专题03 旋转（7大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版）

专题03 旋转 判断生活中的旋转现象 1．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）下列现象中属于旋转的有（      ）个． ①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24九年级上·广东韶关·期中）下列现象属于旋转的是（    ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 D．幸运大转盘转动的过程 3．（23-24九年级上·云南昆明·期中）下列运动属于数学上的旋转的是（   ） A．乘坐升降电梯 B．地球绕太阳转动 C．钟表上的时针运动 D．将等腰三角形沿着底边上的高对折 4．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列运动形式属于旋转的是（    ） A．足球在地上的滚动 B．电梯的运行 C．热气球点火升空 D．钟摆的摆动 中心对称图形的识别 1．（23-24八年级下·全国·期中）下面是一些体育项目的图标，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建三明·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期中）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·河南信阳·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产．下列图案中是既是中心对称又是轴对称的图形是（   ） A．B．C． D． 求关于原点对称的点的坐标 1．（23-24八年级下·福建三明·期中）平面直角坐标系中的点与点关于原点对称，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点N的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·海南·期中）点关于轴对称的点的坐标是 ，关于轴对称的点的坐标是 ，关于原点对称的点的坐标为 ． 4．（23-24八年级下·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则 ． 5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）在直角坐标系中，若点，点关于原点中心对称，则 ． 6．（23-24七年级下·四川达州·期中）将点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，Q与B关于原点对称，则点B的坐标是 求绕原点旋转90°的点的坐标 1．（23-24八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，将点绕原点O顺时针旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江西吉安·期中）在直角坐标系中，点绕原点O逆时针旋转，得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转得到点，左平移8个单位长度得到点，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标是 ． 5．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，将含有角的直角三角板放置在平面直角坐标索中在x轴上，若，将三角板绕原点O旋转得到，则点A的对应点的坐标为 ． 求绕某点（非原点）旋转90°的点的坐标 1．（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图，已知点， ()，将线段绕点A逆时针旋转，则点B的对应点C的横坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，将线段绕着点A按逆时针方向旋转，得到线段，则点B的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，将先向右平移3个单位长度得到，再绕点顺时针方向旋转得到，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）如图，点A，B的坐标分别是，将线段绕点A顺时针旋转得到线段．则点的坐标是 ．    5．（23-24九年级上·黑龙江双鸭山·期中）如图，正方形的两边、分别在x轴、y轴上，点在边上，以C为中心，把旋转，则旋转后点D的对应点的坐标是 ．      根据旋转的性质求解 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，点D、E分别是边的中点，将绕点E旋转得，连接，添加下列条件后能判定四边形是正方形的是（　　） A． B． C．且 D．且 2．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，，将绕点C逆时针旋转至的位置，点B恰好在边上，则 度． 4．（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，将绕点A顺时针旋转，得到，若点B的对应点D在线段上，则的大小为 ． 5．（23-24九年级上·北京海淀·期中）在中，，，将绕点A逆时针旋转后能与重合，当B，P，在同一条直线上，连接，若，，则 ． 6．（23-24八年级下·全国·期中）如图，是一个含角的三角板，，，将三角板绕着点 C 顺时针旋转 后，点A与点 D对应，点 B与点E 对应，当边与原三角板的一边平行时，则点A 与点 E 的距离为 ． 求旋转对称图形的旋转角 1．（23-24九年级上·四川绵阳·期中）国旗上的每一个五角星是旋转对称图形，它至少需要旋转 °后才能与自身重合． 2．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，用左面的三角形连续的旋转可以得到右面的图形，每次旋转的角度是 度． 3．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图是环岛行驶的交通标志，表示在环形交叉路口中，车辆按逆时针方向绕行．将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则旋转的角度至少为 ． 4．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）如图，将这个风车图案绕着它的中心点进行旋转，若旋转后与自身重合，则旋转的角度可以是 ． 5．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 找旋转中心、旋转角、对应点 1．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在正方形网格中，格点绕某点逆时针旋转得到格点，点A与点，点B与点，点C与点是对应点，请写出旋转中心的坐标 ． 2．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，在正方形网格中，图②是由图①经过变换得到的，其旋转中心可能是点 ． 3．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，点D在边上，将经过旋转后与重合． (1)这一旋转的旋转中心是点______； (2)旋转角是多少度？ 4．（23-24八年级下·福建漳州·期中）如图，将逆时针旋转一定角度后得到，点D为的中点． (1)若，则旋转中心为点______，旋转角度为______； (2)若，求的长． 5．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）面积为2的正方形，如图． (1)写出A、B、C、D的坐标． (2)把边绕某点旋转到与重合，怎么转？ (3)将边平移到与重合，怎么平移？ 6．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形网格中每个方格边长为1，和的顶点均在格点上，并且是由旋转得到的．根据所给信息，填空： (1)旋转中心为点　 　、旋转角的度数为　 　、旋转方向为　 　（顺时针或逆时针）； (2)连结，则四边形的形状是　 　，面积是　 　． 7．（23-24九年级上·江西赣州·期中）如图，和都是等边三角形，且B、C、D三点共线．    (1)可以看作是由 绕着点 ，逆时针旋转 得到； (2)试证明这两个三角形全等． 8．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，在正方形中，F是延长线上一点，且可旋转得到．    (1)旋转中心为： ．旋转方向为： ；旋转角度为： ． (2)求证：是等腰直角三角形 在平面直角坐标系中作图 1．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)请在图中画出将向下平移6 个单位长度得到的； (2)请在图中画出和关于原点成中心对称的； (3)如图，是绕着点 P 顺时针旋转得到的，请直接写出点 P 的坐标． 2．（23-24九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，， (1)请画出绕A点逆时针旋转90度得到的图形； (2)请写出关于原点O成中心对称的图形三个点的坐标； (3)在x轴上求一点P，使的值最小． 3．（23-24八年级下·北京·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向右平移6个单位长度后得到，请画出； (2)请画出关于原点的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得，请直接写出旋转中心的坐标． 4．