专题04 圆（6大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版）

专题04 圆 利用垂径定理求值 1．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）中，弦，，，半径为，则与之间的距离为 ． 2．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图．的直径垂直于弦，垂足是E，，， 的长为 ． 3．（23-24九年级上·北京海淀·期中）紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A，B两点在上，直线l过点O，且于点D，交于点C．若，，则这个紫砂壶的壶口半径r的长为 4．（23-24九年级上·北京东城·期中）我国古代数学名作《九章算术》中记载了“圆材埋壁”问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，现有圆柱状的木材埋在墙壁里，不知道其宽的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，当量得深度寸的时候，锯开的宽度．尺（1尺寸），问木材的直径的长是 寸．    5．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知与的斜边交于，两点，、恰好是的三等分点，若的半径等于，则 ，的长为 ． 6．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）综合实践活动要求只用一张矩形纸条和刻度尺测量如图1茶碗的碗口直径，李靓同学所在的学习小组的方法是：如图2，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，若该纸条宽为，用刻度尺量得，，则纸杯的半径为 ．（结果保留根号）      7．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，点在弦上，于点，则圆心距的长为 ；若点在圆上动，则的最小值= ． 弧、弦、圆心角 1．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，劣弧的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期中）下列图形中的角是圆心角的是（    ） A．  B．   C．   D．   3．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）下列命题中是真命题的是（    ） A．半圆是最长的弧； B．平分弦的直径平分弦所对的弧； C．相等的弦所对的圆心角相等； D．相等的弧所对的圆心角相等 4．（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为（   ）    A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．若，求的长为（    ） A． B．1 C． D． 圆周角 1．（23-24九年级上·四川广安·期中）在一个圆中，一弦所对的圆心角为，那么该弦所对的圆周角为(    ) A． B． C．或 D．或 2．（23-24九年级上·北京海淀·期中）如图，定点B，C，D在上，连接， 若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·云南昆明·期中）如图，已知是的直径，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）如图，是的直径，若，，则的长为（    ） A．8 B． C． D． 5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知点A，B，C在上，将圆沿着弦折叠交直径于点D若，则的长（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·天津·期中）如图，是的弦，D是CA延长线上的一个点，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 点与圆的位置关系 1．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知的半径为4，点在内，则的长可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知，直角坐标系的原点为，半径为5，点，则（   ） A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定 3．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知的半径为，若，则点与的位置关系是 ． 4．（23-24九年级上·河南三门峡·期中）在中，，，，以C为圆心，为半径作，则点A与的位置关系是 ． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，、、． (1)在图上标出圆心M，圆心M的坐标为 ； (2)判断点与的位置关系，并说明理由． 直线和圆的位置关系 1．（23-24九年级上·福建福州·期中）已知的半径为10，直线上有一点满足，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交 2．（23-24九年级上·江苏常州·期中）已知的半径为2，直线l上有一点P 满足，则直线l与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 3．（23-24九年级上·山东聊城·期中）在中，，，，若以C点为圆心、以13为半径画，则直线与的位置关系是（　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 4．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在中，，，，当的半径为时，与的位置关系是 ． 5．（23-24九年级上·四川德阳·期中）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径，直线的解析式为．若直线与半圆有交点，则的取值范围是 ．    6．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，P是边上一点，过点A、B、P、作 (1)圆心O在上吗？为什么？ (2)当时，判断与的位置关系； (3)当与相切时，求被截得的弦长． 正多边形和圆 1．（23-24九年级上·上海·期中）边长为3的正六边形的边心距为 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的边数是 ． 