆交直线于点H，G．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】连接，过点作于点，根据正多边形的性质，得出是等边三角形，进而得到，，，求出，，再证明，，从而得出，结合扇形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 正六边形的中心为， ，， 是等边三角形， ， ， ，， 在中，，， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积公式，全等三角形的判定和性质，得出是解题关键． 16．已知关于x 的分式方程有整数解，且关于y 的不等式组有解且至多5个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为 ． 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x为整数确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等式组有解且至多5个整数解，确定出a的取值，即可求解， 本题考查了，分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：分式方程得：， ∵分式方程有整数解， ∴或或或，且，即， 解得：或2或或3或4或或7， 不等式组整理得：，即， 由不等式组有解且至多5个整数解，得到，解得：， ∴则符合条件的所有整数a的为和，和为， 故答案为：． 17．如图，四边形是的内接四边形，于点P，于点E．若，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，以及三角形中位线的判定以及性质，连接并延长交⊙O于点G，连接．由直径所对的圆周角等于可得出，由垂径定理得出是的中位线，由中位线定理可得出，再证明，进一步得出，等量代换可得出，进一步即可得出答案． 【详解】如图，连接并延长交⊙O于点G，连接． ∵过点O为的直径， ∴． ∵于点E， ∴E为的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 18．若一个四位自然数M的各数位上的数字互不相同且均不为0，且千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这样的四位数为“平衡数”．将M的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，并规定，若为“平衡数”且，则 ，若s和t都是“平衡数”，其中，（且m，n，x，y均为整数），规定： ，若为整数，则k的最大值是 ． 【答案】 9 【分析】根据“平衡数”的定义，列式得到可求出a、b的值；再根据“平衡数”定义， 确定和的值，再由为整数分情况讨论求值即可． 本题主要考查了新定义，列代数式，整式的加减运算，理解新定义的运算：“平衡数”定义是解题的关键． 【详解】解： ． 则 ∵a、b为自然数， 则 ， ， ∴， x、y不可以是1和5， m和n不可以是2和3， 为整数， 当时，最大是17， (舍去)， m，n无解， 当时，最大值是17， (舍去)， (舍去)， ∴k的最大值是 故答案为：，． 三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20－26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．计算： (1) ； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查整式的运算，分式的化简，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式，单项式乘以多项式展开，再根据整式的加减运算即可求解； （2）运用分式混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．学习了等腰三角形后，小颖进行了拓展性研究．她过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，她发现，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．她的解决思路是通过计算面积得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用无刻度直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点，点在边上．（只保留作图痕迹，不写作法） 已知：如图，在中，，于点，于点． 求证：．    证明：如图，连接． ，，， ，，． ， ①______， 即． ②______， ， ③______． 再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，请你依照题目中的相关表述完成下面命题填空： 过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④______． 【答案】，①；②；③；④这两条垂线段长度的和等于一腰上的高 【分析】本题主要考查了做已知线段的垂线，以及利用等面积法证明过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段这两条垂线段长度的和等于一腰上的高．根据作垂线的方法先做出的垂线，再按照所给的证明方法一步步证明即可． 【详解】作图如下：    证明：如图，连接． ，，， ，，． ， ①， 即． ②， ， ③． 再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④这两条垂线段长度的和等于一腰上的高． 故答案为：①；②；③；④这两条垂线段长度的和等于一腰上的高． 21．最近重庆市实验中学校在体育课上加强了25秒定时跳绳的训练，为了解班上同学们的训练情况，体育教师分别随机调查了男生、女生各10名同学，记录下他们25秒跳绳的个数，并对数据进行整理、描述和分析（跳绳个数用x表示，共分为三组：跳绳个数为不合格，跳绳个数为达标，跳绳个数为优秀），下面给出了部分信息：10个男生25秒跳绳的个数分别是：64，66，70，70，71，71，72，72，72，82；10个女生25秒跳绳的个数属于达标的数据是：71，72，72，72，75，77；根据以上信息，解答下列问题： 男生、女生25秒跳绳个数统计表， 类别 平均数 中位数 众数 方差 男生 71 71 a 22.2 女生 71 b 72 18.6 女生25秒跳绳个数扇形统计图    (1)上述图表中___________，___________，___________； (2)根据以上数据，你认为男生还是女生的训练效果更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)现从男生、女生不合格的4名学生中随机抽取2人进行训练方式调整调研，请用画树状图或列表的方法求出被选中的2人恰好是男、女生各Ⅰ人的概率． 【答案】(1)，， (2)我认为女生训练情况效果更好，理由见解析 (3)，图见解析 【分析】(1)根据众数的定义（众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据）和中位数的定义（将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）即可得，利用山顶统计图的意义，得到，确定m值即可． (2)根据统计特征量比较，说明即可． (3)画树状图计算即可．本题考查了扇形统计图，中位数，众数的计算，画树状图计算概率，熟练掌握相应知识是解题的关键． 【详解】（1）∵10个男生25秒跳绳的个数分别是：64，66，70，70，71，71，72，72，72，82中，72出现次数最多， ∴众数是， 故答案为：72； ∵10个女生25秒跳绳的个数属于达标的数据是：71，72，72，72，75，77， 不合格人数为(人), 故中位数为， 故答案为：72； 女生达标率为， ∵ ∴． 故答案为：20． （2）我认为女生训练情况效果更好，理由是：女生的中位数大些，方差小． （3）记男生不合格的学生分别为，，女生不合格的学生分别为，．