期中真题必刷常考60题（11个考点专练）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（新高考通用）

期中真题必刷常考60题（11个考点专练） 一．空间向量及其线性运算（共2小题） 1．（2023秋•沧州期中）在四面体中，点满足，为的中点，且，则实数　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•福州期中）已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设． （1）试用表示； （2）求的长度． 二．空间向量的数乘及线性运算（共2小题） 3．（2023秋•顺德区校级期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则　　 A．1 B．2 C． D． 4．（2023秋•鲤城区校级期中）三棱柱中，为棱的中点，若，，，则　　 A． B． C． D． 三．直线与平面所成的角（共4小题） 5．（2023秋•孝义市期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，平面平面，． （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 6．（2023秋•聊城期中）如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，、分别为、的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为． （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 7．（2023秋•鼓楼区校级期中）如图，在四棱锥，，，为的中点． （1）证明：直线平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值． 8．（2023秋•日照期中）如图（1）所示，在中，，，，垂直平分．现将三角形沿折起，使得二面角大小为，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点记作点． （1）求点到面的距离； （2）点为一动点，满足，当直线与平面所成角最大时，试确定点的位置． 四．二面角的平面角及求法（共12小题） 9．（2023秋•辽宁期中）如图所示，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为的中点，，． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面所成角的余弦值． 10．（2023秋•龙岗区校级期中）三棱柱中，侧面是矩形，，． （1）求证：面面； （2）若，，，在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在求出，不存在，请说明理由． 11．（2023秋•新吴区校级期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，是棱上一点． （1）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求点的位置． 12．（2023秋•禅城区校级期中）在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 13．（2023秋•浙江期中）如图所示，在四棱锥中，四边形为梯形，，，，，，平面平面． （1）若的中点为，求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 14．（2023秋•阆中市校级期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正切值． 15．（2023秋•湖里区校级期中）如图甲所示，在平面四边形中，，，，现将平面沿向上翻折，使得，为的中点，如图乙． （1）证明：； （2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成仍的余弦值． 16．（2023秋•龙华区校级期中）如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于，的动点，，是圆柱的两条母线． （1）求证：平面平面； （2）若，，圆柱的母线长为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 17．（2023秋•江西期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，，，，正三角形所在平面与平面垂直，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 18．（2023秋•大武口区校级期中）四边形为菱形，平面，，，． （1）设中点为，证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小． 19．（2023秋•博罗县期中）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点、分别在棱、上． （1）若是的中点，证明：； （2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积． 20．（2023秋•天河区校级期中）如图，在三棱柱中，侧面是边长为4的正方形，为矩形，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 五．直线的倾斜角（共2小题） 21．（2023秋•潍坊期中）已知直线经过点和，则的倾斜角为　　 A． B． C． D． 22．（2023秋•盐田区校级期中）已知直线过，两点，且，则直线的倾斜角为　　 A． B． C． D． 六．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系（共3小题） 23．（2023秋•滨海新区校级期中）已知直线，与平行，则的值是　　 A．0或1 B．1或 C．0或 D． 24．（2023秋•沈阳期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，且与垂直，直线与直线平行，等于　　． 25．（2023秋•大埔县校级期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，，下列命题是真命题的为　　 A．若，则两条直线的斜率相等 B．若两条直线的斜率相等，则 C．若，则 D．若，则 七．直线与圆的位置关系（共6小题） 26．（2023秋•姑苏区校级期中）已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 27．（2023秋•沈阳期中）当圆的圆心到直线的距离最大时，　　 A． B． C． D． 28．（2023秋•新疆期中）已知直线与圆交于，两点，当最小时，过，分别作的垂线与轴交于，两点，则　　 A． B． C． D． 29．（2023秋•杏花岭区校级期中）已知点是直线和，，的交点，点是圆上的动点，则的最大值是 　　． 