3．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）一个圆的内接正六边形的边长4，则该圆的内接正三角形的边长为 ． 4．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，正三角形与正五边形内接于，则的度数是 ．    5．（23-24九年级上·湖南湘西·期中）如图1，图2，图3⋯，M、N分别是的内接正三角形，正方形，正五边形，…的边上的点，且，连接，图1中，图2中，图3中…，根据这样的规律，图n中的度数是 ． 求弧长和扇形的面积 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）已知扇形面积为，半径为6，则扇形构成圆锥的底面半径长为 ． 2．（23-24九年级上·江苏南京·期中）已知扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的面积是 ． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）圆锥的底面半径是，圆锥的母线是，则圆锥的侧面积是 ． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知在中，，，，以为直径向外作圆O，P是半圆O上的一个动点，M是的中点，当点P沿半圆O从点A运动至点B时，点M的运动路径长为 ． 5．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）如图，将含有30°角的直角三角板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点位置变化为，其中，第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使三角板与桌面成20°角，则点翻滚到位置时共走过的路径长为 ．      6．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，在半径为2的扇形中，，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上，折痕交于点C，则图中阴影部分的周长是 . 7．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为6，圆心角为，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）．    8．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：，当，时，则l的值为 ． 证明某直线式切线 1．（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E．过点D作于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，．求阴影部分的面积． 2．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，在中，是的直径，与相切于点，点在上，且． (1)求证是的切线； (2)过点作于点，交于点，若，．求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 3．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，是的直径，A是延长线上的一点，点E在上，，交的延长线于点C，交于点F，且点E是的中点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 4．（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图，为的直径，射线交于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 5．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，四边形中，，点E是边上一点，且平分，作的外接圆，点D在上． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 6．（23-24九年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，，以点O为圆心，2为半径画圆，过点A作的一条切线，切点为P，连接．将绕点O按逆时针方向旋转到时，连接，设旋转角为（）． (1)如图，当时， ①求证：是的切线； ②点H到的距离； (2)已知，在旋转过程中，当与相切时，求旋转角的度数； (3)直接写出的最大值与最小值的差． 圆与特殊的平行四边形的综合 1．（23-24九年级上·江西赣州·期中）课本再现 如图1，A，B是上的两点，，C是的中点．    （1）求证：四边形是菱形． 拓展延伸 （2）如图2，将线段绕圆心O逆时针旋转，得到线段，交于点E，连接，若，求的长． 2．（23-24九年级上·江西·期中）如图，是的直径，，是上两点，且，连接，．过点作交的延长线于点． (1)判定直线与的位置关系，并说明理由； (2)连接和交于点，若，， ①求证：四边形是矩形； ②求图中阴影部分的面积． 3．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图1，正方形内接于，连接，是上的动点（不与点重合），连接． (1)如图2，当是的中点时，过点作的切线，与的延长线交于点． ①与之间的位置关系是 　　，并说明理由； ②求的度数； (2)连接，请直接写出的度数． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆 利用垂径定理求值 1．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）中，弦，，，半径为，则与之间的距离为 ． 【答案】17/7 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，分两种情况：①当在圆心两侧时，②当在圆心同侧时，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：①当在圆心两侧时， 过作交于E点，过作交于点，连接，如图所示： ∵半径，弦，且， ∴在一条直线上， ∴为之间的距离， 在中，由勾股定理可得： ， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ∴， ∴， ∴AB与CD的距离为17； ②当在圆心同侧时， 同①可得：， 则与的距离为：， 故答案为：17或7． 2．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图．