2.2.1&2.2.2 直线的点斜式方程、直线的两点式方程【5大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

2.2.1&2.2.2 直线的点斜式方程、直线的两点式方程 【知识梳理】 · 考点一：直线方程的点斜式 · 考点二：直线的两点式方程 · 考点三：直线的截距式方程 · 考点四：直线和坐标轴围成的面积问题 · 考点五：直线方程的综合问题 【知识梳理】 知识点一：直线的点斜式方程和斜截式方程 类别 点斜式 斜截式 适用范围 斜率存在 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b 图示 方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 截距 直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距 知识点二：直线的两点式方程和截距式方程 名称 两点式 截距式 条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b ( a≠0，b≠0) 示意图 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点 【例题详解】 题型一：直线方程的点斜式 1．（23-24高二上·甘肃白银·期末）若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南·期中）过点且与直线垂直的直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）与直线的斜率相等，且过点的直线方程为（　　） A． B． C． D． 题型二：直线的两点式方程 4．（24-25高二上·上海·随堂练习）下列四个命题：其中正确命题的个数是（    ） ①经过定点的直线都可以用方程表示； ②经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程 表示； ③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线； ④经过定点的直线都可以用方程表示． A．0 B．1 C．2 D．3 5．（21-22高二上·湖南·阶段练习）已知直线过点，，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高二上·河北石家庄·期中）入射光线从点出发，经过直线反射后，通过点，则反射光线所在直线方程是（   ） A． B． C． D． 题型三：直线的截距式方程 7．（23-24高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 8．（23-24高二上·天津和平·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 9．（21-22高一下·江西宜春·阶段练习）经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（    ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 题型四：直线和坐标轴围成的面积问题 10．（2023高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·四川眉山·阶段练习）已知直线l过点，且分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，则面积最小值为 ． 12．（21-22高二上·全国·课前预习）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别为交于A、B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为 ，此时的直线方程为 ． 题型五：直线方程的综合问题 13．（23-24高二上·陕西汉中·期末）已知两点． (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)求直线在轴上的截距． 14．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点. (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积为时，求直线的方程. 15．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）已知点，求下列直线的方程： (1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； (2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 【高分演练】 16．（23-24高二上·河南郑州·期末）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·湖南永州·期末）直线l的方程为，则l的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·全国·课后作业）经过两点的直线方程可以表示为（    ） A． B． C． D． 19．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 20．（23-24高二上·天津武清·期中）已知直线过点(2, 1)，且横截距、纵截距满足，则该直线的方程为（    ） A．2x+y-5=0 B．x+2y-4=0 C．x-2y=0或x+2y-4=0 D．x-2y=0或2x+y-5=0 21．（23-24高二上·河南开封·期中）若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（    ） A．2 B． C． D． 22．（23-24高二上·河北邢台·期中）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二上·江苏·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．直线的横截距为1 C．过，两点的直线方程为 D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为 24．（22-23高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知直线过，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线的方程是（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 25．（20-21高二上·上海奉贤·期末）如图，平面上过点P(1，2)的直线与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B.过点P分别作直线垂直于x轴与y轴，垂足分别为M，N.则满足的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 26．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知的三个顶点为，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为钝角 C．边上的中线所在的直线方程为 D．边所在的直线方程为 27．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）在下列四个命题中，不正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大 B．