2.4：圆的方程【6大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

2.4：圆的方程 【知识梳理】 · 考点一、求圆的标准方程 · 考点二、圆的一般方程的求圆心与半径 · 考点三：求圆的一般方程 · 考点四：二元二次方程表示圆的参数问题 · 考点五：圆的定点问题 · 考点六：圆的方程综合问题 【知识梳理】 知识点一　圆的标准方程 (1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r. (2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2. 知识点二　圆的一般方程 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 知识点三　点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 【例题详解】 题型一、求圆的标准方程 1．（23-24高二上·安徽六安·期末）圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津南开·期中）已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 3．（2024·海南·模拟预测）下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 ，且过原点的圆的是 （   ） A． B． C． D． 题型二、圆的一般方程的求圆心与半径 4．（23-24高二上·陕西汉中·期末）圆的圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线：经过圆：的圆心，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知圆的一般方程为，则的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 题型三：求圆的一般方程 7．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）（1）已知圆圆心在直线上，且过点，.求圆的标准方程； （2）圆M经过三点：，，．求圆M的方程． 8．（23-24高二上·天津和平·期中）求适合下列条件的圆的方程. (1)求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程. (2)已知的顶点为，，，求外接圆的一般方程. 9．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知圆经过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 题型四：二元二次方程表示圆的参数问题 10．（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：圆的定点问题 13．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 14．（21-22高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 15．（21-22高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 题型六：圆的方程综合问题 16．（24-25高二上·全国）求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是，且过点； (2)圆心在轴上，半径为5，且过点； (3)求过两点和，圆心在轴上的圆的标准方程． 17．（23-24高二上·四川乐山）已知的三个顶点分别是，，. (1)求的外接圆方程和外心坐标； (2)求的内切圆方程和内心坐标. 18．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【高分演练】 一、单选题 19．（24-25高二下·全国·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高二上·全国·课后作业）若方程表示圆，则a的取值范围为（   ） A．R B． C． D． 22．（23-24高二上·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系内，曲线与x轴相交于A，B两点，P是平面内一点，且满足，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二上·安徽黄山·期末）圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高三上·河南驻马店·期末）若点是圆:上一点,则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 27．（23-24高二上·天津·期中）已知点，，点C为圆上一点，则的面积的最大值为（    ） A．12 B． C． D．6 二、多选题 28．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 29．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）若有一组圆：，下列命题正确的是（    ） A．所有圆的半径均为2 B．所有的圆的圆心恒在直线上 C．当时，点在圆上 D．经过点的圆有且只有一个 三、填空题 32．（24-25高二上·江西鹰潭·开学考试）已知圆，以圆心和为直径的圆的标准方程是 ． 33．（24-25高二上·全国·课后作业）已知三个顶点的坐标分别是，则外接圆的方程是 . 34．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是 ． 35．（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 四、解答题 36．（23-24高二上·新疆·期中）（1）写出下列圆的标准方程： ①圆心为，半径是； ②圆心为，且经过点. （2）求下列各圆的圆心坐标和半径： ①； ②. 37．（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 38．（23-24高二上·河南郑州）（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径： ①； ②． （2）已知点在圆的内部，求实数的取值范围. 39．