则有    由图可知从四名同学中选出两名同学共有12种可能情况，其中“一男一女”共有8种 ∴被选中的2人恰好是男、女生各1人的概率为 答：被选中的2人恰好是男、女生各1人的概率为． 22．某校为举办周年校庆活动，特定制了系列文创产品，其中花费了13000元购进纪念画册和骨瓷杯若干，已知骨瓷杯总费用比纪念画册总费用的3倍还多1000元． (1)求纪念画册和骨瓷杯的总费用各是多少元？ (2)若每本纪念画册的进价比每个骨瓷杯的进价多，而骨瓷杯数量比纪念画册数量多400个．求每本纪念画册和每个骨瓷杯的进价各是多少元？ 【答案】(1)纪念画册的总费用为3000元，骨瓷杯的费用为10000元 (2)每本纪念画册的进价为30元，每个骨瓷杯的进价为20元 【分析】本题考查了一元一次方程和分式方程的实际应用． （1）设纪念画册的总费用为元，则骨瓷杯的费用为（）元，根据花费了13000元购进纪念画册和骨瓷杯，列出方程求解即可； （2）设每个骨瓷杯的进价为元，则每本纪念画册的进价为元，根据骨瓷杯数量比纪念画册数量多400个列出分式方程求解，检验即可． 【详解】（1）解：设纪念画册的总费用为元，则骨瓷杯的费用为（）元， 由题意： 解得： 元 答：纪念画册的总费用为3000元，骨瓷杯的费用为10000元． （2）解：设每个骨瓷杯的进价为元，则每本纪念画册的进价为元， 由题意：，解得 经检验，为所列方程的根且符合题意． 元 答：每本纪念画册的进价为30元，每个骨瓷杯的进价为20元． 23．如图，四边形是边长为6的菱形，，动点P，Q分别以每秒2个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线A→D→C→B方向运动，点Q沿折线A→B→C→D方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点P，Q两点间的距离为y．    (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出点P，Q相距3个单位长度时t的值．（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2)图象见解析，当时，y随着x的增大而增大，当时，，y随着x的增大而减小； (3)1.5或3.5 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，求出点运动时间为6秒，分和两种情况，根据等边三角形的判定和性质解答即可； （2）根据函数的解析式即可画出函数图象，根据增减性即可得到函数的性质； （3）结合图象或当时，代入关系式求解即可． 【详解】（1）∵四边形是菱形， ∴，， 根据题意可得：运动的总时间为秒，、 则当时，有， ∴是等边三角形， ∴， 当时，如图，有， ∴是等边三角形， ∴， ∴；    （2）函数图象如图所示：    根据图象可得：当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； （3）当时，或， 解得：或； 所以P，Q相距3个单位长度时t的值为1.5或4.5． 【点睛】本题考查了菱形的性质、一次函数的图象与性质以及等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点A的坐标为．请解答下列问题：（保留作图痕迹） (1)画出关于原点对称的图形，并写出的坐标； (2)求出的面积； 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和中心对称，坐标与图形： （1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，再描出，并顺次连接即可； （2）利用所在的长方形面积减去周围三个三角形面积即可得到答案； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ∴； （2）解：； 25．如图，抛物线经过点，且交x轴于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，过点D作轴，垂足为M，点P在直线下方抛物线上运动，过点P作，，求的最大值，以及此时点P的坐标． (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得，请写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程． 【答案】(1) (2∴=， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线解析式为，证明，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，则PH，设，则，求出，利用二次函数的性质即可求出答案； （3）求出，得到，进而推出将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于把原抛物线向上平移个单位长度，再向左平移1个单位长度，则平移后的抛物线解析式为；如图所示，取点，连接，证明是等腰直角三角形，且，得到，则与抛物线 的交点即为点G，同理可得直线的解析式为，联立得，解得或（舍去），则点G的坐标为；同理当取点时，可证明是等腰直角三角形，且，则，同理可求出点G的坐标为． 【详解】（1）解：把，代入中得： ， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线解析式为，设交于H， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴PH， 设，则， ∴，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴PH= ∴ （3）解：∵抛物线交y轴于点C． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于把原抛物线向上平移个单位长度，再向左平移1个单位长度， ∵原抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线解析式为； 如图所示，取点，连接， ∵，， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴与抛物线 的交点即为点G， 同理可得直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， ∴点G的坐标为； 同理当取点时，可证明是等腰直角三角形，且， ∴， ∴与抛物线 的交点即为点G的位置， 同理可得直线的解析式为， 连接得， 解得或（舍去）， ∴点G的坐标为； 综上所述，点G的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理得逆定理等等，通过构造等腰直角三角形得到45度的角是解题的关键． 26．在中，，，点D为线段上一点，连接． (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，将线段绕D逆时针旋转得到线段，连接，，点F是线段中点，连接与延长线交于点G．当时，求证：． (3)在（2）的条件下，将线段绕B顺时针旋转得到线段，连接，求． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股定理求出，即可求出； （2）先构造手拉手模型证明，进而得到，再过作于，交直线于，于，即可得到矩形，得到，再由平行可得，得到，得到，最后由得到； （3）过作于，设，，，分别在和四边形中根据勾股定理列出关于的方程，找到它们的关系，最后计算出和计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴, ∵， ∴； （2）过作交延长线于，作于，交直线于，于， ∵，， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵将线段绕D逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵点F是线段中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过作于，设，，，由（2）可得，，，，， 在中，，，， ∴，， ∴ ∴， 在四边形中，， ∴， 整理得 ∴ ∴，， 在中， ∴ ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，30度直角三角形的性质，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线是解答的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$1 重庆市育才中学教育集团 2024—2025 学年九年级(上） 第一次月考数学试题（模拟） （全卷共四个答题，满分 150分，考试时间 120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括辅助线）请一律用黑色 2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题 10个小题，每小题 4分，共 40分）在每个小题的下面，都给出了 代号为 A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确 答案所对应的方框涂黑． 1．下面的图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分 折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2．抛物线 ( ) 21 1 1 2 y x= − + − 的顶点坐标为（ ） A． ( )1, 1− − B． ( )1,1 C． ( )1,1− D． 1, 1 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据 ( ) 2 y a x h k= − + 的顶点式 ( ),h k 即可得到答案，熟练掌握 二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：抛物线 ( ) 21 1 1 2 y x= − + − 的顶点坐标为 ( )1, 1− − ， 故选：A 3．用配方法解方程 2 2 5 0x x− − = 时，原方程应变形为（ ） A． ( ) 2 1 6x+ = B． ( ) 2 1 6x− = C． ( ) 2 2 9x+ = D． ( ) 2 2 9x− = 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的 代数式写成完全平方形式即可． 【详解】解：∵ 2 2 5 0x x− − = ， ∴ 2 2 1 5 1x x− + = + ， ∴ ( ) 2 1 6x− = ， 故选：B． 4．如图， O 是四边形 ABCD的外接圆，若 110ABC = ，则 ADC 的度数是（ ） A．60 B．70 C．80 D．90 2 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论． 【详解】解：∵四边形 ABCD内接于 O ， 110ABC = ， 180 180 110 70ADC ABC = − = −  = ， 故选：B 5．在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误．．的是（ ） A．为了解 1000 只灯泡的使用寿命，从中抽取 50 只进行检测，此次抽样的样本容量是 50 B．了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查 C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性 D．甲、乙二人 10 次测试的平均分都是 96 分，且方差 2 2.5S =甲 ， 2 2.3S =乙 ，则发挥稳定的是甲 【答案】D 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查、判断事件发生的可能性、根据方差判断稳定性，根据全面 调查与抽样调查的定义、方差的意义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、为了解 1000 只灯泡的使用寿命，从中抽取 50 只进行检测，此次抽样的样本容量是 50，说法正确，本选项不符合题意； B、了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查，说法正确，本选项不符合题意； C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性，说法正确，本选项不符合 题意； D、甲、乙二人 10 次测试的平均分都是 96 分，且方差 2 2.5S =甲 ， 2 2.3S =乙 ，则发挥稳定的是乙，故原 说法错误，符合题意； 故选：D． 6．如图，在等边 ABC 中，D 是边 AC 上一点，连接BD．将 BCD△ 绕点 B逆时针旋转60，得到 BAE ，连接ED．若 10BC = ， 9BD = ，则 AED△ 的周长是（ ） A．17 B．18 C．19 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的 关键．由旋转的性质可得BD BE= ，CD AE= ， 60DBE = ，可得 BDE 是等边三角形，即可求 9DE BD BE= = = ，根据 AED△ 的周长 AE AD DE AE CD DE AC BD= + + = + + = + ，可求 AED△ 的周 长． 【详解】解： 将 BCD△ 绕点B逆时针旋转60，得到 BAE BD BE = ，CD AE= ， 60DBE =  ∴ BDE 是等边三角形 9DE BD BE = = = ∵ ABC 是等边三角形 10BC AC = = ∴ AED△ 的周长 AE AD DE AD CD DE AC BD= + + = + + = + ∴ AED△ 的周长 19= 故选：C． 7．如图， AB 是 O 的直径， AE EP⊥ ，垂足为 E，直线EP与 O 相切于点 C， AE 交 O 于点 D， 直线 EC 交 AB 的延长线于点 P，连接 AC ，若 36APC = ，则 CAE 的度数是（ ） 3 A．27 B．18 C．30 D．36 【答案】A 【分析】连接OC ，由切线的性质，可以证明OC AE∥ ，由平行线的性质、等腰三角形的性质，得到 1 2 EAC CAO PAE =  = ，由 36APC = ，求出 PAE 的度数，即可得除答案． 【详解】解：连接OC ， ∵ EP与 O相切于点 C， ∴半径 ⊥OC PE， ∵ AE PE⊥ ， ∴OC AE∥ ， ∴ EAC ACO = ， ∵OA OC= ， ∴ CAO ACO = ， ∴ 1 2 EAC CAO PAE =  = ， ∵ 90 90 36 54PAE P = − = −  = ， ∴ 1 54 27 2 EAC =   = ， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质，关键是由条件证明 1 2 EAC PAE =  ． 8．如图，二次函数 ( )2 0y ax bx c a= + +  的图象经过点 1 0 2   −    ， ，对称轴为直线 1x = ，下列结论：① 0abc  ；② 2 4 0a b c− + = ；③2 0a b+  ；④ ( )a b m am b+  + （其中 1m ）；⑤ 0b c−  ；正确的结 论有（ ） A．1 个 B．3 个 C．2 个 D．4 个 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据二次函数的图象与系数的关系可判断①错误；由点 1 0 2   −    ， 可判断②正确；由对称轴为直线 1 2 b x a = − = 可判断③错误；由 1x = 时，函数取得最小值，可 判断④正确；由②③可求得b 和 c 的值可判断⑤错误；据此即可求出答案． 