的直径垂直于弦，垂足是E，，， 的长为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理． 先由垂径定理得到的值，再根据等边对等角易证，然后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵直径垂直于弦， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴（负值已舍去） 故答案为：． 3．（23-24九年级上·北京海淀·期中）紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A，B两点在上，直线l过点O，且于点D，交于点C．若，，则这个紫砂壶的壶口半径r的长为 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是理解垂径定理构建关于半径r的等式．根据可得，再根据勾股定理构建关于半径r的等式求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 此时有， 解得：， 紫砂壶的壶口半径r的长为， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·北京东城·期中）我国古代数学名作《九章算术》中记载了“圆材埋壁”问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，现有圆柱状的木材埋在墙壁里，不知道其宽的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，当量得深度寸的时候，锯开的宽度．尺（1尺寸），问木材的直径的长是 寸．    【答案】26 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】设圆心为O，连接，设寸，则，利用勾股定理构建方程解题即可． 【详解】解：设圆心为O，连接，设寸，则，    ∵是直径，， ∴寸， 在中，， ∴， ∴， ∴寸， 故答案为：26． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 5．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知与的斜边交于，两点，、恰好是的三等分点，若的半径等于，则 ，的长为 ． 【答案】 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线．过点作于点，根据垂径定理得，由题意可得，结合等腰三角形的“三线合一”可推出是等腰直角三角形，从而求出；设，可得，，根据勾股定理求出即可求解． 【详解】过点作于点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 设， ，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 故答案为：，． 6．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）综合实践活动要求只用一张矩形纸条和刻度尺测量如图1茶碗的碗口直径，李靓同学所在的学习小组的方法是：如图2，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，若该纸条宽为，用刻度尺量得，，则纸杯的半径为 ．（结果保留根号）      【答案】/34厘米 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长即可得解． 【详解】解：如图2，，过圆心O，连接， 纸条宽为， ， ， ， ，， 设， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，点在弦上，于点，则圆心距的长为 ；若点在圆上动，则的最小值= ． 【答案】 4 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理，根据题意做出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．连接，延长交O于点P，则PC最短，由垂径定理得，再求出，最后由勾股定理求出，的长，继而可得出的长． 【详解】解：连接，延长交于点，则PC最短， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 弧、弦、圆心角 1．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，劣弧的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了弧的度数求解，求出弧所对的圆心角度数是解题的关键，连接，根据结合即可求出的度数． 【详解】解：连接，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 故劣弧的度数为， 故选：D． 2．（23-24九年级上·福建泉州·期中）下列图形中的角是圆心角的是（    ） A．  B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】圆心角概念辨析 【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答． 【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 3．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）下列命题中是真命题的是（    ） A．半圆是最长的弧； B．平分弦的直径平分弦所对的弧； C．相等的弦所对的圆心角相等； D．相等的弧所对的圆心角相等 【答案】D 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解、判断命题真假 【分析】本题主要考查了判断命题真假，弧，弦，圆心角之间的关系，垂径定理等等，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、半圆不是最长的弧，原命题是假命题，不符合题意； B、平分非直径的弦的直径平分弦所对的弧，原命题是假命题，不符合题意； C、同圆或等圆中相等的弦所对的圆心角相等，原命题是假命题，不符合题意； D、相等的弧所对的圆心角相等，原命题是真命题，符合题意； 故选D． 4．（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、 求圆弧的度数 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆心角等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 如图，连接，由三角形内角和求，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：C． 