2.4 有理数的混合运算（三大题型提分练）数学青岛版2024七年级上册

2.4 有理数的混合运算（三大题型提分练） 题型一 有理数的混合运算 1．下列计算：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．②③ B．①③④ C．①④ D．②④ 【答案】C 【解析】解：①，正确； ②，原计算错误； ③，原计算错误； ④，正确； 故选：C． 2．运用分配律计算时，你认为下列变形最简便的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：． 故选：C． 3．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成计算．规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算．过程如图所示：    接力中，自己负责的一步正确的是（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．全都正确 【答案】C 【解析】甲负责的计算结果，故甲计算错误； 乙负责的计算结果，故乙计算正确； 丙负责的计算结果，故丙计算正确； 故选：C． 4．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（　） 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【解析】解：甲：，原来没有做对； 乙：，原来没有做对； 丙：，做对了； 丁：，原来没有做对． 故选：C． 5．计算：＝ ． 【答案】 【解析】解：原式 ， 故答案为：． 6．用简便方法计算： ． 【答案】 【解析】解：原式 ． 故答案为：． 7． ． 【答案】8 【解析】解：， 故答案为：8． 8．下面是佳佳同学的一道题的解题过程： ，① ，② ，③ ，④ (1)佳佳同学开始出现错误的步骤是_____； (2)请给出正确的解题过程． 【解析】（1）解：佳佳同学开始出现错误的步骤是①， 故答案为：①； （2）解： ． 9．计算： (1) (2) (3) (4) 【解析】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 10．计算题 (1) (2)． 【解析】（1）原式， ， ， ； （2）原式， ， ， . 题型二 有理数混合运算的实际应用 1．小明妈妈买了一盒蛋黄酥（共计6枚），小明将蛋黄酥进行称重，情况如下表所示（单位：克，标准质量为100克/枚，超过部分记为正，不足部分记为负），则这盒蛋黄酥的实际重量是（    ） 第n枚 1 2 3 4 5 6 与标准质量的差 A．596克 B．594克 C．593克 D．592克 【答案】B 【解析】解： （克）， 即这盒蛋黄酥的实际重量是594克， 故选：B． 2．在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（    ）    A．27 B．42 C．55 D．210 【答案】B 【解析】解：根据题意得：孩子出生的天数的五进制数为132， 化为十进制数为：132＝1×52＋3×51＋2×50＝42． 故选：B． 3．国庆期间，小郑与小州一起去爬山，他们想知道山的高度．小郑提议利用温差测量山峰的高度，小郑在山顶上测得温度是，小州此时在山脚测得温度为．已知该地区高度每增加100米，气温大约降低，则该山的高度大约是（    ） A．600米 B．800米 C．650米 D．750米 【答案】D 【解析】解： （米， 则该山的高度大约是750米． 故选：D． 4．一种金属棒，当温度是时，长为5厘米，温度每升高或降低，它的长度就要随之伸长或缩短厘米，求温度时金属棒的长度为 厘米． 【答案】 【解析】根据题意得：（厘米）． 则温度为时金属棒的长度为厘米． 故答案为：． 5．班会活动上有一个游戏，规则如下：连续从一个箱子中随机抽取张卡片，并按以下步骤进行计算：第一步：把第张卡片上的数字平方；第二步：把第一步的计算结果除以第张卡片上的数字；第三步：把第二步的计算结果减去第张卡片上的数字；第四步：把第三步的计算结果乘以第张卡片上的数字．规定计算结果小的同学表演节目．小强抽到如图的张卡片，小华抽到如图的张卡片，请你通过计算说明谁表演节目． 【解析】解：小强：， 小华：，              ∵， ∴小强表演节目． 6．有20袋大米，以每袋为标准，超过或不足的千克数分别用正负数来表述，记录如下： 与标准质量的差值(单位：) 1 0 2.5 袋数 1 2 3 8 4 2 (1)20袋大米中，最重的一袋比最轻的一袋重多少千克？ (2)与标准质量比较，20袋大米总计超过或不足多少千克？ 【解析】（1）解：（千克）， 答：20袋大米中，最重的一袋比最轻的一袋重千克； （2）解： （千克） 答：与标准重量比较，20袋大米总计超过8千克． 题型三 有理数混合运算的拓展创新 1．如果一对有理数a、b使等式成立，那么这对有理数a、b叫做“幻生有理数对”，记为．