【详解】解：①二次函数的图象开口向上， 0a  ，函数的对称轴在 y 轴右侧，则 0ab  ，而 0c  ，故 0abc  ，故①错误，不符合题意； ②将点 1 0 2   −    ， 代入函数表达式得： 2 4 0a b c− + = ，故②正确，符合题意； ③函数的对称轴为直线 1 2 b x a = − = ，即 2b a= − ，故2 0a b+ = ，故③错误，不符合题意； ④当 1x = 时，函数取得最小值，又 1m ，则 ( )+ +  + +a b c m am b c，即 ( )a b m am b+  + ，故④ 错误，不符合题意； ⑤由②③得： 2 4 0a b c− + = ， 2b a= − ，则 5 4 a c = − ，故 3 0 4 a b c− = −  ，故⑤错误，不符合题意； 综上，②正确． 故选：A． 9．如图，正方形 ABCD中，E为BC上一点，过 B作BG AE⊥ 于点 G，延长BG 至点 F，使得 AG GF= ，连接CF AF， ．若 DAF  = ，则 DCF 一定等于（ ） 4 A． B．60 2− C．2 D．45 − 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明全等三角形 是解题的关键；过 C作CH BF⊥ 于 H，证明 ABG BCH≌△ △ ，得 AG BH BG CH= =， ，从而得 CH FH= ，得 45HFC = ，则可求得 DCF ． 【详解】解：如图，过 C作CH BF⊥ 于 H，则 90CHB CHF = = ； 在正方形 ABCD中， 90AB BC DAB ABE BCD=  = = = ， ； BF AE AG GF⊥ =， ， 45GAF = ； 45BAG DAB DAF GAF  = − − = − ； 90 90BAG ABG ABG CAH + =   + = ， ， 45CAH BAG  = = − ； 在 ABG与 BCH 中， 90 BAG CBH AGB BHC AB BC  =    =  =   = ， (AAS)ABG BCH ≌ ， AG BH BG CH = =， ； AG GF= ， BH GF = ， 即BG GH GH HF+ = + ， CH FH = ； CH BF⊥ ， 45HFC = ∴ ， 180 90BCF CBH HFC  = − − = + ， DCF BCF BCD  = − = ． 故选：A． 10．有依次排列的两个整式 1A x= − ， 1B x= + ，用后一个整式 B与前一个整式 A作差后得到新的整式 记为 1C ，用整式 1C 与前一个整式 B求和操作得到新的整式 2C ，用整式 2C 与前一个整式 1C 作差后得到 新的整式 3C ，用整式 3C 与前一个整式 2C 求和操作得到新的整式 4C ，……，依次进行作差、求和的交替 操作得到新的整式．下列说法：①整式 3 1C x= + ；②整式 5 3C x= + ；③整式 2C 、整式 5C 和整式 8C 相 同；④ 2024 2021 2023 2023 2 C C C C = + ．正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据依次进行作差、求和的交替操作可直接判断①②③，根据 2 5 4 7 6 9 2020 2023 2024 2023 2022, , , , ,C C C C C C C C C C C= = = = = + 进而得出 2021 2021 2023 2023 2023 2 2 C C C C C + + = ， 2021 2023 2022 20232C C C C+ = + 即可判断④． 【详解】解：由题意依次计算可得： ( ) ( )1 1 1 2C B A x x= − = + − − = ， ( )2 1 2 1 3C C B x x= + = + + = + ， 3 2 1 1C C C x= − = + ，故①正确； 4 3 2 2 4C C C x= + = + ， 5 5 4 3 3C C C x= − = + ，故②正确； 56 4 3 7C CC x+ == + ， 67 5 2 4C CC x− == + ， 68 7 5 11CC xC + == + ，故③错误； ， 由上述得， 2 5 4 7 6 9 2020 2023 2024 2023 2022, , , , ,C C C C C C C C C C C= = = = = + , ∴ 2021 2021 2023 2023 2023 2 2 C C C C C + + = ， ∴ 2021 2023 2021 2020 2021 2020 2020 2022 2020 2022 20232 2C C C C C C C C C C C+ = + = + + = + = + ， ∴ 2024 2021 2023 2023 2 C C C C = + ，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查整式的加减，正确理解题意和熟练进行整式的运算是关键． 二、填空题（本大题 8个小题，每小题 4分，共 32分）请将每小题的答案直接填在答题 卡中对应的横线上． 11． 1 1 3 π 3 −   + − =    ． 【答案】 π 【分析】本题考查实数的混合运算，根据负整数指数幂和实数绝对值化简后 1 即可． 【详解】 1 1 3 π 3 π 3 π 3 −   + − = + − =    ， 故答案为： π． 12．我国政府为解决老百姓看病难问题，决定下调药品价格．某种药品经过两次降价，由每盒 50 元调 至 32 元．则平均每次降价的百分率为 ． 【答案】20% 【分析】设这种药品平均每次降价的百分率为 x，根据“药品经过两次降价，由每盒 50 元调至 32 元”， 列出方程，即可求解． 【详解】解：设这种药品平均每次降价的百分率为 x，根据题意得： ( ) 2 50 1 32x− = ， 解得： 1 0.2 20%= =x ， 2 =1.8x （不合题意，舍去）， 故答案为：20%． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 13．一个不透明的袋中装有 2 个红球和 1 个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一 个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率 是 ． 【答案】 4 9 【分析】此题主要考查画树状图或列表法求概率，解题的关键是画出所有的情况，再用概率公式进行 求解． 根据题意画出树状图，再利用概率公式进行求解． 【详解】解：画树状图为 由此可得，一共有 9 种等可能的情况，两次摸出的球都是“红球”的有 4 种， ∴两次摸出的球都是“红球”的概率为 4 9 ． 故答案为： 4 9 14．如图，在正方形 ABCD中， 2 3AD = ，把边BC绕点 B逆时针旋转30°得到线段BP，连接 AP 并延 长交CD于点 E，则线段PE的长为 ． 6 【答案】4 2 3− 【分析】根据旋转的思想得PB BC AB= = ， 30PBC = ，推出 ABP是等边三角形，得到 60BAP = ， 2 3AP AB= = ，解直角三角形得到 2 3 2CE = − ， 4 2 3= −PE ，即可作答． 【详解】解： 四边形 ABCD是正方形， 90ABC = ， 把边BC绕点 B逆时针旋转30得到线段BP， PB BC AB = = ， 30PBC = ， 60ABP = ， ∴ ABP是等边三角形， 60BAP = ， 2 3AP AB= = ， 2 3AD = ， 4AE = ， 2DE = ， 2 3 2CE = − ， 4 2 3= −PE ， 故答案为：4 2 3− ． 15．如图，在正六边形 ABCDEF 中， BE 和CF 交于点 O，过点 O的直线MN 交 EF 于点 N（N不与 E、F重合），交BC于点 M．以点 O为圆心，OB为半径的圆交直线MN 于点 H，G．若 1AB = ，则图 中阴影部分的面积为 ．