过点的直线方程都可以表示为： C．经过两个不同的点，的直线方程都可以表示为： D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 28．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．方程与方程可表示同一直线 C．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 D．过两点的直线都可用方程表示 29．（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为 D．过两点的直线方程为 30．（23-24高二上·广东广州·期中）下列说法不正确的有（    ） A．直线的倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在轴和轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是3 三、填空题 31．（24-25高二上·上海）直线绕点逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为 ． 32．（23-24高二上·全国·课后作业）已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是 ． 33．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10的直线的一般式方程为 ． 34．（23-24高二上·广东广州·期末）已知直线过点且与x轴、y轴分别交于两点，O为坐标原点，则的最小值为 . 35．（20-21高二上·山东济宁·阶段练习）直线l过点且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为 ，当的面积取最小值时直线l的一般式方程是 . 四、解答题 36．（2023高二上·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点． (1)求所在直线方程； (2)过点C作于点D，求所在直线的方程． 37．（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）直线过，与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，O为坐标原点． (1)求面积的最小值； (2)求横截距与纵截距之和的最小值． 38．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 39．（22-23高二·全国·课堂例题）直线l过点，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点. (1)若，求直线l的方程； (2)当的面积为6时，求直线l的方程. 40．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知的三个顶点分别满足：点在轴上，点在轴上，，直线的斜率为，直线与直线垂直． (1)求点的坐标； (2)求边上的中线所在直线的方程． 41．（22-23高二上·天津静海）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.1&2.2.2 直线的点斜式方程、直线的两点式方程 【知识梳理】 · 考点一：直线方程的点斜式 · 考点二：直线的两点式方程 · 考点三：直线的截距式方程 · 考点四：直线和坐标轴围成的面积问题 · 考点五：直线方程的综合问题 【知识梳理】 知识点一：直线的点斜式方程和斜截式方程 类别 点斜式 斜截式 适用范围 斜率存在 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b 图示 方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 截距 直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距 知识点二：直线的两点式方程和截距式方程 名称 两点式 截距式 条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b ( a≠0，b≠0) 示意图 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点 【例题详解】 题型一：直线方程的点斜式 1．（23-24高二上·甘肃白银·期末）若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线垂直的斜率关系求出斜率，然后可得直线方程. 【详解】因为直线与斜率为4的直线垂直， 所以直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为，即． 故选：A 2．（23-24高二上·河南·期中）过点且与直线垂直的直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线的垂直关系,结合已知直线的斜率可得所求直线的斜率，由直线的点斜式方程结合已知条件即可求解. 【详解】因为直线的斜率为1，由题意，所求直线l的斜率为-1， 又直线l过点，所以由点斜式方程可知直线l的方程为：， 即， 故选：C 3．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）与直线的斜率相等，且过点的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出直线斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【详解】依题意，所求直线的斜率为，所以直线方程为. 故选：D 题型二：直线的两点式方程 4．（24-25高二上·上海·随堂练习）下列四个命题：其中正确命题的个数是（    ） ①经过定点的直线都可以用方程表示； ②经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程 表示； ③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线； ④经过定点的直线都可以用方程表示． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由直线方程的四种特殊形式的适用范围逐一核对四个命题得答案. 【详解】①经过定点的直线当斜率存在时可以用方程表示，当斜率不存在时用方程，①错误； ②经过任意两个不同的点，白的直线都可以用方程 表示，②错误； ③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线；③正确； ④经过定点且垂直于轴的直线不能用方程表示，④错误； 故选：B. 5．（21-22高二上·湖南·阶段练习）已知直线过点，，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可. 【详解】由直线的两点式方程可得， 直线l的方程为，即． 故选：C． 6．（21-22高二上·河北石家庄·期中）入射光线从点出发，经过直线反射后，通过点，则反射光线所在直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出关于的对称点，再用两点式方程即可求解. 【详解】因为点关于的对称点为， 所以所求的直线方程为，即. 故选：A. 题型三：直线的截距式方程 7．（23-24高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故C项正确. 故选：C. 8．