2.2.3 直线的一般式方程【6大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

2.2.3 直线的一般式方程 【知识梳理】 · 考点一、直线的一般式方程 · 考点二：直线一般方程和其他形式的转化 · 考点三：一般式下直线的平行与垂直的问题 · 考点四：由两条直线平行或垂直求直线方程 · 考点五：直线过定点问题 · 考点六：直线一般方程的综合问题 【知识梳理】 知识点一　直线的一般式方程 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 知识点二　直线的五种形式的方程 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 无 知识点三　直线各种形式方程的互化 知识点四　一般式下直线的平行与垂直 设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)， 则l1∥l2⇔l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 【例题详解】 题型一、直线的一般式方程 1．（23-24高二上·新疆昌吉）经过点且斜率为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东·期末）已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东汕头·期末）已知直线的倾斜角为，则（ ） A． B． C． D． 题型二：直线一般方程和其他形式的转化 4．（23-24高二上·湖北·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广东肇庆·期末）直线l：与y轴的交点为A，把直线l绕着点A逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知直线过点，且倾斜角为直线倾斜角的一半，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型三：一般式下直线的平行与垂直的问题 7．（23-24高三上·山东青岛·期末）“”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（23-24高二下·河南·开学考试）已知直线，䒴，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 9．（20-21高二上·青海西宁·期末）是直线与直线互相垂直的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四：由两条直线平行或垂直求直线方程 10．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 11．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 12．（23-24高二上·北京石景山·期末）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. (1)求边所在直线的方程； (2)求对角线所在直线的方程. 题型五：直线过定点问题 13．（23-24高二上·北京西城·期中）任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·江苏南京·期末）方程所表示的直线（    ） A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 15．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长. 题型六：直线一般方程的综合问题 16．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知的三个顶点是，，，求下列直线的方程（用一般式表示）. (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)边上的垂直平分线所在直线的方程. 17．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 18．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）设直线l的方程为． (1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积最小时，求此时的直线方程； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程． 【高分演练】 一、单选题 19．（24-25高二上·江苏徐州）过点且斜率为1的直线方程是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知直线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高二下·湖南常德·开学考试）已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 22．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线：和直线：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）当直线过点，当取得最小值时，直线的方程为：（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知直线l：，则下列说法不正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 25．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 26．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 27．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知直线：，其中，则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．若直线与直线平行，则 C．当时，直线的倾斜角为 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 28．