30．（2023秋•鼓楼区校级期中）月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见．某学习小组通过单光源实验来演示月球背面．由光源点射出的两条光线与分别相切于点，，称两射线，上切点上方部分的射线与优弧上方所夹的平面区域（含边界）为圆的“背面”．若以点为圆心，为半径的圆处于的“背面”，则的最大值为 　　． 31．（2023秋•三明期中）已知圆的圆心为，半径为3，是过点的直线． （1）判断点是否在圆上，并证明你的结论； （2）若圆被直线截得的弦长为，求直线的方程． 八．椭圆的几何特征（共9小题） 32．（2023秋•徐州期中）设椭圆，的离心率分别为，，若，则　　 A． B． C． D． 33．（2023秋•沙坪坝区校级期中）已知椭圆的离心率为，则　　 A． B．1 C．3 D．4 34．（2023秋•徐州期中）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为　　 A． B． C． D． 35．（2023秋•榆次区校级期中）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是　　 A． B． C． D． 36．（2023秋•湖北期中）已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为　　 A． B． C． D．4 37．（2023秋•四平期中）如图，，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 38．（2023秋•重庆期中）已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若△的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为 　　． 39．（2023秋•罗湖区校级期中）已知椭圆的左、右两焦点分别是、，其中．椭圆上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是 　　． 40．（2023秋•福建期中）如图，、分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的一个交点， （1）求椭圆的离心率； （2）已知△的面积为，求椭圆方程． 九．直线与椭圆的综合（共9小题） 41．（2023秋•盐田区校级期中）已知椭圆的左焦点为，点在上． （1）求椭圆的方程； （2）过的两条互相垂直的直线分别交于，两点和，两点，若，的中点分别为，，证明：直线必过定点，并求出此定点坐标． 42．（2023秋•钦州期中）椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4． （1）求椭圆的方程； （2）设直线过点，且与椭圆相交于，两点，又点是椭圆的下顶点，当面积最大时，求直线的方程． 43．（2023秋•江西期中）已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）已知的下顶点为，不过的直线与交于点，，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 44．（2023秋•佳木斯期中）已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线交椭圆于，两点，是弦的中点，求直线的方程． 45．（2023秋•东安区校级期中）椭圆的离心率是，点，是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于，两点． （1）求椭圆的方程； （2）求面积的最大值； （3）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 46．（2023秋•郫都区校级期中）已知，为椭圆的左、右顶点，且椭圆过点． （1）求的方程； （2）过左焦点的直线交椭圆于，两点（其中点在轴上方），求的取值范围． 47．（2023秋•沈阳校级期中）已知椭圆的一个焦点为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值及此时直线的方程． 48．（2023秋•松北区校级期中）已知椭圆的焦距为2，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）经过椭圆右焦点且斜率为的动直线与椭圆交于、两点，试问轴上是否存在异于点的定点，使恒成立？若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 49．（2023秋•惠来县校级期中）已知椭圆的离心率为，其右焦点到直线的距离为． （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）．若点为椭圆的上顶点，是否存在斜率为的直线，使与椭圆交于不同的两点，，且？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 一十．双曲线的几何特征（共5小题） 50．（2023秋•明光市校级期中）已知双曲线的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是　　 A． B． C． D． 51．（2023秋•沈阳期中）如图，已知，是双曲线的左、右焦点，，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 52．（2023秋•永定区校级期中）设，是双曲线的左，右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则双曲线的离心率为　　 A． B． C．3 D． 53．（2023秋•湖南期中）已知双曲线，和分别为实轴的右端点和虚轴的上端点，过右焦点的直线交的右支于，两点．若存在直线使得点为的重心，则的离心率为　　 A． B． C．2 D． 54．（2023秋•碑林区校级期中）已知焦点为，的双曲线的离心率为，点为上一点，且满足，若△的面积为，则双曲线的实轴长为　　 A．2 B． C． D． 一十一．直线与双曲线的综合（共6小题） 55．（2023春•伊犁州期中）已知双曲线的实轴长为2，右焦点为． （1）求双曲线的方程； （2）已知直线与双曲线交于不同的两点，，求． 56．（2023秋•香坊区校级期中）已知双曲线的右焦点为，且的一条渐近线恰好与直线垂直． （1）求的方程； （2）直线与的右支交于，两点，点在上，且轴．求证：直线过点． 57．（2023秋•邯郸期中）已知双曲线的左顶点为，不与轴平行的直线过的右焦点且与交于，两点．当直线垂直于轴时，． （1）求双曲线的方程； （2）若直线，分别交直线于，两点，求证：，，，四点共圆． 58．（2023秋•宜丰县校级期中）已知双曲线的焦距为，离心率． （1）求双曲线的方程； （2）设，为双曲线上异于点的两动点，记直线，的斜率分别为，，若，求证：直线过定点． 59．