专题02 全等三角形（5大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版）

专题02 全等三角形 图形的全等 1．（23-24七年级下·山东济南·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（    ） A．B．C．D． 2．（23-24七年级下·广东深圳·期中）下列说法中正确的是（    ）． A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形面积一定相等 3．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）下列各组中的两个图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·陕西西安·期中）下列判断正确的个数是（    ） （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）全等图形的周长都相等； （3）面积相等的两个等腰三角形是全等形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 全等三角形的性质 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，若，且，，则的长为（    ）． A．3 B．4 C．4.5 D．5 2．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期中）如图，，点A，B，C，D在同一直线上，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，，点在线段上，若，，则的长为 ． 4．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在中，，，则 ． 5．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当 秒时，能使与以点、、为顶点的三角形全等． 6．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在长方形中，，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若和全等，则a的值为 ． 添加条件使三角形全等 1．（23-24八年级上·四川眉山·期中）如图，在和中，已知，还需要添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（       ）． A． ， B． ， C． ， D．， 2．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，已知在和中，，，，若用“HL”判定，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，，，要根据“HL”证明，则还需要添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·全国·期中）如图，已知，要使，还需添加一个条件，你添加的条件是 （只需写一个，不添加辅助线）． 5．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，，添加一个条件： ，使得．（写出一种情况即可） 6．（23-24八年级上·河南信阳·期中）在和中，，有下列条件：①；②；③；④；⑤．请你从中选择两个条件： ，使，你判断它们全等的根据是 ． 全等三角形的判定 1．（23-24九年级下·全国·期中）如图，点B、F、C，E在一条直线上，，，，．求证． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，求证：． 3．（23-24八年级下·福建三明·期中）已知：如图，、相交于点E，，． 求证：． 4．（19-20八年级上·广东潮州·期末）如图，于E，于F，若，求证：平分． 5．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，已知，，，求证：． 6．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 角平分线的性质 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，平分，，且，则点P到的距离为 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，为的平分线，于，于，若，，则的面积为 ． 3．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，，，若的面积为6，则到的距离为 ． 4．（23-24八年级下·江西吉安·期中）如图，平分，点P在上，于点D，，，E是射线上的动点，则的最小值为 cm．    5．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，点O是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是 ． 6．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在中，D，E分别是边上的点，且，连接交于点的平分线交于点，且，若的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ． 使三角形全等动点多解问题 1．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在x轴上运动（不与点A重合）点D在y轴上运动（不与点B重合），当点C的坐标为 时，以C，O，D为顶点的三角形与全等． 2．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，中，，，，点P从A点出发沿路径运动；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A．点P和Q分别以每秒2和5的运动速度同时开始运动，点Q到相应的终点时点P也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于E、作于F，当点P运动 秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等． 3．（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，点在线段上，于，于．，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作的垂线，垂足为，．设运动时间为s，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为 ． 4．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，动点P，Q分别按照和的路线同时开始运动，到各自的终点时停止．直线l经过原点O，且，过P，Q分别作l的垂线段，垂足分别为E，F．若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒4个单位长度，运动时间为t秒，当与等时，t的值为 ． 5．（23-24八年级上·全国·期中）如图，在四边形中，，点E为的中点．如果点P在线段上以的速度沿运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为 时，能够使与全等． 全等三角形的判定与性质 1．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，中，，延长到点，过点作于点E，与交于点，若． (1)求证：； (2)若，求的长度． 2．（23-24七年级下·重庆·期中）在中，是的中点，． (1)证明：； (2)若，平分，求的度数． 3．（22-23八年级上·贵州遵义·期中）如图，点，，，在直线上（，之间不能直接测量），点，在异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 4．