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知直线的方程为，直线的方程为，（    ） A．则直线的斜率为 B．若，则 C．若，则或 D．直线过定点 29．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知的三个顶点分别是，且边上的高所在的直线方程为，则以下结论正确的是（    ） A． B．边上的中线所在的直线方程为 C．过点且平行于的直线方程为 D．三边所在的直线中，直线的倾斜角最大 三、填空题 30．（24-25高二上·湖南衡阳·开学考试）对任意的实数，直线所过的定点为 ． 31．（24-25高二上·全国·课前预习）已知的三个顶点分别是，，，则边上的高所在直线的方程为 ． 32．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线：与直线：互相垂直，实数k的值为 ． 33．（24-25高二上·上海·随堂练习）下列说法正确的是 ． ①直线恒过定点； ②直线在y轴上的截距为1； ③直线的倾斜角为150°； ④已知直线l过点，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为． 四、解答题 34．（23-24高二上·浙江嘉兴）已知点和直线. (1)若直线经过点P，且，求直线的方程； (2)若直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 35．（23-24高二下·上海静安）设直线l的方程为． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程． 36．（2024高二·全国） （1）已知直线l的一般式方程为，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距； （2）根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式. ①斜率是，经过点； ②经过点，平行于x轴； ③在x轴和y轴上的截距分别是，； ④经过两点 37．（22-23高二上·安徽马鞍山）已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程； (2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 38．（23-24高二上·江苏无锡）如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点B在第一象限内，. (1)若，求的面积的最大值和取得面积最大值时的直线的方程； (2)设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点的坐标. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.3 直线的一般式方程 【知识梳理】 · 考点一、直线的一般式方程 · 考点二：直线一般方程和其他形式的转化 · 考点三：一般式下直线的平行与垂直的问题 · 考点四：由两条直线平行或垂直求直线方程 · 考点五：直线过定点问题 · 考点六：直线一般方程的综合问题 【知识梳理】 知识点一　直线的一般式方程 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 知识点二　直线的五种形式的方程 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 无 知识点三　直线各种形式方程的互化 知识点四　一般式下直线的平行与垂直 设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)， 则l1∥l2⇔l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 【例题详解】 题型一、直线的一般式方程 1．（23-24高二上·新疆昌吉）经过点且斜率为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线的点斜式方程即可得解. 【详解】因为直线经过点且斜率为， 所以直线方程为，即. 故选：D. 2．（23-24高二上·广东·期末）已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出斜率即可得倾斜角. 【详解】直线的方程为，即， 方程斜率为，所以倾斜角为. 故选：D. 3．（23-24高二上·广东汕头·期末）已知直线的倾斜角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定，再根据同角三角函数基本关系式，即可求解. 【详解】由条件可知，，则， 所以，解得：，, 故选：A 题型二：直线一般方程和其他形式的转化 4．（23-24高二上·湖北·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线互相垂直可得所求直线的斜率，利用直线的点斜式方程即得. 【详解】由直线可得其斜率为：，则与其垂直的直线斜率为， 故过点且与直线垂直的直线方程为，即：. 故选：C. 5．（23-24高二上·广东肇庆·期末）直线l：与y轴的交点为A，把直线l绕着点A逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线l：的倾斜角为，可得，从而利用两角和的正切公式求出直线的斜率，由直线的点斜式方程，即可得答案. 【详解】设直线l：的倾斜角为，则， 由题意可得，直线的倾斜角为， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故选：C 6．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知直线过点，且倾斜角为直线倾斜角的一半，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线倾斜角和斜率关系即可得出直线方程. 【详解】设直线的倾斜角为，则，解得， 因为直线倾斜角为直线倾斜角的一半， 所以直线倾斜角为，从而， 即直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为， 即. 故选：A. 题型三：一般式下直线的平行与垂直的问题 7．