（2023秋•礼泉县期中）已知双曲线的右顶点为，且双曲线的一条渐近线恰好与直线垂直． （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）若直线与双曲线的右支交于，两点，点为双曲线的右焦点，点在双曲线上，且轴．求证：直线过点． 60．（2023秋•四平期中）如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点，且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点． （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线，的斜率分别为，，求的值； （3）证明：直线过定点． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷常考60题（11个考点专练） 一．空间向量及其线性运算（共2小题） 1．（2023秋•沧州期中）在四面体 中，点 满足 ， 为 的中点，且 ，则实数 　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用向量的线性运算求出结果． 【解答】解： ， 由于 为 的中点， 所以 ， 整理得 ，①， 由 ， 得 ， 即 ，②， 根据①②的对应关系；所以 ． 故选： ． 【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 2．（2023秋•福州期中）已知平行六面体 ，底面是正方形， ， ， ， ， ，设 ． （1）试用 表示 ； （2）求 的长度． 【分析】（1）化简 ； （2）由题意可得 、 、 三点共线，且 是线段 的中点，从而可得 ，即可得 ，利用模的定义求解即可． 【解答】解：（1） ； （2） ， 是线段 的中点， 、 、 三点共线，且 是线段 的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 即 的长度为 ． 【点评】本题考查了空间向量的综合应用，考查了数形结合的思想与转化思想的应用，考查了化简运算的能力，是中档题． 二．空间向量的数乘及线性运算（共2小题） 3．（2023秋•顺德区校级期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥 为阳马， 平面 ，且 ，若 ，则 　　 A．1 B．2 C． D． 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得． 【解答】解：如图，四棱锥 为阳马， 平面 ，且 ， ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 又 ，所以 ，则 ． 故选： ． 【点评】本题考查空间向量线性运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4．（2023秋•鲤城区校级期中）三棱柱 中， 为棱 的中点，若 ， ， ，则 　　 A． B． C． D． 【分析】利用空间向量的线性运算法则与向量相等的定义，求解即可． 【解答】解： ． 故选： ． 【点评】本题考查了空间向量的线性运算与向量相等的应用问题，是基础题． 三．直线与平面所成的角（共4小题） 5．（2023秋•孝义市期中）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，且 ， ，平面 平面 ， ． （1）求证：平面 平面 ； （2）在棱 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 若存在，求 的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意，由面面垂直的性质定理可得 平面 ，即可证明平面 平面 ； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果． 【解答】（1）证明：在 中， ， 由余弦定理，得 ， 所以 ，即 ． 因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 ． （2）设 ， 的中点分别为 ， ，连接 ， ， 因为 ， 为 的中点，所以 ， 又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ，所以 ． 因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ， 又 ，所以 ，即 ， ， 两两互相垂直， 以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设 ，则 ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，2， ， ， 设 ，则 ， ， ， 所以 ， ， ， 设 ， ， 是平面 的法向量， 则 ，即 ， 令 ，则 ， ， 即平面 的一个法向量为 ， 设直线 与平面 所成角为 ，又 ， 则 ， 即 ，解得 ， 所以存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，此时 ． 【点评】本题主要考查面面垂直的证明，线面角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题． 6．（2023秋•聊城期中）如图，四棱台 中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形， ， 、 分别为 、 的中点，上下底面中心的连线 垂直于上下底面，且 与侧棱所在直线所成的角为 ． （1）求证： 平面 ； （2）线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，若存在，求出线段 的长；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）建立空间直角坐标系后，用直线的方向向量和平面的法向量垂直即可证明线面平行； （2）假设存在，列出方程求解即可． 【解答】解：（1）证明：因为 平面 ， 以点 为坐标原点， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为侧棱所在直线与上下底面中心的连线 所成的角为 ， 则 ，2， ， ， ， ，2， ， ，0， ， ， 所以 ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， ， ， 则 ，令 ，则 ， ， ， 因为 ， ， ，所以 ，所以 ， 又因为 平面 ，所以 平面 ； （2）假设边 上存在点 ，2， 满足条件， ， ， 则 ，3， ， 设直线 与平面 所成角为 ， 由题意可得 ， ， 化简得 ，则 或 （舍去），即存在点 符合题意，此时 ． 【点评】本题考查线面平行的证明，考查线段长的求法，属中档题． 7．（2023秋•鼓楼区校级期中）如图，在四棱锥 ， ， ， 为 的中点． （1）证明：直线 平面 ； （2）若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值． 