2.1 直线的倾斜角与斜率【7大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

2.1：直线的倾斜角与斜率 【考点归纳】 · 考点一、直线的倾斜角与斜率的定义 · 考点二、直线的斜率求直线的斜率或参数问题 · 考点三、斜率与倾斜角的变化关系 · 考点四、直线与线段的相交关系求斜率范围 · 考点五、两条直线平行的判定问题 · 考点六、两条直线垂直的判定问题 · 考点七、垂直与平行的综合应用 【知识梳理】 知识点一　直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 知识点二　直线的斜率 1．直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2．斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 3．过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 知识点三　两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 知识点四　两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【例题详解】 题型一、直线的倾斜角与斜率的定义 1．（23-24高二上·江苏徐州·期末）经过两点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东广州·期末）下列直线中，倾斜角小于的直线是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·河北保定·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 题型二、求直线的斜率或参数问题 4．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 6．（23-24高二上·广东梅州·期末）若过点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 题型三、斜率与倾斜角的变化关系 7．（24-25高二上·上海·课后作业）直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． A． B． C． D． 题型四、直线与线段的相交关系求斜率范围 10．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·广东汕头·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A．或 B．或 C． D． 12．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五、两条直线平行的判定问题 13．（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（   ） A．或0 B．0或1 C．1 D．2 15．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型六、两条直线垂直的判定问题 16．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 17．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如果直线与互相垂直，那么a的值等于（   ） A．－1 B． C． D．2 18．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型七、垂直与平行的综合应用 19．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 20．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线：，直线：．其中，均不为0． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 21．（23-24高二上·全国·课后作业）已知的顶点，，． (1)若是以点为直角顶点的直角三角形，求实数的值． (2)若是以点为锐角顶点的直角三角形，求实数的值． (3)若为直角三角形，如何求解的值？ 【高分演练】 22．（24-25高二上·吉林·阶段练习）在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线，若 ，则（    ） A．或 B． C．或 D． 24．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【高分演练】 一、单选题 25．（24-25高二上·浙江宁波·期中）直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 26．（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，，三点，且有一点D满足，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 28．（2024高二·江苏·专题练习）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 29．（24-25高二上·全国·课堂例题）设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知两直线，，则下列说法正确的是（    ） A．对任意实数m，直线，的方向向量都不可能平行 B．存在实数m，使直线垂直于x轴 C．存在实数m，使直线，互相垂直 D．当时，直线的方向向量不存在 31．（23-24高二上·四川成都·期中）下列选项正确的是（    ） A．若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线一定平行 B．若直线与直线垂直，则 C．若直线与直线平行，则 D．若直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角是 32．（23-24高二上·河南南阳·期中）（多选）已知三条直线、、的斜率分别为、、，倾斜角分别为、、，且，则其倾斜角的关系可能为（      ） A． B． C． D． 33．（2023·湖北·一模）已知，，直线：，：，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 34．（24-25高二上·山西晋中·开学考试）过两点的直线l的倾斜角为，求的值为 ． 35．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 36．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 37．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为 . 四、解答题 38．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l经过两点，，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线的倾斜角为？ (4)直线的倾斜角为锐角？ 39．（2024高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 40．