专题05新定义类问题压轴题选练-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（浙江专用）

专题05 新定义类问题压轴题选练 1．（2023秋•海曙区期中）概念学习 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． （1）理解概念：判断下列说法是否正确（对的打√，错的打×） 1．全等三角形是“等角三角形”． 　 　 2．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，图中共有2对“等角三角形”． 　 　 3．如图1，在Rt△ABC中，AC≠BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB，无论∠A为何值，CD都不可能是△ABC的“等角分割线”． 　 　 （2）概念应用：如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的等角分割线． （3）在△ABC中，∠A＝24°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数． 2．（2023秋•东阳市期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组的解集为2＜x＜5，不难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组的“关联方程”． （1）在方程①2（x+1）﹣x＝﹣3；②﹣1＝x：③2x﹣7＝0中，不等式组的“关联方程”是 　 　；（填序号） （2）关于x的方程 2x﹣k＝6 是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围； （3）若关于x的方程﹣3m＝0是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求m的取值范围． 3．（2023秋•柯桥区期中）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是3，6和，因为2，所以这个三角形是常态三角形． （1）若△ABC三边长分别是2，3和，则此三角形 　 　常态三角形（填“是”或“不是”）； （2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为 　 　（请按从小到大排列）； （3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求AC的长． 4．（2023秋•镇海区校级期中）定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的仁智线，这个三角形叫做仁智三角形． （1）如图1，在仁智三角形ABC中，AD⊥BC，AD为该三角形的仁智线，CD＝1，，则∠B的度数为 　 　； （2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，F是斜边BC延长线上一点，连接AF，以AF为直角边作等腰直角三角形AFE（点A，F，E按顺时针排列），∠EAF＝90°，AE交BC于点D，连接EC，EB．当∠BDE＝2∠BCE时，求证：ED是△EBC的仁智线； （3）如图3，△ABC中，AB＝AC＝10，BC2＝320．若△BCD是仁智三角形，且AC为仁智线，请同学们把图形补充完整，并求△BCD的面积． 5．（2023秋•鹿城区校级期中） 项目背景 我校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容知识点，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：1．画出不同类型三角形形成的树形图；2．所画的基础三角形周长为8cm，其中一条边长固定为2cm，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三 解决问题 任务一 小明画出了锐角△ABC，AB＝AC，BC＝2，则＝　 　. 任务二 小金画出了直角△DEF，∠DFE＝90°，EF＝2，计算S2+S3的值，并写出过程． 任务三 小山画出了钝角△GHI，∠GIH＝120°，HI＝2，则S2+S3＝　 　. 项目总结 综合以上三位同学的图形以及计算结果，小子成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由 　 　三角形形成的（S3+S2+S1）总面积最大，（填锐角、直角或钝角）．这个猜想，聪明的同学你会证明吗？ 6．（2023秋•奉化区校级期中）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． ●特例感知 ①等腰直角三角形 　 　勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； ②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD＝2AD＝2，试求线段CD的长度． ●深入探究 如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明； ●推广应用 如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若CE＝a，试求线段DE的长度． 7．