专题02 二次函数（7大基础题+6大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版）

专题02 二次函数 二次函数的识别 1．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东汕头·期中）下列各式中，是二次函数的是(　　) A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）下列函数中，二次函数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·甘肃平凉·期中）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）下列函数中， 是二次函数的是(   ) A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A． B． C． D． 根据二次函数的定义求参数 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）已知函数 是二次函数，则常数a 的取值范围是 ． 2．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）若是二次函数，则 ． 3．（23-24九年级上·甘肃平凉·期中）若函数的图象是抛物线，则m值为 ． 4．（23-24九年级上·四川南充·期中）如果函数是二次函数，那么的值为 ． 5．（23-24九年级上·广西柳州·期中）当 时，函数是关于x的二次函数． 6．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 象限． 二次函数的图像与性质 1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）关于函数的性质表述正确的一项是（    ） A．无论为任何实数，的值总为正数 B．它的图象关于轴对称 C．当的值增大时，的值也增大 D．它的图象在第一、三象限内 2．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．图象的顶点坐标是 D．当时，y随x的增大而减小 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）由二次函数，可知下列说法正确的是（   ） A．其最小值为1 B．其图像的对称轴为直线 C．当时，随的增大而增大 D．其图像与轴的交点为 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）对抛物线而言，下列结论正确的是（   ） A．开口向上 B．与轴的交点坐标是 C．与两坐标轴有两个交点 D．当时，有最大值 5．（23-24九年级上·山东烟台·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，y随x的增大而增大 B．图象的顶点坐标为 C．当时，y有最大值 D．图象与x轴有两个交点 6．（23-24九年级上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　） A．图象顶点坐标为，对称轴为直线 B．的最小值为 C．当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小 D．它的图象可由的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到 7．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）定义：为二次函数的特征数．下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是y轴；②当时，函数图象过原点；③当且时，y随x的增大而减小；④当时，若，，则．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二次函数的几何变换 1．（23-24九年级上·四川泸州·期中）将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·北京海淀·期中）将抛物线向下平移3个单位，再向右平移3个单位后的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线为（ ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）把抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后的抛物线表达式为 ． 6．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）将抛物线向左平移4个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线的表达式是 ． 7．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线解析式是 ． 8．（23-24九年级上·重庆忠县·期中）将抛物线先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度所得抛物线的函数解析式为 ． 二次函数与坐标轴交点问题 1．（23-24九年级上·山东临沂·期中）抛物线与y轴的交点坐标是 ． 2．（23-24九年级上·新疆·期中）二次函数与x轴的交点坐标为 . 3．（23-24九年级上·甘肃武威·期中）抛物线与直线的交点坐标是 ． 4．（23-24九年级上·海南海口·期中）抛物线与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 和 ． 5．（23-24九年级上·湖北随州·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ． 6．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图是函数的部分图象，则该函数图象与轴负半轴的交点横坐标是 ． 7．（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴是直线，当时，自变量的取值范围是 ． 8．（23-24九年级上·重庆江津·期中）二次函数和一次函数的图象如图所示，则时，的取值范围是 . 9．（23-24九年级上·云南昆明·期中）已知二次函数与轴有两个交点，当取最小整数时的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线无公共点，则的取值范围是 ． 待定系数法求函数解析式 1．（23-24九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象顶点为，且经过点．求这个二次函数的表达式． 2．（23-24九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象经过点A． (1)求二次函数的对称轴； (2)当A为时，求此时二次函数的表达式，并求出顶点坐标． 3．（23-24九年级上·重庆江津·期中）如图，抛物线经过坐标原点，并与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标． 4．（23-24九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线 (1)若此抛物线过点，，求抛物线的解析式 (2)当时，对任意x值，都有，结合图象，直接写出k的取值范围． 5．（23-24九年级上·广西柳州·期中）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线经过B点，且与x轴交于C，D两点（点C在左侧），且． (1)求抛物线的解析式； (2)平移直线，使得平移后的直线与抛物线分别交于点D，E，与y轴交于点F，连接，求的面积． 6．（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）已知二次函数（为常数）． (1)若二次函数的图象经过点，求的值； (2)在（1）的条件下，当时，请求出二次函数的最大值和最小值． 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数 (，为实数)． (1)当，若图象经过点，求该函数的表达式； (2)若，①当时，随着增大而减小，求的取值范围； ②设一次函数，当函数的图象经过点时，求的值． 画二次函数的图象 1．（23-24九年级上·福建漳州·期中）已知二次函数． (1)用配方法将解析式化为的形式； (2)二次函数中的x和y满足下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 m … 求m的值； (3)在给定的直角坐标系中，直接画出这个函数的大致图象． 2．（23-24九年级上·山东济宁·期中）已知二次函数．    (1)求该二次函数的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)结合函数图象，直接写出当时，y的取值范围． 3．（23-24九年级上·甘肃平凉·期中）已知二次函数． x … 0 1 2 3 … y … 2 …    (1)完成如表，并根据列表，在所给的平面直角坐标系中画出的图象； (2)当x在什么范围内时，y随x增大而减小． 4．（23-24九年级上·广东广州·期中）用描点法画出的图像． (1)列表并在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线： … … … … (2)观察图像： ①抛物线与轴交点坐标是_______． ②当_______时，随的增大而减小． 5．（23-24九年级上·河北保定·期中）对于抛物线． … 0 1 2 3 4 … … __________ ___________ ___________ ___________ __________ … (1)把解析式配方成顶点式，并写出顶点坐标； (2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线； (3)结合图象直接回答：当时，则y的取值范围是___________． 6．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数图像上部分点横坐标、纵坐标的对应值如表： … 0 1 2 3 4 … … 0 5 … (1)画出函数图像，并求出二次函数的解析式； (2)当时，随的增大而______； (3)当时，的取值范围为______． 7．（23-24九年级上·江西·期中）已知抛物线（a，b是常数，，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 … y 0 m 0 3 …    (1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为直线______． (2)求抛物线的解析式和m的值． (3)利用描点法在图中画出抛物线，并将该图象绕点O旋转，画出旋转后的图象，设两图象合并后对应的函数为，完成以下问题： ①若直线与函数的图象有两个交点，则______． ②若对于函数图象上的两点，，当，时，，请结合图象，直接写出t的取值范围． 二次函数图象共存问题 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 2．（23-24九年级上·山东烟台·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（  ） A．   B．   C．    D．   3．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A．   B．   C．   D．   4．（23-24九年级上·山东济宁·期中）在同一平面直角坐标系中，函数和(a是常数，且)的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·山东德州·期中）在同一坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 二次函数图象与系数的关系 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·新疆昌吉·期中）二次函数的图象如图，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有个（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24九年级上·重庆江津·期中）如图所示，抛物线的对称轴为，现给出下面四条信息： ；；； ． 