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）已知：如图，在 中，的角平分线与的垂直平分线交于点D， 垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若 求 的周长． 5．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）已知，，是过点A的直线，B、E两点在直线上，，． (1)如图1，试说明： ①； ②； (2)当绕点A旋转到图2的位置时，之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 角平分线的判定问题 1．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，于E，于F，若 (1)求证：平分； (2)直接写出之间的等量关系． 2．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 3．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，，两点分别在射线，上，点在的内部且，，，垂足分别为，，且． (1)求证：平分； (2)如果，，求的长． 4．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点E， 连接． (1)求证：是的平分线； (2)若的周长为22，面积为，求点P到的距离． 5．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，中，点D在边延长线上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积． 6．（23-24八年级上·湖北黄石·期中）如图，，的平分线与的外角平分线交于点，过点作于．    (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，连，求证：平分． (3)如图3，若周长为20，求的长． 全等三角形的几大模型探究问题 1．（23-24八年级上·吉林松原·期中）综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，，连接，延长交于点D．则与的数量关系： ， ； (2)类比探究：如图2，在和中，，连接，延长交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 2．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是16，求与的面积之和． 3．（23-24八年级上·河南新乡·期中）（1）教材呈现：人教版数学教材八年级上册第56页有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为D，E，，，求的长．”请直接写出此题的答案：的长为________； （2）类比探究：如图2，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是、的外角，已知：，．求证：； （3）拓展应用：如图3，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为27，则与的面积之和为？ 4．（23-24八年级上·全国·期中）【问题背景】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，试探究线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ________________． 【探索延伸】 如图②，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形 图形的全等 1．（23-24七年级下·山东济南·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查了全等图形的识别，能够完全重合的平面图形，即形状、大小相同的图形是全等图形，据此即可求解． 【详解】解：由全等图形的定义可知，B为全等图形， 故选：B ． 2．（23-24七年级下·广东深圳·期中）下列说法中正确的是（    ）． A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形面积一定相等 【答案】D 【知识点】图形的全等 【分析】此题主要考查了全等图形和全等图形的性质．直接利用全等图形以及全等图形的性质判断得出答案． 【详解】解：A、形状相同、大小相等的两个图形一定全等，故本选项不符合题意； B、两个长方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意； C、两个正方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意； D、两个全等图形面积一定相等，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）下列各组中的两个图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查全等图形的定义，根据能够完全重合的两个图形称为全等图形进行逐项判断即可． 【详解】解：A中两个图形不是全等图形，故不符合题意； B中两个图形不是全等图形，故不符合题意； C中两个图形是全等图形，故符合题意； D中两个图形不是全等图形，故不符合题意； 故选：C． 4．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查了全等图形．根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等形）逐项判断即可得． 【详解】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意； D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； 故选：C． 5．（23-24七年级下·陕西西安·期中）下列判断正确的个数是（    ） （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）全等图形的周长都相等； （3）面积相等的两个等腰三角形是全等形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】全等三角形的概念、全等三角形的性质、图形的全等 【分析】本题考查了全等图形的判定与性质，利用全等图形的判定与性质即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）形状相同的两个三角形不一定是全等形，故错误； （2）全等图形的周长都相等，故正确； （3）面积相等的两个等腰三角形不一定是全等形，故错误； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故正确； 故选：B 全等三角形的性质 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，若，且，，则的长为（    ）． A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质 【分析】此题考查了全等三角形的性质，根据得到，进而求解即可． 【详解】∵，且， ∴ ∵ ∴． 故选：B． 2．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期中）如图，，点A，B，C，D在同一直线上，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】线段的和与差、全等三角形的性质 【分析】本题考查线段的和差，全等三角形的性质． 由，可得，进而有全等三角形的性质得到，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，，点在线段上，若，，则的长为 ． 