（结果保留 ） 【答案】 1 3 3 2  − 【分析】连接OA，过点O作OK AF⊥ 于点K ，根据正多边形的性质，得出 AOB BOC AOF、 、 是等边 三角形，进而得到 1AF OA OB AB= = = = ， AK FK= ， 30AOK = ，求出 1 2 AK = ， 3 2 OK = ，再证明 COG FOH S S= 扇形 扇形 ， COM FONS S= ，从而得出 ( )2 AOFAOFS S S=  −阴影 扇形 ，结合扇形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接OA，过点O作OK AF⊥ 于点K ， 正六边形 ABCDEF 的中心为O， OA OF OB OC = = = ， 360 60 6 AOB BOC AOF   =  =  = = ， AOB BOC AOF 、 、 是等边三角形， 1AF OA OB AB = = = = ， OK AF⊥ ， AK FK = ， 1 30 2 AOK AOF =  = ， 在Rt AOK 中， 1 1 2 2 AK OA= = ， 2 2 3 2 OK OA AK= − = ， COG FOH = ， COG FOH S S = 扇形 扇形 ， OC OF= ， COG FOH = ， 60OCB OFE = = ， ( )ASACOM FON ≌ ， COM FONS S = ， ( ) ( )AOF BOCAOF BOCS S S S S = − + −阴影 扇形 扇形 ( )2 AOFAOFS S=  −扇形 260 1 1 3 2 1 360 2 2   =  −       1 3 3 2 = − ， 故答案为： 1 3 3 2  − ． 7 【点睛】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积公式，全等三角 形的判定和性质，得出 ( )2 AOFAOFS S S=  −阴影 扇形 是解题关键． 16．已知关于 x 的分式方程 1 3 1 2 2 + + = − − ax x x 有整数解，且关于 y 的不等式组 ( )4 3 2 1 2 2 y y y y a   −   − −   有解且至多 5 个整数解，则所有满足条件的整数 a 的值之和为 ． 【答案】 6− 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出 x，由 x为整数确定出 a的值，表示出不等式组的解 集，由不等式组有解且至多 5 个整数解，确定出 a的取值，即可求解， 本题考查了，分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：分式方程 1 3 1 2 2 + + = − − ax x x 得： 6 1 x a = − ， ∵分式方程有整数解， ∴1 1a− =  或 2 或 3 或 6 ，且 6 2 1 x a =  − ，即 2a  − ， 解得： 0a = 或 2 或 1− 或 3 或 4 或 5− 或 7， 不等式组整理得： 6 2 1 3 y a y  −  −   ，即 2a 1 6 y 3 − −   ， 由不等式组有解且至多 5 个整数解，得到 2 1 6 1 3 a − −   − ，解得： 17 1 2 a ， ∴则符合条件的所有整数 a的为 1− 和 5− ，和为 ( )1 5 6− + − = − ， 故答案为： 6− ． 17．如图，四边形 ABCD是 O 的内接四边形， AC BD⊥ 于点 P，OE AB⊥ 于点 E．若 1.5OE = ，则 CD = ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，以及三角形中位线的判定以及性质，连接 AO并延 长交⊙O于点 G，连接GB．由直径所对的圆周角等于90可得出 90ABG = ，由垂径定理得出OE是 ABG的中位线，由中位线定理可得出 1 2 OE BG= ，再证明 DAP BAG = ，进一步得出CD BG= ，等 量代换可得出 1 1.5 2 OE CD= = ，进一步即可得出答案． 【详解】如图，连接 AO并延长交⊙O于点 G，连接GB． ∵ AG过点 O为 O 的直径， ∴ 90ABG = ． ∵OE AB⊥ 于点 E， ∴E为 AB 的中点， ∴OE是 ABG的中位线， ∴ 1 2 OE BG= ． ∵ AC BD⊥ ， ∴ 90APD = ， 8 ∴ 90DAP ADP + = ． ∵ 90BAG G + = ， ADP G = ， ∴ DAP BAG = ， ∴CD BG= ， ∴ 2 3CD OE= = ． 故答案为：3． 18．若一个四位自然数M的各数位上的数字互不相同且均不为 0，且千位上的数字与百位上的数字之 和等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这样的四位数为“平衡数”．将 M的千位上的数字与十 位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为M ，并规定 ( ) 10 P M M M = + ，若2 3ab 为“平衡数”且 ( )2 683ab = ，则a b+ = ，若 s和 t都是“平衡数”，其中 3000 100 20s m n= + + + ， ( )100 10 51t x y= + + （1 9 1 9 1 9 1 9m n x y       ， ， ， ，且 m，n，x，y均为 整数），规定： ( ) ( ) k P s P t = ，若 ( ) ( ) 4 P t P s− 为整数，则 k的最大值是 ． 【答案】 9 67 75 【分析】根据“平衡数”的定义，列式得到10 45,b a+ = 可求出 a、b的值；再根据“平衡数”定义， 确定 ( )P s 和 ( )P t 的值，再由 ( ) ( ) 4 P t P s− 为整数分情况讨论求值即可． 本题主要考查了新定义，列代数式，整式的加减运算，理解新定义的运算：“平衡数”定义是解题的关 键． 【详解】解： 2 3 2000 100 10 3,M ab a b= = + + + ． 32 1000 300 20 ,M b a b a = = + + + 则 2000 100 10 3 1000 300 20 101 101 M M a b b a+ + + + + + =  + + 2323 1010 101 23 10 68 101 b a b a + + = = + + = 10 45,b a + = ∵a、b为自然数， 4, 5b a = = 4 5 9,a b + = + = 3000 100 20 ,s m n = + + + ( )100 10 51 1000 100 51t x y x y= + + = + + 则 2000 100 30 ,s n m= + + + 5000 100 10 ,t x y= + + + ( ) 3000 100 20 2000 100 30 101 101 s s m n n m P s + + + + + + + + = = 5050 101 101 50 101 m n m n + + = = + + ， ( ) 1000 100 51 5000 100 10 101 101 t t x y x y P t ++ + + + + + = = 5151 1010 101 51 10 101 x y x y + + = = + + ， ∴ 6x y+ = ， x、y不可以是 1 和 5， m和 n不可以是 2 和 3， 1,n m− = ( ) ( ) 1 10 4 4 P t P s x y m n− + + − − = 为整数， 当 2, 4x y= = 时，m n+ 最大是 17， 67 25 8 17, 8, 9, , 75 m n k− = = = = 63 25 12 13, 6, 7, , 75 m n k− = = = = 59 25 16 9, 4, 5, , 75 m n k− = = = = 25 20 5, 2, 3m n− = = = (舍去)， 25 24 1,− = m，n无解， 当 4, 2x y= = 时，m n+ 最大值是 17， 65 43 28 15, 7, 8, , 93 m n k− = = = = 61 43 32 11, 5, 6, , 93 m n k− = = = = 43 36 7, 3, 4m n− = = = (舍去)， 9 43 40 3, 1, 2m n− = = = (舍去)， ∴k的最大值是 67 , 75 故答案为：9， 67 75 ． 