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在8×8的正方形网格中建立平面直角坐标系，O为坐标原点，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，的顶点均在格点上，按下列要求作图并解答． (1)将向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到，点A、B的对应点分别为、，画出． (2)作关于点O成中心对称的，点、的对应点分别为、． (3)在图中找一个格点P，使的面积等于面积，题目中出现的格点除外，写出一个点P的坐标即可． 5．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为个单位的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标为． (1)试画出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； (2)以原点为对称中心，画出关于原点对称的，写出点的坐标为______； (3)请在轴上找一点得到，则点的坐标为_______，若直线平分的面积，则______． 6．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为C． (1)若 P为内一点，平移 得到 ， 使点P移到点P处，请在图上画出 (2)若看作是由经过一次平移得到的，则平移的距离为 ． (3)与关于原点O成中心对称，画出 (4)若 和关于点M成中心对称，则点M的坐标为 ． 关于旋转、中心对称的无刻度作图 1．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A，B为格点（格点是指网格线的交点．请利用网格和无刻度的直尺完成下列作图．（不写作法，但要保留作图痕迹） (1)在图1中画出将线段绕点B顺时针方向旋转后的对应线段； (2)在图1中确定格点C，的面积等于10．若有多个点C，用，···表示； (3)在图2中画出以为一边的矩形，使矩形的面积等于12． 2．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）如图在正方形网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作关于点O对称的； (2)在图2中过点C作直线l，使点A，B到直线l的距离相等，画出所有符合要求的直线l． 3．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是由小方格组成的网格纸，每个方格的边长都是1个单位长度，点A、B、C、O均在格点上． (1)在图①中，作出向右平移4个单位长度的三角形； (2)在图②中，作出绕点O沿顺时针方向旋转得到的三角形； (3)在图③中，请在线段上找到一点P，连接和，使的值最小（请保留作图痕迹）． 4．（23-24九年级上·江西宜春·期中）如图，在8×7的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，O为格点，请只用无刻度的直尺按下列要求分别作图（不写作法，保留作图痕迹）．    (1)如图1，将绕点O顺时针旋转，得，作出； (2)如图2，中，，将绕点A顺时针旋转，得，作出； 5．（23-24九年级上·江西赣州·期中）如图，这是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中将绕点P顺时针旋转得到（点，，分别为点A，B，C的对应点）． (2)在图2中作四边形，且四边形为中心对称图形． 6．（23-24九年级上·江西南昌·期中）如图，在网格中已知格点和点P，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作，使其与关于点P成中心对称． (2)在图2中作四边形，且四边形ABDP是中心对称图形． 坐标与旋转规律问题 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x、y轴上，且．将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形，再将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形……以此规律，得到正方形，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·甘肃白银·期中）在平面直角坐标系中，有一个等腰，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转并放大得到等腰，且，再将绕原点O顺时针旋转并放大得到，且，依此规律，得到等腰，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江西吉安·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形．依此方式连续旋转次得到正方形，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，的顶点A，B分别在x轴，y轴上，，，，点坐标是 ，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为 ． 5．（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点，点，将矩形绕点A逆时针旋转，每次旋转，当第2026次旋转结束时，点C对应的坐标是 ． 旋转几何变换综合题 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． (1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； (2)求证：； (3)若，，求正方形的边长． 2．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，中，，将绕点A逆时针方向旋转得到，与交于点G、F． (1)求的度数； (2)判断四边形的形状，并说明理由． 3．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图与为正三角形，点O为射线上的动点，作射线与直线相交于点E，将射线绕点O逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点F． (1)如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段，上，求证：； (2)如图②，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段的延长线上，三条线段之间的数量关系； (3)点O在线段上，若，当时，请直接写出的长． 4．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图1，点是正方形两对角线的交点，分别延长到点，到点，使，，然后以、为邻边作正方形，连接，． (1)求证：； (2)如图2，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转角（），得到正方形； ①在旋转过程中，当是直角时，求的度数； ②若正方形的边长为2，在旋转过程中，长的最大值为______． 5．（23-24八年级上·四川成都·期中）从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习． 在中，，，将线段绕点C顺时针旋转（）得到线段，取中点H，直线与直线交于点E，连接． (1)【感知特殊】 如图1，当时，小组探究得出：为等腰直角三角形，请写出证明过程； (2)【探究一般】 ①如图2，当时，试探究线段，，之间的数量关系并证明； ②当时，直接写出线段，，之间的数量关系． (3)【应用迁移】 已知，在线段的旋转过程中，当时，求线段的长． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 旋转 判断生活中的旋转现象 1．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）下列现象中属于旋转的有（      ）个． ①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查了生活中的平移．根据平移和旋转的定义对各小题分析判断即可． 【详解】解：属于旋转的有③④⑤⑥，共4个． 故选：C 2．（23-24九年级上·广东韶关·期中）下列现象属于旋转的是（    ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 D．幸运大转盘转动的过程 【答案】D 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】此题主要考查了生活的旋转现象，关键是掌握旋转的定义．根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转可得答案． 【详解】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项错误； B、飞机起飞后冲向空中的时候不是旋转，故此选项错误； C、笔直的铁轨上飞驰而过的火车不是旋转，故此选项错误； D、幸运大转盘转动的过程属于旋转，故此选项正确． 故选：D． 3．（23-24九年级上·云南昆明·期中）下列运动属于数学上的旋转的是（   ） A．乘坐升降电梯 B．地球绕太阳转动 C．钟表上的时针运动 D．将等腰三角形沿着底边上的高对折 【答案】C 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义，在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，进而分别判断得出答案，正确把握定义是解题的关键． 【详解】 、乘坐升降电梯属于平移，不符合题意； 、地球绕太阳转动不属于旋转，不符合题意； 、钟表上的时针运动属于旋转，符合题意； 、将等腰三角形沿着底边上的高对折属于轴对称，不符合题意； 故选： ． 