（23-24高二上·天津和平·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式方程即可得解. 【详解】当直线过原点时，方程为，符合题意， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则，解得， 所以直线方程为， 综上，所求直线的方程为或. 故选：D. 9．（21-22高一下·江西宜春·阶段练习）经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（    ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 【答案】B 【分析】根据直线在两坐标轴上的截距相等进行分类讨论，设直线方程，求出每一种情况的直线方程即可. 【详解】①当直线经过原点时，斜率，所以直线方程为：，即； ②当直线在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为，将点代入，的，解得，所以直线方程为：，即； ③当直线在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为，将点代入，的，解得，所以直线方程为：，即； 综上所述，直线方程为：或或. 故选：B. 题型四：直线和坐标轴围成的面积问题 10．（2023高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切的二倍角公式，结合三角形面积公式进行求解即可. 【详解】， 所以直线的斜率为负值，因此直线的倾斜角为钝角， 设直线l的倾斜角为，则 因为，所以或舍去 设直线l的方程为，则直线l与坐标轴的交点分别为，， 由，得， 故直线l的方程可能是，显然ABD不符合， ，或， 故选：C 11．（23-24高二上·四川眉山·阶段练习）已知直线l过点，且分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，则面积最小值为 ． 【答案】24 【分析】根据题意，设直线的方程为，分别表示出坐标，结合三角形的面积公式代入计算，再由基本不等式即可得到结果. 【详解】      由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为， 因为直线分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，所以， 令，则，即， 令，则，即， 所以 其中，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即面积最小值为. 故答案为： 12．（21-22高二上·全国·课前预习）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别为交于A、B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为 ，此时的直线方程为 ． 【答案】 4 【分析】由题可知直线l斜率必存在，则设其方程为，求出其横截距和纵截距，表示出△OAB的面积，求其最小值即可. 【详解】由题可知直线AB斜率为负，故设直线AB的方程为， 令x＝0，则y＝1－2k；令y＝0，则x＝2－， ∴ ，当且仅当，即时取等号. 故当时，有最小值4． 此时，直线方程为即． 故答案为：4；. 题型五：直线方程的综合问题 13．（23-24高二上·陕西汉中·期末）已知两点． (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)求直线在轴上的截距． 【答案】(1)， (2)1 【分析】（1）根据题意，由直线的斜率公式计算可得的值，进而分析可得答案； （2）根据题意，由（1）的结论求出直线的方程，据此分析可得答案． 【详解】（1）根据题意，直线的斜率为，倾斜角为， 由两点，得斜率， 则，即． （2）由（1）知，直线的斜率，则其方程为， 即，令，则直线在轴上的截距为1． 14．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点. (1)当时，求直线的方程； (2)当的面积为时，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）设直线的截距式为，由题意列出方程组，求出截距即可得解； （2）利用截距表示出三角形面积，再联立方程求出截距，即可得解. 【详解】（1）设直线的方程为，且 由，得，由直线过点，得，解得， 所以直线的方程为. （2）设直线的方程为，且直线不经过原点， 由题意知，，，解得或， 所以直线的方程为或. 15．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）已知点，求下列直线的方程： (1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； (2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）根据题意，分直线过原点与不过原点讨论，结合直线的截距式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，求得点关于轴的对称点的坐标为，再由直线的点斜式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）当直线过原点时，满足在轴上的截距是轴上截距的2倍， 此时直线方程为，将代入，可得，化简可得； 当直线不过原点时，设直线方程为，且， 即，将代入，可得，解得 ， 则直线方程为，化简可得； 综上，直线方程为或. （2）点关于轴的对称点的坐标为， 由题意可知，反射光线所在的直线经过点与， 所以反射光线所在的直线斜率为， 则反射光线所在的直线方程为， 化简可得. 【高分演练】 16．（23-24高二上·河南郑州·期末）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】倾斜角为的直线斜率不存在，可解. 【详解】过点，且倾斜角为的直线垂直于轴， 其方程为. 故选：B 17．（23-24高二上·湖南永州·期末）直线l的方程为，则l的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的直线方程，求出直线的斜率，再求出倾斜角即可. 【详解】直线l：的斜率，所以直线l的倾斜角是. 故选：C 18．（24-25高二上·全国·课后作业）经过两点的直线方程可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线两点式方程可得答案. 【详解】当经过的直线不与轴、轴平行时， 所有直线均可以用表示， 由于可能相等，也可能相等， 所以只有选项C满足包括与轴、轴平行的直线． 故选：C． 19．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】求出直线在坐标轴上的截距，再利用面积公式解方程可得. 【详解】令，得；令,得． 故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得. 故选：B 20．（23-24高二上·天津武清·期中）已知直线过点(2, 1)，且横截距、纵截距满足，则该直线的方程为（    ） A．2x+y-5=0 B．x+2y-4=0 C．x-2y=0或x+2y-4=0 D．x-2y=0或2x+y-5=0 【答案】C 【分析】分截距为0和截距不为0时，根据直线过点（2，1）求解. 【详解】解：当截距为0时，设直线的方程为：， 因为直线过点(2, 1)，所以，即，则直线方程为：； 当截距不为0时，设直线方程为， 因为直线过点（2，1），所以，则， 所以直线方程为，即， 综上：直线的方程为： x-2y=0或x+2y-4=0， 故选：C 21．