【答案】2 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质可得，再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2 ． 4．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在中，，，则 ． 【答案】/30度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的性质 【分析】此题考查了全等三角形对应角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，根据全等三角形对应角相等，得到，在利用直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当 秒时，能使与以点、、为顶点的三角形全等． 【答案】7或15 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分两种情况讨论，或，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：为边上的高， ， ，， ， ， 当时，， ， 或， 或， 即当或秒时，能使与以点、． 故答案为：或． 6．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在长方形中，，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若和全等，则a的值为 ． 【答案】3或 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握分类讨论思想的应用是解决本题的关键． 分两种情况分别计算：当时；当时；分别根据全等三角形对应边相等的性质列方程求解即可． 【详解】解：设点运动的时间为， 由题意知：，，则， 当时，，即， 解得； 当时，，， 即，， 解得， 则， 解得， 综上，的值为3或． 故答案为：3或． 添加条件使三角形全等 1．（23-24八年级上·四川眉山·期中）如图，在和中，已知，还需要添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（       ）． A． ， B． ， C． ， D．， 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】根据全等三角形的判定方法依次判定即可． 本题主要考查了全等三角形的判定．全等三角形的判定方法有：、、和，注意没有和．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A. 已知，若添加，，则可根据得到，故A选项不符合题意； B. 已知，若添加，，则可根据得到，故B选项不符合题意； C. 已知，若添加，，则不能得到，因为没有，故C选项符合题意； D. 已知，若添加，，则可根据得到，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，已知在和中，，，，若用“HL”判定，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用HL证全等（HL）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， .，，符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项符合题意； .，，不是两直角三角形全等的判定定理，是证明三角形全等的，故该选项不符合题意； .，，不符合两直角三角形全等的判定定理，是证明三角形全等的，故该选项不符合题意； .，，不能证明这两个直角三角形全等，故该选项不符合题意； 故选：． 3．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，，，要根据“HL”证明，则还需要添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：还需要添加的条件是， 理由是：，， ， 在和中， ， ， 故选：D． 4．（23-24八年级上·全国·期中）如图，已知，要使，还需添加一个条件，你添加的条件是 （只需写一个，不添加辅助线）． 【答案】（或） 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、用SAS证明三角形全等（SAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用判定进行证明是解此题的关键．熟记全等三角形的判定方法有：，，，．由已知，及公共边，可知要使，已经具备了两个条件了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①，②．所以可添或． 【详解】解：答案不唯一． ①． 在和中， ， ； ②． 在和中， ， ． 故答案为：（或）． 5．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，，添加一个条件： ，使得．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 先证明，由于，则根据全等三角形的判定方法，当添加或或时，． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴当添加时，； 当添加时，； 当添加时，； 故答案为：．（答案不唯一） 6．（23-24八年级上·河南信阳·期中）在和中，，有下列条件：①；②；③；④；⑤．请你从中选择两个条件： ，使，你判断它们全等的根据是 ． 【答案】 ②③（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等，两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等选择合适的条件，即可求解． 【详解】解：∵，添加②；③；可利用判定； 添加③；④；可利用判定； 添加⑤；③；可利用判定； 故答案为：②③（答案不唯一）；． 全等三角形的判定 1．（23-24九年级下·全国·期中）如图，点B、F、C，E在一条直线上，，，，．求证． 【答案】见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即、、、和．先根据平行线的性质证明，再证明，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先根据，证明，再根据“”证明，得出即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 3．（23-24八年级下·福建三明·期中）已知：如图，、相交于点E，，． 求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明即可证明结论成立． 【详解】∵，， ∴ ∴． 4．（19-20八年级上·广东潮州·期末）如图，于E，于F，若，求证：平分． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．先证明，可得，可证明，可得，即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 5．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，已知，，，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是通过得出． 根据可得，再根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 6．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【知识点】根据三角形中线求长度、用HL证全等（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可证明． 