4．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列运动形式属于旋转的是（    ） A．足球在地上的滚动 B．电梯的运行 C．热气球点火升空 D．钟摆的摆动 【答案】D 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查了旋转的定义，根据“在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转”即可解答． 【详解】解：A、足球在地上的滚动是旋转加上平移，不符合题意； B、电梯的运行是平移，不符合题意； C、热气球点火升空是平移，不符合题意； D、钟摆的摆动是旋转，符合题意； 故选：D． 中心对称图形的识别 1．（23-24八年级下·全国·期中）下面是一些体育项目的图标，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形来判断即可． 【详解】解：根据中心对称图形的定义可知： A：是中心对称图形，符合题意； B：不是中心对称图形，不符合题意； C：不是中心对称图形，不符合题意； D：不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A 2．（23-24八年级下·福建三明·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．根据中心对称图形的定义旋转 后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 【详解】解：A、是中心对称图形，符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期中）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 4．（23-24九年级上·河南信阳·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转 后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转 后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意； B、绕某一点旋转 后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转 后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转 后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：A． 5．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解： 、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选： ． 6．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产．下列图案中是既是中心对称又是轴对称的图形是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既不轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 求关于原点对称的点的坐标 1．（23-24八年级下·福建三明·期中）平面直角坐标系中的点 与点 关于原点对称，则 的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点 关于原点对称的点的坐标是 ， ， 故选：B． 2．（22-23八年级下·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点N的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，根据“平面直角坐标系中任意一点 ，关于原点的对称点是 ，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答． 【详解】在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点N的坐标是 ． 故选：B． 3．（23-24八年级下·海南·期中）点 关于 轴对称的点 的坐标是 ，关于 轴对称的点 的坐标是 ，关于原点对称的点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、求关于原点对称的点的坐标 【分析】此题主要考查了关于x轴、y轴、原点对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可直接得到答案． 【详解】解：点 关于x轴对称的点 的坐标是 ， 关于y轴对称的点 的坐标是 ， 关于原点对称的点的坐标为 ， 故答案为： ， ， ． 4．（23-24八年级下·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，点 与点 关于原点对称，则 ． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称的特征；根据关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数，即可求解． 【详解】解：∵点 与点 关于原点对称， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， 故答案为： ． 5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）在直角坐标系中，若点 ，点 关于原点中心对称，则 ． 【答案】1 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题的关键． 直接利用关于原点对称点的性质，得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵坐标系中点 ，点 关于原点中心对称， ∴ ， ， 则 ． 故答案为：1． 6．（23-24七年级下·四川达州·期中）将点 向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，Q与B关于原点对称，则点B的坐标是 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查坐标与平移及关于点对称．根据点的平移规则：左减右加，上加下减确定 ，然后进行求解即可． 【详解】解：点 向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q， ∴ ，即： ； ∵Q与B关于原点对称， ∴点B的坐标是 故答案为： ． 求绕原点旋转90°的点的坐标 1．（23-24八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，将点 绕原点O顺时针旋转 得到 ，则点 的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形，旋转性质，先作出平行直角坐标系，根据旋转性质，得出 ，同角的余角相等，得出 ，得证 ，结合点 ，即可作答． 【详解】解：如图：过点P和 分别作 轴，作 轴， ∵旋转， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵点 在第四象限， ∴ 的坐标为 ， 故选：D． 2．（23-24八年级下·江西吉安·期中）在直角坐标系中，点 绕原点O逆时针旋转 ，得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形变化 旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题．把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题． 【详解】解：过A点作 轴，过B点作 轴，垂足分别为D、E，    ∵点A的坐标为 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴点B的坐标为 ． 故选：B． 3．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）在平面直角坐标系中，点 绕原点顺时针旋转 得到点 ， 左平移8个单位长度得到点 ，则点 的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由平移方式确定点的坐标、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，平移等知识， 利用旋转变换、平移变换的性质作出图形，可得结论．解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型． 【详解】解：如图， ． 故选：A． 4．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在 中， ，将 绕 点逆时针方向旋转 到 的位置，则点 的坐标是 ． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形的性质求解、根据旋转的性质求解、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线是解题的关键． 根据题意，作 轴， 轴，可证 ，再根据点 的坐标分别算出 的值，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ， ∵将平行四边形 绕点 逆时针旋转得平行四边形 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ，且 ， ∴ ， ∴ ， ， 已知点 ， ∴ ， ∴ ， ∵点 在第二象限， ∴点 的坐标为： ， 故答案为： ． 5．