专题03 轴对称（6大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版）

专题03 轴对称 轴对称图形的识别 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）窗花是中国古老的民间艺术之一，下列窗花作品中为轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南信阳·期中）下列图形中为轴对称图形的是（      ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州隆重举行，下列图标是亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）下列“表情”中属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·广东佛山·期中）下面四个高校校徽主题图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 求关于对称轴的点的坐标 1．（23-24八年级上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，点与点B关于x轴对称，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南商丘·期中）在平面直角坐标系中，点，点关于轴对称，点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）点与点关于x轴对称，则 ， ． 4．（23-24八年级下·吉林长春·期中）已知点与点关于y轴对称，则的值为 ． 5．（23-24八年级下·宁夏中卫·期中）若点与点关于轴对称，则的值为 ． 6．（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，已知关于过点且与x轴平行的直线对称，C到的距离为2，长为6，则点A坐标为 ，点B的坐标为 ． 轴对称变换作图 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，． (1)作出关于y轴的对称图形； (2)直接写出的面积_______． 2．（23-24八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于x轴对称的； (2)直接写出点，，的坐标； (3)在中，，求边上的高与所夹角的度数． 3．（23-24八年级上·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的，并写出各顶点的坐标； (2)将向右平移6个单位，作出平移后的； (3)观察和，它们是否关于某条直线对称？若是，请画出这条对称轴． 4．（22-23八年级上·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)请求出的面积； (2)在图中作出关于直线：（ 即直线上的横坐标都为）的对称图形； (3)点是内部的任意一点，请直接写出经过（）中变换后其对应点的坐标． 5．（23-24八年级上·四川泸州·期中）在平面直角坐标系的位置如图所示（注：图中每小正方形的边长均为1）． (1)请画出关于y轴对称的图形（、、分别是A、B、C的对应点，不写画法）；直接写出、、三点的坐标：______，______，______． (2)的面积是______． (3)在y轴上求作一点P，使的值最小．（不写作法，保留作图痕迹） 线段的垂直平分线的性质 1．（23-24八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接，若，则的长 ． 2．（23-24八年级下·宁夏银川·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，则的周长为 ． 3．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，，，的垂直平分线交于点，求： (1)的度数； (2)若的周长是，求的长． 4．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 5．（22-23八年级上·福建莆田·期中）如图，，点C在的垂直平分线上． (1) 有什么关系？请你说明理由． (2)若，求的面积． 6．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 等腰三角形的性质 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）中，，则 ° ． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，中，为的中线，，则 °． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，是的角平分线，，，则的长为 ． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）在中，，点在上，，在上找一点，使得，连接，若，则的长度为 ． 5．（23-24八年级上·北京·期中）如图，在中，与的平分线交于点O，过点O作，分别交于点D、E．若，，则的周长为 6．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰三角形中，是底边上的高线，于点E，交于点F．若，，则的长为 ． 等边三角形的性质 1．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，为等边三角形，，则 ． 2．（23-24八年级上·全国·期中）如图，在中，， 平分，点 D 到 的距离．，则 为 ． 3．（23-24八年级上·广西梧州·期中）已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则 ．    4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，等边和，其中，点D在上，点C在上．若，则的度数为 5．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知等边三角形纸片，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则的度数为 ． 6．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，等边中，E是边的中点，是边上的中线，P是上的动点，若，则的最小值为 ． 与等腰三角形有关的多解问题 1．（23-24八年级上·广西桂林·期中）如果等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角度数为 ． 2．（23-24八年级下·广东揭阳·期中）已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为 ． 3．（23-24八年级上·山东日照·期中）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为 ． 4．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，，C是延长线上一点，，动点M从点C出发沿射线以的速度移动，动点N从点O出发沿射线以的速度移动，如果点M、N同时出发，设运动的时间为，那么当 s时，是等腰三角形． 5．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 6．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知中，如果存在过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这个三角形为“等直三角形”． 如图1，为“等直三角形”．在图2中，为“等直三角形”，，则的度数为 ． 