你认为其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的有是(　　)个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24九年级上·安徽池州·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则．正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 二次函数图象上的点的特征 1．（23-24九年级上·吉林·期中）抛物线的部分图象如图所示，已知此抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线，则抛物线与轴的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·甘肃武威·期中）如果点在抛物线上，则这个抛物线的对称轴是（　  ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知是抛物线上的点，则（　　） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依序排列为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·广西柳州·期中）二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如： x … 0 1 … y … ﹣6 … 则该函数图象的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 7．（23-24九年级上·陕西安康·期中）抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 2 4 … … 1 0 … 由表可知，抛物线与轴的一个交点的坐标是，则抛物线与轴的另一个交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二次函数的最值 1．（23-24九年级上·山东泰安·期中）二次函数的最小值是 ． 2．（23-24九年级上·北京石景山·期中）当，则函数最大值 ，最小值 ． 3．（23-24九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线，则当时，函数的最大值为 ． 4．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）已知函数在时有最大值5，则 ． 5．（23-24九年级上·浙江台州·期中）已知点在二次函数的图像上，则的最大值 ． 6．（23-24九年级上·四川泸州·期中）已知关于x的二次函数在的取值范围内最大值是7，则该二次函数的最小值是 ． 二次函数的应用 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 2．（23-24九年级上·广西钦州·期中）掷实心球是钦州市中考体育科选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，实心球抛出时起点A处的高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．    (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据钦州市中考体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于7.11m，此项考试得分为满分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 3．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，若按每千克50元销售，一个月能售出，销售单价每涨1元，月销售量就减少，针对这种水产品，请解答以下问题： (1)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数解析式； (2)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量与月销售利润； (3)当销售单价为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 4．（23-24九年级上·广东广州·期中）为了拉动内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额(元)之间大致满足如图所示的一次函数关系．随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益元)会相应降低且满足：． (1)在政府补贴政策实施后，求出该商场销售彩电台数与政府补贴款额之间的函数关系式； (2)在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？ (3)要使该商场销售彩电的总收益最大，政府应将每台补贴款额定为多少？并求出总收益的最大值． 5．（23-24九年级上·山东淄博·期中）如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米．设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米， (1)分别用含x的代数式表示与S； (2)若，求x的值； (3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？ 6．（23-24九年级下·江西赣州·期中）在一次数学社团活动中，小晨同学所在的小组把两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图象与x轴交点也相同的二次函数，命名为“和合对称二次函数”，对应图象命名为“和合对称抛物线”，并把两个函数图象上横坐标相同的对应点称之为“和合点”，针对该构想，小展同学用二次函数作为其中一个函数（标记该函数图象交轴于原点及点）做了有关研究，请你帮他解答． 【特例感知】（1）当时，如图，抛物线上的点关于与之对应的“和合对称抛物线”图像的“和合点”分别为，．如下表： … … … …    ①补全表格； ②画图：在图中描出表中对应的“和合点”，再用平滑的曲线依次连接各点，得到“和合对称抛物线”图象． 【初步探讨】（2）①当时，若抛物线的顶点为点，点对应的“和合点”为点，则由点、四点所围成的四边形的面积为______； ②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现与二次函数对应的“和合对称抛物线”图象中，存在一条抛物线，其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数，请求出抛物线的解析式． 【进阶探究】（3）若抛物线及与它对应的“和合对称抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值． 二次函数的综合题 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）顶点为且过原点的抛物线，如图所示． (1)求其解析式． (2)动矩形的顶点B、C在抛物线上，A、D在x轴上，设，矩形的周长为l，求l随t变化的函数关系式．若l有最值，求之，否则说明理由． 2．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点．    (1)求抛物线的对称轴及k值； (2)求点A和点B的坐标； (3)抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标． 3．（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．    (1)求抛物线的解析式与直线l的解析式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值． 4．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过两点，且与轴的负半轴交于点，动点在直线下方的二次函数图象上． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，设的面积为，求的最大值． 5．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 6．（23-24九年级上·甘肃武威·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，得到矩形．设直线与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线的图象经过点C、M、N． (1)点B的坐标为 ，点B'的坐标为 ； (2)求抛物线的解析式； (3)求的面积． 7．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知二次函数的图象经过点、和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)当点P在直线的上方时， ①当的长最大时，求点P的坐标； ②当时，求点P的坐标． 8．（23-24九年级上·山东德州·期中）综合与探究 如图，某一次函数与二次函数的图象交点为，．    (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线对称轴上一动点，当与的和最小时，点的坐标为　　　　； (3)点为二次函数位于线段下方图象上一动点，过点作轴，交线段于点，求面积的最大值； (4)在（2）的条件下，点为轴上一点，点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，若以点，，，为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标． 9．（23-24九年级上·重庆石柱·期中）如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P为直线上方抛物线上一动点，于点D，轴于点F，交于点E，求周长的最大值以及点P的坐标； (3)在（2）的结论下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线的顶点为M，平面内有一点N，以点P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点N的坐标． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数 二次函数的识别 1．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义“形如，为常数且”作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：A、该函数是二次函数，故本选项符合题意； B、当时，不是二次函数，故本选项不符合题意； C、，该函数是一次函数，故本选项不符合题意． D、该函数不是函数，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．（23-24九年级上·广东汕头·期中）下列各式中，是二次函数的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如 、、是常数，的函数，叫做二次函数． 【详解】解：A、，是一次函数，故本选项不合题意； B、，是一次函数，故本选项不合题意； C、，是二次函数，故本选项符合题意； D、，右边中不是整式，不是二次函数，故本选项不合题意． 故选：C． 3．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）下列函数中，二次函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如的函数叫二次函数，据此判断即可． 【详解】解：A．符合二次函数的定义，本选项符合题意； B．是一次函数，不符合题意； C．是正比例函数，不符合题意； D．是反比例函数，不符合题意． 故选：A． 4．（23-24九年级上·甘肃平凉·期中）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，直接利用二次函数的定义分别分析得出答案，正确把握相关定义是解题关键． 【详解】A、是一次函数，故此选项错误，不符合题意； B、只有时才是二次函数，故此选项错误，不符合题意； C、，一定为二次函数，故此选项正确，符合题意； D、，不是二次函数，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 5．