【详解】证明：∵与分别为边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 角平分线的性质 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，平分，，且，则点P到的距离为 【答案】4 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，先过点P作，由角平分线的性质得出，因为，且，所以，即可作答． 【详解】解：如图：过点P作， ∵平分，，， ∴， ∵，且， ∴， ∴则点P到的距离为4， 故答案为：4． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，为的平分线，于，于，若，，则的面积为 ． 【答案】12 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据角平分线的性质定理得到，即可求出面积． 【详解】解：∵为的平分线，于，于， ∴， ∴， 故答案为：12． 3．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，，，若的面积为6，则到的距离为 ． 【答案】2 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查求线段长，涉及角平分线性质，过点作，，如图所示，由角平分线性质得到，从而根据的面积列方程求解即可得到答案，熟记角平分线性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，，如图所示： ， ， ， ， 的面积为6， ，即，解得， 故答案为：2． 4．（23-24八年级下·江西吉安·期中）如图，平分，点P在上，于点D，，，E是射线上的动点，则的最小值为 cm．    【答案】3 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，过P点作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：过P点作于H，如图，   平分，， ， 点E是射线上的动点， 的最小值为， 故答案为：3． 5．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，点O是内一点，平分，于点，连接．若，，则的面积是 ． 【答案】15 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答． 过O作于点E，根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过作于点， 平分，于点， ， 的面积， 故答案为：15． 6．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在中，D，E分别是边上的点，且，连接交于点的平分线交于点，且，若的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积比，连接，根据角平分线的性质，可得点到的距离相等，则可得的面积，再根据，求得的面积，根据求得和的面积，即可求得的面积，最后求得的面积，即可求得四边形的面积，即可解答，熟练根据底边之比进行三角形面积的转换是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 的平分线交于点， 点到的距离相等， ， ， 的面积为4， , ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 使三角形全等动点多解问题 1．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在x轴上运动（不与点A重合）点D在y轴上运动（不与点B重合），当点C的坐标为 时，以C，O，D为顶点的三角形与全等． 【答案】或或 【知识点】坐标与图形、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等． 根据点A和点B的坐标得出，根据点C不与点A重合，点D不与点B重合，进行分类讨论：当时；当时；即可解答． 【详解】解：∵点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， 当时，点C的坐标为或． 当时， ∵点C不与点A重合，点D不与点B重合， ∴， 故答案为或或． 2．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，中，，，，点P从A点出发沿路径运动；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A．点P和Q分别以每秒2和5的运动速度同时开始运动，点Q到相应的终点时点P也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于E、作于F，当点P运动 秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等． 【答案】1或 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，解方程即可． 【详解】解：设点运动秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，分为五种情况： ①如图1，P在上，Q在上，则，， ，， ， ， ，， ， ， ， 即， ； ②如图2，P在上，Q在上，则，， 由①知：， ， ； 因为此时，所以此种情况不符合题意； ③当P、Q都在上时，如图3， ， 解得：； ④当Q到A点停止，P在上时，如图4，，时，解得． 而Q从B运动到A所需时间为， 故不符合题意； ⑤因为P的速度是每秒2，Q的速度是每秒5， P和Q都在上的情况不存在； 综上，点P运动1或秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以Q、F、C为顶点的三角形全等． 故答案为：1或． 3．（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，点在线段上，于，于．，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作的垂线，垂足为，．设运动时间为s，当以，，为顶点的三角形与全等时，的值为 ． 【答案】1或 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，以，，为顶点的三角形与全等时，，分点沿运动和沿运动两种情况，根据列方程，即可求解．注意分情况讨论是解题的关键． 【详解】解：点P从运动到点C从用时间为：， 点从运动到点C从用时间为：， 点从运动到点C后，从点C返回，又运动了． 如图， 以，，为顶点的三角形与全等， ， 当点沿运动时，， 解得； 当点沿运动时，， 解得，，符合题意， 综上所述，的值为1或． 故答案为：1或． 4．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，动点P，Q分别按照和的路线同时开始运动，到各自的终点时停止．直线l经过原点O，且，过P，Q分别作l的垂线段，垂足分别为E，F．若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒4个单位长度，运动时间为t秒，当与等时，t的值为 ． 【答案】1或2或5 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、坐标与图形、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和一元一次方程的应用，解题的关键是恰当分类并利用全等三角形的性质建立方程．判断出再分三种情况讨论，表示出，建立一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 由题意，和是两直角三角形的斜边， 当与全等时，， ①当点P在上，点Q在上时， 根据题意可得，时，，， ∴，， ∴， 解得； ②当点P，Q都在上时，点P，Q重合时，两三角形重合时， P点行程为，Q点行程为， ∴， 解得； ③当点P在上，点Q在上且点Q与点A重合时， ， ∴． 解得； 综上所述，当与全等时，满足题意的t的值为1或2或5． 故答案为：1或2或5． 5．