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，将含有角的直角三角板放置在平面直角坐标索中 在x轴上，若 ，将三角板绕原点O旋转得到 ，则点A的对应点 的坐标为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形的变化—旋转，含角的直角三角形的性质和勾股定理．过点A作 轴于点C，求出 ， 的长度是解题关键． 【详解】解：过点A作 轴于点C， 则 ， ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴点 的坐标为 ， 故答案为： ． 求绕某点（非原点）旋转90°的点的坐标 1．（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图，已知点 ， ( )，将线段 绕点A逆时针旋转 ，则点B的对应点C的横坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形，作 轴， 轴，证明 ，得到 ，即可解题． 【详解】解：作 轴， 轴， 由题知， ， ， 由旋转的性质可知， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 的横坐标为 ， 故选：C ． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，将线段 绕着点A按逆时针方向旋转 ，得到线段 ，则点B的对应点 的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是正确作出图形，即可解答 ． 【详解】解：如图可知： EMBED Equation.DSMT4 ， 故选：B 3．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， ，将 先向右平移3个单位长度得到 ，再绕点 顺时针方向旋转 得到 ，则点 的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由平移方式确定点的坐标、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握图形平移，旋转的性质是解题的关键． 根据图形的平移规律画出 ，再根据旋转的性质画出 ，图形结合即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下： 由图可知， 坐标为 ， 故选： ． 4．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）如图，点A，B的坐标分别是 ，将线段 绕点A顺时针旋转 得到线段 ．则点 的坐标是 ．    【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点 作 轴于点C，根据徐旋转的性质得出 ，进而证明 ，得出 是解题的关键．旋转前后对应边相等，对应边的夹角等于旋转角，全等三角形对应角相等． 【详解】解：过点 作 轴于点C， ∵点A，B的坐标分别是 ， ∴ ， ∵线段 绕点A顺时针旋转 得到线段 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 故答案为： ．    5．（23-24九年级上·黑龙江双鸭山·期中）如图，正方形 的两边 、 分别在x轴、y轴上，点 在边 上，以C为中心，把 旋转 ，则旋转后点D的对应点 的坐标是 ．      【答案】 或 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查了正方形性质，坐标与图形变换——旋转，求直角坐标系中点的坐标，做题时分两种情况，顺时针和逆时针旋转，作出相应图形进行计算即可．作出图形分类讨论是解答本题的关键． 【详解】解： 顺时针旋转 时，如下图：    ， 正方形的边长为 ， ， ， 由旋转性质可得： ， ； 逆时针旋转 时，如下图：    由旋转性质可得： ， ， ， ， 故答案为： 或 ． 根据旋转的性质求解 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在 中，点D、E分别是边 的中点，将 绕点E旋转 得 ，连接 ，添加下列条件后能判定四边形 是正方形的是（　　） A． B． C． 且 D． 且 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题、添一个条件使四边形是正方形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形中位线定理、全等三角形的性质，矩形及正方形的判定的应用，注意：邻边相等的矩形是正方形． 根据三角形中位线和线段中点得出 ，根据旋转的性质得出全等，推出 EMBED Equation.DSMT4 ，添加 时，推出 ，根据矩形的判定和性质，然后添加使得矩形成为正方形的条件即可． 【详解】解：∵点 、 分别是边 、 的中点， ， ∵将 绕点 旋转 得 ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， 添加 时， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴添加 即可使得矩形 是正方形， ∵当 且 时 ， ∴C正确， 故选：C． 2．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在 中， ，将 绕着点 顺时针旋转后，得到 ，且点 在 上，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得 ， ，即可求解． 【详解】解： 将 绕着点 顺时针旋转后，得到 ， ， ， ， ， 故选： ． 3．（23-24九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图， 中， ， ，将 绕点C逆时针旋转至 的位置，点B恰好在边 上，则 度． 【答案】50 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查的是旋转变换的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角、旋转前、后的图形全等是解题的关键．根据三角形内角和定理求出 ，根据旋转变换的性质得到 ， ， ，计算即可． 【详解】解： ， ， ， 由旋转的性质可知， ， ， ， ∴ ， ， ， 故答案为： ． 4．（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，将 绕点A顺时针旋转 ，得到 ，若点B的对应点D在线段 上，则 的大小为 ． 【答案】 /50度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得 ，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：由旋转可得： ， ， ． 故答案为： ． 5．（23-24九年级上·北京海淀·期中）在 中， ， ，将 绕点A逆时针旋转后能与 重合，当B，P， 在同一条直线上，连接 ，若 ， ，则 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形外角性质，等腰三角形性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据旋转的性质和勾股定理可求得 ，再根据旋转的性质，等腰三角形性质，三角形外角性质可得 ， ， ，从而得到 ，再根据勾股定理即可求得 的值． 【详解】解： 将 绕点A逆时针旋转后能与 重合， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 6．（23-24八年级下·全国·期中）如图， 是一个含 角的三角板， ， EMBED Equation.DSMT4 ，将三角板绕着点 C 顺时针旋转 后，点A与点 D对应，点 B与点E 对应，当边 与原三角板的一边平行时，则点A 与点 E 的距离为 ． 【答案】 或5 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据矩形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质及矩形的判定与性质等，解题关键是能够根据题意画出图形，再利用相关性质解题．据题意画出图形，分将三角板绕着点 C 顺时针旋转 及 两种情况讨论，进行求解即可． 【详解】解： 中， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 由旋转性质可得： ， 如图所示， 将三角板绕着点 C 顺时针旋转 后， ， 此时 ； 如图所示， 将三角板绕着点 C 顺时针旋转 后， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 四边形 是矩形， ， 故答案为： 或5． 求旋转对称图形的旋转角 1．（23-24九年级上·四川绵阳·期中）国旗上的每一个五角星是旋转对称图形，它至少需要旋转 °后才能与自身重合． 【答案】72 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 【详解】解：根据旋转对称图形的概念可知：该图形被平分成五部分，旋转 度的整数倍，就可以与自身重合，因而国旗上的每一个正五角星绕着它的中心至少旋转 度能与自身重合， 故答案为：72． 2．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，用左面的三角形连续的旋转可以得到右面的图形，每次旋转的角度是 度． 【答案】120 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角； 利用旋转中的三个要素 (旋转中心；旋转方向；旋转角度) 设计图案，进而判断出基本图形的旋转角度； 【详解】根据图形可得出：这是一个由基本图形绕着中心连续旋转3次，每次旋转120度角形成的图案； 故答案为：120． 3．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图是环岛行驶的交通标志，表示在环形交叉路口中，车辆按逆时针方向绕行．