5．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】垂径定理的推论、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，弧、弦、圆心角的关系等知识，理解并掌握垂径定理及其推论是解题关键．平分弦的直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧；同弧或等弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等，据此即可获得答案． 【详解】解：∵是弦的中点，是过点的直径， ∴，，，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴，，故选项B，C正确，不符合题意； 已知条件无法确定，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 6．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定．连接、．根据圆心角、弧、弦的关系证得是等边三角形，则的半径长为，再求解即可． 【详解】解：如图，连接、．   是的直径，四边形内接于，若， ， ． 又， 是等边三角形， ， ． 故选：D． 7．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．若，求的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了垂径定理，弧，弦，圆心角定理，以及勾股定理．连接，由垂径定理、等弦得到等弧，根据同圆中弧与圆心角的关系可求出，，通过含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，连接， 又， 即， ， ， ∴，， ∴，，， ∵，即， 解得， ∴， 故选：C． 圆周角 1．（23-24九年级上·四川广安·期中）在一个圆中，一弦所对的圆心角为，那么该弦所对的圆周角为(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】根据圆周角定理解答即可．本题考查圆周角定理，解题关键是掌握圆周角定理． 【详解】解：如图： 一弦所对的圆心角为，即， ∴ ∴ 该弦所对的圆周角为或， 故选：C 2．（23-24九年级上·北京海淀·期中）如图，定点B，C，D在上，连接， 若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形和圆周角定理．熟练掌握圆内接四边形对角互补，圆周角定理，是解题的关键． 在外的上取点A，连接，，根据圆内接四边形性质得到，根据圆周角定理可得可得． 【详解】在外的上取点A，连接，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（23-24九年级上·云南昆明·期中）如图，已知是的直径，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查圆的基础知识，掌握同弧所对圆周角相等，直径所对的圆周角是，直角三角形的两锐角互余的知识是解题的关键． 根据直径所对圆周角为直角，，结合直角三角形两锐角互余，可求出的度数，根据同弧所对圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4．（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）如图，是的直径，若，，则的长为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查圆周角定理及直角三角形角所对直角边等于斜边的一半，根据得到，根据是的直径得到，从而得到，即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知点A，B，C在上，将圆沿着弦折叠交直径于点D若，则的长（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】折叠问题、半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理、割线长定理的应用，掌握此类问题的辅助线的作法是解题的关键； 根据题意作线段关于的对称线段，交圆于点，然后利用勾股定理和割线定理解答即可． 【详解】解：如图所示：作线段关于的对称线段，交圆于点 为圆的直径， ， ， 由对称轴的性质可知：，，， ， 由割线定理可知：， 即， 解得：， ， 故选：C． 6．（23-24九年级上·天津·期中）如图，是的弦，D是CA延长线上的一个点，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、圆周角定理 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先利用等腰三角形的性质得到，再利用三角形外角性质得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ． 故选B． 点与圆的位置关系 1．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知的半径为4，点在内，则的长可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系解答即可，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵的半径为4，点在内， ∴， ∴的长可能是3， 故选：A． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知，直角坐标系的原点为，半径为5，点，则（   ） A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，先根据勾股定理求出的长，再与的半径为5相比较即可，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 【详解】解：∵的坐标是， ∴， ∵半径为5， ∴点在外， 故选：． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知的半径为，若，则点与的位置关系是 ． 【答案】点P在内． 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．据此解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点P在内． 故答案为∶点P在内． 4．