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线，直线l过点且与垂直. (1)求直线l的方程； (2)设l分别与交于点A，B，O为坐标原点，求过三点A，B，O的圆的方程. 40．（23-24高二上·河南周口·期末）的三个顶点坐标是； (1)的外接圆方程； (2)若线段MN的端点N的坐标为，端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4：圆的方程 【知识梳理】 · 考点一、求圆的标准方程 · 考点二、圆的一般方程的求圆心与半径 · 考点三：求圆的一般方程 · 考点四：二元二次方程表示圆的参数问题 · 考点五：圆的定点问题 · 考点六：圆的方程综合问题 【知识梳理】 知识点一　圆的标准方程 (1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r. (2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2. 知识点二　圆的一般方程 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 知识点三　点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 【例题详解】 题型一、求圆的标准方程 1．（23-24高二上·安徽六安·期末）圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设圆心再根据点在圆上求得，再应用圆的标准方程写出圆的方程即可. 【详解】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为， 则圆的方程为，又点在圆上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为． 故选：A 2．（23-24高二上·天津南开·期中）已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得是直角三角形，求出圆的圆心与半径，写出圆的标准方程即可． 【详解】由题 得是直角三角形，且， 所以圆的半径为，圆心为， 所以外接圆的方程为. 故选：B. 3．（2024·海南·模拟预测）下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 ，且过原点的圆的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设圆的标准方程，根据题意列出方程求解圆心和半径即可. 【详解】因为圆心在上，所以设圆心为, 因为圆的半径为， 所以设圆的标准方程为, 因为该圆过原点， 所以， 解得, 所以圆心为或, 当圆心为时，圆的标准方程为，D对; 当圆心为时，圆的标准方程为. 故选：D. 题型二、圆的一般方程的求圆心与半径 4．（23-24高二上·陕西汉中·期末）圆的圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般方程化为标准方程求圆心与半径即可. 【详解】由，所以圆心和半径分别为. 故选：D 5．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线：经过圆：的圆心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的普通方程找出圆心代入直线方程中即可. 【详解】因为圆：的为：， 直线：经过圆心， 所以有， 此时圆的方程为，，符合题意， 故选：A. 6．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知圆的一般方程为，则的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆的一般方程化成标准方程即可得解. 【详解】由圆的一般方程为， 可得圆的标准方程为：， 所以圆心. 故选：C 题型三：求圆的一般方程 7．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）（1）已知圆圆心在直线上，且过点，.求圆的标准方程； （2）圆M经过三点：，，．求圆M的方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设出圆心坐标，利用建立方程解出即可； （2）待定系数法设出圆的一般方程，建立方程组解出即可. 【详解】（1）因为圆圆心在直线上， 则设， 又因为过点，， 所以, 即， 解得， 所以圆心坐标为，半径为， 故圆的标准方程为. （2）设圆的方程为， 依题得, 解得, 所以圆M的方程的方程为. 8．（23-24高二上·天津和平·期中）求适合下列条件的圆的方程. (1)求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程. (2)已知的顶点为，，，求外接圆的一般方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先设出圆心坐标，根据圆心到圆上点的距离都为半径求出参数，得到半径和圆心，即可写出圆的标准方程； （2）先设出圆的一般方程，将三点代入求解三元一次方程即可. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心为， 因为点，在圆上，所以， 即，解得， 所以圆心，半径， 所以圆的标准方程为； （2）设的外接圆为， 将，，代入可得： ，解得， 所以的外接圆为. 9．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知圆经过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为一般式，然后根据题意进行求解； （2）设出点坐标，根据题意求解出点坐标，代入圆后解得点的轨迹方程. 【详解】（1）解：设圆的方程为， 故圆心为， 由题意得，解得， 所以圆的方程为； （2）设点的坐标是，点的坐标是． 因为点的坐标是，且是线段的中点， 所以． 故．   ① 因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程， 即．     ② 把①代入②，得， 整理，得． 题型四：二元二次方程表示圆的参数问题 10．（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若二元二次方程表示圆，则必须满足. 【详解】由， 得， 即, 解得 故选： 11．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】由题意得，圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或， 所以m的取值范围为． 