（2023秋•拱墅区校级期中）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． （1）不等式x≥3 　 　（选填“是”或“不是”）x≤3的“云不等式”． （2）若关于x的不等式x﹣2a≥0与不等式1﹣2x＞x﹣11互为“云不等式”且有2个公共的整数解，求a的取值范围． 8．（2023秋•金华期中）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． 特例感知 ①等腰直角三角形 　 　勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； ②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD＝1，AD＝2，试求线段CD的长度． 深入探究 如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明： 推广应用 如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若CE＝a，直接写出线段DE的长度（用含a的代数式表示）． 9．（2023秋•龙泉市期中）背景材料：在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，这种模型称为“手拉手”模型．现规定：将两个等腰三角形的底角顶点连接起来的两条线段叫做“兄弟”线段． 例如：如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，证得△ADB≌△AEC．此时线段DB和线段EC就是一对“兄弟”线段． （1）[材料理解]请判断上例中“兄弟”线段DB和EC的大小关系，并说明理由； （2）[深入探究]如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AD，若AC＝2，AD＝1，∠DAC＝45°，求AE的长； （3）[延伸应用]如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，P是△ACB外一点，∠APC＝75°，，AP＝8，求线段BP的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 新定义类问题压轴题选练 1．（2023秋•海曙区期中）概念学习 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． （1）理解概念：判断下列说法是否正确（对的打√，错的打×） 1．全等三角形是“等角三角形”． 　√　 2．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，图中共有2对“等角三角形”． 　×　 3．如图1，在Rt△ABC中，AC≠BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB，无论∠A为何值，CD都不可能是△ABC的“等角分割线”． 　√　 （2）概念应用：如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的等角分割线． （3）在△ABC中，∠A＝24°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数． 【分析】（1）根据“等角三角形”的定义解答； （2）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，根据“等角三角形”的定义证明； （3）分△ACD是等腰三角形，DA＝DC、DA＝AC和△BCD是等腰三角形，DB＝BC、DC＝BD四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【解答】（1）解：1．全等三角形的对应角相等，故全等三角形是等角三角形；正确 2．△ABC与△ACD，△ABC与△CBD，△ACD与△CBD是“等角三角形”；错误； 3．∵AC≠BC， ∴CD不能将原三角形分成等腰三角形， ∴不可能是△ABC的“等角分割线”． 故3正确． 故答案为：1．√，2．×，3．√； （2）证明：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°， ∵CD为角平分线， ∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°， ∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A， ∴CD＝DA， 在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°， ∴∠BDC＝∠ACB， ∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，∠B＝∠B， ∴CD为△ABC的等角分割线； （3）解：当△ACD是等腰三角形，如图2，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝24°， ∴∠ACB＝∠BDC＝24°+24°＝48°， 当△ACD是等腰三角形，如图3，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝78°， ∠BCD＝∠A＝24°， ∴∠ACB＝78°+24°＝102°， 当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在， 当△BCD是等腰三角形，如图4，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝52°， ∴∠ACB＝104°， 当△BCD是等腰三角形，如图5，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD， 设∠BDC＝∠BCD＝x， 则∠B＝180°﹣2x， 则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x， 由题意得，180°﹣2x+24°＝x， 解得，x＝68°， ∴∠ACD＝180°﹣2x＝44°， ∴∠ACB＝112°， 当△BCD是等腰三角形，CD＝CB的情况不存在， ∴∠ACB的度数为48°或102°或104°或112°． 