（23-24九年级上·河南三门峡·期中）在中，，，，以C为圆心，为半径作，则点A与的位置关系是 ． 【答案】点在内 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查点与圆的位置关系．熟记相关结论即可．若⊙O的半径为，一点P和圆心O的距离为，当时，点P在⊙O上；当时，点P在⊙O内；当时，点P在⊙O外．求出半径，与进行比较即可判断． 【详解】解：∵，，， ∴ ∵ ∴点在内 故答案为：点在内 5．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，、、． (1)在图上标出圆心M，圆心M的坐标为 ； (2)判断点与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析， (2)点D在上，理由见解析 【知识点】已知两点坐标求两点距离、利用垂径定理求解其他问题、判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形性质和垂径定理，找出圆心的位置是解题的关键． （1）由网格得出的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为点；根据图形即可得出点的坐标 （2）用两点间距离公式求出圆的半径和线段的长，然后根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】（1）如图，圆心M的坐标为； （2）圆的半径， 线段， 所以点D在上． 直线和圆的位置关系 1．（23-24九年级上·福建福州·期中）已知的半径为10，直线上有一点满足，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交 【答案】D 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系来完成． 根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和相交；②直线l和相切；③直线l和相离.分垂直于直线l,不垂直直线l两种情况讨论． 【详解】解：当垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离, 与l相切； 当不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离, 与直线l相交． 故直线l与的位置关系是相切或相交． 故选：D． 2．（23-24九年级上·江苏常州·期中）已知的半径为2，直线l上有一点P 满足，则直线l与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】根据圆于直线关系直接判断即可得到答案. 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴当是点O到直线的距离时相切，当不是点O到直线的距离时距离小于2相交， 故选：D. 【点睛】本题考查圆与直线的关系，圆心到直线的距离等于半径相切，圆心到直线距离小于半径时小角，大于半径相离． 3．（23-24九年级上·山东聊城·期中）在中，，，，若以C点为圆心、以13为半径画，则直线与的位置关系是（　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、判断直线和圆的位置关系 【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系和勾股定理，先根据题意可求出斜边的长，再过点C作于点，设，则，根据勾股定理列出关于长的等式，求得的长，再根据勾股定理求得的长，与半径相比较，即可得到直线与的位置关系． 【详解】解：，，， ， 如图，过点C作于点，设，则，    此时有，即， 解得：，此时， 半径为13，， 直线与的位置关系是相交， 故选：C． 4．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在中，，，，当的半径为时，与的位置关系是 ． 【答案】相离 【知识点】用勾股定理解三角形、判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查用等面积法求高和直线与圆的位置关系、勾股定理，掌握当圆心到直线的距离大于半径时，直线和圆相离，即可解题． 【详解】解：，，， ， 作于点，如图所示： 有，解得（）， 的半径为，又， 与相离． 故答案为：相离． 5．（23-24九年级上·四川德阳·期中）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径，直线的解析式为．若直线与半圆有交点，则的取值范围是 ．    【答案】 【知识点】判断直线和圆的位置关系、求一次函数解析式 【分析】此题考查了直线和圆的位置关系，以及用待定系数法求解直线的解析式等方法，若直线与半圆有交点，则直线和半圆相切于点开始到直线过点结束（不包括直线过点），当直线和半圆相切于点时，根据直线的解析式知直线与x轴所形成的的锐角是，从而求得，即可得出点的坐标，进一步得出t的值；当直线过点时，直线根据待定系数法求得的值，进而即可求解． 【详解】若直线与半圆有交点，则    直线和半圆相切于点开始到直线过点结束，当直线和半圆相切于点时，直线与轴所形成的锐角是， ∴， 又∵半圆的半径， ∴， ∴代入解析式，得， 当直线过点时，把代入直线解析式，得， 即当，直线和半圆有交点． 6．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，P是边上一点，过点A、B、P、作 (1)圆心O在上吗？为什么？ (2)当时，判断与的位置关系； (3)当与相切时，求被截得的弦长． 【答案】(1)圆心O在上，理由见详解 (2)与相离，理由见详解 (3) 【知识点】根据矩形的性质求线段长、切线的性质定理、判断直线和圆的位置关系 【分析】此题主要考查切线的判定与性质及矩形的性质等知识点的综合运用． （1）根据是圆周角，则是圆的直径； （2）与相离，可以说明到圆心的距离大于半径． （3）因为与相切，则是梯形的中位线．在直角中根据勾股定理就可以得到． 【详解】（1）解：圆心O在上，理由如下： 在矩形中， 根据的圆周角所对的弦是直径，则圆心O在上； （2）过圆心作交、于点、； ， ,, ,, 四边形是矩形， ， ， ， 与相离； （3）连接，交于点， 是直径， ， 又， ， 是的中点， 是的中点， ， 又 ， 与相切，为切点，设，则， 在直角中，， ， 解得：． ，即被截得的弦长为． 正多边形和圆 1．