等腰、等边三角形中的多结论问题 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，分别以的边为直角边，向外作等腰直角和等腰直角，连接，交于点F，连接．下面有四个结论：；平分平分；其中正确的是 （只填写序号） 2．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，点在线段上（不与点、重合），在的上方分别作和，且，，连接，交于点，下列结论正确的是（填序号） ． ；②；③；④平分； 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，为等边三角形，F，E分别是上的一动点，且，连接，交于点H，连接．给出下列四个结论： ①；②若，则平分； ③；④若，则． 其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）． 4．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，已知点B是边上的动点（不与A、C重合），在AC的同侧作等边和等边，连接，下列结论正确的是 ．（填写序号） ①；②；③；④平分；⑤ 5．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，为外一点，与交于点，过点作交延长线于点为线段上一点，连接，使．下列结论：①；②；③连接则线段关于所在直线对称；④若的面积为1，则的面积为8，其中正确的是 （只填序号） 等腰、等边三角形的判定与性质 1．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，的周长为，，平分，平分，过点作直线平行于，交，于点，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 2．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，．    (1)求证：是等边三角形； (2)与有怎样的数量关系？请说明理由． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，分别是，两条边上的高，点D在上满足，点G在的延长线上满足，连接，． (1)求证：； (2)若连接D，G，请判断的形状．并直接写出结论． 4．（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，点O是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)当为多少度时，是等腰三角形？ 5．（23-24八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，点D在内，，点E在外，． (1)求的度数； (2)判断的形状并加以证明； (3)连接，若，直接写出的长． 线段的垂直平分线的判定 1．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知中，，点，分别为，上的点，．    (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，中，，平分，于． (1)若，求的度数； (2)求证：． 3．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 4．（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接． (1)求证：垂直平分． (2)若，，求的长． 轴对称之最短路径问题 1．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，等腰三角形的底边长为4，的面积是16，腰的垂直平分线分别交边于点．若为边的中点，为线段上一动点，求周长的最小值．    2．（23-24八年级上·河南濮阳·期中）在如图所示的方格纸中建立适当的直角坐标系，使点A的坐标为，点C的坐标为 (1)请在方格纸中画出坐标轴； (2)画出关于x轴对称的； (3)在y轴上找一点P，使最小，则点P的坐标是　　 3．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，在直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为 (1)请在图中画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)求的面积； (3)在y轴上画出点P，使的值最小，保留作图痕迹． 4．（22-23八年级下·广东佛山·期中）如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．      (1)直接填空：与的位置关系是__________； (2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值； (3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？ 5．（23-24八年级上·河南濮阳·期中）在等边中，点D是直线上的一个点（不与点B、C重合），以为边在右侧作等边，连接．    【观察猜想】（1）如图1，当点D在线段上时，则线段与线段的数量关系为______． 【数学思考】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，猜想三条线段、与的数量关系，并加以证明． 【方法感悟】在解决问题时，条件中若出现有公共顶点的两个等边三角形时，常常考虑旋转某个三角形，从而使问题得到解决． 【拓展延伸】（3）如图3，边长为a的等边中，是中线，且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，请直接写出周长的最小值． 6．（23-24七年级下·陕西西安·期中）发现问题 （1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则 ． 探究问题 （2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积． 解决问题 （3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴） ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 轴对称 轴对称图形的识别 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）窗花是中国古老的民间艺术之一，下列窗花作品中为轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】选项A的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 选项B、C、D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：A． 2．（23-24八年级上·河南信阳·期中）下列图形中为轴对称图形的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A．不是轴对称图形，故本选项错误； B．不是轴对称图形，故本选项错误； C．不是轴对称图形，故本选项错误； D．是轴对称图形，故本选项正确． 故选．D 3．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州隆重举行，下列图标是亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】此题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．据此即可逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 是轴对称图形，本选项符合题意； B. 