故选：D. 12．（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示圆的条件可得结果. 【详解】因为方程表示一个圆， 所以， 即，所以或， 故选：C. 题型五：圆的定点问题 13．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 14．（21-22高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【详解】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 15．（21-22高二下·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 题型六：圆的方程综合问题 16．（24-25高二上·全国）求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是，且过点； (2)圆心在轴上，半径为5，且过点； (3)求过两点和，圆心在轴上的圆的标准方程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用两点距离公式可先求半径，再写标准方程即可； （2）利用点的特征结合半径可先求圆心坐标，再写标准方程即可； （3）设圆心坐标，利用到C、D距离相等计算求得圆心坐标，再写标准方程即可. 【详解】（1）由题意可知：， 圆的标准方程为； （2）设圆心为， 则， 或， 圆心为或， 又，圆的标准方程为或； （3）设圆心为， ， ， 即， ，， 圆的标准方程为． 17．（23-24高二上·四川乐山）已知的三个顶点分别是，，. (1)求的外接圆方程和外心坐标； (2)求的内切圆方程和内心坐标. 【答案】(1)，； (2)，. 【分析】（1）由图知，为直角三角形，故的外接圆是以、的中点为外接圆圆心，一半为外接圆半径，求出圆心和半径即可得到的外接圆方程； （2）结合图形可设内切圆的圆心，半径为，利用等面积求出，即可得到的内切圆的方程和圆心坐标. 【详解】（1）由图知，由，，构成的三角形为直角三角形， 故的外接圆是以、的中点为外接圆圆心，一半为外接圆半径. 又、中点坐标为，即圆心， 又，， 的外接圆方程是，圆心为. （2）由的内切圆的圆心为三个内角平分线的交点，且， 结合图形可设内切圆的圆心，半径为. 又，即 ， 的内切圆是以为圆心，半径为1的圆， 的内切圆的方程为，圆心. 18．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆的标准方程，由，设的方程，从而可求解. （2）设的圆心，由与关于直线对称得，从而可求解. 【详解】（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4． 因为，所以可设的一般式方程为， 将代入，解得， 故的一般式方程为． （2）设的圆心为，由与关于直线对称， 可得，解得 所以的标准方程为． 【高分演练】 一、单选题 19．（24-25高二下·全国·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程写出答案 【详解】根据圆的标准方程可写出， 故选：A. 20．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，两点的中点坐标即为圆心，两点间的距离即为圆的直径，从而求出圆的标准方程，再化为一般式方程. 【详解】由题意可知该圆的圆心为，圆的直径为，则半径为， 所以圆的方程为，即. 故选：B． 21．（24-25高二上·全国·课后作业）若方程表示圆，则a的取值范围为（   ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元二次方程表示圆可得答案. 【详解】根据题意，若方程表示圆， 则有，解得． 故选：C. 22．（23-24高二上·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系内，曲线与x轴相交于A，B两点，P是平面内一点，且满足，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意不妨取，进而求点的轨迹方程，结合方程分析求解. 【详解】对于曲线，令，即， 可得，不妨取，可知， 设，因为，则， 整理得， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以面积的最大值是. 故选：D. 23．（23-24高二上·安徽黄山·期末）圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性求得圆的圆心和半径，进而求得圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 关于直线的对称点是， 所以圆的圆心是，半径是， 所以圆的方程为. 故选：D 24．（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数的取值范围，即可判断. 【详解】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B 25．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出的坐标，利用相关点法求解出的轨迹方程. 【详解】设， 由题意可知，所以， 又因为， 所以， 化简可得， 所以的轨迹方程为， 故选：A. 26．（23-24高三上·河南驻马店·期末）若点是圆:上一点,则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可. 【详解】圆:可化为 表示点到点的距离的平方, 因为， 所以的最小值为. 故选：B. 27．（23-24高二上·天津·期中）已知点，，点C为圆上一点，则的面积的最大值为（    ） A．12 B． C． D．6 【答案】D 【分析】先求解出直线的方程，然后将圆心到直线的距离再加上半径作为的高的最大值，由此求解出的面积的最大值. 【详解】因为，，所以， 又因为圆的方程为，所以圆心为，半径为， 所以圆上点到直线的最大距离为， 所以的面积的最大值为， 故选：D. 二、多选题 28．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】AD 【分析】先将方程合理转化，后结合二元二次方程表示圆的条件求解即可. 【详解】方程，即， 若方程表示圆，则，解得或， 结合选项可知AD正确，BC错误. 故选：AD 29．