【分析】（1）取 中点 ，连接 ， ，分别证明 ， ，从而知 平面 ， 平面 ，再由面面平行的判定定理与性质定理，即可得证； （2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，过点 作 于 ，取 的中点 ，连接 ， ，由面面垂直的性质定理可证 平面 ，进而求得点 的坐标，再利用向量法求直线与平面所成角的正弦值，即可得解． 【解答】（1）证明：取 中点 ，连接 ， ，则 ， 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 是等边三角形，所以 ，且 ， 在 中， ， ， 由余弦定理知， ， 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ， 所以 ， 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 ， 、 平面 ， 所以平面 平面 ， 又 平面 ， 故直线 平面 ． （2）解：以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 ， 轴，作 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，0， ， ，2， ， ，3， ， ，0， ， 过点 作 于 ，取 的中点 ，连接 ， ，则 ， ， 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 所以 在底面 上的射影为 ， 由三垂线定理知， ， 在 中， ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，1， ， 所以 ，1， ， ，0， ， ，1， ， 设平面 的法向量为 ， ， ，则 ，即 ， 取 ，则 ， ，所以 ， ， ， 设直线 与平面 所成角为 ，则 ， ， 故直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线与面平行、垂直的判定定理或性质定理，利用向量法求线面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于难题． 8．（2023秋•日照期中）如图（1）所示，在 中， ， ， ， 垂直平分 ．现将三角形 沿 折起，使得二面角 大小为 ，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点 记作点 ． （1）求点 到面 的距离； （2）点 为一动点，满足 ，当直线 与平面 所成角最大时，试确定点 的位置． 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算求点到平面的距离； （2）利用空间向量的坐标运算表示出线面夹角的正弦值，即可求最大值． 【解答】解：（1）由 ， ， ， 得 ， 所以 ，所以 ， ， 因为 垂直平分 ，所以 ， ， 所以 为平面 与平面 的二面角的平面角， 所以 ， ，所以 为等边三角形， 取 中点 ，连接 ， ，所以 ， ． 因为 ， ， 平面 ， 所以 平面 ，因为 平面 ， 所以平面 平面 ， 因为 ， ，所以 为二面角 的平面角， 所以 ， 以 为坐标原点， ， ， 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， 所以 ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，令 ，则 ， 又 ， 所以点 到面 的距离为 ； （2）设 ， ， ，由 ， 可得 ， 所以 ，所以 ， 所以 ， 设直线 与平面 所成角为 ， 则有 ， 所以当 时， 有最大值为 ， 此时直线 与平面 所成角最大， 即当 时，直线 与平面 所成角最大． 【点评】本题考查利用空间向量计算点到平面的距离和线面角，属难题． 四．二面角的平面角及求法（共12小题） 9．（2023秋•辽宁期中）如图所示，四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ， 为 的中点， ， ． （1）证明： 平面 ； （2）若 ，求平面 与平面 所成角的余弦值． 【分析】（1）连接 ，利用勾股定理证明 ，又可证明 ，根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面 和平面 的法向量，由向量的夹角公式求解即可． 【解答】（1）证明：如图，连接 ， 在 中，由 ，可得 ， 因为 ， ， 所以 ， ， 因为 ， ， ， 则 ， 故 ， 因为 ， ， ， 平面 ， 则 平面 ； （2）解：由（1）可知， ， ， 两两垂直， 以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则 ，0， ， ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，0， ， 所以 ， 则 ， ， ， 又 ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，令 ，则 ， ， 故 ， 设平面 的法向量为 ， 因为 ， 所以 ，令 ，则 ， ， 故 ， 所以 ， 故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ． 【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理的应用，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题． 10．（2023秋•龙岗区校级期中）三棱柱 中，侧面 是矩形， ， ． （1）求证：面 面 ； （2）若 ， ， ，在棱 上是否存在一点 ，使得二面角 的大小为 ？若存在求出，不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用菱形与矩形的性质、面面垂直的判定定理即可证明结论． （2）由（1），以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 ， 轴，平面 上过点 且垂直于 的直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系．平面 上过点 且垂直于 的直线为 轴．由 平面 ，可取平面 的法向量为 ，1， ．设 的法向量为 ， ， ，利用 ，可得 ，再利用 ， ，即可得出 ． 【解答】（1）证明： ，四边形 是平行四边形， 四边形 是菱形， ， 又 ， ， 平面 ， 平面 ， ， 侧面 是矩形， ， ， 平面 ，又 平面 ， 平面 平面 ． （2）解：由（1），以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 ， 轴，平面 上过点 且垂直于 的直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系．平面 上过点 且垂直于 的直线为 轴． ，1， ， ，0， ，设 ，0， ， ， ， ， ， ， ， 由 平面 ，可取平面 的法向量为 ，1， ． 设 的法向量为 ， ， ，则 ， ， ， 取 ， ， ， ， ， 化为 ， ，解得 ，即 ． 