不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C. 不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D. 不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 4．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）下列“表情”中属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】题目考查了轴对称图形的知识，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义；根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形求解即可； 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 5．（23-24七年级下·广东佛山·期中）下面四个高校校徽主题图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据定义对各个选项分析即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形，故本选项符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 求关于对称轴的点的坐标 1．（23-24八年级上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，点与点B关于x轴对称，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征，熟练掌握若两点关于x 轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；若两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．据此求解即可． 【详解】解∶∵点与点B关于x轴对称， ∴点B的坐标为， 故选∶A． 2．（23-24八年级上·河南商丘·期中）在平面直角坐标系中，点，点关于轴对称，点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同即可得到答案． 【详解】解：∵点，点关于轴对称，点的坐标是， ∴点的坐标是， 故选：A． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）点与点关于x轴对称，则 ， ． 【答案】 2 3 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟知关于x轴对称对称的两个点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标相同；是解本题的关键．根据关于x轴对称对称的两个点横坐标相同，纵坐标互为相反数得出m，n的值即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， 故答案为：2，3． 4．（23-24八年级下·吉林长春·期中）已知点与点关于y轴对称，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标的知识，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．根据关于轴对称求出、的值，再代入求出即可． 【详解】解：点与点关于y轴对称， ，， ， 故答案为：2 5．（23-24八年级下·宁夏中卫·期中）若点与点关于轴对称，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于坐标轴对称的性质，代数式求值，熟练掌握两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．根据两点关于y轴对称的性质，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：1． 6．（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，已知关于过点且与x轴平行的直线对称，C到的距离为2，长为6，则点A坐标为 ，点B的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题考查坐标与图形的变化-对称，认真观察，找着特点是解题的关键． 根据题意，可得A、B的连线与垂直，且两点到直线的距离相等，又，从而可以得出A、B两点的纵坐标；又C到的距离为2，从而可以得出A、B两点的横坐标． 【详解】解：由题可知：可得A、B的连线与垂直，且两点到直线的距离相等， ∵， ∴A、B两点的纵坐标分别为和4， 又∵C到的距离为2， ∴A、B两点的横坐标都为2， ∴A、B两点的坐标分别为． 故答案为． 轴对称变换作图 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，． (1)作出关于y轴的对称图形； (2)直接写出的面积_______． 【答案】(1)图见解析； (2)的面积为． 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． （1）利用关于轴对称的点的坐标特征写出点、、的坐标，然后描点连接即可；  （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积． 【详解】（1）解：关于轴对称的点为：，依次连接，则即为所求的三角形，如图： （2）解：由网格知识可得， 的面积． 2．（23-24八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于x轴对称的； (2)直接写出点，，的坐标； (3)在中，，求边上的高与所夹角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、坐标与图形 【分析】本题考查作图轴对称的变换，三角形的高和等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出三角形的高，利用角作差． （1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，，依次连接即可； （2）根据坐标系写出坐标即可； （3）正确作高得到等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，借助角作差求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ； （2）解：根据坐标系得，，； （3）解：作． ∵， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的，并写出各顶点的坐标； (2)将向右平移6个单位，作出平移后的； (3)观察和，它们是否关于某条直线对称？若是，请画出这条对称轴． 【答案】(1)见解析，，， (2)见解析 (3)是，对称轴见解析 【知识点】平移(作图)、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、画对称轴 【分析】本题考查了坐标平面内的图形变换，解题关键是熟练掌握轴对称和平移的特征及坐标变化规律，如何根据点的位置确定对称轴． （1）根据轴对称的性质画图并写出坐标即可； （2）根据平移的性质画图即可； （3）根据对称轴的性质画出图形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ∴，，； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示， 4．（22-23八年级上·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)请求出的面积； (2)在图中作出关于直线：（ 即直线上的横坐标都为）的对称图形； (3)点是内部的任意一点，请直接写出经过（）中变换后其对应点的坐标． 