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）下列函数中， 是二次函数的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的识别，一般地，形如（其中a、b、c为常数且）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意； B、，未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 6．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数，根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：A、，该函数整理后是一次函数，故本选项不符合题意； B、时，是一次函数，故本选项不符合题意； C、，该函数是二次函数，故本选项符合题意； D、该函数是一次函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 根据二次函数的定义求参数 1．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）已知函数 是二次函数，则常数a 的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数，可得，进一步求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）若是二次函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义；根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 【详解】解：依题意， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·甘肃平凉·期中）若函数的图象是抛物线，则m值为 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义：函数（，a、b、c为常数）叫二次函数，根据二次函数的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值． 【详解】解：∵函数的图象是抛物线， ∴且， 解得：且， ． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·四川南充·期中）如果函数是二次函数，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数是解题的关键．根据二次函数的定义得出关于的不等式组，求出的值即可． 【详解】解：函数是二次函数， ， 解得． 故答案为： 5．（23-24九年级上·广西柳州·期中）当 时，函数是关于x的二次函数． 【答案】3 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且，解方程即可得到答案；一般地，形如（其中a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：3． 6．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】四 【知识点】根据二次函数的定义求参数、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查二次函数的性质以及一次函数的图像，由二次函数的定义得出即可得到答案． 【详解】解：由于是关于的二次函数， 且， ， 故一次函数的解析式为， 故一次函数过一、二、三象限， 故答案为：四． 二次函数的图像与性质 1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）关于函数的性质表述正确的一项是（    ） A．无论为任何实数，的值总为正数 B．它的图象关于轴对称 C．当的值增大时，的值也增大 D．它的图象在第一、三象限内 【答案】B 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点在原点，对称轴是轴是解答此题的关键．根据二次函数的性质得出函数的对称轴及其增减性即可得出结论． 【详解】解：， 函数图象的开口向上，对称轴是轴，顶点是原点， 函数图象在第一、二象限内，当时，随的增大而增大，故B正确，A，C，D错误． 故选：B． 2．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．图象的顶点坐标是 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意把二次函数化为顶点式的形式是解答此题的关键．根据二次函数的性质和图象上点的坐标特征进行解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，y随x的增大而减小， 故A，B，C选项错误，D选项正确． 故选：D． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）由二次函数，可知下列说法正确的是（   ） A．其最小值为1 B．其图像的对称轴为直线 C．当时，随的增大而增大 D．其图像与轴的交点为 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为．通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解． 【详解】解：二次函数， ，函数图象开口向下，函数图象的对称轴为，函数图象的顶点坐标是，函数有最大值为1，当时，随的增大而增大，当时，，其图象与轴的交点为，故选项不符合题意，符合题意． 故选：C 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）对抛物线而言，下列结论正确的是（   ） A．开口向上 B．与轴的交点坐标是 C．与两坐标轴有两个交点 D．当时，有最大值 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数解析式化为顶点式求解，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：、∵抛物线中，， ∴抛物线开口向下，故此选项错误，不符合题意； 、当时，， ∴抛物线与轴交点坐标为，故此选项错误，不符合题意； 、∵， ∴抛物线与轴有个交点， 又∵抛物线与轴交点坐标为， ∴与两坐标轴有三个交点，故此选项错误，不符合题意； 、∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，为函数最大值，故此选项正确，符合题意； 故选：． 5．（23-24九年级上·山东烟台·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，y随x的增大而增大 B．图象的顶点坐标为 C．当时，y有最大值 D．图象与x轴有两个交点 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 先将二次函数的解析式化为顶点式，再逐项判断即可求解． 【详解】解：∵，且 ， ∴二次函数图象开口向下， ∴A、当时，，y随x的增大而增大，故本选项错误，不符合题意； B、函数图象的顶点坐标是，故本选项错误，不符合题意； C、当时，函数有最大值，故本选项正确，符合题意； ∵ ， ∴D、函数图象与x轴没有交点，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 6．（23-24九年级上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（　　） A．图象顶点坐标为，对称轴为直线 B．的最小值为 C．当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小 D．它的图象可由的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到 【答案】D 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数顶点式，对称轴的计算，增减性，平移的性质即可求解． 根据题意，把二次函数化成顶点式可判定，选项，根据图象开口，增减性可判定选项，根据图象的平移可判定选项，由此即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点为，故选项正确，不符合题意； 当时，有最小值，故选项正确，不符合题意； 当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故选项正确，不符合题意； 根据平移的规律，的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，故选项说法错误，符合题意． 故选：． 7．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）定义：为二次函数的特征数．下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是y轴；②当时，函数图象过原点；③当且时，y随x的增大而减小；④当时，若，，则．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的对称轴、增减性规律，这是进一步研究二次函数的性质的基础． 根据特征数的定义，写出二次函数的表达式为，①写出对称轴方程后把代入即可判断；②把代入，求出此时的x、y即可判断；③根据对称轴，开口方向，增减性即可判断；④根据对称轴，开口方向，对称性即可判断． 【详解】解：由特征数的定义可得：特征数为的二次函数的表达式为：， 此抛物线的对称轴为直线， 当时，函数图象的对称轴是，即y轴．故①正确； ②当时，此二次函数表达式为：， 当时，，所以函数图象不过原点，故②错误； ③当时， 函数图象的对称轴，且抛物线图象是开口向上， 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而减小，故③正确； ④当时，二次函数表达式为：，此时函数的对称轴为y轴，图象开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大， ，， ，故④正确； 则正确的结论的个数为3个， 故选：C． 二次函数的几何变换 1．（23-24九年级上·四川泸州·期中）将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查抛物线的平移以及抛物线的变化规律，按照“左加右减，上加下减”的规律进而求解即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是，即， 故选：Ｄ 2．（23-24九年级上·北京海淀·期中）将抛物线向下平移3个单位，再向右平移3个单位后的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了函数图像的平移规律：上加下减，左加右减，根据函数图像的平移规律求解即可． 【详解】解：向下平移3个单位后可得即，再向右平移3个单位后可得即， 故选：C． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，理解并掌握二次函数图像的平移规律是解题关键．根据二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可获得答案． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位， 所得到抛物线解析式为：； 故选：B 4．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的规律是解答此题的关键．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】解：把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线为：，即 故选：D． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）把抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后的抛物线表达式为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知二次函数图象平移的法则． 