在棱 上存在一点 ，使得二面角 的大小为 ，此时点 为 的中点． 【点评】本题考查了利用空间向量解决夹角问题、点线面之间的位置关系、面面垂直的判定定理，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题． 11．（2023秋•新吴区校级期中）在四棱锥 中，底面是边长为2的正方形， 平面 ， ， 是棱 上一点． （1）若 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值； （2）若平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求点 的位置． 【分析】（1）由题设条件建系，表示出相关点，分别计算 坐标和平面 的法向量坐标，利用线面所成角的空间向量计算公式即得； （2）在原有坐标系中，设出参数 表示出点 的坐标，分别计算平面 与平面 的法向量，利用面面所成角的空间向量计算公式列出方程解之即得． 【解答】解：（1）如图，分别以 为 ， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系． 则 ． 所以 ， 设平面 的法向量为 ， 则 ， ，所以 ， 解得 ，取 ，则 ，所以 ． 设直线 与平面 所成角为 ， 则 ． 即直线 与平面 所成角的正弦值是 ． （2）如图，设 ， ， ， ，则 ， 因为 ，2， ， ，0， ，所以 ， ， ， ， ，所以 ， ， ， 则 ， 设平面 的法向量为 ， 则 ， ，所以 ， 取 ，得 ， ，所以 ． 又因为 ， 设平面 的法向量为 ， 则 ， ，所以 ， 解得 ，取 ， ，所以 ． 设平面 与平面 的夹角为 ， 则 ， 解得： 或 ，因为 ，所以 ， 即当点 为 的中点时，平面 与平面 的夹角的余弦值为 ． 【点评】本题考查平面与平面所成角的求法，属于中档题． 12．（2023秋•禅城区校级期中）在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， 是 的中点， 在线段 上，且满足 ． （1）求证： 平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值； （3）在线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角的正弦值是 ，若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量进而证明结论； （2）求出平面 的法向量，结合（1），通过空间向量的夹角运算求得答案； （3）设出点 的坐标，进而结合线面角的正弦值得到答案． 【解答】证明：（1）由题意，设 ，因为 平面 ， ， ，以 为原点， ， ， 所在直线分别是 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示， 则 ，而 ，易知 ，于是 ， 又 是 的中点，故 ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，1， ， ，0， ， ， 所以 ， 设平面 的法向量为 ，则 ，即 ， 令 ，则 ， ， ， 又 ， ， ， 不在平面 内， 平面 ． 解：（2）设点 坐标为 ， ， ，则 ， ， 由 得 ， ， 设平面 的法向量为 ， ， 由 得 ，令 ，则 ， 则 ， 由图可知，平面 与平面 夹角的余弦值为 ． （3） ，设 ， ， ， ， ， ， 与平面 所成角的正弦值为 ， ， 整理得： ，解得： ， （舍 ， 存在满足条件的点 ， ，且 ． 【点评】本题主要考查线面平行的证明，面面角的计算，立体几何中的探索性问题，空间想象能力的培养，空间向量及其应用等知识，属于中等题． 13．（2023秋•浙江期中）如图所示，在四棱锥 中，四边形 为梯形， ， ， ， ， ，平面 平面 ． （1）若 的中点为 ，求证： 平面 ； （2）求二面角 的正弦值． 【分析】（1）利用已知可证四边形 为平行四边形，进而可得结论； （2）以 中点 作为坐标原点，建立空间直角坐标系，设 ，进而可得平面 的一个法向量，平面 的一个法向量，利用平面 平面 ． 【解答】解：（1）证明：设 是 中点，连接 、 ， 在 中， 为中线， 且 ，又 且 ， 且 ， 四边形 为平行四边形， 且 ． 又 平面 ， 平面 ， 平面 （2）如图以 中点作为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设二面角角 的大小为 ，则 ， 设平面 的法向量为 ， ， 令 ， ，所以 ． 设平面 的法向量为 ， ， 令 ，则 ，所以 ． 平面 平面 ，所以 ， ， ． 【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，属中档题． 14．（2023秋•阆中市校级期中）如图，在直角梯形 中， ， ， ， 为 的中点，沿 将 折起，使得点 到点 的位置，且 ， 为 的中点， 是 上的中点． （1）证明：平面 平面 ； （2）求二面角 的正切值． 【分析】（1）根据题意证明 平面 ，可得 ，结合 ，可证明 平面 ，可得 ，结合 ，能证明平面 平面 ； （2）根据三垂线法可得 是二面角 的平面角，结合题意分析运算即可． 【解答】（1）证明： ， ， ， 平面 ， 平在 ， ， ， ， 平面 ， 平面 ， ， ， ， ， ， ， ， 平面 ， 平面 平面 ；所以平面 平面 ． （2）解：过 作 于 ． ， ． 由（1）知 平面 ， 平面 ． 过 作 于 ，连接 ． 平面 ， 平面 ， ． ， ， ， 平面 ， ， 平面 ． 平面 ， 平面 ， ， 是二面角 的平面角． 设 ， ， 为 的中点， ，则 ． 在 中， ，则 ， ， ， ，解得 ， ． 【点评】本题考查了空间线面位置关系、二面角、三角形边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15．（2023秋•湖里区校级期中）如图甲所示，在平面四边形 中， ， ， ，现将平面 沿 向上翻折，使得 ， 为 的中点，如图乙． （1）证明： ； （2）若点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求平面 与平面 所成仍的余弦值． 【分析】（1）求解三角形证明 ， ，可得 平面 ，得到 ； （2）在平面 内，过 作 ，以 为坐标原点，分别以 、 、 所在直线为 、 、 轴建立空间直角坐标系．求出平面 的一个法向量，设 ，利用直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求得 的坐标，进而求得 的一个法向量，利用向量法可求平面 与平面 所成仍的余弦值． 【解答】（1）证明：连接 ， ， ，且 是 的中点， ， ， ， ， ， 是 得中点， ， 又 ， ， ，又 ， 平面 ， ； （2）解：由（1）知， 平面 ， 又 平面 ， 平面 平面 ． 在平面 内，过 作 ． 以 为坐标原点，分别以 、 、 所在直线为 、 、 轴建立空间直角坐标系． 则 ，0， ， ， ， ， ， ，1， ． ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 由 ，取 ，得 ， 设 ，则 ． 