（23-24高二上·湖南张家界·阶段练习）已知直线：，直线： (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 41．（23-24高二上·浙江·期中）已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 42．（2024高三·全国·专题练习）已知两点． (1)是否存在整数，使直线与直线相交？ (2)是否存在整数，使直线与线段相交？ (3)是否存在正整数，使点分别位于直线的两侧？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1：直线的倾斜角与斜率 【考点归纳】 · 考点一、直线的倾斜角与斜率的定义 · 考点二、直线的斜率求直线的斜率或参数问题 · 考点三、斜率与倾斜角的变化关系 · 考点四、直线与线段的相交关系求斜率范围 · 考点五、两条直线平行的判定问题 · 考点六、两条直线垂直的判定问题 · 考点七、垂直与平行的综合应用 【知识梳理】 知识点一　直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 知识点二　直线的斜率 1．直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2．斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 3．过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 知识点三　两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 知识点四　两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【例题详解】 题型一、直线的倾斜角与斜率的定义 1．（23-24高二上·江苏徐州·期末）经过两点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点表示斜率和斜率的定义建立方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，经过的直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为 ，则， 所以，即直线的倾斜角为. 故选：C 2．（23-24高二上·广东广州·期末）下列直线中，倾斜角小于的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出所求直线斜率的取值范围，然后求出各选项中直线的斜率或倾斜角，即可得出合适的选项. 【详解】设所求直线的倾斜角为，则，其斜率为. 对于A选项，直线的斜率为，不合乎要求； 对于B选项，直线的斜率为，不合乎要求； 对于C选项，直线的倾斜角为，不合乎要求； 对于D选项，直线的斜率为，合乎要求. 故选：D. 3．（22-23高二上·河北保定·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线斜率，再根据倾斜角的范围即可求解. 【详解】设直线的的倾斜角为，且， 直线的斜率，所以， 故选：A 题型二、求直线的斜率或参数问题 4．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得直线的斜率为，进而求得直线的倾斜角，得到答案. 【详解】由直线经过，两点，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，可得，所以. 故选：B. 5．（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式计算可得. 【详解】因为过两点、的直线的倾斜角为， 所以，即，解得. 故选：D 6．（23-24高二上·广东梅州·期末）若过点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解. 【详解】由题意得，解得， 故选：D 题型三、斜率与倾斜角的变化关系 7．（24-25高二上·上海·课后作业）直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线方程可得斜率，结合斜率与倾斜角之间的关系分析求解. 【详解】设的倾斜角为， 由题意可知：直线的斜率， 即，且，所以. 故选：C. 8．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，分和两种情况讨论，再结合的图像，即可求出结果. 【详解】当时，直线的倾斜角为， 当时，由得到， 又易知，所以，即， 由的图像可知，， 综上，    故选：C. 9．（23-24高二上·湖北武汉·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线倾斜角的定义结合余弦、正切函数的图象和性质求解即可. 【详解】因为直线的斜率，即， 又， 所以， 故选：D 题型四、直线与线段的相交关系求斜率范围 10．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】解：记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 11．（23-24高二上·广东汕头·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】由题知直线过定点，进而作出图形，数形结合求解即可得答案. 【分析】解：直线方程为转化为， 所以直线过定点，且与线段相交，如图所示， 则直线的斜率是， 直线的斜率是， 则直线与线段相交时，它的斜率的取值范围是或. 故选：A． 12．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图像，数形结合，根据倾斜角变化得到斜率的取值范围. 【详解】如图所示，    直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷， 此时斜率，所以此时； 从旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大， 此时斜率，所以此时， 综上可得直线的斜率的取值范围为. 故选：A 题型五、两条直线平行的判定问题 13．（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 【答案】A 【详解】根据斜率公式求出各直线的斜率，判断直线的斜率是否相等或不存在，进而可得出结论. 【解答过程】对于A，因为，所以，故A对； 对于B，因为，所以直线不平行，故B错； 对于C，由直线经过点，，直线经过点，， 得直线的斜率都不存在，且两直线重合，故C错； 对于D，因为直线经过点，，所以直线直线的斜率不存在， 而，所以直线不平行，故D错. 故选：A. 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（   ） A．或0 B．0或1 C．1 D．2 【答案】B 【分析】分直线与直线的斜率不存在与存在两类分别讨论，斜率存在时由斜率相等建立关于的关系式，解之即可. 【详解】当时，直线与直线的斜率均不存在，此时直线的方程为， 直线的方程为，故； 当时，，， 则，即，得， 综上，或1． 故选：B. 15．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由可求出的值，再由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】若则且所以或 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 题型六、两条直线垂直的判定问题 16．