将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则旋转的角度至少为 ． 【答案】 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】本题考查了旋转对称图形，根据图形的对称性，用 除以 计算即可得解，仔细观察图形求出旋转角是 的整数倍是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴旋转的角度是 的整数倍， ∴旋转的角度至少是 ， 故答案为： ． 4．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）如图，将这个风车图案绕着它的中心点 进行旋转，若旋转后与自身重合，则旋转的角度可以是 ． 【答案】 （答案不唯一， 的正整数倍即可） 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 【详解】风车绕着它的中心点旋转，若旋转后的风车与自身重合，旋转角可以为 ， 故答案为： （答案不唯一， 的正整数倍即可）． 5．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 【答案】60 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】本题考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键．观察图形可得，图形由六个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【详解】解：图形可看作由一个基本图形旋转6次所组成，故最小旋转角为 故答案为：60． 找旋转中心、旋转角、对应点 1．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在正方形网格中，格点 绕某点逆时针旋转 得到格点 ，点A与点 ，点B与点 ，点C与点 是对应点，请写出旋转中心的坐标 ． 【答案】 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了旋转的性质，灵活利用旋转中心到对应点的距离相等这一性质确定旋转中心是解题的关键． 利用旋转中心到对应点的距离相等这一性质可作线段 与 的线段垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心E． 【详解】解：如图，连接 、 ，作线段 与 的线段垂直平分线交于一点E， ∴点E为旋转中心 ∴旋转中心E的坐标为 ． 故答案为： ． 2．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，在正方形网格中，图②是由图①经过变换得到的，其旋转中心可能是点 ． 【答案】B 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查旋转的定义和旋转，掌握对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键．根据“对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心”即可找到答案． 【详解】解：如图，连接 ， ，作线段 ， 的垂直平分线，交点就是旋转中心． 故答案为： ． 3．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在 中， ，点D在边 上，将 经过旋转后与 重合． (1)这一旋转的旋转中心是点______； (2)旋转角是多少度？ 【答案】(1)A (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质∶ （1）根据旋转前后点A与自身重合可知点A为旋转中心； （2）根据旋转的性质可得 ，再由等边对等角和三角形内角和定理可得 ，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵将 经过旋转后与 重合， ∴旋转中心即为点A， 故答案为：A； （2）解： 经过旋转后与 重合， ， ， ， ， ， 旋转角是 ． 4．（23-24八年级下·福建漳州·期中）如图，将 逆时针旋转一定角度后得到 ，点D为 的中点． (1)若 ，则旋转中心为点______，旋转角度为______； (2)若 ，求 的长． 【答案】(1)C； (2)4 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查旋转的概念和性质： （1）根据旋转的概念可得结论； （2）由点D为 的中点得出 ,由旋转的性质得 【详解】（1）解：根据题意得，点C为旋转中心， 由旋转得， ， ∵ ∴ ∴ , ∴旋转角度为 ， 故答案为：C； （2）解：∵ ，且点D为 的中点， ∴ 由旋转得， 5．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）面积为2的正方形 ，如图． (1)写出A、B、C、D的坐标． (2)把边 绕某点旋转到与 重合，怎么转？ (3)将边 平移到与 重合，怎么平移？ 【答案】(1) ， ， ， ； (2)线段 绕点 顺时针旋转 与线段 重合； (3)把线段 先向右平移1个单位，再向下平移1个单位与线段 重合． 【知识点】坐标与图形、根据正方形的性质求线段长、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】（1）先求出正方形 的边长，进而可得出 的长，据此得出结论； （2）根据 ，两点的坐标即可得出结论； （3）根据 两点的坐标即可得出结论． 本题考查的是点的坐标、平移与旋转，熟知各坐标轴上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】（1）解： 正方形 的面积为2， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 边 绕某点旋转到与 重合， ， ， 线段 绕点 顺时针旋转 与线段 重合； （3） 边 平移到与 重合， ， ， 把线段 先向右平移1个单位，再向下平移1个单位与线段 重合． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形网格中每个方格边长为1， 和 的顶点均在格点上，并且 是由 旋转得到的．根据所给信息，填空： (1)旋转中心为点　 　、旋转角的度数为　 　 、旋转方向为　 　（顺时针或逆时针）； (2)连结 ，则四边形 的形状是　 　，面积是　 　． 【答案】(1)C、90、顺时针 (2)平行四边形；16 【知识点】证明四边形是平行四边形、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查旋转的性质，平行四边形的判定： （1）由图形可直接求解； （2）由旋转的性质及图形可得 ， ，可得 ，即可求解． 【详解】（1）解：由图形可知：旋转中心为点C，旋转角的度数为 ，旋转方向为顺时针， 故答案为：C、90、顺时针； （2）解：由图形可知： ， ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， 面积为： ， 故答案为：平行四边形；16． 7．（23-24九年级上·江西赣州·期中）如图， 和 都是等边三角形，且B、C、D三点共线．    (1) 可以看作是由 绕着点 ，逆时针旋转 得到； (2)试证明这两个三角形全等． 【答案】(1) ，C， 60 (2)见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、等边三角形的性质、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题主要考查 了等边三角形，全等三角形，熟练掌握等边三角形的边角性质，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键． （1）可通过观察 与 全等着手，寻找旋转中心，旋转角．根据等边三角形的性质得到 ， ， ，推出 ，根据 推出 ，根据 ，因此 可以看作是由 绕着点C，逆时针旋转 得到； （2）根据等边三角形的性质得到 ， ， ，推出 ，根据 推出 ． 【详解】（1）∵ 和 都是等边三角形 ∴ ， ， ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ 可以看作是由 绕着点C，逆时针旋转 得到； 故答案为： ，C， 60 （2）∵ 和 都是等边三角形， ∴ ， ， ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 8．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，在正方形 中，F是 延长线上一点，且 可旋转得到 ．    (1)旋转中心为： ．旋转方向为： ；旋转角度为： ． (2)求证： 是等腰直角三角形 【答案】(1) ；逆时针旋转； (2)见详解 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用； （1）由题意可得： 可以由 绕着点 ，逆时针旋转 得到； （2）由在正方形 中， 、 分别是 和 的延长线上的点，且 ，利用 ，证得： ，即可求解； 【详解】（1）由题意可得： 可以由 绕着点 ，逆时针旋转 得到； 故答案为： ；逆时针旋转； ； （2）证明：∵四边形 是正方形， ∴ ， 在 和 中， ∴ ， ， ， 故 是等腰直角三角形． 在平面直角坐标系中作图 1．