根据上述定义，下列四对有理数中不是“幻生有理数对”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A.，则A不符合题意； B. ，则B不符合题意； C. ，则C符合题意； D.，则D不符合题意． 故选：C． 2．现定义运算“*”：对于任意有理数a，b，满足．例如：，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】解：∵， ∴，， ∴． 故选：A． 3．形如式子叫做二阶列式，它的运算法则用公式表示为＝ad﹣bc，依此法则计算＝ ． 【答案】11 【解析】解：原式＝2×4﹣1×（﹣3） ＝8＋3 ＝11， 故答案为：11． 4．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 【答案】8 【解析】根据定义，得， 故答案为：8． 5．小明有五张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题 (1)从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是 　． (2)从中抽出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，（例如与视为同一种方法），请你再写出两种不同的运算式子． 【解析】（1）解：由题意可得， 从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是：； （2）解：，（答案不唯一）． 6．小明设计了一个如图所示的数值转换程序． (1)当输入吋，求输出的值为多少？ (2)若的值大于4，直接写出一个符合条件的的值． 【解析】（1）解：由题意知，， ∵， ∴， ∴输出的值为； （2）解：由题意知，， 当时，，且， ∴， ∴符合条件． 1．下列运算：①；②；③；④；⑤；⑥．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】解：①，故选项错误； ②，故选项错误； ③，故选项错误； ④，故选项正确； ⑤，故选项错误； ⑥，故选项错误； ∴正确的个数是：1个 故选：A． 2．三位同学在计算时，用了不同的方法： 小小说：12的，，分别是3，2和6，所以结果应该是； 聪聪说：先计算括号里面的数，，再乘以12得到； 明明说：把12与，，分别相乘后再相加，得到结果是． 对于三位同学的计算方式，下面描述正确的是（    ） A．三位同学都用了运算律 B．聪聪使用了加法结合律 C．明明使用了分配律 D．小小使用乘法交换律 【答案】C 【解析】根据题意，明明使用了分配律，是正确的，其余三位同学的描述都是错误的。 故选C． 3．第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．则八进制数2024换算成十进制数是（    ） A．1044 B．1048 C．1024 D．1028 【答案】A 【解析】解：由题意可知，八进制数2024换算成十进制数是， 故选：A 4．如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（    ） A．1840 B．1921 C．1949 D．2021 【答案】D 【解析】解：把1921代入得：（1921﹣1840+50）×（﹣1）＝﹣131＜1000， 把﹣131代入得：（﹣131﹣1840+50）×（﹣1）＝1921＞1000， 则输出结果为1921+100＝2021． 故选：D． 5．如图，我校闻澜阁旁施工地计划在草地中铺设一条鹅卵石路面，整片草地呈长方形，两端四分之一圆铺设草地，中间空白区域铺鹅卵石．草地宽为3米，长为7米．每铺1平方米鹅卵石需50元，则鹅卵石路面需花费（    ）（取3） A．300元 B．375元 C．600元 D．712．5元 【答案】B 【解析】解：（元）， 故选：B． 6．对于任意有理数，，例如，时，，则（    ） A． B．14 C． D．22 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故选：C 7．如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ）．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：由图可知：， ，①错误； ，④错误； ， ， ，③正确； ， ，②正确； 综上所述，正确的选项有②③，共两个， 故选：B． 8．式子中的a，b、c、d是数字1，2，3，4，5中间的四个位置，在这些位置上添加“＋”“－”“×”“÷”符号后得到一个算式，若不添加符号，则相邻数字自然组合为一个多位数．如：在a添加“×”，在d添加“＋”，b，c不添加符号，得到的算式为：，结果为239．