由直线 与平面 所成角的正弦值为 ， 可得 ， ， 整理得： ，解得 ， ，即 ， ， ， ， ，0， ， 设平面 的一个法向量为 ， ， ， 由 ，取 ，可得 ， 平面 的一个法向量为 ， ， ， ， ， 平面 与平面 所成角的余弦值为 ． 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属中档题． 16．（2023秋•龙华区校级期中）如图，已知 是圆柱下底面圆的直径，点 是下底面圆周上异于 ， 的动点， ， 是圆柱的两条母线． （1）求证：平面 平面 ； （2）若 ， ，圆柱的母线长为 ，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值． 【分析】（1）先证明线面垂直，通过线面垂直得到线线垂直，再证线面垂直，最后得到面面垂直即可； （2）过 作圆柱的母线 ，连接 ， ，证明 为平面 与平面 所成的二面角的平面角，再结合题设条件即可求解． 【解答】解：（1）证明：因为 是底面的一条直径， 是下底面圆周上异于 ， 的动点， 所以 ， 又因为 是圆柱的一条母线，所以 底面 ， 而 底面 ，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ，且 ， 所以 平面 ， 又因为 ，所以平面 平面 ； （2）如图所示， 过 作圆柱的母线 ，连接 ， 因为底面 上底面 ，所以即求平面 与平面 所成锐二面角的大小， 因为 ， 在底面的射影为 ， ，且 为下底面的直径，所以 为上底面的直径， 因为 是圆柱的母线，所以 平面 ， 平面 ，所以 ， 又因为 为上底面的直径，所以 ， ，所以 平面 ， 平面 ， 所以 ， 而平面 平面 ， 所以 为平面 与平面 所成的二面角的平面角， 又因为 在底面射影为 ，所以 ， ， 所以 ，又因为母线长为 ，所以 ， 又因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 即平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 ． 【点评】本题考查了空间中平面与平面垂直的判定，考查了求二面角大小的，考查了数形结合思想，属于中档题． 17．（2023秋•江西期中）如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形，且 ， ， ， ，正三角形 所在平面与平面 垂直， ， 分别为 ， 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的平面角的余弦值． 【分析】由面面垂直的性质定理结合条件可得 ， ， 两两互相垂直，建立空间直角坐标系，再由向量法证明直线与平面垂直即可； （2）由向量法求二面角即可． 【解答】证明：（1）取 的中点 ，连接 ，因为 为 的中点，则 ， 因为 为正三角形， 为 的中点，则 ， 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ，则 ， ， 两两互相垂直， 以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为 ， ，所以 ， 则 ，0， ， ，0， ， ，0， ， ， ， ， ， ，0， ， ， 所以 ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，解得 ， 取 ，则 ，所以 ， 印 ，即 ，所以 平面 ； 解：（2）由（1）知， ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，解得 ， 令 ，则 ， ，所以 ， 由题可得，平面 的一个法向量为 ， 设二面角 的平面角为 ，由图可知， 为锐角， 所以 ． 【点评】本题考查线面垂直的证明和二面角的求法，属于中档题． 18．（2023秋•大武口区校级期中）四边形 为菱形， 平面 ， ， ， ． （1）设 中点为 ，证明： 平面 ； （2）求平面 与平面 的夹角的大小． 【分析】（1）推导出 ， ，由此能证明 平面 ； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解． 【解答】解：（1）证明：四边形 为菱形，且 ，所以 ． 因为 ，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 ． 又 ， ， 平面 ， 所以 平面 ； （2）设 交 于点 ，取 中点 ，连接 ，所以 ， 底面 ．以 为原点，以 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系， 因为 ，所以 ， 所以 ， ， ，1， ， ，1， ， ， ， ， ， ， ， 所以 ， ，1， ， 设平面 的一个法向量为 ， ， ， 则 ，令 ，得 ，1， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， ， ， 则 ，令 ，得 ， ， ， 所以 ， 所以平面 与平面 的夹角的大小为 ． 【点评】本题考查线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，要明确的是二面角等于两个平面法向量所成角或所成角的补角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．（2023秋•博罗县期中）如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为2和4的正方形， ，且 底面 ，点 、 分别在棱 、 上． （1）若 是 的中点，证明： ； （2）若 平面 ，二面角 的余弦值为 ，求四面体 的体积． 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和两条直线的方向向量的坐标，然后利用空间向量垂直的坐标表示证明即可； （2）利用待定系数法求出平面 的法向量，由向量的夹角公式，列式求出点 的坐标，设 ，求出点 的坐标，利用 平面 ，求出点 的坐标，将四面体 视为以 为底面的三棱锥 ，由体积公式求解即可． 【解答】（1）证明：由题意， ， ， 两两垂直， 故以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则 ，0， ， ，0， ， ，4， ， ，2， ， ， ， ，其中 ， ， 因为 是 的中点， 则 ，3， ， 所以 ， 又 ， 所以 ， 故 ， 所以 ； （2）解：由题意可知， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，即 ， 令 ，则 ， ， 故 ， 又平面 的一个法向量为 ， 所以 ， 又二面角 的余弦值为 ， 所以 ， 解得 或 （舍 ， 此时 ， 设 ， 因为 ， 所以 ， ， ， 故 ， 因为 平面 ，且平面 的一个法向量为 ， 所以 ，即 ， 解得 ， 则 ， 于是将四面体 视为以 为底面的三棱锥 ，则其高为 ， 故四面体 的体积为 ． 