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ， ， ． (1)请在图中画出将 向下平移6 个单位长度得到的 ； (2)请在图中画出和 关于原点成中心对称的 ； (3)如图， 是 绕着点 P 顺时针旋转 得到的，请直接写出点 P 的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、画已知图形关于某点对称的图形、平移(作图)、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，旋转和中心对称： （1）根据所给平移方式得到A、B、C对应点 的坐标，描出 ，再顺次连接 即可； （2）根据关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数得到A、B、C对应点 的坐标，描出 ，再顺次连接 即可； （3）根据旋转中心为对应点连线的中垂线的交点进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求； （2）解：如图所示， 即为所求； （3）解：如图所示，点 即为所求． 2．（23-24九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，三个顶点的坐标分别为 ， ， ， (1)请画出绕A点逆时针旋转90度得到的图形 ； (2)请写出 关于原点O成中心对称的图形 三个点的坐标； (3)在x轴上求一点P，使 的值最小． 【答案】(1)见解析 (2) ， ， (3)见解析 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、画旋转图形、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查作图−旋转变换、轴对称−最短路线问题、中心对称，熟练掌握旋转、轴对称和中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）根据中心对称的性质可得出答案． （3）作点A关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点P，连接AP，此时 的值最小． 【详解】（1）如图， 即为所求． （2）∵ 与 关于原点O成中心对称， ， ， ， ∴ ， ， ； （3）如图，点P即为所求． 3．（23-24八年级下·北京·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ． (1)将 向右平移6个单位长度后得到 ，请画出 ； (2)请画出 关于原点 的中心对称图形 ； (3)若将 绕某一点旋转可得 ，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) 【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图)、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】（1）由点的平移，作出 的三个顶点向右平移6个单位长度后的点，连接顶点即可得到 ； （2）根据点的对称性，作出 的三个顶点关于原点 的中心对称点，连接顶点即可得到 ； （3）根据中心对称性质，连接两个中心对称的图形对应点，连线的交点即是旋转中心，由点在平面直角坐标系中位置，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： EMBED Equation.DSMT4 即为所求； （2）解：如图所示： EMBED Equation.DSMT4 即为所求； （3）解：如图所示： 旋转中心 的坐标为 ． 【点睛】本题考查平移作图、中心对称作图，涉及点的平移、点的对称、确定中心对称图形的对称中心、图形与坐标等知识，熟练掌握平移性质、中心对称性质作图是解决问题的关键． 4．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在8×8的正方形网格中建立平面直角坐标系，O为坐标原点，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点， 的顶点均在格点上，按下列要求作图并解答． (1)将 向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到 ，点A、B的对应点分别为 、 ，画出 ． (2)作 关于点O成中心对称的 ，点 、 的对应点分别为 、 ． (3)在图中找一个格点P，使 的面积等于 面积，题目中出现的格点除外，写出一个点P的坐标即可． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】平移(作图)、画已知图形关于某点对称的图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了作平移图形，中心对称图形，网格三角形面积问题， （1）根据平移的方式作平移图象即可； （2）根据中心对称的作图方式作图即可； （3）根据 ，可知在 所在直线上任意一点 与 组成的三角形面积相等即可求解． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：作图如上图： （3）解：由中心对称的性质知： ，延长 两端与格点相交的点即可所求 ，如图可知 ． 5．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为 个单位的正方形， 的顶点均在格点上，点 的坐标为 ． (1)试画出 以 为旋转中心，沿顺时针方向旋转 后的图形 ； (2)以原点 为对称中心，画出 关于原点 对称的 ，写出点 的坐标为______； (3)请在 轴上找一点 得到 ，则点 的坐标为_______，若直线 平分 的面积，则 ______． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析， ； (3) ， ． 【知识点】坐标与图形、利用平行四边形的性质求解、画旋转图形、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】本题考查了作旋转后的图形，作中心对称图形，坐标与图形，平行四边形的性质，待定系数法求一次函数解析式，掌握旋转、中心对称图形及平行四边形的性质是解题的关键． （ ）根据旋转的性质作图即可； （ ）根据中心对称图形的性质作图即可； （ ）根据平行四边形的性质找到点 ，得出平行四边形对角线中心点的坐标，由平行四边形的性质可知，利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：如图， 即为所求； （2）解：如图， 即为所求，点 的坐标 ， 故答案为： ； （3）解：如图，平行四边形 即为所求， ， ∵平行四边形的中心点的坐标为 ， 又∵直线 平分 的面积， ∴直线 经过点 ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ， ． 6．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别为 C ． (1)若 P 为 内一点，平移 得到 ， 使点P 移到点P 处，请在图上画出 (2)若 看作是由 经过一次平移得到的，则平移的距离为 ． (3) 与 关于原点O成中心对称，画出 (4)若 和 关于点M成中心对称，则点M的坐标为 ． 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 (4) 【知识点】已知两点坐标求两点距离、平移(作图)、画旋转图形、判断中心对称图形的对称中心 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．另外要求掌握对称中心的定义． （1）由点P 平移到点P 处，可得点P 的平移方向和距离为：向右平移3各单位，向上平移2个单位，根据网格结构找出点 、 、 平移后的对应点 、 、 的位置，然后顺次连接即可； （2）先确定由点 ，则平移后点 ， ； （3）根据网格结构找出 、 、 关于原点 的中心对称点 、 、 的位置，然后顺次连接即可； （4）由 ， ， M为 的中点，即可求 ，即 ． 【详解】（1）解：∵点P 平移到点P 处， ∴点P 的平移方向和距离为：向右平移3各单位，向上平移2个单位 如图， 即为所求： （2）解：由点 ，则平移后点 ， ∴ ， 故答案为： ； （3）解：如图， 即为所求： （4）解：∵点 ， 与 关于原点O成中心对称 ∴ ， ∵ ， 由题意得点M为 的中点， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， 故答案为： ． 关于旋转、中心对称的无刻度作图 1．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在如图所示的 正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A，B为格点（格点是指网格线的交点．请利用网格和无刻度的直尺完成下列作图．（不写作法，但要保留作图痕迹） (1)在图1中画出将线段 绕点B顺时针方向旋转 后的对应线段 ； (2)在图1中确定格点C， 的面积等于10．若有多个点C，用 ，···表示； (3)在图2中画出以 为一边的矩形 ，使矩形 的面积等于12． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】利用矩形的性质证明、画旋转图形、格点作图题、无刻度直尺作图 【分析】（1）根据旋转的性质画图即可； （2）作 ， ，与网格交点为 ，则 为平行四边形，则 ； （3）先作 的垂线，根据网格的特点，以及勾股定理可得 ，且 ， ，在A点上方3格的位置取格点E，取格点M，作直线 ，交 于点D， 于点C，则四边形 即为所求作的矩形． 【详解】（1）线段 即为所求； （2）格点 ，即为所求； （3）矩形 即为所求； 【点睛】本题考查了格点无刻度作图，矩形的性质，勾股定理与网格，掌握以上知识是解题的关键． 2．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）如图在正方形网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作 关于点O对称的 ； (2)在图2中过点C作直线l，使点A，B到直线l的距离相等，画出所有符合要求的直线l． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】点到直线的距离、画已知图形关于某点对称的图形、格点作图题、无刻度直尺作图 【分析】本题考查中心对称、点到直线的距离，熟练掌握中心对称的性质以及点到直线的距离是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）连接 ，与网格线交于点 ，即点 为线段 的中点，连接 ，则 所在的直线 满足要求；过点 作 的平行线 ，则 也满足要求． 【详解】（1）解：如图1， 即为所求． （2）解：如图2，直线 ， 即为所求． 3．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是由小方格组成的网格纸，每个方格的边长都是1个单位长度，点A、B、C、O均在格点上． (1)在图①中，作出 向右平移4个单位长度的三角形； (2)在图②中，作出 绕点O沿顺时针方向旋转 得到的三角形； (3)在图③中，请在线段 上找到一点P，连接 和 ，使 的值最小（请保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】平移(作图)、画轴对称图形、画旋转图形 【分析】（1）根据平移的性质即可在图①中，作出 向右平移4个单位长度的三角形； （2）根据旋转的性质即可在图②中，作出 绕点O沿顺时针方向旋转 得到的三角形； （3）作点A关于直线 的对称点 连接 ，交线段 于点P，最小． 【详解】（1）如图①，根据平移规律，画图如下：    则 即为所求． （2）如图②， 则 即为所求． （3）如图③，    则点P即为所求． 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握旋转的性质和平移的性质． 4．（23-24九年级上·江西宜春·期中）如图，在8×7的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，O为格点，请只用无刻度的直尺按下列要求分别作图（不写作法，保留作图痕迹）．    (1)如图1，将 绕点O顺时针旋转 ，得 ，作出 ； (2)如图2， 中， ，将 绕点A顺时针旋转 ，得 ，作出 ； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画旋转图形 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点 即可； （2）先利用轴对称的性质画出B点关于 的对称点D，再找出格点 、E，连接 、 ，它们的交点为 ，则 满足条件． 【详解】（1）解：如图， 为所作；     ； （2）解：如图， 为所作；   ． 5．（23-24九年级上·江西赣州·期中）如图，这是 的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中将 绕点P顺时针旋转 得到 （点 ， ， 分别为点A，B，C的对应点）． (2)在图2中作四边形 ，且四边形 为中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、证明四边形是平行四边形、画旋转图形、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】（1）分别作出点A，B，C绕点P顺时针旋转 得到点 ， ， ，顺次连接 ， ， 即可； （2）根据网格特点和勾股定理构造平行四边形即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， 即为所求， （2）如图，四边形 即为所求， ∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形， ∴四边形 为中心对称图形，满足题意． 【点睛】此题考查了勾股定理、平行四边形的判定、旋转的作图、中心对称图形等知识，熟练掌握旋转的性质和平行四边形的判定是准确作图的关键． 6．（23-24九年级上·江西南昌·期中）如图，在网格中已知格点 和点P，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作 ，使其与 关于点P成中心对称． (2)在图2中作四边形 ，且四边形ABDP是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】平行四边形性质的其他应用、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形、格点作图题、无刻度直尺作图 【分析】（1）先分别画出点A、B、C关于点P的对应点 、 、 ，再依次连接即可； （2）构造平行四边 即可． 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求； （2）解：如图所示，四边形 即为所求． ∵ ， ∴四边形 为平行四边形， ∴四边形 即为所求． 【点睛】本题主要考查了作中心对称图形，解题的关键是熟练掌握画中心对称图形的方法和步骤，以及平行四边形是中心对称图形． 坐标与旋转规律问题 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点A、C分别在x、y轴上，且 ．将正方形 绕原点O顺时针旋转 ，并放大为原来的2倍，使 ，得到正方形 ，再将正方形 绕原点O顺时针旋转 ，并放大为原来的2倍，使 ，得到正方形 ……以此规律，得到正方形 ，则点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据正方形的性质求线段长、坐标与旋转规律问题 【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，得出B点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出点 所在的象限，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形 是正方形， ， ∴ ， ∴ ， 将正方形 绕原点O顺时针旋转 ，且 ，得到正方形 ， 再将正方 绕原点O顺时针旋转 ，且 ，得到正方形 …以此规律， ∴每4次循环一周， ， ∵ ， ∴点 与 同在一个象限内， ∴点 ， 故选：A． 2．（23-24八年级下·甘肃白银·期中）在平面直角坐标系 中，有一个等腰 ， ，直角边 在x轴上，且 ．将 绕原点O顺时针旋转 并放大得到等腰 ，且 ，再将 绕原点O顺时针旋转 并放大得到 ，且 ，依此规律，得到等腰 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出 点坐标变化规律是解题关键． 根据题意得出 点坐标变化规律，进而得出点 的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：∵ 是等腰直角三角形， ， ， ， 将 绕原点 顺时针旋转 得到等腰直角三角形 ，且 ，再将 绕原点 顺时针旋转 得到等腰三角形 ，且 ，依此规律， ∴每4次循环一周， ， ， ∴点 与 同在一个象限内， ， ， 故选：D． 3．（23-24八年级下·江西吉安·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为 的正方形 绕点 顺时针旋转 后得到正方形 ．依此方式连续旋转 次得到正方形 ，那么点 的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质求线段长、坐标与旋转规律问题 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法． 由正方形的性质和旋转的性质探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】∵四边形 是正方形，且 ， ， ∵将正方形 绕点 顺时针旋转 后得到正方形 ，再依此方式连续旋转， ， ， ， ， ， ， ， ， ，… 故发现是 次为一个循环， ， ∴刚好完成 个循环，即点 和 相同，即坐标为 ， 故选： ． 4．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图， 的顶点A，B分别在x轴，y轴上， ， ， ， 点坐标是 ，将 绕点O顺时针旋转，每次旋转 ，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、坐标与旋转规律问题 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的规律问题，勾股定理，等腰直角三角形性质，旋转的性质．根据题意求出点 初始坐标，再利用旋转知识得出每次旋转后的坐标，观察出每 次一循环，即可得到本题答案． 【详解】解:∵ ， ， ∴ ， 过点 作 轴交 轴与点 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵将 绕点 顺时针旋转，每次旋转 ， ∴第一次旋转得到 的坐标为 ， 第二次旋转得到 的坐标为 ， 第三次旋转得到 的坐标为 ， 第四次旋转得到 的坐标为 ， 第五次旋转得到 的坐标为 ， 可以发现 的坐标四次一循环， ∴第 次旋转结束时: ， ∴第 次旋转结束时点 的坐标为: ， 故答案为: ，． 5．（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在x轴上，点 ，点 ，将矩形 绕点A逆时针旋转，每次旋转 ，当第2026次旋转结束时，点C对应的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】本题主要考查旋转的知识，点坐标规律问题，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键． 根据矩形的性质作出旋转后的图形，找到C点的坐标规律即可． 【详解】解：将矩形 绕点A逆时针旋转，如图    可知： ， ， ， …， 则：每旋转4次则回到原位置， ∵ ， 即：第2026次旋转结束时，完成了506次循环，又旋转了2次， ∴当第2026次旋转结束时，点C对应的坐标是 ． 故答案为： ． 