（23-24高二上·河南开封·期中）若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得，再结合基本不等式即可得到当取最小值的条件，即可得到结果. 【详解】因为直线经过点，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为， 此时，则. 故选：D 22．（23-24高二上·河北邢台·期中）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的重心坐标，由得出为直角三角形，外心为斜边中点，进而求出外心坐标，由于外心和重心在同一直线上，根据外心和重心的坐标即可得出答案． 【详解】因为的顶点分别为，，， 所以的重心为， 因为，， 所以， 所以， 所以的外心为的中点， 因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上， 所以的欧拉线为直线， 所以的欧拉线方程为，即， 故选：C． 23．（23-24高二上·江苏·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．直线的横截距为1 C．过，两点的直线方程为 D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为 【答案】D 【分析】 利用代入法，结合截距的意义、直线平移的特征、直线两点式的特征逐一判断即可. 【详解】对选项A，直线，当时，，当时，， 所以与两坐标轴围成的三角形的面积，故A错误. 对选项B，令，得，则横截距为，故B错误. 对选项C，当或时，直线方程无意义，故C错误. 对选项D，由题知：直线方程斜率存在，设直线方程为， 直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后， 回到原来的位置，则， 所以，解得，故D正确. 故选：D 24．（22-23高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知直线过，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线的方程是（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据直线在两坐标轴上的截距为相反数，可以分两种情况来讨论，两坐标轴上的截距都为0时和两坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，即可求解. 【详解】（1）当坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，设直线方程为 把点代入求出，即直线方程为 （2）当坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线方程为， 把点代入求出，即直线方程为 综上，直线方程为或 故选：A 25．（20-21高二上·上海奉贤·期末）如图，平面上过点P(1，2)的直线与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B.过点P分别作直线垂直于x轴与y轴，垂足分别为M，N.则满足的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设直线AB为y=k(x-1)+2，分别令x=0，y=0，求得点A，B的坐标， 然后由求解. 【详解】因为过点P(1，2)，且斜率存在， 设直线AB为y=k(x-1)+2， 令x=0，y=2-k； 令y=0，x= ， ， ， 即， ， 所以k的取值只有一个， 故这样的直线有一条. 故选：B 二、多选题 26．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知的三个顶点为，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为钝角 C．边上的中线所在的直线方程为 D．边所在的直线方程为 【答案】BCD 【分析】利用斜率公式可判断A选项；利用斜率与倾斜角的关系可判断B选项；利用直线的点斜式方程可判断CD选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，所以，直线的倾斜角为钝角，B对； 对于C选项，线段的中点为，则， 所以，边上的中线所在的直线方程为，即，C对； 对于D选项，边所在的直线方程为，即，D对. 故选：BCD. 27．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）在下列四个命题中，不正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大 B．过点的直线方程都可以表示为： C．经过两个不同的点，的直线方程都可以表示为： D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 【答案】ABD 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，以及点斜式、两点式、截距式方程的适用范围，对每个选项进行逐一分析，即可做出判断. 【详解】对于选项A，当直线的倾斜角时，倾斜角越大，斜率越大；当时，斜率不存在；当时，倾斜角越大，斜率越大且斜率小于零；故选项A不正确； 对于选项B，当直线斜率不存在时，不可以用表示，故选项B不正确； 对于选项C，经过两个不同的点，的直线，当斜率等于零时，，方程为，能用方程表示；当直线的斜率不存在时，，方程为，能用方程表示；故选项C正确； 对于选项D，经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为或，故选项D不正确； 故选：ABD. 28．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．方程与方程可表示同一直线 C．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 D．过两点的直线都可用方程表示 【答案】AD 【分析】对于A：先求斜率，进而可得倾斜角； 对于B，注意区分方程与方程的不同之处，对于C：设直线l：， 进而可得截距，根据题意进行求解即可，对于D：根据两点式方程的变形进行判断即可. 【详解】对于选项A：直线的斜率，倾斜角为，故A正确； 对于B，表示过点斜率为k的直线，但不含点，而表示过点斜率为k的直线，且含点，故B错误； 对于C：经过点，斜率存在，设直线为，若在，轴上截距互为相反数，则，解得或， 所以直线方程为或，故C错误； 对于D，方程为直线两点式方程的变形，可以表示经过任意两点、的直线，故D正确； 故选：AD. 29．（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为 D．过两点的直线方程为 【答案】AB 【分析】求出直线的斜率判断A；求出直线的横纵截距计算判断B；举例说明判断CD. 【详解】对于A，直线的斜率为，其倾斜角为，A正确； 对于B，直线交轴分别于点， 该直线与坐标轴围成三角形面积为，B正确； 对于C，过点与原点的直线在两坐标轴上的截距都为0，符合题意， 即过点且在两坐标轴上的截距之和为的直线可以是直线，C错误； 对于D，当时的直线或当时的直线方程不能用表示出，D错误. 故选：AB 30．（23-24高二上·广东广州·期中）下列说法不正确的有（    ） A．直线的倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在轴和轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是3 【答案】ABD 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；根据直线的斜率公式即可判断B；分直线是否过原点讨论即可判断C；根据直线的截距式即可判断D. 