（23-24八年级上·全国·期中）如图，在四边形中，，点E为的中点．如果点P在线段上以的速度沿运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为 时，能够使与全等． 【答案】或3或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形综合问题 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，动点问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，动点的运动轨迹，分类讨论：①点由向运动；②点由向运动；进行解答，即可． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， 设点在线段上运动的时间为， ①点由向运动时，，， 当， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴点的运动速度为； 当时， ∴，， ∴， 解得：， ∴点的运动速度为； ②点由向运动,， 当时， ∴，， ∴， 解得：； ∴点的运动速度为； 当， ∴，， ∴， 解得：， ∴点的运动速度为； 综上所述：点的运动速度为或或或． 故答案为：3或或或． 全等三角形的判定与性质 1．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，中，，延长到点，过点作于点E，与交于点，若． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是： （1）利用证明即可得证； （2）利用等式性质证明，再利用证明，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴． 2．（23-24七年级下·重庆·期中）在中，是的中点，． (1)证明：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等 （1）证明，得出； （2）由平行线的性质得出，，由角平分线的定义可得出答案． 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：证明：， ，， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ； （2）， ，， ， ， 平分， ． 3．（22-23八年级上·贵州遵义·期中）如图，点，，，在直线上（，之间不能直接测量），点，在异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）先根据平行线的性质，再根据全等三角形的判定可证得结论； （2）先根据全等三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，又，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴． 4．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）已知：如图，在 中，的角平分线与的垂直平分线交于点D， 垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若 求 的周长． 【答案】(1)详见解析 (2)17 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）证明，则，由（1）可知，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接． ∵D在的中垂线上 ∴ ∵．平分 ∴ ∴   ∴ （2）∵平分 ∴ ∵ ∴   又∵． ∴ ∴ 由 (1) 可知    ∴的周长为： 5．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）已知，，是过点A的直线，B、E两点在直线上，，． (1)如图1，试说明： ①； ②； (2)当绕点A旋转到图2的位置时，之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了几何变换综合题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． （1）①根据已知条件得到，根据全等三角形的判定即可证明；②根据全等三角形性质得到即可得到结论； （2）根据角的和差得到，根据全等三角形的性质得到，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：①证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； （2）猜想：， 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴ 角平分线的判定问题 1．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，于E，于F，若 (1)求证：平分； (2)直接写出之间的等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)结论：，见解析部分 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定，注意：全等三角形的判定定理有全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）根据相“”定理得出，故可得出，所以平分； （2）由（1）中可知平分，故可得出，所以，故． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴在和中， ， ∴ ∴， ∵ ∴平分； （2）解：结论： 理由：∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∵ 即：． 2．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图所示，，在两边上且，是内部的一条射线且于点， (1)求证平分； (2)分别作和的平分线，相交于，求证P同时也在的平分线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】角平分线性质定理及证明、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质及，证得，即可得出结论 （2）过P作，，，利用角平分线的点到角两边的距离相等得，再利用角平分线的逆定理即可得结论． 【详解】（1）， ， ， 在和中 ， 平分； （2）如图：过P作，，， ，平分，平分， ，， ， 点P在的平分线上． 平分， 点P在的平分线上． 3．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，，两点分别在射线，上，点在的内部且，，，垂足分别为，，且． (1)求证：平分； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，熟记到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答本题的关键． （1）根据题意，得到，所以，再根据已知条件，得到平分，由此得到证明． （2）根据题意，得到，所以，设，再根据已知条件，得到，求出，由此得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得： ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分． （2）在和中， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ． 4．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点E， 连接． (1)求证：是的平分线； (2)若的周长为22，面积为，求点P到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定． （1）过点作于，作于，作于，根据角平分线的性质可得，，可得，进而根据角平分线的判定定理即可证明平分； （2）根据题意得，即，由（1）得，进而可知，由的周长为22，即可求解． 