【答案】(1) (2)画图见解析 (3) 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（）的面积转化为所在矩形面积减去三个直角三角形的面积即可； （）根据对称的性质，找出对应点位置即可； （）根据对称的性质，结合中点坐标公式即可； 本题主要考查了作图—轴对称变换，三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）由图形知, ； （2）如图， ∴即为所求； （3）根据对称的性质可知 设 则 ∴ ∴． 5．（23-24八年级上·四川泸州·期中）在平面直角坐标系的位置如图所示（注：图中每小正方形的边长均为1）． (1)请画出关于y轴对称的图形（、、分别是A、B、C的对应点，不写画法）；直接写出、、三点的坐标：______，______，______． (2)的面积是______． (3)在y轴上求作一点P，使的值最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)，， (2) (3)见解析 【知识点】坐标与图形、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）连接，交y轴于点P，则点P即为所求． 本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：（1）如图，即为所求． 由图可得，，，． （2）解：的面积是． 故答案为：． （3）解：如图，连接，交y轴于点P，连接AP， 此时，为最小值，则点P即为所求． 线段的垂直平分线的性质 1．（23-24八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接，若，则的长 ． 【答案】8 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查垂直平分线的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，根据题意，则，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：8． 2．（23-24八年级下·宁夏银川·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】/厘米 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握其运用是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得，则，可得的值，根据的周长的计算方法即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴ 已知的周长为，即， ∴ ∵的周长为，且， ∴， 故答案为： ． 3．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，，，的垂直平分线交于点，求： (1)的度数； (2)若的周长是，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质； （1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质求解即可； （2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可求出． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴； （2）解：∵，的周长是， ∴， ∵， ∴． 4．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质： （1）根据线段垂直平分线的性质可得，，等量代换可得； （2）先根据已知条件得出，再通过等量代换得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 5．（22-23八年级上·福建莆田·期中）如图，，点C在的垂直平分线上． (1) 有什么关系？请你说明理由． (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2)10 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答此题的关键． （1）根据垂直平分线的性质即可求解； （2）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴； 又∵点C在的垂直平分线上， ∴， ∴； （2）由（1）可知 ∵， ∴， ∵ ∴． 6．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）连接，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，则，推出，即可得出结果． 本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵D在的垂直平分线上， ∴， ∵，，平分， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 等腰三角形的性质 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）中，，则 ° ． 【答案】50 【知识点】等腰三角形的定义、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了等腰三角形的各角之间的关系，确定等腰三角形的顶角，再结合计算即可． 【详解】∵， ∴． 故答案为：50． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，中，为的中线，，则 °． 【答案】 【知识点】三线合一、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，先根据为的中线，得出，，因为，所以，即可作答． 【详解】解：∵为的中线， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，是的角平分线，，，则的长为 ． 【答案】8 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一，得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）在中，，点在上，，在上找一点，使得，连接，若，则的长度为 ． 【答案】1 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行线间距离解决问题、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，正确作出辅助线证明三角形全等是解题的关键． 作，与的延长线交于点G，作，交于点F，证明，得，再证明进而可得的长． 【详解】解：如图，作，与的延长线交于点G，作，交于点F， ， ， ， ， 同理，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：1． 5．（23-24八年级上·北京·期中）如图，在中，与的平分线交于点O，过点O作，分别交于点D、E．若，，则的周长为 【答案】9 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质．此题难度适中，解题的关键是注意证得与是等腰三角形，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 由在中，与的平分线交于点，过点作，证得与是等腰三角形，即，继而可得的周长等于，即可求得答案． 【详解】解：∵在中，与的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， 的周长为 ， 故答案为：9． 6．