（23-24九年级上·上海·期中）边长为3的正六边形的边心距为 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】此题考查了正多边形和圆，在正六边形中，连接，作于点M，证明是等边三角形，则，由得到，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：在正六边形中，连接，作于点M， ∵正六边形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： 即边长为3的正六边形的边心距为， 故答案为： 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的边数是 ． 【答案】12 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题考查正多边形的中心角与边数之间的关系，根据正边形的中心角为，即可解题． 【详解】解：设这个正多边形的边数是，且一个正多边形的中心角等于， 有，解得， 故答案为：12． 3．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）一个圆的内接正六边形的边长4，则该圆的内接正三角形的边长为 ． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查正多边形与圆，根据圆的内接正六边形的边长得出圆的半径，再作圆的内接正三角形，由圆的半径、边心距和正三角形的边构成直角三角形，利用勾股定理进行求解．求出圆的半径是解题的关键． 【详解】解：如图，六边形是的内接正六边形，    则， 又， 是等边形三角形， ，即圆的半径为4． 如图，是的内接正三角形，连接，，作于点H，    则，， ， ， ， 即该圆的内接正三角形的边长为． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，正三角形与正五边形内接于，则的度数是 ．    【答案】 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】连接，则，最后根据，即可求解． 【详解】解：连接， ∵正三角形与正五边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，解题的关键是掌握正n边形的中心角． 5．（23-24九年级上·湖南湘西·期中）如图1，图2，图3⋯，M、N分别是的内接正三角形，正方形，正五边形，…的边上的点，且，连接，图1中，图2中，图3中…，根据这样的规律，图n中的度数是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、求正多边形的中心角、全等的性质和SSS综合（SSS）、正多边形和圆的综合 【分析】作多边形的半径，根据多边形的性质可证，得，再根据“等边对等角”得，于是可得，从而可证则，因此． 本题考查了正多边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边对等角、正多边形中心角等知识点，解题的关键综合运用这些性质解题． 【详解】不失一般性，设时的情形，可以推广到一般情况．连接，如下图 由正多边形的性质知： ∴ ∴ 由得： ∴ 即： 又∵ ∴ ∴ ∴ 即： ∵ ∴ 故答案为：． 求弧长和扇形的面积 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）已知扇形面积为，半径为6，则扇形构成圆锥的底面半径长为 ． 【答案】2 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题考查了扇形的面积公式，扇形与对应圆锥的关系；设圆锥的底面半径长，扇形弧长为，由扇形面积公式得，可求出，再由扇形与对应圆锥的关系即可求解；理解扇形的弧长是对应圆锥底面圆的周长是解题的关键． 【详解】解：设圆锥的底面半径长，扇形弧长为，则有 ， 解得：， ， 解得：， 故答案：． 2．（23-24九年级上·江苏南京·期中）已知扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的面积是 ． 【答案】 【知识点】求扇形半径、求扇形面积 【分析】本题考查了扇形面积求法，利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积． 【详解】解：设扇形的半径为r．则 ，解得， ∴扇形的面积， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）圆锥的底面半径是，圆锥的母线是，则圆锥的侧面积是 ． 【答案】/平方厘米 【知识点】求圆锥侧面积、求扇形面积 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图、扇形面积公式，熟知扇形面积公式即可求解． 【详解】解：由题意，圆锥的侧面展开图是扇形，其半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长， ∴圆锥的侧面积是， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知在中，，，，以为直径向外作圆O，P是半圆O上的一个动点，M是的中点，当点P沿半圆O从点A运动至点B时，点M的运动路径长为 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、求弧长、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了求弧长，三角形中位线定理，勾股定理，连接，取的中点D，连接，根据三角形中位线定理得，则点M在以D为圆心，为半径的圆上运动，代入弧长公式计算即可． 【详解】解：连接，取的中点D，连接， 在中，，，， 则由勾股定理得， ∴， ∵点M是的中点，点D是的中点， ∴， ∴点M在以D为圆心，为半径的圆上运动， ∴点M的运动路径长为 ， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）如图，将含有30°角的直角三角板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点位置变化为，其中，第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使三角板与桌面成20°角，则点翻滚到位置时共走过的路径长为 ．      【答案】 【知识点】求某点的弧形运动路径长度、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理及扇形的弧长．根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理先后求得的长，以及和的度数，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ，， ∴，，    ∴点翻滚到位置时共走过的路径长为：， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，在半径为2的扇形中，，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上，折痕交于点C，则图中阴影部分的周长是 . 