三、解答题：（本大题共 8小题，19题 8分，20－26题各 10分，共 78分）解答时每小 题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过 程书写在答题卡中对应的位置上． 19．计算： (1) ( ) ( )( )3 2 2m n m m n m n− + + − ； (2) 2 2 4 1 4 4 2 x x x x −    −  + + +  ． 【答案】(1) 23 4mn n− ； (2) 1 2x + 【分析】本题主要考查整式的运算，分式的化简，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式，单项式乘以多项式展开，再根据整式的加减运算即可求解； （2）运用分式混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解：原式 2 2 23 4mn m m n= − + − 23 4mn n= − ； （2）解：原式 ( ) 2 2 2 4 22 x x xx − + − =  ++ ( ) 2 2 2 22 x x xx − + =  −+ 1 2x = + ． 20．学习了等腰三角形后，小颖进行了拓展性研究．她过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段， 她发现，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．她的解决思路是通过计算面积得出结论．请根 据她的思路完成以下作图与填空： 用无刻度直尺和圆规，过点C 作 AB 的垂线CD，垂足为点D ，点 P 在BC边上．（只保留作图痕迹， 不写作法） 已知：如图，在 ABC 中， AB AC= ，PE AB⊥ 于点 E ，PF AC⊥ 于点F ． 求证：PE PF CD+ = ． 证明：如图，连接 AP ． PE AB⊥ ，PF AC⊥ ，CD AB⊥ ， 1 2 APBS AB PE = △ ， 1 2 APCS AC PF= △ ， 1 2 ABCS AB CD= △ ． APB APC ABCS S S+ =△ △ △ ， ①______ 1 2 AB CD=  ， 即 AB PE AC PF AB CD +  =  ． ②______， ( )AB PE PF AB CD  + =  ， ③______． 再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，请你依照题目中的相 关表述完成下面命题填空： 过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④______． 【答案】，① 1 1 2 2 AB PE AC PF +  ；② AB AC= ；③PE PF CD+ = ；④这两条垂线段长度的和等于一 腰上的高 【分析】本题主要考查了做已知线段的垂线，以及利用等面积法证明过等腰三角形底边上一点向两腰 10 作垂线段这两条垂线段长度的和等于一腰上的高．根据作垂线的方法先做出 AB 的垂线CD，再按照所 给的证明方法一步步证明即可． 【详解】作图如下： 证明：如图，连接 AP． PE AB⊥ ，PF AC⊥ ，CD AB⊥ ， 1 2 APBS AB PE = △ ， 1 2 APCS AC PF= △ ， 1 2 ABCS AB CD= △ ． APB APC ABCS S S+ =△ △ △ ， ① 1 1 1 2 2 2 AB PE AC PF AB CD +  =  ， 即 AB PE AC PF AB CD +  =  ． ② AB AC= ， ( )AB PE PF AB CD  + =  ， ③PE PF CD+ = ． 再进一步研究发现，过等腰三角形底边上所有点向两腰作垂线段均具有此特征，过等腰三角形底边上 一点向两腰作垂线段，则④这两条垂线段长度的和等于一腰上的高． 故答案为：① 1 1 2 2 AB PE AC PF +  ；② AB AC= ；③PE PF CD+ = ；④这两条垂线段长度的和等于一 腰上的高． 21．最近重庆市实验中学校在体育课上加强了 25 秒定时跳绳的训练，为了解班上同学们的训练情况， 体育教师分别随机调查了男生、女生各 10 名同学，记录下他们 25 秒跳绳的个数，并对数据进行整 理、描述和分析（跳绳个数用 x表示，共分为三组：跳绳个数60 70x  为不合格，跳绳个数70 80x  为达标，跳绳个数 80x  为优秀），下面给出了部分信息：10 个男生 25 秒跳绳的个数分别是：64， 66，70，70，71，71，72，72，72，82；10 个女生 25 秒跳绳的个数属于达标的数据是：71，72， 72，72，75，77；根据以上信息，解答下列问题： 男生、女生 25 秒跳绳个数统计表， 类别 平均数 中位数 众数 方差 男生 71 71 a 22.2 女生 71 b 72 18.6 女生 25 秒跳绳个数扇形统计图 (1)上述图表中a =___________，b =___________，m = ___________； (2)根据以上数据，你认为男生还是女生的训练效果更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)现从男生、女生不合格的 4 名学生中随机抽取 2 人进行训练方式调整调研，请用画树状图或列表的 方法求出被选中的 2 人恰好是男、女生各Ⅰ人的概率． 【答案】(1) 72a = ， 72b = ， 20m = (2)我认为女生训练情况效果更好，理由见解析 (3) 2 3 ，图见解析 【分析】(1)根据众数的定义（众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据）和中位数的定义（将一 组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是 这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）即可 11 得，利用山顶统计图的意义，得到 %=1 60% 20%=20%m − − ，确定 m值即可． (2)根据统计特征量比较，说明即可． (3)画树状图计算即可．本题考查了扇形统计图，中位数，众数的计算，画树状图计算概率，熟练掌握 相应知识是解题的关键． 【详解】（1）∵10 个男生 25 秒跳绳的个数分别是：64，66，70，70，71，71，72，72，72，82 中， 72 出现次数最多， ∴众数是 72a = ， 故答案为：72； ∵10 个女生 25 秒跳绳的个数属于达标的数据是：71，72，72，72，75，77， 不合格人数为10 20%=2 (人), 故中位数为 72 72 72 2 b + = = ， 故答案为：72； 女生达标率为 6 100%=60% 10  ， ∵ %=1 60% 20%=20%m − − ∴ =20m ． 故答案为：20． （2）我认为女生训练情况效果更好，理由是：女生的中位数大些，方差小． （3）记男生不合格的学生分别为 1A ， 2A ，女生不合格的学生分别为 1B ， 2B ．则有 由图可知从四名同学中选出两名同学共有 12 种可能情况，其中“一男一女”共有 8 种 ∴被选中的 2 人恰好是男、女生各 1 人的概率为 8 2 12 3 m P n = = = 答：被选中的 2 人恰好是男、女生各 1 人的概率为 2 3 ． 22．某校为举办周年校庆活动，特定制了系列文创产品，其中花费了 13000 元购进纪念画册和骨瓷杯 若干，已知骨瓷杯总费用比纪念画册总费用的 3 倍还多 1000 元． (1)求纪念画册和骨瓷杯的总费用各是多少元？ (2)若每本纪念画册的进价比每个骨瓷杯的进价多50%，而骨瓷杯数量比纪念画册数量多 400 个．求每 本纪念画册和每个骨瓷杯的进价各是多少元？ 【答案】(1)纪念画册的总费用为 3000 元，骨瓷杯的费用为 10000 元 (2)每本纪念画册的进价为 30 元，每个骨瓷杯的进价为 20 元 【分析】本题考查了一元一次方程和分式方程的实际应用． （1）设纪念画册的总费用为 x 元，则骨瓷杯的费用为（3 1000x + ）元，根据花费了 13000 元购进纪念 画册和骨瓷杯，列出方程求解即可； （2）设每个骨瓷杯的进价为m 元，则每本纪念画册的进价为 ( )1 50% 1.5m m+ = 元，根据骨瓷杯数量比 纪念画册数量多 400 个列出分式方程求解，检验即可． 