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰三角形中，是底边上的高线，于点E，交于点F．若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质得到，，再根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理证得，，然后证明得到即可求解． 【详解】解：∵在等腰三角形中，是底边上的高线， ∴，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 等边三角形的性质 1．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，为等边三角形，，则 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边对等角，等边三角形的性质，三角形的内角和定理．等边三角形的性质结合角的和差关系，求出的度数，等边对等角，求出的度数，三角形的三边关系求出的度数即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 2．（23-24八年级上·全国·期中）如图，在中，， 平分，点 D 到 的距离．，则 为 ． 【答案】6 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长 【分析】题目主要考查角平分线的性质，直角三角形中含30度角的性质，综合运用这些知识点是解题关键． 根据题意得出，再由含30度角的直角三角形的性质确定，再由角平分线及等角对等边求解即可． 【详解】解：∵ 平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 3．（23-24八年级上·广西梧州·期中）已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则 ．    【答案】3 【知识点】等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，根据等边三角形的三边上三线合一求解即可得到答案； 【详解】解：∵为等边三角形，为的高， ∴点D为的中点，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，等边和，其中，点D在上，点C在上．若，则的度数为 【答案】75 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的特征、三角形内角和定理，与的交于点，根据等边三角形得，则可得，再利用直角三角形的特征得，根据即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：如图，与的交于点， 三角形是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：75． 5．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知等边三角形纸片，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性质、折叠问题 【分析】本题考查了三角形的外角性质，等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠性质可知，通过等边三角形的性质可得，，，由得到，再利用三角形的外角性质即可求出，熟练掌握边三角形和折叠的性质是解题的关键． 【详解】由翻折性质可知：， ∵为等边三角形， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是由翻折得到， ∴， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，等边中，E是边的中点，是边上的中线，P是上的动点，若，则的最小值为 ． 【答案】6 【知识点】等边三角形的性质、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查等边三角形的性质，轴对称求线段的最值问题，作点E关于的对称点F，由加对称的性质可知就是的最小值，由此可解． 【详解】解：作点E关于的对称点F，连接， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴是的垂直平分线， ∵点E关于的对应点为点F， ∴就是的最小值． ∵是等边三角形，E是边的中点， ∴F是的中点， ∴是的中线， ∴， 即的最小值为6， 故答案为：6． 与等腰三角形有关的多解问题 1．（23-24八年级上·广西桂林·期中）如果等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角度数为 ． 【答案】或/度或度/或/度或度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．分两种情况讨论：若角为底角；若角为顶角，即可求解．利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 【详解】解：若角为底角，它的底角度数为； 若角为顶角，它的底角度数为； 故答案为：或． 2．（23-24八年级下·广东揭阳·期中）已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为 ． 【答案】或 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形外角性质，直角三角形两锐角互余，分顶角为钝角和锐角两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 顶角为钝角时，如图，则， ∴； 顶角为锐角时，如图，则， ∴； 综上，这个等腰三角形顶角的度数为或， 故答案为：或． 3．（23-24八年级上·山东日照·期中）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的定义，分为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可．熟练掌握等腰三角形的两腰相等，是解题的关键．注意分类讨论． 【详解】解：当为腰长时， ∵等腰的周长为20， ∴的底边长为：， ∴“优美比”为； 当为底边长时， 的腰长为：， ∴“优美比”为； 故答案为：或． 4．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，，C是延长线上一点，，动点M从点C出发沿射线以的速度移动，动点N从点O出发沿射线以的速度移动，如果点M、N同时出发，设运动的时间为，那么当 s时，是等腰三角形． 【答案】4或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用．熟练掌握等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用是解题的关键． 由题意知，当时，；当时，，，由是等腰三角形，可知当时，，即，计算求解即可；当时，证明是等边三角形，则，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，当时，； 当时，， ， ∵是等腰三角形， ∴当时，，即， 解得，， 当时，是等腰三角形， ∴是等边三角形， ∴，即， 解得，， 综上所述，的值为4或， 故答案为：4或． 5．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 【答案】或或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意进行分类讨论．分五种情况进行讨论，当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当，时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 综上分析可知：的度数为：或或或． 故答案为：或或或． 6．