旋转几何变换综合题 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点M、N分别在正方形 的边 上，且 ，把 顺时针旋转一定角度后得到 ． (1)填空： 绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到 ； (2)求证： ； (3)若 ， ，求正方形 的边长． 【答案】(1)A，90 (2)证明见解析 (3)正方形 的边长为 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、线段问题(旋转综合题) 【分析】（1）根据旋转定义结合正方形性质得出旋转中心和旋转角度即可； （2）先根据旋转的性质可得 ，再根据正方形的性质、角的和差可得 ，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形 的边长为x，从而可得 ，再根据旋转的性质可得 ，从而可得 ，然后根据三角形全等的性质可得 ，最后在 中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）解：在正方形 中， ， 又 顺时针旋转一定角度后得到 ， 绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到 , 故答案为：A，90； （2）证明：由旋转的性质得： ， 四边形 是正方形， ，即 ， ，即 ， ， ， 在 和 中， ， ； （3）解：设正方形 的边长为 ，则 ， ， ， 由旋转的性质得： ， ， 由（2）已证： ， ， 又 四边形 是正方形， ， 则在 中， ， 即 ， 解得 或 （不符题意，舍去） 故正方形 的边长为 ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键． 2．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）如图， 中， ，将 绕点A逆时针方向旋转 得到 ， 与 交于点G、F． (1)求 的度数； (2)判断四边形 的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)四边形 是菱形，理由见解析 【知识点】等边对等角、证明四边形是菱形、角度问题(旋转综合题) 【分析】本题考点涉及等腰三角形的性质、旋转的性质、三角形外角和定理、平行线的判定、平行四边形的判定、菱形的判定，涉及知识点较多，但难度不大，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）利用等腰三角形性质得出 ，利用旋转的性质和三角形的外角定理即可解答； （2）利用平行线的判定定理证得 ，所以四边形 是平行四边形，再利用菱形判定定理即可解决问题． 【详解】（1）解：∵ ∴ ， ∵将 绕点A顺时针方向旋转 得到 ， ∴ ， ∴ ； （2）四边形 是菱形，理由如下： ∵ ， ∴ ， ∵ ∴ ∴四边形 是平行四边形，且 ， ∴四边形 是菱形． 3．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图 与 为正三角形，点O为射线 上的动点，作射线 与直线 相交于点E，将射线 绕点O逆时针旋转 ，得到射线 ，射线 与直线 相交于点F． (1)如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段 ， 上，求证： ； (2)如图②，当点O在 的延长线上时，E，F分别在线段 的延长线和线段 的延长线上， 三条线段之间的数量关系； (3)点O在线段 上，若 ，当 时，请直接写出 的长． 【答案】(1)证明见解答 (2) (3)满足条件的 的值为4或2或6 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、角度问题(旋转综合题) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得 ， ，由旋转的性质可得 ，易得 ，由“ ”可证 ； （2）过点O作 交 与点H，可证 是等边三角形，可得 ，由“ ”可证 ，可得 ，即可得 ； （3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图①中， ∵ 与 为正三角形， ∴ ， ， ∵将射线 绕点O逆时针旋转 ， ， ， ， ， ， ； （2）解： ，理由如下：， 如图②，过点O作 交 与点H， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， ， ， ； （3）解：作 于H． ， 为正三角形， ， ， ， 如图③ 中，当点O在线段 上，点E在线段 上时． ， ， ， 过点O作 ，交 于N， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图③﹣2中，当点O在线段 上，点E在线段 上，点F在线段 的延长线上时， 同法可证： ， ， ； 如图③﹣3中，当点O在线段 上，点F在线段 上，点E在线段 上时． 同法可证： ， ， ， ； 如图③ 中，当点O在线段 上，点F在线段 的延长线上，点E在线段 上时． 同法可知： ， 而 ， ， ； 综上所述，满足条件的 的值为4或2或6． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 4．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图1，点 是正方形 两对角线的交点，分别延长 到点 ， 到点 ，使 ， ，然后以 、 为邻边作正方形 ，连接 ， ． (1)求证： ； (2)如图2，正方形 固定，将正方形 绕点 逆时针旋转 角（ ），得到正方形 ； ①在旋转过程中，当 是直角时，求 的度数； ②若正方形 的边长为2，在旋转过程中， 长的最大值为______． 【答案】(1)见解析 (2)①当 时， 或 ；② 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、角度问题(旋转综合题) 【分析】（1）延长 交 于 ，根据四边形 是正方形，可推出 ，得到 ，再由 ，得到 ，推出 ，得证； （2）①在旋转过程中， 是直角时有两种情况，当 由 增大到 过程中，由 ， ，得到 ，再由 ，推出 ，即可；当 由 增大到 过程中， ，同理可求 ，即可求得答案；②在图1连接 ，根据正方形性质求出 和 ，由题意可知当 ， 、 、 在一条直线上，此时 的长最大，由 即可得到答案． 【详解】（1）如图，延长 交 于 ， 点 是正方形 两对角线的交点， ， ， 四边形 是正方形 在 和 中， ， ， ， ， ， ， 即 ； （2）①在旋转过程中， 成为直角有两种情况： 如图2， 由 增大到 过程中， 当 时， ， 在 中， ， ， ， ， ，即 ； 由 增大到 过程中，当 时，如图 同理可求 ， ， 综上所述，当 时， 或 ； ②如图，连接 ， 四边形 是正方形， ， ， 正方形 的边长为2， ， ， 则 ， 当 时， 、 、 在一条直线上，此时 的长最大， 最大值为 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质，勾股定理，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 5．（23-24八年级上·四川成都·期中）从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习． 在 中， ， ，将线段 绕点C顺时针旋转 （ ）得到线段 ，取 中点H，直线 与直线 交于点E，连接 ． (1)【感知特殊】 如图1，当 时，小组探究得出： 为等腰直角三角形，请写出证明过程； (2)【探究一般】 ①如图2，当 时，试探究线段 ， ， 之间的数量关系并证明； ②当 时，直接写出线段 ， ， 之间的数量关系． (3)【应用迁移】 已知 ，在线段 的旋转过程中，当 时，求线段 的长． 【答案】(1)见解析 (2)① 证明见解析；② ，证明见解析 (3) 或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、线段问题(旋转综合题) 【分析】（1）主要考查旋转背景下等腰三角形的三线合一的性质，再利用 就可以确定 ，再由等腰三角形 ，求出 ，进而求出 ，最后利用 是线段 的垂直平分线，可以证明 为等腰直角三角形． （2）同（1）作辅助线求解，可以求出 ， ， 之间的数量关系． （3）解决本题关键是能根据第二小问建立分类讨论思想， ， ，就足够说明 和 都是确定的，然后利用勾股定理求 长和特殊角 求 长， 的关系非常重要，就可以快速求出线段边长． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可知， ； ∵ ； ∴ ； ∵ ； ∴ ； ； ∵ ； ∴ ∴ 是 的垂直平分线； ∴ ； ∴ 为等腰直角三角形． （2）①如下图，当 时，设 ； ∵ ； ∴ ； ∵ ； ∴ ； ； ∴ ； 由第一问可以知道， 为等腰直角三角形； ∴ ； 直接过点 作 的垂线，垂足为 ； ∴ 为等腰直角三角形 ∵ , ； ∴ ； ∴ ； 即， ． ②如下图所示，同理由第 问可以证明， 依然是等腰直角三角形性； 当 时，设 ； ∵ ； ∴ ； ∵ ； ∴ ； ∴ ； ∴ ； 直接过点 作 的垂线，垂足为 ； ∴ ； ∵ ； ∴ ； 在等腰直角三角形 中； ； 即， ． （3）解：如下图，当 时； 在等腰直角三角形 中， ； ∴ ； ∵ ； ∴ ； ∵ ； 在 中，由勾股定理得； ； ∴ ； ∵ ； ∴ ； 第二种情况，如下图，当 时； 同理，可求， ； ∵ ； 在 中，由勾股定理得； ； ∴ ； ∵ ； ∴ ； ∴ ； 【点睛】本题主要考查旋转背景下等腰三角形的判定和性质，三线合一，垂直平分线的判定和性质，勾股定理解三角形，普通作图能力，旋转背景求线段长度要分类讨论，判定等腰直角三角形，固定旋转角，证明出 角是关键，推导线段关系，利用等腰三角形的三线合一性质和 角解直角三角形是重点，特别是在旋转背景下注意求线段长时，注重画图，分类讨论思想，每个不同的图，对应的线段长是不一样的，建立分类讨论思想和灵活利用特殊角解三角形解决本题是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$