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设圆心，由题意可知，，，求出、的值，可得出圆心的坐标以及圆的半径，由此可得出圆的方程. 【详解】设圆心，由题意可知，，即，解得， 因为为直角三角形，则为直角三角形，则， 即，解得，则圆的半径为， 圆心为，因此，圆的方程为或， 故选：BC. 30．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法求出圆的方程即可. 【详解】设圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法： （1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上； ③两圆相切时，切点与两圆心三点共线； （2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 31．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）若有一组圆：，下列命题正确的是（    ） A．所有圆的半径均为2 B．所有的圆的圆心恒在直线上 C．当时，点在圆上 D．经过点的圆有且只有一个 【答案】AB 【分析】根据圆的标准方程和性质逐项判断求解； 【详解】选项A: ，，故选项正确； 选项B: 根据可得，圆心为，在，故选项正确； 选项C: 当时，，代入不满足方程，故选项错误； 选项D:代入 得：即有两个解，故选项错误； 故选：AB. 三、填空题 32．（24-25高二上·江西鹰潭·开学考试）已知圆，以圆心和为直径的圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】由题可得，进而由题意结合中点坐标公式和两点间距离公式可求出所求圆的圆心和半径，进而可得该圆的标准式方程. 【详解】由题得，故以和为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以圆心和为直径的圆的标准方程是. 故答案为：. 33．（24-25高二上·全国·课后作业）已知三个顶点的坐标分别是，则外接圆的方程是 . 【答案】（或） 【分析】解法一：待定系数法，设出圆的一般形式，将点的坐标代入，解方程组即可求解； 解法二：几何法，根据得的外接圆是以线段为直径的圆.然后确定圆心和半径，即可求解. 【详解】解法一：设的外接圆方程为，其中. 由题意得解得满足， 所以外接圆的方程为. 解法二：依题意，直线的斜率，直线的斜率， 则，即.因此的外接圆是以线段为直径的圆. 线段的中点为，半径， 所以外接圆的方程是. 故答案为：（或） 34．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意利用轴对称的性质算出对称点Q的坐标，结合点Q在已知圆的内部，建立关于的不等式，解出实数的取值范围． 【详解】设与关于直线对称，则，解得，即， 因为在圆的内部， 所以，解得，即实数的取值范围是． 故答案为：． 35．（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】先求出圆心关于直线的对称点坐标，再结合圆的几何性质求解即可． 【详解】圆，圆心，半径为1， 圆，圆心，半径为2， 设关于直线的对称点为，设， 则，解得， ， ， 则的最小值为10． 故答案为：10． 四、解答题 36．（23-24高二上·新疆·期中）（1）写出下列圆的标准方程： ①圆心为，半径是； ②圆心为，且经过点. （2）求下列各圆的圆心坐标和半径： ①； ②. 【答案】（1）①；② （2）①圆心为，半径为；②圆心为，半径为3 【分析】 （1）①根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程②先求出圆的半径，可得圆的标准方程． （2）把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心和半径． 【详解】 （1）①圆心在，半径长是，故圆的标准方程为． ②圆心在，且经过点，故半径为， 故圆的标准方程为． （2）①，即，故圆心为，半径为， ②，即 即，故圆心为，半径为3. 37．（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）当时，方程为表示一条直线，当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程； （2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得. 【详解】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 38．（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径： ①； ②． （2）已知点在圆的内部，求实数的取值范围. 【答案】（1）① 答案见解析；②答案见解析；（2）． 【分析】（1）①②化圆的方程为标准方程，再写出圆心、半径即得. （2）由点与圆的位置关系，列出不等式并求解即得. 【详解】（1）①标准方程为，圆心为，半径为3； ②圆的标准方程为，圆心为，半径为. （2）由点在圆的内部， 得，解得， 所以实数的取值范围是. 39．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线，直线l过点且与垂直. (1)求直线l的方程； (2)设l分别与交于点A，B，O为坐标原点，求过三点A，B，O的圆的方程. 【答案】(1)； (2)（或）； 【分析】（1）利用直线垂直可求得斜率为，由点斜式方程可得结果； （2）分别求出两直线交点坐标，设出圆的一般方程代入计算即可求得圆的方程. 【详解】（1）由题意可得的斜率为， 可得直线l的斜率为，由点斜式方程可得， 即直线； （2）联立直线l和方程，解得； 联立直线l和方程，解得； 如下图所示： 设过三点A，B，O的圆的方程为， 将三点坐标代入可得，解得， 可得圆的方程为（或）. 40．（23-24高二上·河南周口·期末）的三个顶点坐标是； (1)的外接圆方程； (2)若线段MN的端点N的坐标为，端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法可求圆的方程； （2）定义代入法求线段MN的中点P的轨迹方程． 【详解】（1）设△ABC的外接圆方程为 . 把A（0，1），B（2，1），C（3，4）代入圆的方程得: 解此方程组，得. ∴△ABC的外接圆方程是 （2）设点，， ∵点P是MN的中点，∴. ∵点M在上运动，∴. 即，整理得：. 所以，点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$