（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知中，如果存在过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这个三角形为“等直三角形”． 如图1，为“等直三角形”．在图2中，为“等直三角形”，，则的度数为 ． 【答案】，，， 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，理解“等直三角形”定义是本题的关键．分四种情况进行讨论：当，时；当，时；当，时；当，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当，时，如图所示： 此时为等腰三角形，为直角三角形， ∵， 又∵， ∴； 当，时，如图， 此时为直角三角形，为等腰三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当，时，如图所示： 此时为等腰三角形，为直角三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴； 当，时，如图所示： 此时为直角三角形，为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上分析可知：的度数为：，，，． 故答案为：，，，． 等腰、等边三角形中的多结论问题 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，分别以的边为直角边，向外作等腰直角和等腰直角，连接，交于点F，连接．下面有四个结论：；平分平分；其中正确的是 （只填写序号） 【答案】①②④ 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据等腰三角形的性质，证明，即可判断①；根据，得到，即可判断②；过作于，于，得到，推出，即可判断④；题干条件不充分，不足以判断平分，即可判断．本题考查等腰三角形的性质，掌握三角形内角和、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵分别以的边为直角边，向外作等腰直角和等腰直角， ，，， ∴， ， ， ，故①正确， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 故②正确， 过作于，于， ， ， 即， ， ， ， 即平分， 故④正确； ， 但不一定相等，无条件支持， ∴不一定全等， 则不一定相等， 故得不出， ∴不一定平分； 故③不正确， 故答案为：①②④． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，点在线段上（不与点、重合），在的上方分别作和，且，，连接，交于点，下列结论正确的是（填序号） ． ；②；③；④平分； 【答案】①③/③① 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等三角形综合问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，角的平分线定理及其逆定理，本题的关键是借助三角形的面积相等求得对应高相等．根据证明即可求解①；，，，和是顶角相等的等腰三角形，故②错误；由①得从而得到，从而求解③；借助三角形面积相等即可证明④． 【详解】解：①， ， ， 在和中， ， ，故①正确； ②，，， 和是顶角相等的等腰三角形， 因为不一定等于， 所以不一定等于，故②错误； ③由①得， ， ， ， ， ，故③正确； ④如图，过作于，于， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， 因为不一定等于， 所以不一定等于， 所以不一定平分，故④错误； 故答案为：①③． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，为等边三角形，F，E分别是上的一动点，且，连接，交于点H，连接．给出下列四个结论： ①；②若，则平分； ③；④若，则． 其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质，证明，利用全等三角形的性质可以判断①③，利用垂直平分线的判定可以判断②，利用等腰三角形和全等三角形可以判断④． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴是的垂直平分线， ∴平分，故②正确； ∵， ∴， ∴， 即，故③不正确； 如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴，   又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 故答案为：①②④． 4．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，已知点B是边上的动点（不与A、C重合），在AC的同侧作等边和等边，连接，下列结论正确的是 ．（填写序号） ①；②；③；④平分；⑤ 【答案】①②③④⑤ 【知识点】内错角相等两直线平行、全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】根据等边三角形的性质得到，则可根据“”判定，可对①进行判断；根据全等三角形的性质得到，则可得到，则可对②进行判断；证明为等边三角形得到，则，所以，从而可对③进行判断．利用得到和边上的高相等，则根据角平分线的性质定理逆定理可对④进行判断，在上截取，连接，由“”可证，可得，可得，可判断⑤，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ，故②正确， 在和中， ， ∴， ， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故③正确， ∵， ∴和边上的高相等，即点到和的距离相等， ∴平分，所以④正确； 如图，在上截取，连接， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，故⑤正确； 故答案为：①②③④⑤． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 5．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，为外一点，与交于点，过点作交延长线于点为线段上一点，连接，使．下列结论：①；②；③连接则线段关于所在直线对称；④若的面积为1，则的面积为8，其中正确的是 （只填序号） 【答案】①②③ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质．证明，得到，①正确；再证明，推出，②正确；证明四边形是正方形，推出③正确；求得的面积为4，推出的面积为5，说明④错误． 【详解】解：∵， ∴， ∵，∴， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，②正确； ∵， ∴四边形是长方形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴线段关于所在直线对称，③正确； ∵，，，， ∴， ∴，， ∵的面积为1， ∴正方形的面积为4， ∴的面积为4，即的面积为4， ∴的面积为5， ∴的面积为5， ∴的面积为10，④错误， 故答案为：①②③． 等腰、等边三角形的判定与性质 1．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，的周长为，，平分，平分，过点作直线平行于，交，于点，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质， （1）根据角平分线的性质得，根据得，可得，则，即可得是等腰三角形； （2）根据角平分线的性质得，根据得，可得，即可得，根据的周长为，，可得，即可得，根据可得，即可得； 掌握角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ∵， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：平分， ， ∵， ， ， ， ∵的周长为18，， ， ， ∵， ， ， ∴的周长为． 