2．（2023秋•东阳市期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组的解集为2＜x＜5，不难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组的“关联方程”． （1）在方程①2（x+1）﹣x＝﹣3；②﹣1＝x：③2x﹣7＝0中，不等式组的“关联方程”是 　②③　；（填序号） （2）关于x的方程 2x﹣k＝6 是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围； （3）若关于x的方程﹣3m＝0是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求m的取值范围． 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出x＝，最后根据“关联方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有3个整数解，即可得出，然后求出方程的解为x＝6m﹣5，根据“关联方程”的定义得出＜m≤2，即可得出＜m＜1． 【解答】解：（1）①2（x+1）﹣x＝﹣3， 解得：x＝﹣5， ②﹣1＝x 解得：x＝﹣1， ③2x﹣7＝0， 解得：x＝3.5， ， 解不等式①得：x＞﹣4， 解不等式②得：x≤4， ∴原不等式组的解集为：﹣4＜x≤4， ∴不等式组的“关联方程”是：②③， 故答案为：②③； （2）， 解不等式①得：x≤﹣3， 解不等式②得：x＞﹣5， ∴原不等式组的解集为：﹣5＜x≤﹣3， 2x﹣k＝6， 解得：x＝， ∵关于x的方程 2x﹣k＝6 是不等式组的“关联方程”， ∴﹣5＜≤﹣3， 解得﹣16＜k≤﹣12； （3）关于x的方程﹣3m＝0， 解得：x＝6m﹣5， ， 解不等式①得：x＞0， 解不等式②得：x≤3m+1， ∴原不等式组的解集为：0＜x≤3m+1， ∵不等式组有3个整数解， ∴整数的值为1，2，3， ∴3≤3m+1＜4， 解得， ∵关于x的方程﹣3m＝0是关于x的不等式组的“关联方程”， ∴， 解得：＜m≤2． ∴m的取值范围是＜m＜1． 3．（2023秋•柯桥区期中）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是3，6和，因为2，所以这个三角形是常态三角形． （1）若△ABC三边长分别是2，3和，则此三角形 　是　常态三角形（填“是”或“不是”）； （2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为 　；　（请按从小到大排列）； （3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求AC的长． 【分析】（1）直接利用常态三角形的定义判断即可； （2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案； （3）直接利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义分两种情况讨论，进而求出答案． 【解答】解：（1）∵， ∴△ABC三边长分别是2，3和，则此三角形是常态三角形． 故答案为：是； （2）∵Rt△ABC是常态三角形， ∴设两直角边长为：a，b，斜边长为：c， 则a2+b2＝c2，a2+c2＝3b2， 则2a2＝2b2， 故a：b＝1：1， ∴设a＝x，b＝x， 则， ∴此三角形的三边长之比为：． 故答案为：； （3）设CD边为x， ∵Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝4，CD为Rt△ABC的中线， ∴AD＝DB＝CD＝x， ∴AB＝2x， 又△BCD是常态三角形， 当3x2＝x2+62，此时x2＝18， ∴， 当x2+x2＝3×62，此时x2＝54， ∴， 所以AC的长为6或． 4．（2023秋•镇海区校级期中）定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的仁智线，这个三角形叫做仁智三角形． （1）如图1，在仁智三角形ABC中，AD⊥BC，AD为该三角形的仁智线，CD＝1，，则∠B的度数为 　45°　； （2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，F是斜边BC延长线上一点，连接AF，以AF为直角边作等腰直角三角形AFE（点A，F，E按顺时针排列），∠EAF＝90°，AE交BC于点D，连接EC，EB．当∠BDE＝2∠BCE时，求证：ED是△EBC的仁智线； （3）如图3，△ABC中，AB＝AC＝10，BC2＝320．