【详解】（1）解：设纪念画册的总费用为 x 元，则骨瓷杯的费用为（3 1000x + ）元， 由题意： 3 1000 13000x x+ + = 解得： 3000x = 13000 3000 10000 − = 元 答：纪念画册的总费用为 3000 元，骨瓷杯的费用为 10000 元． （2）解：设每个骨瓷杯的进价为m 元，则每本纪念画册的进价为 ( )1 50% 1.5m m+ = 元， 由题意： 10000 3000 400 1.5m m − = ，解得 20m = 经检验， 20m = 为所列方程的根且符合题意． 20 1.5 30  = 元 答：每本纪念画册的进价为 30 元，每个骨瓷杯的进价为 20 元． 23．如图，四边形 ABCD是边长为 6 的菱形， 60A = ，动点 P，Q分别以每秒 2 个单位长度的速度 同时从点 A出发，点 P沿折线 A→D→C→B方向运动，点 Q沿折线 A→B→C→D方向运动，当两点相 遇时停止运动．设运动时间为 t秒，点 P，Q两点间的距离为 y． 12 (1)请直接写出 y关于 t的函数表达式并注明自变量 t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出点 P，Q相距 3 个单位长度时 t的值．（结果保留一位小数） 【答案】(1) ( ) ( ) 2 0 3 12 2 3 6 t t y t t    =  −   (2)图象见解析，当0 3t  时，y随着 x的增大而增大，当3 6t  时，，y随着 x的增大而减小； (3)1.5 或 3.5 【分析】（1）根据菱形的性质可得 6AB BC CD DA= = = = ， 60A C = = ，求出点运动时间为 6 秒，分0 3t  和3 6t  两种情况，根据等边三角形的判定和性质解答即可； （2）根据函数的解析式即可画出函数图象，根据增减性即可得到函数的性质； （3）结合图象或当 3y = 时，代入关系式求解即可． 【详解】（1）∵四边形 ABCD是菱形， ∴ 6AB BC CD DA= = = = ， 60A C = = ， 根据题意可得：运动的总时间为 ( )6 6 2 6+  = 秒，、 则当0 3t  时，有 2AP AQ t= = ， ∴ APQ△ 是等边三角形， ∴ 2y PQ AP t= = = ， 当3 6t  时，如图，有 12 2CP CQ t= = − ， ∴ CPQ是等边三角形， ∴ 12 2y PQ CP t= = = − ， ∴ ( ) ( ) 2 0 3 12 2 3 6 t t y t t    =  −   ； （2）函数图象如图所示： 根据图象可得：当0 3t  时，y随着 x的增大而增大，当3 6t  时，y随着 x的增大而减小； （3）当 3y = 时，2 3t = 或12 2 3t− = ， 解得： 1.5t = 或 4.5t = ； 所以 P，Q相距 3 个单位长度时 t的值为 1.5 或 4.5． 【点睛】本题考查了菱形的性质、一次函数的图象与性质以及等边三角形的判定和性质等知识，熟练 掌握菱形的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，三角形 ABC的三个顶点都在格点上，点 A的坐标为 ( )2, 4 ．请解答 下列问题：（保留作图痕迹） 13 (1)画出 ABC 关于原点对称的图形 1 1 1A B C△ ，并写出 1 1 1A B C、 、 的坐标； (2)求出 ABC 的面积； 【答案】(1)见解析， ( ) ( ) ( )1 1 12, 4 1, 2 5, 3A B C− − − − − −、 、 (2)3.5 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和中心对称，坐标与图形： （1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到 A、B、C对应点 1 1 1A B C、 、 的坐标，再描出 1 1 1A B C、 、 ，并顺次连接 1 1 1A B C、 、 即可； （2）利用 ABC 所在的长方形面积减去周围三个三角形面积即可得到答案； 【详解】（1）解：如图所示， 1 1 1A B C△ 即为所求， ∴ ( ) ( ) ( )1 1 12, 4 1, 2 5, 3A B C− − − − − −、 、 ； （2）解： 1 1 1 4 2 1 2 1 3 1 4 3.5 2 2 2 ABCS =  −   −   −   =△ ； 25．如图，抛物线 2 5y ax ax b= + + 经过点 ( )1, 5D − − ，且交 x轴于 ( )6,0A − ，B两点（点 A在点 B的左 侧），交 y轴于点 C． (1)求抛物线的解析式． (2)如图 1，过点 D作DM x⊥ 轴，垂足为M，点 P在直线 AD 下方抛物线上运动，过点 P作 PE AD⊥ ，PF DM⊥ ，求𝑃𝐸的最大值，以及此时点 P的坐标． (3)将原抛物线沿射线CA方向平移 5 2 个单位长度，在平移后的抛物线上存在点 G，使得 45CAG = ，请写出所有符合条件的点 G的横坐标，并写出其中一个的求解过程． 【答案】(1) 21 5 3 2 2 y x x= + − (2∴𝑃𝐸= 25 16 √2，𝑃 (− 7 2 ，− 45 8 ) (3) 13 29 17 3 29 2 2  − + − −      ， 或 19 469 17 469 6 18  − + +      ， 14 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线 AD解析式为 6y x= − − ，证明 AM DM= ，得到 45MDA = ，再证明 PEH△ 是等腰直 角三角形，得到 2PH PE= ，则𝑃𝐸 = √2 2 PH，设 21 5 3 2 2 P m m m   + −    ， ，则 2 21 5 1 53 3 2 2 2 2 H m m m m   − − − + −    ， ，求出 21 7 3 2 2 PH m m= − − − ，利用二次函数的性质即可求出答案； （3）求出 ( )0 3C −， ，得到 3 5AC = ，进而推出将原抛物线沿射线CA方向平移 5 2 个单位长度，相当 于把原抛物线向上平移 1 2 个单位长度，再向左平移 1 个单位长度，则平移后的抛物线解析式为 2 1 7 45 2 2 8 y x   = + −    ；如图所示，取点 ( )3 9H − −， ，连接 、AH CH ，证明 ACH 是等腰直角三角形，且 90ACH = ，得到 45CAH = ，则 AH 与抛物线 2 1 7 45 2 2 8 y x   = + −    的交点即为点 G，同理可得直 线 AH 的解析式为 3 18y x= − − ，联立 2 3 18 1 7 45 2 2 8 y x y x = − −     = + −    得 2 13 35 0x x+ + = ，解得 13 29 2 x − + = 或 13 29 2 x − − = （舍去），则点 G的坐标为 13 29 17 3 29 2 2  − + − −      ， ；同理当取点 ( )3 3T ， 时，可证明 ACT 是等腰直角三角形，且 90ACT = ∠ ，则 45CAT = ，同理可求出点 G的坐标为 19 469 17 469 6 18  − + +      ， ． 