（23-24高三上·山东青岛·期末）“”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】当时，直线与平行； 当直线与平行时， 有且，解得， 故“”是“直线与平行”的充要条件， 故选：C 8．（23-24高二下·河南·开学考试）已知直线，䒴，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由两直线平行和垂直的条件，列方程求解. 【详解】已知直线， 由，得，且，解得， 由，得，故. 故选：B. 9．（20-21高二上·青海西宁·期末）是直线与直线互相垂直的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线互相垂直求出的值，从而判断结论. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以， 解得或， 所以是直线与直线互相垂直的充分不必要条件. 故选：A. 题型四：由两条直线平行或垂直求直线方程 10．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出交点，后依据垂直求出所求直线的斜率，再求方程即可. （2）结合求出的交点，后依据平行求出所求直线的斜率，再求方程即可. 【详解】（1）联立方程与，解得，，故， 而的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. （2）易知的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. 11．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出中点，则可得到中线的直线方程； （2）根据直线垂直得到高的斜率，则得到边上的高的直线方程； （3）求出AC的中点，再根据斜率垂直则得到斜率，即可得到直线方程. 【详解】（1），，由中点坐标公式得中点为， 又，由直线方程的两点式得边上的中线的直线方程为， 整理得：. （2），，则，所以边上的高的直线的斜率为， 又，则边上的高的直线方程为， 整理得：． （3）因为，，则其中点坐标为， 而，则AC边的垂直平分线的斜率为1，其方程为：， 即. 12．（23-24高二上·北京石景山·期末）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. (1)求边所在直线的方程； (2)求对角线所在直线的方程. 【答案】(1)BC所在直线方程为，AD所在直线方程为 (2) 【分析】（1）求出，由点斜式求出直线方程； （2）求出的中点坐标，再根据垂直关系得到，利用点斜式写出直线方程，得到答案. 【详解】（1）由菱形的性质可知 ，则. 所以边所在直线的方程为，即； 边所在直线的方程为，即. （2）线段的中点为， 由菱形的几何性质可知，且为的中点，则， 所以对角线所在直线的方程为，即. 题型五：直线过定点问题 13．（23-24高二上·北京西城·期中）任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点. 【详解】因为，即， 所以直线恒过定点. 故选：C. 14．（23-24高二上·江苏南京·期末）方程所表示的直线（    ） A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 【答案】A 【分析】将方程化为 ，令的系数等于0，即可得到答案. 【详解】，， 令，解得， 即方程所表示的直线恒过定点． 故选：． 15．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可得解. （2）设直线的方程为，求出点坐标，表示出面积，利用基本不等式求出面积的最小值得解. 【详解】（1）证明：由可得：， 令， 所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，设直线与轴，轴正半轴交点为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. 题型六：直线一般方程的综合问题 16．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知的三个顶点是，，，求下列直线的方程（用一般式表示）. (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)边上的垂直平分线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出AB的中点坐标，再结合直线的两点式方程，即可求解. （2）根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线的点斜式方程，即可求解. （3）根据已知条件，结合垂直的性质，先求出垂直平分线的斜率，结合AC的中点，列点斜式方程，即可求解. 【详解】（1）由已知，得的中点的坐标为，又因为AB上的中线过， 所以直线的方程为，即. （2）边所在直线的斜率， 因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高经过点，所以边上的高所在的直线方程为， 即. （3）由已知，得直线AC的斜率为，的中点的坐标为， 所以边AC上的垂直平分线所在直线斜率为， 所以边AC上的垂直平分线所在直线方程为，即. 17．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 18．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）设直线l的方程为． (1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积最小时，求此时的直线方程； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】(1) 因为，，通过化简得，结合过定点列方程组，解出方程组的解即可得到定点坐标. (2) 令得，，令可得，.因为，点A，B分别在x，y轴的正半轴上，所以得到的取值范围，再利用均值不等式求出的值即可得到直线方程. (3) 由(2)可知直线l分别与x，y 轴的正半轴相交，所以，，均为正整数且a也为正整数求得. 将的值代入原方程即可. 【详解】（1）由得，则，解得， ∴不论a为何值，直线l必过一定点； （2）由， 当时，，当时，， 又由，得， ， 当且仅当，即时，取等号． ，， ∴直线方程为． （3）直线l在两坐标轴上的截距均为正整数，即，均为正整数，而a也为正整数， ，， ∴直线l的方程为． 