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】当时可得，即；当时可得，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】当时，， 即，则，即； 当时，，解得. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 17．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如果直线与互相垂直，那么a的值等于（   ） A．－1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】直接利用直线垂直的性质列方程求解即可. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得. 故选：C. 18．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线垂直求a，进而结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得或， 因为是的真子集， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 题型七、垂直与平行的综合应用 19．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，求出参数的值，再代入检验； （2）根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可. 【详解】（1）因为，所以， 整理得，即， 解得或． 当时，，此时与重合，不符合题意； 当时，，符合题意． 故． （2）因为，所以， 解得． 20．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线：，直线：．其中，均不为0． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由两线垂直的判定列方程，即可求值； （2）由两线平行的判定列方程，即可求值，注意或； 【详解】（1）由，则，得. （2）由，则，故，其中（或）． 21．（23-24高二上·全国·课后作业）已知的顶点，，． (1)若是以点为直角顶点的直角三角形，求实数的值． (2)若是以点为锐角顶点的直角三角形，求实数的值． (3)若为直角三角形，如何求解的值？ 【答案】(1)； (2)或； (3)或或 【分析】（1）依题意可得，则，利用斜率公式计算可得； （2）分或为直角顶点两种情况讨论，分别计算可得； （3）结合（1）（2）得解. 【详解】（1）因为为直角顶点，所以， 由题可知直线，的斜率存在，所以，即，解得． （2）由于为锐角顶点，为直角三角形，故或为直角顶点． 若为直角顶点，则，由题可知直线，的斜率存在， 所以，即，解得； 若为直角顶点，则，由题可知直线，的斜率存在， 所以，即，解得． 综上可知，或． （3）若为直角顶点，由（1）知； 若为直角顶点，由（2）知； 若为直角顶点，由（2）知． 综上可知，或或． 22．（24-25高二上·吉林·阶段练习）在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得出直线经过的点，利用直线斜率公式求得直线斜率，继而得到直线的倾斜角. 【详解】依题意，直线经过点， 则直线的斜率为, 故直线的倾斜角为. 故选：D. 23．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线，若 ，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为 ，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 24．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设直线的倾斜角为，由的坐标求出直线的斜率，结合的范围可得即的取值范围， 再利用正切函数的性质分析可得的范围，即可得答案. 【详解】解：根据题意，设直线的倾斜角为， 点，，则直线的斜率， 又由，则的取值范围为，， 即的范围为，， 又由，则 故选：C. 【高分演练】 一、单选题 25．（24-25高二上·浙江宁波·期中）直线和直线，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题意先求出的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题设 ， 解得或. 故，. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 26．（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意利用两直线垂直的性质，求得，再利用基本不等式，求得的最小值． 【详解】，，直线，，且， ，即． 则，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为8， 故选：B． 27．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，，三点，且有一点D满足，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据平行、垂直关系列式求解即可. 【详解】由题意可知：，， 若，，可知直线的斜率存在， 设，则，， 则，即，解得，即． 故选：D. 28．（2024高二·江苏·专题练习）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围. 【详解】直线的方程可化为， 联立方程组，可得，所以直线过定点， 由题意得，直线的斜率一定存在， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为，所以或， 又直线的斜率，所以， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 二、多选题 29．（24-25高二上·全国·课堂例题）设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分类讨论，结合倾斜角概念可解. 【详解】根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知， 当时，的倾斜角为； 当时，的倾斜角为． 故选：AB 30．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知两直线，，则下列说法正确的是（    ） A．对任意实数m，直线，的方向向量都不可能平行 B．存在实数m，使直线垂直于x轴 C．存在实数m，使直线，互相垂直 D．当时，直线的方向向量不存在 【答案】AC 【分析】根据直线平行以及垂直满足的系数关系，即可结合方向向量的定义逐一求解. 【详解】若两直线的方向向量平行，则，则无实数解，故两直线的方向向量不可能平行，故A正确， 由于的斜率为，所以直线不可能垂直于x轴，B错误， 当时，此时，，此时两直线垂直，C正确， 当时，直线，则其方向向量可以为，故D错误， 故选：AC 31．（23-24高二上·四川成都·期中）下列选项正确的是（    ） A．若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线一定平行 B．若直线与直线垂直，则 C．若直线与直线平行，则 D．