若△BCD是仁智三角形，且AC为仁智线，请同学们把图形补充完整，并求△BCD的面积． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可求解； （2）证明DE＝DC，结合定义可得结论； （3）如图3中，过点A作AH⊥BC于点H．有两种情形：当CD⊥BD时，或当CD′⊥AC时，△BCD，△BCD′是仁智三角形． 【解答】（1）解：∵△ABC是仁智三角形，AD⊥BC，AD≠DC， ∴△ADB是等腰直角三角形， ∴∠B＝45°， 故答案为：45°； （2）证明：∵∠BAC＝∠EAF＝90°， ∴∠BAE＝∠CAF， 在△BAE和△CAF中， ， ∴△BAE≌△CAF（SAS）， ∴∠ABE＝∠ACF， ∵∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ABE＝∠ACF＝135°， ∴∠EBD＝90°， ∵∠BDE＝∠DCE+∠DEC，∠BDE＝2∠DCE， ∴∠DCE＝∠DEC， ∴DE＝DC， ∴△DEC是等腰三角形， ∵△EDB是直角三角形， ∴△BEC是仁智三角形； ∴ED是△EBC的仁智线； （3）解：如图3中，过点A作AH⊥BC于点H． 有两种情形：当CD⊥BD时，△BCD是仁智三角形． ∵AB＝AC＝10，BC2＝320，AH⊥BC， ∴， ∴， ∵S△ABC＝BC•AH＝AB•CD， ∴CD＝8， ∴， ∴S△BCD＝BD•CD＝×（10+6）×8＝64； 当CD′⊥AC时，△BCD′是仁智三角形． 设CD′＝x，DD′＝y， ∴x2＝y2+82，102+x2＝（6+y）2，即102+y2+82＝（6+y）2， 解得：， S△CBD′＝××8＝． 综上所述，满条件的△BCD的面积为64或． 5．（2023秋•鹿城区校级期中） 项目背景 我校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容知识点，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：1．画出不同类型三角形形成的树形图；2．所画的基础三角形周长为8cm，其中一条边长固定为2cm，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三 解决问题 任务一 小明画出了锐角△ABC，AB＝AC，BC＝2，则＝　　. 任务二 小金画出了直角△DEF，∠DFE＝90°，EF＝2，计算S2+S3的值，并写出过程． 任务三 小山画出了钝角△GHI，∠GIH＝120°，HI＝2，则S2+S3＝　cm2　. 项目总结 综合以上三位同学的图形以及计算结果，小子成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由 　钝角　三角形形成的（S3+S2+S1）总面积最大，（填锐角、直角或钝角）．这个猜想，聪明的同学你会证明吗？ 【分析】任务一，先根据AB＝AC，BC＝2cm，AB+AC+BC＝8cm，求出AB＝AC＝3cm，进而可求出S1＝4cm2，S2＝9cm2，S3＝9cm2，然后可求出的值； 任务二，设DF＝x cm，先根据∠DFE＝90°，EF＝2cm，△DEF的周长为8cm，得DE＝（6﹣x）cm，再由勾股定理求出x＝cm，进而得DF＝cm，DE＝cm，由此可求出S1＝4cm2，S2＝cm2，S3＝cm2，然后再求出S2+S3即可； 任务三，过点G作GT⊥HI交HI的延长线于T，先在Rt△GIT中求出∠IGT＝30°，设IT＝a cm，则GI＝2a cm，GT＝√3a（cm），再根据HI＝2cm，△GHI的周长为8cm，得HG＝（6﹣2a）cm，然后在Rt△GHT中，由勾股定理求出a＝，进而得GI＝2a＝cm，HG＝6﹣2a＝cm，由此可求出S1＝4cm2，S2＝cm2，S3＝cm2，据此可求出S2+S3的值； 项目总结：在类型①中：S1+S2+S3＝22（cm2）；在类型②中：S1+S2+S3＝cm2；在类型③中：S1+S2+S3＝cm2，然后由22＜＜，可得出猜想：周长一定的情况下，由钝角三角形形成的（S3+S2+S1）总面积最大． 【解答】解：任务一，∵AB＝AC，BC＝2cm，AB+AC+BC＝8cm， ∴AB＝AC＝3cm， ∴S1＝BC2＝4（cm2），S2＝AB2＝9（cm2），S3＝AC2＝9（cm2）， ∴＝； 任务二，设DF＝x cm， 直角△DEF，∠DFE＝90°，EF＝2cm， 又∵△DEF的周长为8cm， ∴DE＝8﹣2﹣x＝（6﹣x）cm， 由勾股定理得：EF2+DF2＝DE2， 即：22+x2＝（6﹣x）2， 解得：x＝cm， 即DF＝cm， ∴DE＝6﹣x＝cm， ∴S1＝EF2＝22＝4（cm2），S2＝DF2＝＝（cm2），S3＝DE2＝＝（cm2）， ∴S2+S3＝＝（cm2）； 任务三，过点G作GT⊥HI交HI的延长线于T，如图所示： 在△GHI中，∠GIH＝120°，HI＝2cm， ∴∠GIT＝180°﹣∠GIH＝60°， ∵GT⊥HI， ∴∠IGT＝30°， 设IT＝a cm，则GI＝2a cm， 由勾股定理得：GT＝＝（cm）， ∵HI＝2cm，△GHI的周长为8cm， ∴HG＝8﹣2﹣2a＝（6﹣2a）cm， 在Rt△GHT中，HG＝（6﹣2a）cm，GT＝√cm，HT＝（2+a）cm， 由勾股定理得：HG2＝GT2+HT2， 即， 解得：a＝， ∴GI＝2a＝（cm），HG＝6﹣2a＝（cm）， ∴S1＝HI2＝22＝4（cm2），S2＝GI2＝＝（cm2），S3＝HG2＝＝（cm2）， ∴S2+S3＝＝（cm2）； 项目总结： 猜想：周长一定的情况下，由钝角三角形形成的（S3+S2+S1）总面积最大． 