【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的综合应用，涉及了线线垂直证明，二面角的应用以及棱锥体积的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题． 20．（2023秋•天河区校级期中）如图，在三棱柱 中，侧面 是边长为4的正方形， 为矩形， ， ． （1）求证： 平面 ； （2）求平面 与平面 所成角的正弦值； （3）求点 到平面 的距离． 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量求解两平面的夹角余弦值，再由同角三角函数关系可得正弦值； （3）利用法向量方法求点面距． 【解答】解：（1）证明：因为侧面 为正方形， 为矩形， 所以 ， ， 因为 ， ， 平面 ， 所以 平面 ； （2）解：由（1）知， ， ， 由题意知 ， ， ，所以 即 ， 如图，以 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系， 则 ，3， ， ，0， ， ，3， ， ，0， ， ，0， ，连接 ， 所以 ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ，故 ， ， 则 ，即 ， 令 ，则 ， ，可得 ， 设平面 的法向量为 ，故 ， ， 则 ，即 ， 令 ，则 ， ，可得 ， 设平面 与平面 所成角为 ， 则 ， 则 ； 故所求平面 与平面 所成角的正弦值为 ； （3）由（1）知平面 的法向量为 ， ， 则点 到平面 的距离为 ， 故点 到平面 的距离为 ． 【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了平面与平面所成角，考查了点到平面的距离，考查了空间向量的应用，考查了转化思想，属难题． 五．直线的倾斜角（共2小题） 21．（2023秋•潍坊期中）已知直线 经过点 和 ，则 的倾斜角为 　　 A． B． C． D． 【分析】根据直线的斜率公式和倾斜角的关系即可求出． 【解答】解：直线 经过点 和 ， ， 则直线 的斜率 ， ， ． 故选： ． 【点评】本题考查了直线的斜率公式和倾斜角的关系，属于基础题． 22．（2023秋•盐田区校级期中）已知直线 过 ， 两点，且 ，则直线 的倾斜角为 　　 A． B． C． D． 【分析】先利用斜率公式求得直线 的斜率，结合 ，求得 ，得到 ，即可求解． 【解答】解：因为直线 过 ， 两点，可得 ， 又因为 ，所以 ，可得 ， 设直线 的倾斜角为 ，则 ，因为 ，所以 ， 所以直线 的倾斜角为 ． 故选： ． 【点评】本题考查了直线倾斜角的求解，属于基础题． 六．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系（共3小题） 23．（2023秋•滨海新区校级期中）已知直线 ，与 平行，则 的值是 　　 A．0或1 B．1或 C．0或 D． 【分析】先检验当 时，是否满足两直线平行，当 时，两直线的斜率都存在，由 ，解得 的值． 【解答】解：当 时，两直线的斜率都不存在， 它们的方程分别是 ， ，显然两直线是平行的． 当 时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等， 由 ，解得： ． 综上， 或 ， 故选： ． 【点评】本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验，属于基础题． 24．（2023秋•沈阳期中）已知直线 的倾斜角为 ，直线 经过点 ， ，且 与 垂直，直线 与直线 平行， 等于　 　． 【分析】首先由直线 的倾斜角求出其斜率，然后根据 与 垂直求出 的斜率并解得 ，最后由 、 平行解得 ，则 求之． 【解答】解：因为直线 的倾斜角为 ，所以直线 的斜率 ， 又 与 垂直，所以直线 的斜率 ，即 ，解得 ， 且 与 平行，则 ，所以 ， 故 ． 【点评】本题考查直线倾斜角与斜率的关系及两直线平行、垂直时的条件，同时考查斜率公式． 25．（2023秋•大埔县校级期中）若 与 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是 ， ，下列命题是真命题的为 　　 A．若 ，则两条直线的斜率相等 B．若两条直线的斜率相等，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【分析】根据直线与倾斜角的关系，以及平行线的性质，依次判断即可． 【解答】解： 与 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是 ， ， 对于 ，当 时，若 ，但两条直线的斜率不存在，故 错误； 对于 ，若两条直线的斜率相等，且不重合，则 ，故 正确； 对于 ，若 ，则由平行线的性质得 ，故 正确； 对于 ，若 ，则由平行线的性质得 ，故 正确． 故选： ． 【点评】本题考查命题真假的判断，考查直线与倾斜角的关系，以及平行线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 七．直线与圆的位置关系（共6小题） 26．（2023秋•姑苏区校级期中）已知圆 上有四个点到直线 的距离等于1，则实数 的取值范围为 　　 A． B． C． D． 【分析】若圆上有4个点到直线的距离等于1，则 到直线 的距离 小于1，代入点到直线的距离公式，可得答案． 【解答】解：由圆的方程 ，可得圆心为原点 ，半径为2， 若圆上有4个点到直线 的距离等于1，则 到直线 的距离 小于1， 又直线的一般方程为 ， 所以 ，解得 ， 所以实数 的取值范围为 ． 故选： ． 【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题． 27．（2023秋•沈阳期中）当圆 的圆心到直线 的距离最大时， 　　 A． B． C． D． 【分析】直线 过定点 ，从而圆 的圆心到直线 的距离最大值为 ，当圆 的圆心到直线 的距离最大时， ，由此能出结果． 【解答】解：圆 的圆心 到直线 的距离： ， 直线 转化为： ， 直线 过定点 ， 圆 的圆心到直线 的距离最大值为： ， 当圆 的圆心到直线 的距离最大时， ，解得 ． 故选： ． 【点评】本题考查数值的求法，考查直线恒过定点、圆、直线方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题． 28．（2023秋•新疆期中）已知直线 与圆 交于 ， 两点，当 最小时，过 ， 分别作 的垂线与 轴交于 ， 两点，则 　　 A． B． C． D． 【分析】由题意可得直线 过定点 ，进而可得 ，可得 ，利用 可求结论． 【解答】解：如图，由题意得 ， 由 ，得 ，所以 过定点 ． 设 与 轴交于点 ，当 最小时，则 ，可得 ，所以 ， 则 ， ，因为 ， 所以 ．在 中， ， 在 中， ， 所以 ． 故选： ． 【点评】本题考查直线过定点问题，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，属中档题． 29．（2023秋•杏花岭区校级期中）已知点 是直线 和 ， ， 的交点，点 是圆 上的动点，则 的最大值是 　 　． 