若直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角是 【答案】AC 【分析】根据两直线的倾斜角相等且不重合可对A项判断；由直线和直线垂直，从而求出或，即可对B项判断；直线和直线平行，利用两直线平行知识可对C项判断；知道直线的方向向量，从而可求解出倾斜角，即可对D项判断. 【详解】对于A项：两直线的倾斜角相等且不重合，可得两直线平行，故A项正确； 对于B项：由直线和直线垂直，得：，解得：或，故B项错误； 对于C项：直线和直线平行， 当时，得直线：与直线不平行， 当时，得：， 解得：或，经检验当时两直线重合不符题意， 故，故C项正确； 对于D项：知直线的方向向量为，得：，所以得直线的斜率为，倾斜角为，故D项错误. 故选：AC. 32．（23-24高二上·河南南阳·期中）（多选）已知三条直线、、的斜率分别为、、，倾斜角分别为、、，且，则其倾斜角的关系可能为（      ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分、、、四种情况讨论，结合正切函数的单调性可得结果. 【详解】因为正切函数在上为增函数，在上也为增函数， 分以下四种情况讨论： 当时，则、、均为锐角，且； 当时，则为钝角，、均为锐角，且； 当时，则、均为钝角，为锐角，且； 当时，则、、均为钝角，且. 故选：ABD. 33．（2023·湖北·一模）已知，，直线：，：，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由，得，利用基本不等式和二次函数的性质，判断各选项中的不等式是否成立. 【详解】由，得，即， ，，则，当且仅当，即时等号成立， 所以有，A选项正确； 由，有， 当且仅当，即时等号成立，所以有，B选项成立； 由，有，，，则， ，由二次函数性质可知，时，有最小值，C选项错误； 由，有， ， 当且仅当，即时等号成立，D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题 34．（24-25高二上·山西晋中·开学考试）过两点的直线l的倾斜角为，求的值为 ． 【答案】. 【分析】根据倾斜角计算出直线的斜率，再根据坐标形式下斜率的计算公式求解出的值. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又，整理得， 解得或， 当时，，不符合， 当时，，符合， 综上：. 故答案为: 35．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 【答案】垂直或重合 【分析】求出值，再代入方程并确定位置关系即得. 【详解】由，得或， 当时，：，：，，， 显然，所以直线与垂直； 当时，：，：，所以直线与重合． 故答案为：垂直或重合 36．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 【答案】 【分析】利用斜率计算公式可得，，根据直线过点且与线段相交，数形结合即可求出直线的斜率的取值范围． 【详解】因为，，， 所以，． 直线过点且与线段相交，如下图所示： 或， 直线的斜率的取值范围是：． 故答案为：． 37．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为 . 【答案】/0.25 【分析】根据直线垂直的条件得，根据基本不等式得，从而可得结果. 【详解】因为， 即，当且仅当时取等号， ，即的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 38．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l经过两点，，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线的倾斜角为？ (4)直线的倾斜角为锐角？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直线l与x轴平行，则直线的斜率，据此可以求m的值； （2）直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，据此可以得出m的值； （3）直线的倾斜角为，则直线的斜率，据此可以求m的值； （4）直线的倾斜角为锐角，则直线的斜率，据此可以求出m的范围. 【详解】（1）若直线l与x轴平行，则直线l的斜率， 所以. （2）若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在， 所以. （3）由题意可知，直线l的斜率，即， 解得. （4）由题意可知，直线l的斜率，即，解得. 39．（2024高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 【答案】(1)不平行 (2)平行或重合 (3)平行 (4)重合 【分析】先求出两直线的斜率，再利用斜率进行判断； 【详解】（1），，，所以与不平行． （2）的斜率，的斜率，，所以l1与l2平行或重合． （3）由题意，知的斜率不存在，且不与轴重合，的斜率也不存在，且与轴重合，所以. （4）由题意，知，, ，所以与平行或重合． 需进一步研究，，，四点是否共线，. 所以，，，四点共线，所以与重合． 40．（23-24高二上·湖南张家界·阶段练习）已知直线：，直线： (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）利用直线平行、垂直的判定列方程求参数值，对于平行情况需要验证所得参数是否符合要求. 【详解】（1）由，则，即， 所以或， 当，，，两线重合，不合题设； 当，，，符合题设； 综上， （2）由，则，即， 所以，即或. 41．（23-24高二上·浙江·期中）已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【答案】(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3 (2) 【分析】（1）由斜率公式直接求解； （2）由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率， 直线AC的斜率， 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3． （2）当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角， 直线AD的斜率由增大到， 所以直线AD的斜率的变化范围是. 42．（2024高三·全国·专题练习）已知两点． (1)是否存在整数，使直线与直线相交？ (2)是否存在整数，使直线与线段相交？ (3)是否存在正整数，使点分别位于直线的两侧？ 【答案】(1)存在 (2)存在 (3)不存在 【分析】（1）由两相交直线斜率不相等即可得解. （2）通过分析得知，将点、的坐标代入后，其值的乘积必小于或等于0，由此即可得解. （3）由（2）中结论结合正整数的范围即可得解. 【详解】（1）直线的斜率，直线的斜率， 因为两条直线相交，则，即，故可以取外的所有整数． （2）位于直线上的点，其坐标代入后，其值必为0． 位于直线同侧的点，其坐标代入后，其值必同号． 而位于直线两侧的点，其坐标代入后，其值必异号． 直线与线段相交，则点和或位于该直线的两侧，或其中一点在该直线上． 于是将点、的坐标代入后，其值的乘积必小于或等于0， 即，解得．因此符合条件的整数可以是或1． （3）由问题（2）的分析知，当位于直线的两侧，将点的坐标分别代入后，其值必异号， 则乘积必小于0，即，解得，因此符合条件的正整数不存在． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$