【答案】/ 【知识点】求弧长、折叠问题 【分析】本题主要考查了求弧长，折叠的性质，解题的关键是根据折叠的性质，得出阴影部分的周长等于扇形的周长，然后求出扇形的周长即可． 【详解】解： 由折叠的性质可知，，， ∵阴影部分的周长为：的长和弧的长， 又∵， ∴图中阴影部分的周长为：． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为6，圆心角为，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）．    【答案】/ 【知识点】求其他不规则图形的面积、根据菱形的性质与判定求线段长、根据菱形的性质与判定求面积、求扇形面积 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形、菱形的面积公式即割补法是解题的关键．连接，将扇形补到扇形的位置，从而得到即可得到答案． 【详解】    连接，将扇形补到扇形的位置， ， 四边形是菱形， ， 过D 作于点H，    ， ， ∵扇形的圆心角为60°，， ． 8．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：，当，时，则l的值为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、求弧长 【分析】本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，连接ON，由，，推出是等边三角形，得到，由等腰三角形的性质推出，而，得到、、共线， 求出，即可得到，进而代入公式，求得的值，即可求解． 【详解】解：连接， ，， 是等边三角形， ， 是中点， ， ， 、、共线， 是等边三角形，， ， ， ， ． 故答案为：． 证明某直线式切线 1．（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E．过点D作于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，．求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)阴影部分的面积为 【知识点】等腰三角形的性质和判定、证明某直线是圆的切线、圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】连接，根据直径所对的圆周角为直角得，结合等腰三角形的性质即可得．利用三角形中位线定理判定，即可证明结论； 根据等腰三角形的性质得，三角形内角和定理求得，进一步得，过点B作于M，则，利用勾股定理即可求得，结合面积公式即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∴． 又， ∴D是的中点， ∴． ∵， ∴， 又， ∴． ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点B作于M，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题主要考查圆的知识，涉及圆周定理、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、平行线的判定和性质、切线的证明、三角形内角和定理、勾股定理以及三角形面积的求解，解题的关键是数量掌握圆的性质和常见辅助线的添加． 2．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，在中，是的直径，与相切于点，点在上，且． (1)求证是的切线； (2)过点作于点，交于点，若，．求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、证明某直线是圆的切线、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）证，利用全等三角形的性质即可证得即可； （2）根据四边形的内角和定理得，从而得，利用三线合一及直角三角形的两锐角互余得，，，从而得，由勾股定理得，，最后根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵与相切于点， ∴． ∴． 在和中 ， ∴． ∴， ∴． 又∵点在上， ∴与相切． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的直径，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴阴影部分的面积为， 【点睛】本题考查了切线的性质与判定、勾股定理、扇形面积公式、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，是的直径，A是延长线上的一点，点E在上，，交的延长线于点C，交于点F，且点E是的中点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【知识点】证明某直线是圆的切线、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了直径对的圆周角是直角，切线的判定与性质，勾股定理等知识，连半径证切线是常作的辅助线． （1）连接，由半径相等及点E是的中点，可得；由为直径及可得，从而问题解决； （2）设半径为r，在中，由勾股定理建立方程，求出r即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， 又点E是的中点， ∴， ∵为直径， ∴， 又， ∴， ∴， 即； ∴， 则为的切线．· （2）解：设半径为r，则， ∵为的切线， ∴， 即为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 4．（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图，为的直径，射线交于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、证明某直线是圆的切线、根据平行线判定与性质证明、根据等边对等角证明 【分析】（1）连接，先根据对边等对角和角平分线的定义证明，推出，再由，得到，由此即可证明直线是的切线； （2）由平行线的性质和三角形内角和定理得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理得到，进而求出，则，由此可得． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线是的切线； （2）解： 由（1）可知：，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边对等角，平行线的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 5．