2．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，．    (1)求证：是等边三角形； (2)与有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、根据等角对等边证明等腰三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据垂直平分得，再根据，得，由此即可得出结论； （2）先根据垂直平分得出．再证明，然后根据等边三角形与直角 三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ，， ， 为等边三角形； （2）解：，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴在直角中， ∴ 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，分别是，两条边上的高，点D在上满足，点G在的延长线上满足，连接，． (1)求证：； (2)若连接D，G，请判断的形状．并直接写出结论． 【答案】(1)见解析 (2)等腰直角三角形 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的定义 【分析】（1）由，分别是，两条边上的高，得，可根据“等角的余角相等”证明，而，，即可根据“SAS”证明； （2）根据全等三角形的性质得，，则，求得，则是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：∵，分别是，两条边上的高， ∴，          ∴， ，                  ∴，                        在和中， ∵， ∴， （2）是等腰直角三角形， 理由：由（1）得， ，， ， ， 是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查三角形高的定义；等角的余角相等、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，等腰三角形的判定； 4．（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，点O是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)当为多少度时，是等腰三角形？ 【答案】(1)证明见解析过程 (2) (3)当为、、时，是等腰三角形 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质可求，由周角的性质可求的度数，由三角形内角和定理可求解； （3）分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中 ， ， ； （2）解：，，， ， ， ， ， ； （3）解：①要使，需， ， ； ②要使，需， ， ； ③要使，需， ， ． 所以，当为、、时，是等腰三角形． 5．（23-24八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，点D在内，，点E在外，． (1)求的度数； (2)判断的形状并加以证明； (3)连接，若，直接写出的长． 【答案】(1) (2)等边三角形，见解析 (3)5 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）先证明是等边三角形，推出，再证明推出即可解答； （2）先证明，然后根据全等三角形的性质及等边三角形的判定即可解答． （3）先证明是含有30度角的直角三角形，求出的长，再根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∴． （2）解：结论：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， 在和中，， ∴， ， ， ∴是等边三角形． （3）解：如图：连接． ，， ， ，， ， ， ∵， ． 线段的垂直平分线的判定 1．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知中，，点，分别为，上的点，．    (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的判定 【分析】（1）根据，可得，利用，进而证明； （2）由则在的中垂线上，再证明可得，故在的中垂线上，则垂直平分． 本题考查三角形全等的判定和性质定理、中垂线的判定定理，理解题意是解决问题的关键． 【详解】（1）解： 与全等； 理由：，， 即， 在与中， ， ； （2）解：如图：连接，    由（1）， 在的中垂线上， ， ， 在与中， ， ， ， 在的中垂线上， 垂直平分． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，中，，平分，于． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定 【分析】（1）在中，求出即可解决问题； （2）利用等腰三角形的性质得出，，根据线段垂直平分线的判定即可证明． 本题考查了线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）证明：， ， 又平分， ， 在和中， ， ， ，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，（两点确定一条直线）， ． 3．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定、等边三角形的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边三角形的性质得出，结合，即可得出是的垂直平分线进行作答． （2）先由等边三角形的性质得出，结合角平分线的性质，得出，证明，再证明，结合边的等量代换以及边的运算，即可作答． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 在的垂直平分线上， ， ∴在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． （2）证明： 过作，如图： 是等边三角形， ，， ． ． ，． ，平分， ， ， ． ，， ． ． 又， ， 4．（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接． (1)求证：垂直平分． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点． （1）由角平分线的性质得，证明，得，从而证明结论； （2）根据，得，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，分别是和的高， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 轴对称之最短路径问题 1．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，等腰三角形的底边长为4，的面积是16，腰的垂直平分线分别交边于点．若为边的中点，为线段上一动点，求周长的最小值．    【答案】10 【知识点】最短路径问题、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，三线合一，解题的关键是连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，． 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点，， ， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：10．    2．