根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的表达式为：， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）将抛物线向左平移4个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线的表达式是 ． 【答案】/ 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查的是抛物线的平移，掌握“抛物线的平移规律”是解本题的关键． 抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，根据平移规律直接作答即可． 【详解】解：抛物线向左平移4个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线的表达式为：， 即． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线解析式是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查的是抛物线的平移．按照抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，从而可得答案． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的解析式是即． 故答案为：． 8．（23-24九年级上·重庆忠县·期中）将抛物线先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度所得抛物线的函数解析式为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的图像与几何变换，熟练掌握变换法则“上加下减，左加右减”是解答本题的关键． 根据函数图像的平移法则，先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到平移后的函数解析式． 【详解】解：由已知得： 将抛物线先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度所得抛物线的函数解析式为： ， 即， 故答案为：． 二次函数与坐标轴交点问题 1．（23-24九年级上·山东临沂·期中）抛物线与y轴的交点坐标是 ． 【答案】 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，将代入解析式求解即可． 【详解】解：将代入得， ∴抛物线与y轴交点坐标为， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·新疆·期中）二次函数与x轴的交点坐标为 . 【答案】、 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，令得，，再求解即可． 【详解】解：令得，， 解得，， ∴该二次函数与x轴的交点坐标为、， 故答案为：、． 3．（23-24九年级上·甘肃武威·期中）抛物线与直线的交点坐标是 ． 【答案】， 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查的是函数图象交点的求法，联立两函数的解析式，所得方程组的解，即为两个函数图象的交点坐标． 【详解】解：：联立两函数的解析式， 可得：， 解得：，， 故抛物线与直线的交点坐标是，， 故答案为：，． 4．（23-24九年级上·海南海口·期中）抛物线与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 和 ． 【答案】 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键，根据题意，令，然后求出的值，即可以得到抛物线与轴的交点坐标；令，求出的值，即可求出抛物线与轴交点的坐标． 【详解】解：令， 得， 抛物线与轴的交点坐标是：， 令， 即， 解得，， 所以抛物线与轴交点的坐标是，． 故答案为：；，． 5．（23-24九年级上·湖北随州·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，依据题意，令，即可求得抛物线与x轴的交点的横坐标，从而可以判断得解． 【详解】由题意，令， ∴． ∴或． ∴一个交点为，另一个交点为． 故答案为：． 6．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图是函数的部分图象，则该函数图象与轴负半轴的交点横坐标是 ． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、因式分解的应用、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】先根据图像得到二次函数的对称轴为，并由此得到，再由函数与轴正半轴的交点横坐标为得，综合两个式子可得，则函数表达式可推得，将该式子进行因式分解后结合图像即可求解． 【详解】解：依图得：该二次函数的对称轴为，与轴正半轴的交点横坐标为， 即，， 由可得， 将代入可得， 则函数表达式， 该函数图像与轴负半轴交点的横坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是函数的图像与性质、用待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与的交点坐标、因式分解，解题关键是根据图像找到、、的关系． 7．（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴是直线，当时，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与x轴的另一个交点，进而得出答案． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴是直线， ∴图象与x轴的另一个交点为， ∴当函数值时，自变量x的取值范围是． 故答案为：． 8．（23-24九年级上·重庆江津·期中）二次函数和一次函数的图象如图所示，则时，的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组），利用数形结合思想解决问题是解题的关键．直接根据图象可求解． 【详解】由图象可得：当时，二次函数的图象在一次函数的图象的上方， ∴当时，， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·云南昆明·期中）已知二次函数与轴有两个交点，当取最小整数时的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线无公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、其他问题(二次函数综合) 【分析】根据题意求得，得到解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，可求出其顶点坐标；令抛物线的解析式中，，可求出它函数图象与轴的交点坐标．画出此函数图象后，可发现，若新图象与直线无公共点，根据图象可得答案． 【详解】解：    ∵函数与轴有两个交点， 解得， 当取最小整数时，， ∴抛物线为， 将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象， 所以新图象的解析式为：． 因为的，所以它的图象从左到右是上升的， 当与相切时， 即， 解得：， 此时，，故不符合题意； 当它过时，把代入， 得， 所以， 当它与新图象无交点时，由图象可得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，分类讨论是解题关键，利用了待定系数法求函数解析式，直线与抛物线相切时判别式等于零是解题关键． 待定系数法求函数解析式 1．（23-24九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象顶点为，且经过点．求这个二次函数的表达式． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了用定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求． 由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出a的值即可． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为． 2．（23-24九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象经过点A． (1)求二次函数的对称轴； (2)当A为时，求此时二次函数的表达式，并求出顶点坐标． 【答案】(1)直线 (2)， 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据二次函数的性质进行解答即可； （2）用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出二次函数的顶点坐标即可． 【详解】（1）解：由题意得：二次函数的对称轴为： 直线． （2）解：将点代入二次函数得：， 解得：， 二次函数的表达式为：． 上式变形得：， 顶点坐标为：． 3．（23-24九年级上·重庆江津·期中）如图，抛物线经过坐标原点，并与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式： （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而根据三角形面积计算公式得到，据此求出时x的值即可得到答案． 【详解】（1）解；把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，当时，此时方程无解， 在中，当时，解得或， ∴点B的坐标为或． 4．（23-24九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线 (1)若此抛物线过点，，求抛物线的解析式 (2)当时，对任意x值，都有，结合图象，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了求抛物线解析式，抛物线和一次函数的图像与性质，根的判别式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据抛物线的对称轴为直线，可得，再将，代入抛物线解析式即可求得，的值，从而求得抛物线解析式； （2）根据“当时，对任意x值，都有，”求出当 与相切时，即与只有一个交点，时，k的取值，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线过点，， 将，代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：当时，抛物线的解析式为， 当时，对任意x值，都有， 又当 与相切时，即与只有一个交点， 有， 整理得， ， 解得， 当，对任意x值，都有， 的取值范围为． 5．（23-24九年级上·广西柳州·期中）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线经过B点，且与x轴交于C，D两点（点C在左侧），且． (1)求抛物线的解析式； (2)平移直线，使得平移后的直线与抛物线分别交于点D，E，与y轴交于点F，连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数的交点，联立方程是解题的关键. （1）根据自变量与函数值得对应关系，可得A，B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式； （2）求出直线的解析式，联立方程，求出点E的坐标，根据三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）在中， 当时，， 当时，解得， ∴点， ∵抛物线经过点B，C两点，得    解得   抛物线的解析式为 （2）在中， 当时，， 解得，或1， ∴点， ∵平移得到， ∴直线左平移2个单位得到直线， 即直线的解析式为：， 当时，， ∴点， 联立 解得：或 ∴点 6．（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）已知二次函数（为常数）． (1)若二次函数的图象经过点，求的值； (2)在（1）的条件下，当时，请求出二次函数的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)二次函数的最大值为4，最小值为． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数增减性、二次函数最值等问题， （1）把代入，解方程即可； （2）根据（1）中结果确定对称轴，然后即可得出抛物线的增减性，确定出最值． 【详解】（1）解：把代入得， 解得：； （2）∵ ∴ ∴对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵ ∴当时，最小值为； ∵ ∴当时，最大值为． ∴二次函数的最大值为4，最小值为． 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数 (，为实数)． (1)当，若图象经过点，求该函数的表达式； (2)若，①当时，随着增大而减小，求的取值范围； ②设一次函数，当函数的图象经过点时，求的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的性质． （1）将，代入，利用待定系数法求得函数解析式； （2）①将代入解析式可得，故抛物线与x轴交点坐标为，，进而可得抛物线对称轴为直线，由当时，随着增大而减小可得，解得； ②由的解析式可得，令可得函数图象经过，，又因为函数图象经过，故或，进而解得或． 【详解】（1）解：时，， 将代入， 得， 解得， ． （2）解：①∵， ∴， 抛物线与轴交点坐标为，， 抛物线对称轴为直线， 时，随着增大而减小，且抛物线的开口向上， ， 解得； ② ， 函数图象经过， 函数图象经过， 或， 或． 画二次函数的图象 1．（23-24九年级上·福建漳州·期中）已知二次函数． (1)用配方法将解析式化为的形式； (2)二次函数中的x和y满足下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 m … 求m的值； (3)在给定的直角坐标系中，直接画出这个函数的大致图象． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）通过配方法求解； （2）将代入解析式求解； （3）根据（2）的表格描点、连线作图． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，， ∴； （3）解：描点、连线，作图如下： 2．（23-24九年级上·山东济宁·期中）已知二次函数．    (1)求该二次函数的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)结合函数图象，直接写出当时，y的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）将二次函数表达式化为顶点式，即可进行解答； （2）分别将，代入二次函数表达式，即可求出与x轴、y轴的交点坐标，即可画出二次函数的图象； （3）根据图象即可进行解答． 【详解】（1）解：∵， ∴该二次函数的顶点坐标为． （2）解：把代入，得： ，解得：， ∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为或， 把代入得：， ∴该二次函数图象与y轴的交点坐标为； 画出函数图象如图所示：    （3）由图得：当时，． 3．（23-24九年级上·甘肃平凉·期中）已知二次函数． x … 0 1 2 3 … y … 2 …    (1)完成如表，并根据列表，在所给的平面直角坐标系中画出的图象； (2)当x在什么范围内时，y随x增大而减小． 【答案】(1)，作图见解析 (2) 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，准确作图并掌握二次函数的性质是解题关键． （1）代入计算即可，根据所求各点，描点，连线，作图即可． （2）结合图象及性质即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， x … −1 0 1 2 3 … y … 2 −1 2 … 故答案为：； 图象如图所示：    （2）解：由图得： 对称轴为， ， ∴当时，y随x增大而减小． 4．（23-24九年级上·广东广州·期中）用描点法画出的图像． (1)列表并在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线： … … … … (2)观察图像： ①抛物线与轴交点坐标是_______． ②当_______时，随的增大而减小． 【答案】(1)见解析 (2)①，；② 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质； （1）选取合适的x的值，求出相应的y值进行填表，然后描点、连线即可； （2）根据函数图象可直接得出答案． 【详解】（1）解：列表： … 0 1 … … 0 0 … 描点、画出函数图象如图： （2）由函数图象得：①抛物线与轴交点坐标是，； ②当时，随的增大而减小． 故答案为：①，；②． 5．（23-24九年级上·河北保定·期中）对于抛物线． … 0 1 2 3 4 … … __________ ___________ ___________ ___________ __________ … (1)把解析式配方成顶点式，并写出顶点坐标； (2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线； (3)结合图象直接回答：当时，则y的取值范围是___________． 【答案】(1)，抛物线顶点坐标为 (2)见解析 (3) 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的画法， （1）将二次函数解析式化为顶点式求解； （2）将，，，，分别代入求解，通过描点法作图即可； （3）结合图像求解． 熟练掌握二次函数图像特征是解题关键． 【详解】（1）解：， 抛物线顶点坐标为； （2）解：将，，，，分别代入， 列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 5 2 1 2 5 … 根据描点法画抛物线图象如下： （3）解：由（2）抛物线图象可得时，． 6．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数图像上部分点横坐标、纵坐标的对应值如表： … 0 1 2 3 4 … … 0 5 … (1)画出函数图像，并求出二次函数的解析式； (2)当时，随的增大而______； (3)当时，的取值范围为______． 【答案】(1)见解析， (2)减小 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的图像画法，解析式，性质，增减性，熟练掌握性质是解题的关键． （1）选择三个点的坐标代入解析式，确定a，b，c的值即可确定解析式． （2）计算出对称轴，根据性质解答即可． （3）确定抛物线的开口，结合函数的增减性，计算即可． 【详解】（1）根据题意，画图如下： ∵抛物线，经过，， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 故答案为：减小． （3）∵． ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，函数有最小值，且点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵在的范围中， ∴y的最小值为； ∵， ∴时，函数取得最大值，且为， 故函数值的取值范围是． 7．（23-24九年级上·江西·期中）已知抛物线（a，b是常数，，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 … y 0 m 0 3 …    (1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为直线______． (2)求抛物线的解析式和m的值． (3)利用描点法在图中画出抛物线，并将该图象绕点O旋转，画出旋转后的图象，设两图象合并后对应的函数为，完成以下问题： ①若直线与函数的图象有两个交点，则______． ②若对于函数图象上的两点，，当，时，，请结合图象，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)上， (2)， (3)①；②或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． （1）根据表格可知，抛物线的对称轴为直线，当时，随的增大而增大，即可得到抛物线的开口向上； （2）待定系数法求出函数解析式，进而求出的值即可； （3）描点法画出函数图象即可；①图象法求出的值即可；②结合图象，根据函数的增减性进行判断即可． 正确的求出函数解析式，准确的画出函数图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）解：由表格可知：时的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为， 当时，随的增大而增大， ∴， 抛物线的开口向上； 故答案为：上，； （2））把，代入，得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，； （3）画出函数图象如图所示，    ①如图，当时，直线与函数的图象有两个交点，    故答案为：； ②由图可知，当时，， ∵， ∴或， ∴或， ∴或． 二次函数图象共存问题 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数和抛物线的图像特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误； 故选：C． 2．（23-24九年级上·山东烟台·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（  ） A．   B．   C．    D．   【答案】A 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查二次函数和一次函数的图像与性质，解决问题的关键是数形结合．根据图象判断出两个函数的系数的符号，即可求解． 【详解】解：A、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项正确； B、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误； C、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误； D、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误； 故选：A． 3．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象，根据每一选项中、的符号是否相符，逐一判断．熟记一次函数、二次函数的图象的性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，则，由直线可知，，，故本选项错误； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； C、由抛物线可知，，由直线可知，故本选项错误； D、由抛物线可知，，，则，由直线可知，，，故本选项正确； 故选：D． 4．（23-24九年级上·山东济宁·期中）在同一平面直角坐标系中，函数和(a是常数，且)的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，和x轴的正半轴相交，故选项正确； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，和x轴的正半轴相交，故选项错误； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故选项错误． 故选：B． 5．（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象综合．利用过，过，可知两图象交于，据此排除A、C，然后根据a的正负和函数图象的关系进而求解即可．熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：已知与， ∴过，过， ∴A、C选项不符合题意； 当时，抛物线开口向上，直线图象上升，D选项不符合题意； 当时，抛物线开口向下，直线图象下降，B选项符合题意． 故选：B． 6．（23-24九年级上·山东德州·期中）在同一坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，根据二次函数的值为0，确定二次函数图象经过坐标原点，再根据值确定出二次函数的开口方向与一次函数所经过的象限即可得解． 【详解】解：，， 二次函数经过坐标原点，故B、C选项错误； A、根据二次函数开口向上，对称轴， 所以，， 一次函数经过第一三象限，，与轴负半轴相交， 所以，，符合，故本选项正确； D、二次函数图象开口向下，，一次函数经过第一三象限，，矛盾，故本选项错误． 