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，四边形中，，点E是边上一点，且平分，作的外接圆，点D在上． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，根据切线的判定定理证明结论； （2）过点O作于F，根据勾股定理求出，进而求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：过点O作于F， 则四边形为矩形， 有勾股定理得： ． 6．（23-24九年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，，以点O为圆心，2为半径画圆，过点A作的一条切线，切点为P，连接．将绕点O按逆时针方向旋转到时，连接，设旋转角为（）． (1)如图，当时， ①求证：是的切线； ②点H到的距离； (2)已知，在旋转过程中，当与相切时，求旋转角的度数； (3)直接写出的最大值与最小值的差． 【答案】(1)①见解析；②点H到的距离为 (2)或 (3) 【知识点】证明某直线是圆的切线、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①解：由是的切线，可得，证明，则，即，进而结论得证；②如图1，过点H作于点Q，由勾股定理得，，根据，计算求解即可； （2）由（1）可知，当时，与相切；如图2，当时，，，此时与相切，根据，计算求解即可； （3）由勾股定理得，，如图3，过作，交圆于，根据的最大值与最小值的差为，计算求解即可． 【详解】（1）①解：∵是的切线， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； ②解：如图1，过点H作于点Q， ∵，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴解得，， ∴点H到的距离为； （2）解：由（1）可知，当时，与相切； 如图2，当时， ∵，，， ∴， ∴，即，此时与相切， ； 综上所述，当与相切时，旋转角的度数为或． （3）解：由勾股定理得，， 如图3，过作，交圆于， ∴的最大值与最小值的差为， ∴的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等知识．熟练掌握切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键． 圆与特殊的平行四边形的综合 1．（23-24九年级上·江西赣州·期中）课本再现 如图1，A，B是上的两点，，C是的中点．    （1）求证：四边形是菱形． 拓展延伸 （2）如图2，将线段绕圆心O逆时针旋转，得到线段，交于点E，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】证明四边形是菱形、根据旋转的性质求解、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，则，同理，得到，即可得出结论； （2）连接，求出，，则平分，得到，则，，由勾股定理求出，由勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵，C是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，同理， ∴， ∴四边形是菱形； （2）连接，    ∵是等边三角形， ∴， ∵将线段绕圆心O逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了垂径定理、菱形的判定、等边三角形的判定和性质、勾股定理、图形的旋转等知识，熟练掌握菱形的判定、等边三角形的判定和性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·江西·期中）如图，是的直径，，是上两点，且，连接，．过点作交的延长线于点． (1)判定直线与的位置关系，并说明理由； (2)连接和交于点，若，， ①求证：四边形是矩形； ②求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2)①证明见解析；② 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、圆周角定理、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查圆的切线，勾股定理，矩形的性质与判定，垂径定理，扇形的面积，熟练掌握以上知识是解题关键． （1）先证明，即可得出，由可得，从而得出是的半径； （2）①证明即可得证； ②图中阴影部分的面积，分别求出梯形的面积和扇形的面积即可解答． 【详解】（1）解：直线与相切， 理由：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）证明：， ，， 是的直径， ， ， 四边形是矩形； 解：如图，连接， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积． 3．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图1，正方形内接于，连接，是上的动点（不与点重合），连接． (1)如图2，当是的中点时，过点作的切线，与的延长线交于点． ①与之间的位置关系是 　　，并说明理由； ②求的度数； (2)连接，请直接写出的度数． 【答案】(1)①，理由见解析；② (2)或 【知识点】切线的性质定理、已知圆内接四边形求角度、根据正方形的性质求角度、圆周角定理 【分析】（1）①连接，由正方形的性质，得到，再根据圆的切线的性质，得到，即可得到与之间的位置关系； ②由正方形的性质可知，，再根据等弧所对的圆周角相等，得到，最后利用平行线的性质，即可得到的度数； （2）由正方形的性质可知，，分两种情况讨论：①当点P在优弧上时，利用同弧所对的圆周角相等，即可求出的度数；②当点P在劣弧上时，利用圆内接四边形对角互补，即可求出的度数． 【详解】（1）解：①，理由如下： 如图，连接， 正方形内接于， ， 是的切线， ， ； ②正方形， ， 是的中点， ， ， ， ； （2）解：正方形， ， ①如图1，当点P在优弧上时， ， ； ②如图2，当点P在劣弧上时， 四边形为圆内接四边形， ， ， 综上可知，的度数为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，圆的切线的性质，平行线的判定和性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补等知识．掌握圆的相关性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$