证明如下： 在类型①中：S1+S2+S3＝4+9+9＝22（cm2）； 在类型②中：S1+S2+S3＝＝（cm2）； 在类型③中：S1+S2+S3＝＝（cm2）， ∵22＜＜， ∴周长一定的情况下，由钝角三角形形成的（S3+S2+S1）总面积最大． 6．（2023秋•奉化区校级期中）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． ●特例感知 ①等腰直角三角形 　是　勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； ②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD＝2AD＝2，试求线段CD的长度． ●深入探究 如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明； ●推广应用 如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若CE＝a，试求线段DE的长度． 【分析】●特例感知：①根据勾股高三角形的定义即可判断； ②如图1，根据勾股定理可得：CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1，于是CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3，即可解决问题； ●深入探究：由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，即可推出AD2＝CB2； ●推广应用：过点A向ED引垂线，垂足为G，只要证明△AGD≌△CDB（AAS），即可解决问题； 【解答】解：●特例感知： ① 等腰直角三角形是勾股高三角形． 故答案为是． ②如图1中，根据勾股定理可得：CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1， 于是CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3， ∴CD＝． ●深入探究： 如图2中，由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2， ∴AD2＝CB2， 即AD＝CB； ●推广应用： 过点A向ED引垂线，垂足为G， ∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且AB＝AC＞BC， ∴只能是AC2﹣BC2＝CD2，由上问可知AD＝BC……①． 又ED∥BC，∴∠1＝∠B……②． 而∠AGD＝∠CDB＝90°……③， ∴△AGD≌△CDB（AAS）， ∴DG＝BD． 易知△ADE与△ABC均为等腰三角形， 根据三线合一原理可知ED＝2DG＝2BD． 又AB＝AC，AD＝AE， ∴BD＝EC＝a， ∴ED＝2a． 7．（2023秋•拱墅区校级期中）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． （1）不等式x≥3 　是　（选填“是”或“不是”）x≤3的“云不等式”． （2）若关于x的不等式x﹣2a≥0与不等式1﹣2x＞x﹣11互为“云不等式”且有2个公共的整数解，求a的取值范围． 【分析】（1）根据云不等式的定义，即可解答； （2）先分别解两个不等式，然后根据题意可得1＜2a≤2，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵x≥3与x≤3有一个公共解x＝3， ∴不等式x≥3是x≤3的“云不等式”， 故答案为：是； （2）解不等式x﹣2a≥0，得x≥2a， 解不等式1﹣2x＞x﹣11，得x＜4， ∵关于x的不等式x﹣2a≥0与不等式1﹣2x＞x﹣11互为“云不等式”且有2个公共的整数解， ∴1＜2a≤2， 解得：， ∴a的取值范围是：． 8．（2023秋•金华期中）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． 特例感知 ①等腰直角三角形 　是　勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； ②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD＝1，AD＝2，试求线段CD的长度． 深入探究 如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明： 推广应用 如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若CE＝a，直接写出线段DE的长度（用含a的代数式表示）． 【分析】特例感知：①根据勾股高三角形的定义即可判断； ②根据勾股定理得到CB2＝CD2+1，CA2＝CD2+4，根据勾股高三角形的定义得到CD2＝CA2﹣CB2，计算即可得到答案； 深入探究：由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，即可推出AD2＝CB2； 推广应用：过点A作AG⊥ED于G，证明△ADE为等腰三角形，△AGD≌△CDB（AAS），即可解决问题． 【解答】解：特例感知： ①等腰直角三角形是勾股高三角形． 