故选：A． 二次函数图象与系数的关系 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴的交点位置可判断①②；由，及a与b的数量关系可判断③，由函数取最小值可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴ ∵抛物线对称轴为直线， ∴ ∴ ∴，②正确 ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ，①错误 由图像得：当时 ③正确 由函数取最小值可得 ，④正确． 故答案为：C． 【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 2．（23-24九年级上·新疆昌吉·期中）二次函数的图象如图，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有个（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据二次函数的性质和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的式子是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意． 本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：由图象可得，，，，∴，故①正确，符合题意； 图象与x轴两个交点，故，∴，故②正确，符合题意； ∵对称轴为直线，∴，∴， ∴，故③正确，符合题意； 当时，，故④正确，符合题意； 由抛物线对称性，当时，，故⑤错误，不符合题意． 故选：D． 3．（23-24九年级上·重庆江津·期中）如图所示，抛物线的对称轴为，现给出下面四条信息： ；；； ． 你认为其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，由抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点位置可判断出的符号，且能确定和的关系，可判断；由和时的函数值，可判断；由二次函数图象确定的符号及系数的关系是解题的关键． 【详解】解：抛物线开口向下，与轴的交点位于轴的上方， ∴，， ∵对称轴为，     ∴， ∴，， ∴，故正确，错误； ∵当时，， ∴， 又∵， ∴， ∴，故正确； ∵当时，， ∴， ∴，故正确； ∴正确的有个， 故选：． 4．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的有是(　　)个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】根据交点确定不等式的解集、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据开口方向、对称轴，判断、的符号及数量关系，根据抛物线与轴的交点判断的符号即可判断①，根据图象与轴交于和对称轴判断抛物线与轴的另一个交点，则可判断时的正负，即可判断②，把，代入，得出当，则或，即可判读③，把，代入，即可判断④． 【详解】解：①抛物线开口向上，对称轴在轴左边，与轴交于负半轴， ，，， ， 故结论①错误； ②二次函数的图象与轴交于，顶点是， 抛物线与轴的另一个交点为， 抛物线开口向上， 当时，， 故结论②正确； ③由题意可知对称轴为：直线， ， ， 把，代入得： ， ， 解得或， 当，则或， 故结论③正确； ④把，代入得： ，， ， ， ， 抛物线与轴的另一个交点为，， ， ， ， 故结论④错误． 故选：B． 5．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的解析式与图象的关系，由图象开口向下可以得到；图象与x轴有两个交点则；对称轴为直线；当时，；通过这些条件，结合对函数解析式的变式分析就可以得出结果． 【详解】解：， ∵抛物线开口向下， ∴ 又抛物线与y轴正半轴相交， ∴， ∵图象与x轴有两个交点， ∴， ∴，故①正确； ∵当时，图象在x轴上方， ∴， ∴，故②错误； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故③错误； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵当时，， ∴当时，， ∴， ∴⑤，故⑤正确； 故选：C． 6．（23-24九年级上·安徽池州·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则．正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点可得a，b，c的符号及a与b的关系，从而判断①，由及对称轴可得点B坐标，从而判断②③④，由时y取最小值可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ， ∵抛物线对称轴为直线， ， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ， ，①错误． 设抛物线对称轴与x轴交点为，则， ， ，即点B坐标为， 时，， ，②错误． ， ， ，③正确． 当时，，④错误． 时y取最小值， ，即， 又∵， ∴， ∴，⑤正确． 故选：B． 二次函数图象上的点的特征 1．（23-24九年级上·吉林·期中）抛物线的部分图象如图所示，已知此抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线，则抛物线与轴的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握抛物与x轴的两个交点关于抛物线对称轴对称．利用抛物线的对称性求解即可得到答案． 【详解】解∶∵物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标是， 故选∶D． 2．（23-24九年级上·甘肃武威·期中）如果点在抛物线上，则这个抛物线的对称轴是（　  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及抛物线上点的坐标特征，根据点在抛物线上，由值相等即可得到对称轴为，熟记抛物线图像与性质是解决问题的关键． 【详解】解：点在抛物线上， 这个抛物线的对称轴是， 故选：A． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据二次函数的图象和性质即可得到答案． 【详解】解：二次函数对称轴，且开口向下， 与的函数值相等， ，当时，y随x的增大而减小， ． 故选C． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知是抛物线上的点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线的对称轴为直线然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．利用二次函数的增减性和对称性解题是关键． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故选：C． 5．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大依序排列为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当，随的增大而增大， ∵关于直线的对称点是， 且， ∴． 故选：C． 6．（23-24九年级上·广西柳州·期中）二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如： x … 0 1 … y … ﹣6 … 则该函数图象的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了已知抛物线上对称的两点求对称轴，找到对称点即可求解． 【详解】解：有表格数据可知，点是抛物线上对称的两点， ∴该函数图象的对称轴是 故选：B． 7．（23-24九年级上·陕西安康·期中）抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 2 4 … … 1 0 … 由表可知，抛物线与轴的一个交点的坐标是，则抛物线与轴的另一个交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查抛物线的对称性．根据表格，确定对称轴，再根据对称性求出抛物线与坐标轴的另一个交点坐标即可． 【详解】解：由表格可知，和的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为：， ∵抛物线与轴的一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标为，即； 故选C． 二次函数的最值 1．（23-24九年级上·山东泰安·期中）二次函数的最小值是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数对称轴的求解，考查了二次函数的最值问题，本题中求得二次函数的对称轴是解题的关键； 求得二次函数的对称轴，根据对称轴即可求得二次函数的最小值． 【详解】二次函数对称轴为，且， 当时，二次函数有最小值， 最小值为： ， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·北京石景山·期中）当，则函数最大值 ，最小值 ． 【答案】 8 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】将抛物线解析式化为顶点式，根据二次函数的性质结合解析式即可得到答案． 【详解】解：， ，抛物线开口向上， ， 当时，的值最小为， 当时，， 当时，， ， 当，则函数最大值为8，最小时为， 故答案为：8，． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质，将解析式化为顶点式是解此题的关键． 3．（23-24九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线，则当时，函数的最大值为 ． 【答案】2 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知对称轴为直线，图象开口向上，然后根据二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴①当时，y随x的增大而减小， ∴此时，当时，， ②当时，y随x的增大而增大， ∴此时，当时，， ∵， ∴当时，函数的最大值为2， 故答案为：2． 4．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）已知函数在时有最大值5，则 ． 【答案】或/或 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先证明，再求出抛物线对称轴为直线，进而分当时，当时，两种情况利用最大值为5结合二次函数的性质求解即可． 【详解】解：当时，原函数为，不符合题意， ∴， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 当时，则当，且当时，函数有最大值， ∴， ∴； 当时，则离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或． 5．（23-24九年级上·浙江台州·期中）已知点在二次函数的图像上，则的最大值 ． 【答案】3 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的最值，根据，得到，计算即可． 【详解】∵点在二次函数的图像上， ∴，得到 ∴， ∴最大值为3， 故答案为：3． 6．（23-24九年级上·四川泸州·期中）已知关于x的二次函数在的取值范围内最大值是7，则该二次函数的最小值是 ． 【答案】或者 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，分当时和当时两种情况讨论，先得出对称轴为直线，再根据二次函数的图象与性质即可作答． 【详解】解：第一种情况：当时，∵， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∵二次函数在的取值范围内最大值7， 当时，有最大值，当时，该二次函数有最小值， ∴， 解得：， ∴， 即当时，该二次函数有最小值，最小值为． 第二种情况：当时，∵， ∴对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵二次函数在的取值范围内最大值7， 当时，有最大值，当时，该二次函数有最小值， ∴， 解得：， ∴， 即当时，该二次函数有最小值，最小值为． 