【高分演练】 一、单选题 19．（24-25高二上·江苏徐州）过点且斜率为1的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线方程的点斜式可直接写出方程，化简即可. 【详解】根据题意可得直线为，化简得. 故选：D 20．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知直线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两直线平行列式计算即可. 【详解】由题意可知，，所以，且. 故选：B. 21．（23-24高二下·湖南常德·开学考试）已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】设，直线过和， 当时，直线、直线与轴围成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在. 设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，三角形是等腰三角形， 同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形， 所以，此时直线的方程为，即， 设直线与轴相交于点，如图所示，若， 则，所以直线，也即直线的斜率为， 对应方程为，即， 综上直线方程为或， 故选：D 22．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线：和直线：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线平行求得或，再结合包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若，则，解得或， 若，则直线：、直线：，可知； 若，则直线：、直线：，可知； 综上所述：或. 因为是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 23．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）当直线过点，当取得最小值时，直线的方程为：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知得，根据基本不等式“”的代换可得的最小值，即取最小值时与的值，进而得解. 【详解】由直线过点， 则，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线方程为，即. 故选：C. 24．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知直线l：，则下列说法不正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 【答案】C 【分析】将方程化为判断直线过定点，判断A的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；讨论和时直线的斜率和截距情况，判断CD的正误. 【详解】直线的方程可化为， 所以直线过定点，故A正确； 因为直线与轴的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 而直线的斜率为，所以或， 所以或，故B正确； 当时，直线，斜率不存在， 当时，直线的斜率为， 不可能等于，故C错误； 当时，直线在轴上的截距不存在， 当时，令，得， 令，得，令， 得，故D选项正确. 故选：C. 25．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知直线恒过定点，根据斜率公式结合图象分析求解. 【详解】因为直线恒过定点，如图. 又因为，，所以直线的斜率k的范围为. 故选：C. 二、多选题 26．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 【答案】ACD 【分析】选项A可由含参直线的定点坐标求法可得；选项B当时，，重合；选项C由一般方程垂直时系数关系可得；选项D化为斜截式后，由斜率和和轴上的截距可判断. 【详解】选项A：：，令，得，过点，A正确； 选项B：当时，，重合，故B错误； 选项C：当时，由，得或2，故C正确； 选项D：当时，：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确. 故选：ACD 27．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知直线：，其中，则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．若直线与直线平行，则 C．当时，直线的倾斜角为 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC 【分析】由直线的点斜式方程可判定A；由两直线平行，斜率相等可判定B；对于C、D，分别求出直线即可判断. 【详解】由已知，直线：， 则直线过定点，A正确； 若直线与直线平行，则， 得，或，B错误； 当时，直线：，则， 所以倾斜角为，C正确； 当时，直线：，其在轴上的截距分别为， 不相等，D错误. 故选：AC. 28．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知直线的方程为，直线的方程为，（    ） A．则直线的斜率为 B．若，则 C．若，则或 D．直线过定点 【答案】CD 【分析】根据时，直线的斜率不存在，即可判断A；根据两直线平行的充要条件计算即可判断B；根据两直线垂直的充要条件计算即可判断C；令的系数等于零求出定点即可判断D. 【详解】对于A，当时，直线的斜率不存在，故A错误； 对于B，若，则，解得或， 经检验，两个都符合题意，所以或，故B错误； 对于C，若，则，解得或，故C正确； 对于D，直线的方程化为， 令，解得， 所以直线过定点，故D正确. 故选：CD. 29．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知的三个顶点分别是，且边上的高所在的直线方程为，则以下结论正确的是（    ） A． B．边上的中线所在的直线方程为 C．过点且平行于的直线方程为 D．三边所在的直线中，直线的倾斜角最大 【答案】BC 【分析】对于A，利用高线所在直线方程，代入点的坐标，建立方程，可得答案；对于B，利用中点坐标公式，根据斜率公式以及点斜式方程，可得答案；对于C，根据斜率公式以及点斜式方程，可得答案；对于D，根据斜率与倾斜角的关系，可得答案. 