设等腰直角三角形的直角边长为a， 则斜边长为， ∵， ∵等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高， ∴等腰直角三角形是勾股高三角形， 故答案为：是； ②∵CD是AB边上的高，BD＝1，AD＝2， ∴CB2＝CD2+BD2＝CD2+1，CA2＝CD2+AD2＝CD2+4， ∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点，CD是AB边上的高， ∴CD2＝CA2﹣CB2， ∴CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴线段CD的长为； 深入探究：AD＝CB． 证明：∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高， ∴CA2﹣CB2＝CD2， ∴CA2﹣CD2＝CB2， ∵CA2﹣CD2＝AD2， ∴AD2＝CB2， ∴AD＝CB； •推广应用： 过点A作AG⊥ED于G，如图， ∴∠AGD＝90°， ∵等腰△ABC为勾股高三角形，且AB＝AC＞BC，CD为AB边上的高， ∴AC2﹣BC2＝CD2，∠CDB＝90°， 由上问可知：AD＝BC， ∵ED∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠B， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AE＝AD， ∵∠AGD＝∠CDB＝90°， 在△AGD和△CDB中， ， ∴△AGD≌△CDB（AAS）， ∴DG＝BD， ∵△ADE为等腰三角形， ∴ED＝2DG＝2BD， ∵AB＝AC，AE＝AD，CE＝a， ∴BD＝CE＝a， ∴ED＝2a， ∴线段DE的长度为2a． 9．（2023秋•龙泉市期中）背景材料：在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，这种模型称为“手拉手”模型．现规定：将两个等腰三角形的底角顶点连接起来的两条线段叫做“兄弟”线段． 例如：如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，证得△ADB≌△AEC．此时线段DB和线段EC就是一对“兄弟”线段． （1）[材料理解]请判断上例中“兄弟”线段DB和EC的大小关系，并说明理由； （2）[深入探究]如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AD，若AC＝2，AD＝1，∠DAC＝45°，求AE的长； （3）[延伸应用]如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，P是△ACB外一点，∠APC＝75°，，AP＝8，求线段BP的长． 【分析】（1）证△ADB≌△AEC（SAS），得出DB＝EC即可； （2）先证△ACE≌△BCD（SAS），得出AE＝BD，再由等腰直角三角形的性质得∠CAB＝45°，AB＝AC＝2，则∠DAB＝∠CAB+∠DAC＝90°，然后由勾股定理求出BD＝3，即可得出答案； （3）以PC为直角边在CP的下面作等腰直角三角形PCE，使∠PCE＝90°，PC＝CE，连接AE交BP于点H，先求出∠APE＝∠APC+∠CPE＝120°，AP＝PE，则∠PAE＝∠AEP＝30°，再证△BCP≌△ACE（SAS），得出BP＝AE，∠PBC＝∠EAC，然后证PB⊥AE，由等腰三角形的性质得出AE＝2AH，最后由含30°角的直角三角形性质和勾股定理求出AH＝4，即可得出答案． 【解答】解：（1）“兄弟”线段DB和EC的大小关系为DB＝EC，理由如下： ∵∠BAC＝∠DAE， 即∠CAE+∠BAE＝∠BAD+∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ADB和△AEC中， ， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴DB＝EC； （2）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AC＝BC，CE＝CD，∠DCE+∠ACD＝∠ACB+∠ACD， 即∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE＝BD， ∵△ACB是等腰直角三角形， ∴∠CAB＝45°，AB＝AC＝2， ∴∠DAB＝∠CAB+∠DAC＝45°+45°＝90°， 在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD＝＝＝3， ∴AE的长为3； （3）如图3，以PC为直角边在CP的下面作等腰直角三角形PCE，使∠PCE＝90°，PC＝CE，连接AE交BP于点H， ∴PE＝PC＝×4＝8，∠CPE＝45°， ∵AP＝8，∠APC＝75°， ∴∠APE＝∠APC+∠CPE＝75°+45°＝120°，AP＝PE， ∴∠PAE＝∠AEP＝（180°﹣120°）＝30°， ∵∠ACB＝∠PCE＝90°， ∴∠ACB+∠ACP＝∠PCE+∠ACP， 即∠BCP＝∠ACE， ∵△ACB是等腰直角三角形， ∴BC＝AC， 在△BCP和△ACE中， ， ∴△BCP≌△ACE（SAS）， ∴BP＝AE，∠PBC＝∠EAC， ∵∠AFH＝∠BFC， ∴∠AHF＝∠BCF＝90°， ∴PB⊥AE， 又∵AP＝PE， ∴AE＝2AH， ∵∠AHP＝90°，∠PAE＝30°， ∴PH＝AP＝×8＝4， 在Rt△AHP中，由勾股定理得：AH＝＝＝4， ∴AE＝2AH＝2×4＝8， ∴线段BP的长为8． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$