综上：函数的最小值为或者， 故答案为：或者． 二次函数的应用 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解可得关于y与x的函数解析式； （2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得． 【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为， 将、代入，得： 解得：， 所以y与x的函数解析式为； （2）解：根据题意知，， ， 当时，W随x的增大而增大， ， 当时，W取得最大值，最大值为200， 答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． 2．（23-24九年级上·广西钦州·期中）掷实心球是钦州市中考体育科选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，实心球抛出时起点A处的高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．    (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据钦州市中考体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于7.11m，此项考试得分为满分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】(1)y关于x的函数表达式为 (2)该女生在此项考试中得满分，理由见解析 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】 本题考查了二次函数的应用，解题关键是求出函数解析式． （1）根据题意设y关于x的函数表达式为，把代入，求出a即可； （2）根据该同学投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可． 【详解】（1）由题意，得该抛物线的顶点坐标为． ∴设函数表达式为． ∵经过点， ∴． 解得． ∴． ∴y关于x的函数表达式为． （2）该女生在此项考试中得满分． 理由如下： ∵对于二次函数， 当时，有． ∴． 解得，． ∵ ∴该女生在此项考试中得满分． 3．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，若按每千克50元销售，一个月能售出，销售单价每涨1元，月销售量就减少，针对这种水产品，请解答以下问题： (1)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数解析式； (2)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量与月销售利润； (3)当销售单价为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)月销售量为，月销售利润为6750元 (3)销售单价为70元时，获得的利润最大，最大利润是9000元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，能正确表示出月销售量是解题的关键．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法． （1）利润销售量单位利润，单位利润为，销售量为，据此表示利润得关系式； （2）结合（1）计算即可； （3）根据（1）中函数关系式，配方，利用二次函数的性质可得到总利润的最大值． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴y与x的函数解析式为； （2）解：当时，销售量：， 销售利润：， 答：销售量为，销售利润为6750元； （3）解：， ∵， ∴当时，利润最大为9000元． 答：销售单价为70元时，获得的利润最大，最大利润是9000元． 4．（23-24九年级上·广东广州·期中）为了拉动内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额(元)之间大致满足如图所示的一次函数关系．随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益元)会相应降低且满足：． (1)在政府补贴政策实施后，求出该商场销售彩电台数与政府补贴款额之间的函数关系式； (2)在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？ (3)要使该商场销售彩电的总收益最大，政府应将每台补贴款额定为多少？并求出总收益的最大值． 【答案】(1) (2)在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为元 (3)政府应将每台补贴款额定为元时，可获得最大利润元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的实际应用； （1）待定系数法求一次函数解析式即可求解； （2）根据每台彩电的收益乘以数量，即可求解； （3）设总收益为元，则，进而根据二次函数的性质，求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可设 将，代入上式，得：， 解得， 故所求作的函数关系式为：． （2）在中，当时，， 在中，当时， ； 答：在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为元． （3）设总收益为元，则 ， 存在最大值， 当时有最大值． 答：政府应将每台补贴款额定为元时，可获得最大利润元． 5．（23-24九年级上·山东淄博·期中）如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米．设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米， (1)分别用含x的代数式表示与S； (2)若，求x的值； (3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)9 (3)当时，S有最大值，最大值为． 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、一元一次不等式组应用、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用代数式表示式 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的代数式，方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据矩形的性质列式求出，再根据矩形面积公式求出S即可； （2）根据（2）所求得到方程，进而解方程并检验即可得到答案； （3）先求出，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 则矩形菜园的面积为； （2）解：当时，由得， 解得，， ∵墙长为12米， ∴，则， ∴， 答：x值为9； （3）解：由题意，， ∴， ∵墙长为12米，篱笆长为33米， ∴， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为． 6．（23-24九年级下·江西赣州·期中）在一次数学社团活动中，小晨同学所在的小组把两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图象与x轴交点也相同的二次函数，命名为“和合对称二次函数”，对应图象命名为“和合对称抛物线”，并把两个函数图象上横坐标相同的对应点称之为“和合点”，针对该构想，小展同学用二次函数作为其中一个函数（标记该函数图象交轴于原点及点）做了有关研究，请你帮他解答． 【特例感知】（1）当时，如图，抛物线上的点关于与之对应的“和合对称抛物线”图像的“和合点”分别为，．如下表： … … … …    ①补全表格； ②画图：在图中描出表中对应的“和合点”，再用平滑的曲线依次连接各点，得到“和合对称抛物线”图象． 【初步探讨】（2）①当时，若抛物线的顶点为点，点对应的“和合点”为点，则由点、四点所围成的四边形的面积为______； ②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现与二次函数对应的“和合对称抛物线”图象中，存在一条抛物线，其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数，请求出抛物线的解析式． 【进阶探究】（3）若抛物线及与它对应的“和合对称抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值． 【答案】（1）①；②见详解；（2）①；②抛物线；（3）为或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、图形问题(实际问题与二次函数)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）①用和合对称二次函数图像与轴交点相同即可求解； ②用圆滑的曲线，按描点画图的要求作图即可； （2）①当时，抛物线，可求其与轴交点和顶点坐标，设抛物线，两个二次项系数之和为，对称轴相同，联立方程组，求解，确定抛物线，求其顶点坐标，则； ②设抛物线，求两个函数与轴的交点，利用横坐标相等，可得，从而确定抛物线，求其顶点坐标，利用其横、纵坐标互为相反数，求解，即可确定抛物线； （3）由题可设抛物线，将两个抛物线化成顶点式，表示其顶点坐标，当直线过抛物线顶点时，才有可能满足有且仅有个交点，列式可得 或，验证时，不满足条件． 【详解】解：（1）①∵和合对称二次函数图像与轴交点相同， ∴坐标与坐标相同，同为； ②描点画图即可，如下图    （2）①当时，抛物线， 与轴交点为， ， ∴顶点坐标为， 设抛物线， 则， 解得， ∴抛物线， 当时，， ∴坐标为， ∴； ②抛物线， 与轴交点为点为， 则设抛物线， 与轴交点为点为， ∴， 抛物线， ∴， ∴顶点为， ∵其横、纵坐标互为相反数， ， ∴抛物线； （3）抛物线， ∴其顶点为， 则抛物线， ∴其顶点为， 当直线过抛物线顶点时，才有可能满足有且仅有个交点， ∴， 解得， 当时，两个抛物线与只有一个交点，不满足条件， ∴为或． 【点睛】本题是新定义的“和合对称二次函数”，主要考查二次函数的图象和性质、描点作图、四边形面积、多次用到待定系数法求函数，读题理解“和合对称二次函数”等概念是解题关键． 二次函数的综合题 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）顶点为且过原点的抛物线，如图所示． (1)求其解析式． (2)动矩形的顶点B、C在抛物线上，A、D在x轴上，设，矩形的周长为l，求l随t变化的函数关系式．若l有最值，求之，否则说明理由． 【答案】(1) (2)当时，有最大值10． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、图形问题(实际问题与二次函数)、根据矩形的性质求线段长 【分析】此题主要考查了用顶点式求二次函数解析式，矩形的性质以及二次函数最值问题，正确表示线段的长度是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，代入求即可； （2）利用（1）中解析式用表示出矩形的周长，再根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：由题意设抛物线的解析式为， 代入得，， 解得， 抛物线的解析式为； （2）抛物线的对称轴为直线，， ， ， 动矩形的顶点、在抛物线上， ，， 矩形的周长为： ， 当时，有最大值10． 2．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点．    (1)求抛物线的对称轴及k值； (2)求点A和点B的坐标； (3)抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标． 【答案】(1)对称轴为直线； (2)点坐标为点坐标为 (3)点坐标为 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的性质，面积问题，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据解析式可得抛物线的对称轴为直线，将点代入解析式，待定系数法即可求解； （2）令，求出x的值即可求解； （3）连接，交对称轴于点，根据两点之间，线段最短可得点即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解； 【详解】（1）抛物线的对称轴为直线， 把代入， 得， ∴； （2）对于，令，则， 解得， ∴点坐标为点坐标为； （3）作点B关于抛物线的对称轴的对称点点A，连接，交对称轴于点，如图1，    ∵两点之间，线段最短， ∴的最小值为的长，则点即为所求； 设直线的关系式为：，把代入 得： 解得， ∴直线的关系式为， 当时，， ∴点坐标为 3．