【详解】对于A，在直线上，，故A不正确； 对于B，的中点为，，∴斜率为， 则直线方程为，即，故B正确； 对于C，直线方程为， 整理可得，故C正确； 对于D，，， 直线的倾斜角大于直线的倾斜角，故D不正确， 故选：BC． 三、填空题 30．（24-25高二上·湖南衡阳·开学考试）对任意的实数，直线所过的定点为 ． 【答案】 【分析】将方程化为，列方程求解即可. 【详解】原方程可变形为， 令，解得， 于是有对，都满足方程， 所以这些直线都经过同一定点，该定点的坐标为. 故答案为：. 31．（24-25高二上·全国·课前预习）已知的三个顶点分别是，，，则边上的高所在直线的方程为 ． 【答案】 【分析】设边上的高为，利用直线的斜率由垂直关系求出高所在直线的斜率，点斜式求方程. 【详解】设边上的高为，则，所以， 因为，所以，解得， 所以边上的高所在直线的方程为，即． 故答案为： 32．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线：与直线：互相垂直，实数k的值为 ． 【答案】1或4 【分析】根据两直线互相垂直的公式，即可求解. 【详解】由，可知，， 解得：或. 故答案为：或 33．（24-25高二上·上海·随堂练习）下列说法正确的是 ． ①直线恒过定点； ②直线在y轴上的截距为1； ③直线的倾斜角为150°； ④已知直线l过点，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为． 【答案】③ 【分析】根据直线方程可得直线恒过定点判断①，由直线的斜截式可判断②，根据直线的斜率可判断③，分截距为0或不为0可求出直线方程判断④. 【详解】直线即直线，当时，， 即直线恒过定点，①错误； 直线，即在轴上的截距为，②错误； 直线的斜率为，则倾斜角为150°，③正确； 因为直线过点，且在，轴上截距相等，当截距都为0时，直线方程为， 当截距不为0时，可设直线方程为，则，即，则直线方程为， 所以直线的方程为或，④错误. 故答案为：③. 四、解答题 34．（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知点和直线. (1)若直线经过点P，且，求直线的方程； (2)若直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系，即可由点斜式求解， （2）根据分类讨论，结合截距式即可代入点求解. 【详解】（1）由直线l的方程可知它的斜率为，因为，所以直线的斜率为2. 又直线经过点，所以直线的方程为：，即； （2）若直线经过原点，设直线方程为， 代入可得， 若直线不经过原点，设直线方程为， 代入可得，故直线方程为. 综上，直线的方程为和. 35．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）设直线l的方程为． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，求出在两个坐标轴上的截距，求出，表达出来直线方程；（2）由（1）和，利用△OMN面积取最值，求出的值，表达直线方程. 【详解】（1）由，令，令， 由直线方程在两坐标轴上的截距相等，则，解得或， 故直线方程：或 （2）由（1）可知，， 当且仅当，即取等号. 即直线方程：. 36．（2024高二·全国·专题练习）（1）已知直线l的一般式方程为，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距； （2）根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式. ①斜率是，经过点； ②经过点，平行于x轴； ③在x轴和y轴上的截距分别是，； ④经过两点 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】（1）把直线方程化为斜截式及截距式，即可得到斜率及截距； （2）分情况根据直线方程的形式，直接写出直线方程并化为一般式即可. 【详解】（1）由l的一般式方程得斜截式方程为：， 截距式方程为：， 由此可知，直线的斜率为， 在x轴、y轴上的截距分别为－3，2. （2）①由点斜式得， 化为一般式为：. ②由斜截式得， 化为一般式为：. ③由截距式得， 化为一般式为：. ④由两点式得, 化为一般式为：. 37．（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程； (2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 【答案】(1)或或 (2)最小值为24，直线 【分析】（1）求出直线过的定点，分，和两种情况，当，时，设的方程为，根据点在直线上求出直线方程，若，求出直线方程，若，求出直线方程，当，根据直线过原点，且过点求出直线的方程； （2）求出直线交轴的正半轴的点，交轴的负半轴的点，求出的面积，根据基本不等式求出的最小值时的值. 【详解】（1）直线，则直线过定点， ①当，时，设的方程为． 点在直线上，． 若，则， 直线的方程为， 若，则，， 直线的方程为； ②当时，直线过原点，且过点， 直线的方程为， 综上所述，所求直线的方程为或或； （2）令，则；令，则， 直线交轴的正半轴于点，交轴的负半轴于点，， 为坐标原点，设的面积为， 则， 当且仅当时，即时取等号， 故的最小值为24，此时， 直线． 38．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点B在第一象限内，. (1)若，求的面积的最大值和取得面积最大值时的直线的方程； (2)设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点的坐标. 【答案】(1)， (2)证明见解析，直线恒过定点. 【分析】（1）设，由距离公式结合基本不等式得出，进而得出的面积的最大值，并由取等条件得出直线AB方程； （2）讨论直线的斜率，设出直线方程，由得出，进而得出定点. 【详解】（1）设. 由，得，即. ， 当且仅当时取等号. 所以的面积， 当的面积取最大值时，， 直线的方程为： ，即. （2） 若直线的斜率不存在，有，又，解得， 即直线的方程为； 若直线的斜率存在，则直线的方程， 化简得， 两边同除，又， 所以，整理得， 得过定点所以直线恒过定点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$