【详解】对于A，当倾斜角为时，斜率为， 当倾斜角为时，斜率为，故A错误； 对于B，当时，斜率不存在，故B错误； 对于C，当直线过原点时，直线方程为， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则，解得， 所以直线方程为， 综上所述，经过点且在轴和轴上截距相等的直线有2条，故C正确； 对于D，直线，即， 故直线直线在y轴上的截距是，故D错误. 故选：ABD. 三、填空题 31．（24-25高二上·上海·课后作业）直线绕点逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线互相垂直求直线的斜率，再代入点斜式方程，即可求解. 【详解】由两直线互相垂直，可知，直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为. 故答案为： 32．（23-24高二上·全国·课后作业）已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是 ． 【答案】 【分析】求出中点坐标和斜率后，根据点斜式可得结果. 【详解】设的中点为，则， 又斜率， 所以直线的点斜式方程为． 故答案为： 33．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10的直线的一般式方程为 ． 【答案】或． 【分析】先设直线的截距式，结合已知条件求出直线方程后，化为一般式即可． 【详解】由题意可设直线方程为， 则，即， 所以直线方程为或， 所以直线的一般式方程或． 故答案为：或． 34．（23-24高二上·广东广州·期末）已知直线过点且与x轴、y轴分别交于两点，O为坐标原点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先表示出直线的截距式，利用直线过点，得到，借助基本不等式，即可求得最小值. 【详解】直线与与x轴、y轴分别交于， 可设直线的截距式，直线过点， ，且， ， 当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为：. 35．（20-21高二上·山东济宁·阶段练习）直线l过点且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为 ，当的面积取最小值时直线l的一般式方程是 . 【答案】 8 【分析】设直线截距式方程，由题意得，利用基本不等式求出面积的最小值，得解. 【详解】设直线l的方程为， 因为直线l过点，所以. 又， 所以， 即，当且仅当，即时取等号， 所以， 此时直线l的方程为，即. 故答案为：8；. 四、解答题 36．（2023高二上·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点． (1)求所在直线方程； (2)过点C作于点D，求所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出所在直线的斜率，然后求出所在的直线方程. （2）根据，由求出，进而求出所在直线的方程. 【详解】（1），所在直线的斜率为， 又， 所在直线方程是，即． （2）因为， 所以, 又因为， 所以所在直线方程为， 即. 37．（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）直线过，与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，O为坐标原点． (1)求面积的最小值； (2)求横截距与纵截距之和的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线的斜率为，得到直线的方程为，求得在坐标轴的截距，得到的面积为，结合基本不等式，即可求解； （2）由（1）知，直线在轴和轴上的截距为和，且，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，直线的斜率一定存在，设直线的斜率为， 因为直线过点，则直线的方程为， 令，可得；令，可得， 则的面积为 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的面积最小值为. （2）解：由（1）知，直线在轴和轴上的截距分别为和，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以横截距与纵截距之和的最小值为． 38．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可； （2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可. 【详解】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 39．（22-23高二·全国·课堂例题）直线l过点，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点. (1)若，求直线l的方程； (2)当的面积为6时，求直线l的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）设直线的截距式，由题意列出方程组，求出截距即可得解； （2）利用截距表示出三角形面积，再联立方程求出截距，即可得解. 【详解】（1）设直线l的方程为（，），（直线l与坐标轴的交点位于正半轴） 由题意知， ①. 因为直线l过点，所以 ②. 联立①②，解得或， 所以直线l的方程为或. （2）由题意知，即 ③，联立②③，解得或， 所以直线l的方程为或. 40．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知的三个顶点分别满足：点在轴上，点在轴上，，直线的斜率为，直线与直线垂直． (1)求点的坐标； (2)求边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）结合直线垂直时斜率的关系、两点求斜率的公式求得的坐标； （2）根据边上的中线所过点求得中线所在直线的方程. 【详解】（1）因为直线AC的斜率为，直线AC与直线BC垂直， 所以直线BC的斜率为． 设，，则，解得； ，解得．所以，． （2）因为BC的中点坐标为，且中线过点， 所以边BC上的中线所在直线方程为，即． 41．（22-23高二上·天津静海·阶段练习）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【答案】(1)或. (2) (3)面积的最小值是6，此时直线l的方程为 【分析】 （1）根据直线过原点、直线与不过原点两种情况进行分类讨论，由此求得直线的方程. （2）将直线方程化为斜截式，再结合不经过第二象限列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围. （3）根据两点的位置确定的坐标以及的取值范围，求得面积的表达式，结合的取值范围，结合基本不等式，求得面积的最小值与此时直线l的方程. 【详解】（1）当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为. 当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线的方程为:. 综上所述，直线的方程为或. （2）, ∵不经过第二象限,∴,解得. ∴实数的取值范围是. （3）令,解得,解得; 令,解得,解得或. 综上有. ∴ , 当且仅当时取等号. ∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即 1 学科网（北京）股份有限公司 $$