掌握角平分线的性质与判定是解题的关键． 【详解】（1）证明：过点作于，作于，作于， 则，，分别是到，，的距离， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴平分； （2）解：∵的周长为22， ∴， ∵面积为， ∴， ∴， 由（1）得， ∴ ∴， ∴． 5．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，中，点D在边延长线上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的面积为15 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角的平分线判定定理和性质定理，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键． （1）利用平角的定义，直角三角形的锐角互余，计算即可． （2）利用角平分线的性质定理，推出，再利用角的平分线的判定证明即可． （3）设，利用，求出，从而求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点，作于点， ∵平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ，， ， ， 又点在的内部， 平分． （3）解：如上图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ∴的面积为． 6．（23-24八年级上·湖北黄石·期中）如图，，的平分线与的外角平分线交于点，过点作于．    (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，连，求证：平分． (3)如图3，若周长为20，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】（1）根据角平分的定义，和三角形外角定理即可求解， （2）作辅助线，根据角平分线的性质与判定，即可求解， （3）由可得，同理，，即可通过等量代换，求出的长， 本题考查了，三角形外角定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，解题的关键是：熟练应用角平分线的性质，作出辅助线． 【详解】（1）解：∵的平分线与的外角平分线交于点， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：， （2）解：如图2，过点作的延长线于，于，   ，平分，平分， ，， ， 平分， （3）解：如图2，由（2）知：， 在和中，， ， ， 同理得：，， 的周长， ， ， ，即：， 故答案为：． 全等三角形的几大模型探究问题 1．（23-24八年级上·吉林松原·期中）综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，，连接，延长交于点D．则与的数量关系： ， ； (2)类比探究：如图2，在和中，，连接，延长交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示，设与交于点O， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：，30； （2）， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是16，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）结论成立；理由见解析；（3）6 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出是解决问题的关键． （1）根据直线，直线得，而，根据等角的余角相等得，由证得，则，，即可得出结论； （2）由，则，得出，由证得即可得出答案； （3）由，，可得，得出，由证得，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 【详解】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：结论成立；理由如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：，， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， ， ， 与的面积之和为8． 3．（23-24八年级上·河南新乡·期中）（1）教材呈现：人教版数学教材八年级上册第56页有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为D，E，，，求的长．”请直接写出此题的答案：的长为________； （2）类比探究：如图2，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是、的外角，已知：，．求证：； （3）拓展应用：如图3，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为27，则与的面积之和为？ 【答案】（1）0.8；（2）见解析；（3）18 【知识点】全等三角形的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问 （1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，根据全等三角形的性质、结合图形解答； （2）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）由（2）可知，由全等三角形的性质可得出答案． 【详解】解：（1）， ， ． ， ． 在和中， ， ， ； 故答案为：0.8； （2）证明：， ， ， 在和中， ， ， ． （3）的面积为27，， 的面积是：， 由（2）中可知， 与的面积之和等于与的面积之和，即等于的面积，是18， 故答案为：18． 4．（23-24八年级上·全国·期中）【问题背景】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，试探究线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ________________． 【探索延伸】 如图②，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】[初步探索]：；[探索延伸]：结论仍然成立，理由见解析；[结论运用]：210海里． 【知识点】与方向角有关的计算题、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据题意可得，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案； （2）延长到，使，连接，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案； （3）连接，延长、交于点，可得，再得，继而得到本题答案． 【详解】解：[初步探索]：；理由如下： ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， 在△和△中， ， ∴， ， ， ， 故答案为：； [探索延伸]：结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到，使，连接， ，，， ， 在和中， ， ∴ ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； [结论运用]：如图3，连接，延长、交于点， ，，， ， ，， 符合探索延伸中的条件， 结论成立， 即海里． 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查全等三角形判定及性质，内角和定理，方向角问题，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$