【详解】（1）解：把 ( )6,0A − ， ( )1, 5D − − 代入 2 5y ax ax b= + + 中得： 36 30 0 5 5 a a b a a b − + =  − + = − ， ∴ 1 2 3 a b  =   = − ， ∴抛物线解析式为 21 5 3 2 2 y x x= + − ； （2）解：设直线 AD解析式为 y kx b= + ，设 AD PF、 交于 H， ∴ 6 0 5 k b k b − + =  − + = −   ， ∴ 1 6 k b = −  = − ， ∴直线 AD解析式为 6y x= − − ， ∵DM x⊥ 轴， ∴ 5 1DM OM= =， ， ∴ 5AM OA OM= − = ， ∴ AM DM= ， ∴ 45MDA = ， ∵PF DM⊥ ， ∴ 90 45PHE DHF FDH= = − = ∠ ∠ ∠ ， 又∵PE AH⊥ ， ∴ PEH△ 是等腰直角三角形， ∴ 2PH PE= ， ∴𝑃𝐸 = √2 2 PH， 设 21 5 3 2 2 P m m m   + −    ， ，则 2 21 5 1 53 3 2 2 2 2 H m m m m   − − − + −    ， ， ∴ 2 21 5 1 73 3 2 2 2 2 PH m m m m m= − − − − = − − − ，， ∵ 1 0 2 −  ， ∴当𝑚 = − 7 2 时，𝑃𝐻有最大值，最大值为 25 8 ， ∴𝑃𝐸 = √2 2 PH= 25 16 √2 ∴𝑃 (− 7 2 ，− 45 8 ) 15 （3）解：∵抛物线 21 5 3 2 2 y x x= + − 交 y轴于点 C． ∴ ( )0 3C −， ， ∵ ( )6 0A − ， ， ∴ 6 3OA OC= =， ， ∴ 2 2 3 5AC OA OC= + = ， ∴ 5 5 2 AC AC OC OA = =， ， ∴将原抛物线沿射线CA方向平移 5 2 个单位长度，相当于把原抛物线向上平移 1 2 个单位长度，再向左 平移 1 个单位长度， ∵原抛物线解析式为 2 21 5 1 5 493 2 2 2 2 8 y x x x   = + − = + −    ， ∴平移后的抛物线解析式为 2 2 1 5 49 1 1 7 45 1 2 2 8 2 2 2 8 y x x     = + + − + = + −        ； 如图所示，取点 ( )3 9H − −， ，连接 、AH CH ， ∵ ( )0 3C −， ， ( )6 0A − ， ， ∴ 2 2 23 6 45AC = + = ， ( ) ( ) 222 3 0 9 3 45CH  = − − + − − − =  ， ( ) ( ) 2 22 3 6 9 0 90AH  = − − − + − − =  ， ∴ 2 2 2AC CH AH AC CH+ = =， ， ∴ ACH 是等腰直角三角形，且 90ACH = ， ∴ 45CAH = ， ∴ AH 与抛物线 2 1 7 45 2 2 8 y x   = + −    的交点即为点 G， 同理可得直线 AH 的解析式为 3 18y x= − − ， 联立 2 3 18 1 7 45 2 2 8 y x y x = − −     = + −    得 2 13 35 0x x+ + = ， 解得 13 29 2 x − + = 或 13 29 2 x − − = （舍去）， ∴点 G的坐标为 13 29 17 3 29 2 2  − + − −      ， ； 同理当取点 ( )3 3T ， 时，可证明 ACT 是等腰直角三角形，且 90ACT = ∠ ， ∴ 45CAT = ， ∴ AT 与抛物线 2 1 7 45 2 2 8 y x   = + −    的交点即为点 G的位置， 同理可得直线 AT 的解析式为 1 2 3 = +y x ， 连接 2 1 2 3 1 7 45 2 2 8 y x y x  = +     = + −    得 23 19 9 0x x+ − = ， 解得 19 469 6 x − + = 或 19 469 6 x − − = （舍去）， ∴点 G的坐标为 19 469 17 469 6 18  − + +      ， ； 综上所述，点 G的坐标为 13 29 17 3 29 2 2  − + − −      ， 或 19 469 17 469 6 18  − + +      ， ． 16 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与 判定，勾股定理得逆定理等等，通过构造等腰直角三角形得到 45 度的角是解题的关键． 26．在 ABC 中， 90ACB = ， AC BC= ，点 D为线段 AB 上一点，连接CD． (1)如图 1，若 3 1AC = + ， 2AD = ，求线段BD的长． (2)如图 2，将线段CD绕 D逆时针旋转90得到线段DE ，连接CE， BE ，点 F是线段DE 中点，连接 BF 与CD延长线交于点 G．当 30EBF = 时，求证：2 2 2BF BC AD= − ． (3)在（2）的条件下，将线段 BE 绕 B顺时针旋转60得到线段 BP，连接CP，求 CP AD ． 【答案】(1) 6 (2)见解析 (3) 14 42 2 + 【分析】（1）根据勾股定理求出 AB ，即可求出BD； （2）先构造手拉手模型证明 45EBD = ，进而得到 90EBC = ，再过D作DN BC⊥ 于 N ，交直线 BD于G ，DM AC⊥ 于M ，即可得到矩形DMCN ，得到 2 2AD DM CN= = ，再由平行可得 30EBF G = = ，得到 EBF DGF≌ ，得到 1 2 BF GF BC BN= = = ，最后由BN BC CN= − 得到 2 2 2BF BC AD= − ； （3）过P作PK BC⊥ 于K ，设 AM DM CN a= = = ，BN b= ， 2BE x= ，分别在 BGN△ 和四边形 EDCB中根据勾股定理列出关于a b x、 、 的方程，找到它们的关系，最后计算出CP和 AD 计算即可． 【详解】（1）∵ 90ACB = ， 3 1BC AC= = + ， ∴ 2 2 6 2AB BC AC= + = + , ∵ 2AD = ， ∴ 6BD AB AD= − = ； （2）过D 作DH DB⊥ 交BC延长线于H ，作DN BC⊥ 于 N ，交直线BD于G ，DM AC⊥ 于M ， ∵ 90ACB = ， AC BC= ， ∴ 45A ABC = = ，四边形DMCN 是矩形， ∴ 2 2AD DM CN= = ， 45A ABC H = = = ， ∴BD DH= ， ∵将线段CD绕 D逆时针旋转90得到线段DE ， ∴CD DE= ， 90EDC BDH = = ， ∴ EDB CDH = ， ∴ ( )SASEDB CDH≌ ， ∴ 45EBD H = =  ∴ 90EBC = ， 17 ∵DN BC⊥ ∴BE GN∥ ， ∴ 30EBF G = = ， ∴ 2BG BN= ∵点 F是线段DE 中点， ∴ =EF FD， ∴ EBF DGF≌ ， ∴ 1 , 2 BE GD BF GF BG= = = ， ∴ 1 2 BF GF BC BN= = = ， ∵BN BC CN= − ， ∴ 2 2 BF BC AD= − ， ∴2 2 2BF BC AD= − ； （3）过 P作PK BC⊥ 于K ，设 AM DM CN a= = = ，BN b= ， 2BE x= ，由（2）可得 AC BC a b= = + ，CM DN BN b= = = ， 2BE GD PB x= = = ， 1 2 PK PB x= = ， 3KB x= ， 在Rt BGN△ 中， 30G = ， 2GN GD DN x b= + = + ，BN b= ， ∴ 2BG BN= ， 3GN BN= ， ∴ 2 3x b b+ = ∴ 3 1 2 x b − = ， 在四边形EDCB中， 2 2 2 2 2EC ED CD BE BC= + = + ， ∴ ( ) ( ) ( ) 2 22 22 2a b x a b+ = + + ， 整理得 ( ) ( ) 2 2 2x a b= − ∴ 2 b a x − = ∴ ( )2 3b a= + ， 3 1 2 x a + = ， 在Rt PCK△ 中， 2 2 2PC PK KC= + ∴ ( ) 2 2 2 3PC x x a b= + + + ( ) 2 2 3 1 3 1 3 2 3 2 2 a a a a    + + = +  + + +         ( ) 27 4 2 3 a= + ( ) 2 27 1 3 a= + ∴ ( )7 1 3PC a= + ， ∵ 2AD a= ， ∴ ( )7 1 3 14 42 22 aCP AD a + + = = ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，30 度直角三角形 的性质，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线是解答 的关键．