下列说法： ①添加“×”“÷”两个运算符号，得到的算式有12种不同的结果： ②存在一种添加“＋”“－”“×”“÷”四个符号的算式，其结果为； ③只添加“＋”“－”“×”三个符号，得到的算式中，结果最大为1 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】①添加“×”“÷”两个运算符号，运算结果为： 先乘后除，，，，， ， 先除后乘，，，，，， 总共12种结果，故①正确； ②存在一种添加“＋”“－”“×”“÷”四个符号的算式，其结果为； ，故②正确； ③只添加“＋”“－”“×”三个符号，得到的算式中，结果最大为1； ，故③错误； 综上，正确的个数是2， 故选：B． 9．中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例．《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．请计算以下涉及“负数”的式子的值： ． 【答案】-10 【解析】解：， 故答案为：． 10．计算： ； ． 【答案】 【解析】解：； ． 故答案为：，． 11． ． 【答案】 【解析】解： ． 12．在玩“24点”游戏时，小明抽到的数字是4，，3，10，运用所学过的有理数混合运算，使得运算结果为24，你的算法是 （写出一种即可，每个数字都要用到并且只能用一次）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：． 故答案为：（答案不唯一）． 13．已知m、n互为相反数，p、q互为倒数，x的绝对值为2，则代数式+2022pq+x的值是 ． 【答案】2024或2020/2020或2024 【解析】∵m、n互为相反数，p、q互为倒数，x的绝对值为2， ∴m+n＝0，pq＝1，x＝±2． 则+2022pq+x＝+2022×1±2 ＝0+2022±2 ＝2022±2． ∴原式＝2022+2＝2024或原式＝2022﹣2＝2020． 故答案为：2024或2020． 14．利用公式计算： （1） ；（直接写答案） （2） ；（直接写答案） （3）1 ．（直接写答案） 【答案】 【解析】解：（1） ； （2） ； （3）1 ； 故答案为：（1）； （2）； （3） 15．计算： (1) (2) 【解析】（1） （2） . 16．用简便方法计算： (1) (2) (3) 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 17．有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13（J，Q，K分别代表11，12，13；A表示1）之间的自然数，将这四个数(每个数用且只用一次)进行加减乘除四则运算，使其结果等于24；例如对1，2，3，4可作运算：．(注意上述运算与4×(1＋2＋3)应视为相同的运算) (1)小明抽到了3，4，5，2；小聪抽到了J，2，10，5．这两组牌都能算出“24”点吗？为什么？ (2)如果算式中允许包含乘方运算，两组牌中你能列出含乘方运算的算式吗？ 【解析】（1）∵，， ∴这两组牌都能算出“24”点； （2），． 18．阅读下面材料： 计算：． 解法①： 原式 ． 解法②： 原式 ． 解法三： 原式的倒数为： ， 故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法_____是错误的（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法______比较简便．（填序号） 请你进行简便计算：． 【解析】（1）解：三种解法中得出的结果不同，解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③运用了有理数的除法的运算法则，比较简便． 故答案为：③； 原式的倒数为 ， ∴原式． 19．一出租车一天下午2小时内 以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：公里）依先后次序记录如下：，，，，，． (1)该车2小时内最远时在鼓楼什么方向?离鼓楼多远?将最后一名乘客送到目的地，该车在出发地什么方向?离出发地多远? (2)若每公里收费为3元，且每百公里耗油10升，汽油价格每升6元，那么该司机这2小时除去汽油费后收入是多少? (3)司机每天还要向出租车公司上交180元的管理费，若一天按照工作8小时计算，一月安28天算，问该司机辛苦一个月后的收入约为多少元? 【解析】（1）解：送完第1名乘客，离出发地（鼓楼）的距离为9公里， 第2名：（公里）， 第3名：（公里）， 第4名：（公里）， 第5名：（公里）， 第6名：（公里）， 则，该车2小时内最远在鼓楼的东方，离鼓楼有9公里，将最后一名乘客送到目的地，该车在鼓楼的东方，离出发点3公里； （2）（公里）， （元），（元）， （元）， 答：该司机这2小时除去汽油费后收入是84元． （3）（元） 答：该司机辛苦一个月后得收入约为4368元． 20．阅读材料：   求的值. 解：设，将等式两边同时乘2，得 ， 将下式减上式，得，即 ， 即 ． 