（23-24八年级上·河南濮阳·期中）在如图所示的方格纸中建立适当的直角坐标系，使点A的坐标为，点C的坐标为 (1)请在方格纸中画出坐标轴； (2)画出关于x轴对称的； (3)在y轴上找一点P，使最小，则点P的坐标是　　 【答案】(1)答案见解答 (2)答案见解答 (3) 【知识点】最短路径问题、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标与图形-轴对称变换： （1）根据点A、点C即可确定坐标轴； （2）分别做出A、B、C三个点关于x轴对称的点，再顺次连线即可； （3）取点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，即可得到答案． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示. （2）如图，即为所求. （3）如图，取点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P， 此时，为最小值， 点P的坐标为 故答案为：. 3．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，在直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为 (1)请在图中画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)求的面积； (3)在y轴上画出点P，使的值最小，保留作图痕迹． 【答案】(1)图见详解， (2) (3)图见详解 【知识点】坐标与图形、最短路径问题、画轴对称图形 【分析】本题考查了作图−轴对称变换、轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是准确画图． （1）根据关于y轴对称的，先画出点，再依次连接，并求出点的坐标即可； （2）根据网格，以为底，即可求的面积； （3）连接即可在y轴上画出点P，使的值最小． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ； （2）解：； （3）解：如图，点P为所作． 4．（22-23八年级下·广东佛山·期中）如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．      (1)直接填空：与的位置关系是__________； (2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值； (3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？ 【答案】(1) (2)9 (3)当时，；当时， 【知识点】最短路径问题、全等三角形的性质、折叠问题 【分析】（1）根据轴对称的性质即可判断； （2）根据对称的性质，在上取点，使得，结合对称性质推出，确定三点共线且垂直于时，取得最小值，结合面积进行计算即可； （3）分和两种情况，根据翻折变换的性质和平行线的性质解答． 【详解】（1）解：∵沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，在上取点，使得，连接， 根据对称的性质，，    ∴， 要求的最小值，求的最小值即可， ∴当B、P、M三点共线，且时，取得最小值， 此时，如图所示，    由对称的性质，， ∵取得最小值时，， ∴， 即：，解得：， ∴的最小值为9； （3）解：①当时，； ∵由翻折变换的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由翻折的性质，当时，． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、翻折变换的性质、轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质等，熟知折叠是一种对称变换，属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题关键． 5．（23-24八年级上·河南濮阳·期中）在等边中，点D是直线上的一个点（不与点B、C重合），以为边在右侧作等边，连接．    【观察猜想】（1）如图1，当点D在线段上时，则线段与线段的数量关系为______． 【数学思考】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，猜想三条线段、与的数量关系，并加以证明． 【方法感悟】在解决问题时，条件中若出现有公共顶点的两个等边三角形时，常常考虑旋转某个三角形，从而使问题得到解决． 【拓展延伸】（3）如图3，边长为a的等边中，是中线，且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，请直接写出周长的最小值． 【答案】（1）    （2），理由见解析    （3） 【知识点】最短路径问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形判定与性质、最短路径问题： （1）由等边三角形的性质可得，，，推出，进而根据“SAS”证得，由全等三角形对应边相等即可得出结论； （2）证明，结合全等三角形的性质，利用线段的和差关系即可得出结论； （3）证明，由全等三角形的性质得，进而根据等边三角形的性质可得，点E在射线上运动，作点A关于直线的对称点M，连接交于，当点运动到点时，周长的最小，再根据线段的和差关系，即可得到答案． 【详解】（1）证明：，都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， . 故答案为：； （2）解：. 证明：与都是等边三角形， ，，， . 即. 在和中， ， . ， . （3）解：如图，连接， ，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， 等边中，是中线，且， ，，， 点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于，当点运动到点时，周长的最小，    ，， 是等边三角形， ， ， ， 周长的最小值. 6．（23-24七年级下·陕西西安·期中）发现问题 （1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则 ． 探究问题 （2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积． 解决问题 （3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴） 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】最短路径问题、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最值等知识，利用全等三角形的性质求解是解答的关键． （1）根据三角形的内角和定理证得，再证明得到即可求解； （2）先求得，再证明得到，，由求解即可； （3）连接，由题意知B、F关于对称，则，当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，最小，此时四边形是矩形，则，，证明得到，，则，，由求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7； （2）∵长方形的周长为36，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即四边形的面积为48； （3）连接，如图， 由题意知B、F关于对称， ∴， ∴， 当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，最小，此时四边形是矩形，，， ∵，， 由（2）可知， ∴， ∴，， ∴，， ∵， 则，， 即当最小时，多边形的面积为：， ∴多边形的面积为144． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$