（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．    (1)求抛物线的解析式与直线l的解析式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线l的解析式为； (2)的面积的最大值为，点P的坐标为 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】此题考查了二次函数和一次函数综合题，用到了待定系数法、二次函数的图象和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据题意设函数解析式为，代入点求出即可得到抛物线的解析式，设一次函数解析式为代入点，求出k、b的值即可得到直线l的解析式； （2）过点P作轴交于点K．设，则，得到，即当的值最大时，的面积最大．求出长度的二次函数表达式，根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解∶∵抛物线与x轴交于两点， ∴设抛物线的解析式为． ∵点在抛物线上， ∴， 解得． ∴抛物线的解析式为． ∵直线l经过， 设直线l的解析式为， 则， 解得， ∴直线l的解析式为． （2）如图所示，过点P作轴交于点K．    设，则． ∵， ∴当的值最大时，的面积最大． ， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为． 则此时． 当时，， ∴的面积的最大值为，点P的坐标为)． 4．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过两点，且与轴的负半轴交于点，动点在直线下方的二次函数图象上． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，设的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2)最大为， 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据直线求出点B、C的坐标，再根据B、C的坐标即可求出二次函数的表达式； （2）添加辅助线，将分解为和，设点，计算出线段的长度，从而得到的面积表达式，最后通过配方法求出最值即可． 【详解】（1）解：在直线上，当时，，当时，， ∴，， ∵二次函数经过点B、C， ∴ ， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）如下图所示，过点D作轴，交直线BC与点M，设点，则， ∵点D在抛物线上， ∴当M的坐标为， ∵点D在下方， ∴的长度为， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴S是以t为自变量的二次函数，且开口向下，顶点坐标为 ∴当时，最大，且最大值为， 故S的最大值为1． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，并将三角形面积的最大值问题转换为二次函数最大值的问题． 5．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）由题意得点C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线即可求得答案； （2）因为抛物线的对称轴为，点B和点A关于对称轴对称，的值最小转化为求，结合（1）求得点A的坐标，利用点A、C的坐标求得直线解析式，即可求得答案； （3）过点D作直线轴，交于点E，交x轴于点F，过点C作于点G，利用抛物线和直线解析式表示点D和点E，求得的距离，将四边形面积分割求和，表示为一元二次函数，求该函数的最值即可解得答案； 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，， ∴，， 即点，代入得， 解得， 则抛物线的解析式； （2）解：由抛物线的解析式得对称轴为，， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∵点B关于对称轴的对称点为点A， ∴的值最小为，如图， 设直线的解析式为将点，代入得， 解得，则，当时，， 故当的值最小时，点； （3）解：过点D作直线轴，交于点E，交x轴于点F，过点C作于点G，如图， 设点，则点，得， ， ∵， ∴当时，， 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的最值以及三角形的面积公式，解题的关键是函数图象上点的特征、用点的坐标表示距离和面积分割求解． 6．（23-24九年级上·甘肃武威·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，得到矩形．设直线与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线的图象经过点C、M、N． (1)点B的坐标为 ，点B'的坐标为 ； (2)求抛物线的解析式； (3)求的面积． 【答案】(1)；； (2)抛物线的解析式为； (3)的面积为 【知识点】坐标与图形、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，矩形的性质等知识，关键是对二次函数性质的掌握和运用．（1）根据矩形的性质和直角坐标系中点的坐标特征得出结论；（2）用待定系数法求出直线BB′的解析式，再求出M，N坐标，再用待定系数法求抛物线解析式；（3）根据（1）、（2）中点M，N，C坐标，由三角形面积公式求面积即可． 【详解】解：（1）∵矩形的顶点， ∴，， ∴点； 由旋转可得：，， ∴点． 故答案为：，； （2）设直线BB′的解析式为， 则有， 解得：， ∴直线BB′的解析式为； ∵直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N， ∴点M的坐标为，； ∵抛物线的图象经过点，； ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）∵，，， ∴，， ∴； ∴的面积为． 7．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知二次函数的图象经过点、和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)当点P在直线的上方时， ①当的长最大时，求点P的坐标； ②当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式 【分析】（1）设二次函数的解析式为，根据二次函数的图象经过点、和原点O．利用待定系数法求解，即可解题； （2）①设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据题意表示出点P的坐标为，点C的坐标为，得到，利用二次函数的最值得到的长最大时，的取值，即可得到点P的坐标； ②根据，得到，建立关于的等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 二次函数的图象经过点、和原点O． ，解得， 二次函数的解析式为； （2）解：①设直线的解析式为， ， ，解得， 直线的解析式为， 过点P作x轴的垂线，垂足为， 点P的坐标为，点C的坐标为， ， 当时，的长最大，即有， ； ②当时， 即， ， ， 解得（舍去）或， ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，以及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积、解一元二次方程等知识．注意待定系数法的应用和用m表示出的长是解题的关键． 8．（23-24九年级上·山东德州·期中）综合与探究 如图，某一次函数与二次函数的图象交点为，．    (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线对称轴上一动点，当与的和最小时，点的坐标为　　　　； (3)点为二次函数位于线段下方图象上一动点，过点作轴，交线段于点，求面积的最大值； (4)在（2）的条件下，点为轴上一点，点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，若以点，，，为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）将，代入得到关于，的二元一次方程组求解即可； （2）抛物线的对称轴为，求出直线与对称轴的交点即可求解； （3）设，则，则，根据二次函数的性质得出的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解； （4）根据题意画出图形，分情况求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解这个方程组得， 抛物线的解析式为：； （2）解：如图，设直线的解析式为：， 把点 ，代入， 得， 解得 ， 直线的解析式为： ， 由（1）知抛物线的对称轴为， 点为抛物线对称轴上一动点，， 当点在上时，最小， 把代入，得， 点的坐标为， 故答案为：；    （3）解：如图，由（2）知 直线的解析式为，    设，则， 则， 当时，有最大值为， ∴面积的最大值为； （4）解：如图，直线的解析式为：， 直线与轴的交点为， ， ， ， ， 若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论： ①过点C作轴于点，则为等腰直角三角形，过点C作 ，则四边形 为正方形， 依题意，知D与F重合，点 的坐标为；    ②以为中心分别作点F，点C的对称点 ，连接，则四边形是正方形，则点的坐标为；    ③延长到使，作于点，则四边形是正方形，则的坐标为；    ④取的中点，的中点，则为正方形，则的坐标为，    综上所述，点N的坐标为： 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形面积问题，特殊四边形问题，正方形的性质，根据题意正确画图是解本题的关键． 9．（23-24九年级上·重庆石柱·期中）如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P为直线上方抛物线上一动点，于点D，轴于点F，交于点E，求周长的最大值以及点P的坐标； (3)在（2）的结论下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线的顶点为M，平面内有一点N，以点P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2)的周长最大值为，点的坐标为 (3)或 或 【知识点】利用平行四边形的性质求解、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）求出点坐标，再将这两点坐标代入，即可求解； （2）先判断为等腰直角三角形，得的周长为：，设 则 计算得出，根据二次函数的性质可得结论； （3）先求出平移后点的坐标，分三种情况：当是对角线时，当是对角线时，当是对角线时，根据平行四边形的性质分别求解即可. 【详解】（1）直线与坐标轴交于点和， 当 时， ， 时，即， 解得：， ∴点，， 把两点的坐标代入 中得， ，解得 ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）∵ ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 的周长为：， ∴当取最大值时， 的周长取最大值， ∵抛物线的解析式为直线的解析式为， 设 ，则， ， 当 时，有最大值为，此时的周长为，点的坐标为； （3）抛物线沿射线方向平移 个单位长度，相当于向右平移个单位， 向下平移个单位， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为， ∴平移后抛物线的顶点为， 当是对角线时， ∵点的坐标为，，， ， 当是对角线时， ∵点的坐标为， ， ； 当是对角线时， ∵点的坐标为， 综上，点的坐标为 或 或 ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等，运用分类讨论和数形结合思想解决问题是解题的关键. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$