请你仿照此法计算： (1)； (2) （其中n 为正整数）． 【解析】（1）设， 将等式两边同时乘2，得 将下式减上式，得 ，即 则1 （2）设 将等式两边同时乘3，得 下式减上式，得，即 ， 即 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 有理数的混合运算（三大题型提分练） 题型一 有理数的混合运算 1．下列计算：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．②③ B．①③④ C．①④ D．②④ 2．运用分配律计算时，你认为下列变形最简便的是（    ） A． B． C． D． 3．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成计算．规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算．过程如图所示：    接力中，自己负责的一步正确的是（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．全都正确 4．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（　） 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．计算：＝ ． 6．用简便方法计算： ． 7． ． 8．下面是佳佳同学的一道题的解题过程： ，① ，② ，③ ，④ (1)佳佳同学开始出现错误的步骤是_____； (2)请给出正确的解题过程． 9．计算： (1)； (2) (3)； (4) 10．计算题 (1)； (2)． 题型二 有理数混合运算的实际应用 1．小明妈妈买了一盒蛋黄酥（共计6枚），小明将蛋黄酥进行称重，情况如下表所示（单位：克，标准质量为100克/枚，超过部分记为正，不足部分记为负），则这盒蛋黄酥的实际重量是（    ） 第n枚 1 2 3 4 5 6 与标准质量的差 A．596克 B．594克 C．593克 D．592克 2．在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（    ）    A．27 B．42 C．55 D．210 3．国庆期间，小郑与小州一起去爬山，他们想知道山的高度．小郑提议利用温差测量山峰的高度，小郑在山顶上测得温度是，小州此时在山脚测得温度为．已知该地区高度每增加100米，气温大约降低，则该山的高度大约是（    ） A．600米 B．800米 C．650米 D．750米 4．一种金属棒，当温度是时，长为5厘米，温度每升高或降低，它的长度就要随之伸长或缩短厘米，求温度时金属棒的长度为 厘米． 5．班会活动上有一个游戏，规则如下：连续从一个箱子中随机抽取张卡片，并按以下步骤进行计算：第一步：把第张卡片上的数字平方；第二步：把第一步的计算结果除以第张卡片上的数字；第三步：把第二步的计算结果减去第张卡片上的数字；第四步：把第三步的计算结果乘以第张卡片上的数字．规定计算结果小的同学表演节目．小强抽到如图的张卡片，小华抽到如图的张卡片，请你通过计算说明谁表演节目． 6．有20袋大米，以每袋为标准，超过或不足的千克数分别用正负数来表述，记录如下： 与标准质量的差值(单位：) 1 0 2.5 袋数 1 2 3 8 4 2 (1)20袋大米中，最重的一袋比最轻的一袋重多少千克？ (2)与标准质量比较，20袋大米总计超过或不足多少千克？ 题型三 有理数混合运算的拓展创新 1．如果一对有理数a、b使等式成立，那么这对有理数a、b叫做“幻生有理数对”，记为．根据上述定义，下列四对有理数中不是“幻生有理数对”的是（　　） A． B． C． D． 2．现定义运算“*”：对于任意有理数a，b，满足．例如：，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．形如式子叫做二阶列式，它的运算法则用公式表示为＝ad﹣bc，依此法则计算＝ ． 4．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 5．小明有五张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题 (1)从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是 　． (2)从中抽出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，（例如与视为同一种方法），请你再写出两种不同的运算式子． 6．小明设计了一个如图所示的数值转换程序． (1)当输入吋，求输出的值为多少？ (2)若的值大于4，直接写出一个符合条件的的值． 1．下列运算：①；②；③；④；⑤；⑥．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．三位同学在计算时，用了不同的方法： 小小说：12的，，分别是3，2和6，所以结果应该是； 聪聪说：先计算括号里面的数，，再乘以12得到； 明明说：把12与，，分别相乘后再相加，得到结果是． 对于三位同学的计算方式，下面描述正确的是（    ） A．三位同学都用了运算律 B．聪聪使用了加法结合律 C．明明使用了分配律 D．小小使用乘法交换律 3．第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．则八进制数2024换算成十进制数是（    ） A．1044 B．1048 C．1024 D．1028 4．如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（    ） A．1840 B．1921 C．1949 D．2021 5．如图，我校闻澜阁旁施工地计划在草地中铺设一条鹅卵石路面，整片草地呈长方形，两端四分之一圆铺设草地，中间空白区域铺鹅卵石．草地宽为3米，长为7米．每铺1平方米鹅卵石需50元，则鹅卵石路面需花费（    ）（取3） A．300元 B．375元 C．600元 D．712．5元 6．对于任意有理数，，例如，时，，则（    ） A． B．14 C． D．22 7．如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ）．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．式子中的a，b、c、d是数字1，2，3，4，5中间的四个位置，在这些位置上添加“＋”“－”“×”“÷”符号后得到一个算式，若不添加符号，则相邻数字自然组合为一个多位数．如：在a添加“×”，在d添加“＋”，b，c不添加符号，得到的算式为：，结果为239．下列说法： ①添加“×”“÷”两个运算符号，得到的算式有12种不同的结果： ②存在一种添加“＋”“－”“×”“÷”四个符号的算式，其结果为； ③只添加“＋”“－”“×”三个符号，得到的算式中，结果最大为1 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 9．中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例．《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．请计算以下涉及“负数”的式子的值： ． 10．计算： ； ． 11． ． 12．在玩“24点”游戏时，小明抽到的数字是4，，3，10，运用所学过的有理数混合运算，使得运算结果为24，你的算法是 （写出一种即可，每个数字都要用到并且只能用一次）． 13．已知m、n互为相反数，p、q互为倒数，x的绝对值为2，则代数式+2022pq+x的值是 ． 14．利用公式计算： （1） ；（直接写答案） （2） ；（直接写答案） （3）1 ．（直接写答案） 15．计算： (1)； (2) 16．用简便方法计算： (1)； (2)； (3). 17．有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13（J，Q，K分别代表11，12，13；A表示1）之间的自然数，将这四个数(每个数用且只用一次)进行加减乘除四则运算，使其结果等于24；例如对1，2，3，4可作运算：．(注意上述运算与4×(1＋2＋3)应视为相同的运算) (1)小明抽到了3，4，5，2；小聪抽到了J，2，10，5．这两组牌都能算出“24”点吗？为什么？ (2)如果算式中允许包含乘方运算，两组牌中你能列出含乘方运算的算式吗？ 18．阅读下面材料： 计算：． 解法①： 原式 ． 解法②： 原式 ． 解法三： 原式的倒数为： ， 故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法_____是错误的（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法______比较简便．（填序号） 请你进行简便计算：． 19．一出租车一天下午2小时内 以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：公里）依先后次序记录如下：，，，，，． (1)该车2小时内最远时在鼓楼什么方向?离鼓楼多远?将最后一名乘客送到目的地，该车在出发地什么方向?离出发地多远? (2)若每公里收费为3元，且每百公里耗油10升，汽油价格每升6元，那么该司机这2小时除去汽油费后收入是多少? (3)司机每天还要向出租车公司上交180元的管理费，若一天按照工作8小时计算，一月安28天算，问该司机辛苦一个月后的收入约为多少元? 20．阅读材料：   求的值. 解：设，将等式两边同时乘2，得 ， 将下式减上式，得，即 ， 即 ． 请你仿照此法计算： (1)； (2) （其中n 为正整数）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$