【分析】根据题意分析直线 ， 分别过定点 ， ，点 的轨迹是以 为直径的圆，结合圆的性质运算求解． 【解答】解：因为直线 ，即 ， 令 ，解得 ，可知直线 过定点 ， 同理可知：直线 过定点 ， 又因为 ，可知 ， 所以直线 与直线 的交点 的轨迹是以 的中点 ，半径 的圆， 因为圆 的圆心 ，半径 ， 所以 的最大值是 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线过定点问题，考查运算求解能力，属中档题． 30．（2023秋•鼓楼区校级期中）月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见．某学习小组通过单光源实验来演示月球背面．由光源点 射出的两条光线与 分别相切于点 ， ，称两射线 ， 上切点上方部分的射线与优弧 上方所夹的平面区域（含边界）为圆 的“背面”．若以点 为圆心， 为半径的圆处于 的“背面”，则 的最大值为 　 　． 【分析】设过 点的切线方程为 ，根据圆心到直线的距离等于半径求出 ，即可得到直线 、 的方程，从而求出 的取值范围，当圆 与圆 外切且圆 与 （或 相切时， 取最大值，从而求出 的最大值，即可得解． 【解答】解：如图， 设过 点的切线方程为 ，所以 ，解得 ， 所以直线 的方程为 ，即 ，令 ，解得 ， 直线 的方程为 ，即 ，令 ，解得 ， 因为圆 处于圆 的“背面”， 所以 ． 当圆 与圆 外切且圆 与 （或 相切时， 取最大值， 由圆 与圆 外切得 ，圆 与 相切时 又 ，所以 ，所以 ， 即 ，解得 或 ，结合 ， 所以 ，所以 的最大值为 ， 同理圆 与 相切时 的最大值为 ， 综上可得 的最大值为 ． 故答案为： ． 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，属于中档题． 31．（2023秋•三明期中）已知圆 的圆心为 ，半径为3， 是过点 的直线． （1）判断点 是否在圆上，并证明你的结论； （2）若圆 被直线 截得的弦长为 ，求直线 的方程． 【分析】（1）利用已知可求得圆的方程，代入点 的坐标可判断点 不在圆上； （2）当直线 的斜率不存在时，可得直线 的方程为 ，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，由垂径定理可得 ，可求 ，进而可求直线 的方程． 【解答】解：（1）点 不在圆上， 理由如下：由圆 的圆心为 ，半径为3， 圆的方程为 ， 又 ， 故点 不在圆上； （2）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ， 圆心到直线的距离为2，弦长为 ，符合题意， 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， 圆心到直线的距离 ， 圆 被直线 截得的弦长为 ， ， 解得 ， 切线方程为 ，即 ， 综上所述：直线 的方程为 或 ． 【点评】本题考查求圆的方程，考查利用弦长求直线的方程，考查运算求解能力，属基础题． 八．椭圆的几何特征（共9小题） 32．（2023秋•徐州期中）设椭圆 ， 的离心率分别为 ， ，若 ，则 　　 A． B． C． D． 【分析】利用椭圆 的方程可求其离心率 ，进而可求 ，可求 ． 【解答】解：由椭圆 可得 ， ， ， 椭圆 的离心率为 ， ， ， ， ， 舍去）． 故选： ． 【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属基础题． 33．（2023秋•沙坪坝区校级期中）已知椭圆 的离心率为 ，则 　　 A． B．1 C．3 D．4 【分析】由题意可得 ， ，利用离心率的计算公式即可求解． 【解答】解：椭圆 ，可得 ， ， 所以该椭圆的离心率 ， 则 ． 故选： ． 【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题． 34．（2023秋•徐州期中）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔 蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆 的蒙日圆方程为 ．若圆 与椭圆 的蒙日圆有且仅有一个公共点，则 的值为 　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意先写出椭圆的蒙日圆方程，然后根据条件判断出两圆内切或外切，由此列出方程求解出结果． 【解答】解：由题意可知 的蒙日圆方程为 ， 因为圆 与圆 仅有一个公共点， 所以两圆内切或外切，故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值， 所以 或 ， 由此解得 ． 故选： ． 【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了两圆的位置关系，考查计算能力，是基础题． 35．（2023秋•榆次区校级期中）已知 、 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 　　 A． B． C． D． 【分析】 在 为直径的圆上，即 ，根据 得到离心率范围． 【解答】解：因为 ，故 在 为直径的圆上，即 ， 圆在椭圆内部，故 ， ， 故 ． 故选： ． 【点评】本题考查椭圆的性质的应用，属于中档题． 36．（2023秋•湖北期中）已知椭圆 以及椭圆内一点 ，则以 为中点的弦所在直线的斜率为 　　 A． B． C． D．4 【分析】设出交点代入椭圆方程，相减化简得到答案． 【解答】解：设弦与椭圆交于 ， ， ， ，斜率为 ， 则 ， ，相减得到 ， 即 ，解得 ． 故选： ． 【点评】本题考查椭圆的几何性质，点差法应用，属中档题． 37．（2023秋•四平期中）如图， ， 分别是椭圆 的左、右顶点，点 在以 为直径的圆 上（点 异于 ， 两点），线段 与椭圆 交于另一点 ，若直线 的斜率是直线 的斜率的4倍，则椭圆 的离心率为 　　 A． B． C． D． 【分析】设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，从而可得直线 的斜率为 ，即直线 的斜率为 ，再根据椭圆的几何性质易得 ，从而建立方程，最后再化归转化，即可求解． 【解答】解：设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ， 又易知 ， 直线 的斜率为 ， 即直线 的斜率为 ， 设 ，则 ， ， 又 ， ， ， ， ， 椭圆 的离心率为 ． 故选： ． 【点评】本题考查椭圆的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题． 38．（2023秋•重庆期中）已知 、 为椭圆 的左、右焦点，点 为该椭圆上一点，且满足 ，若△ 的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为 　 　． 【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得 ，再根据正弦定理可知外接圆半径 ，由等面积法可知内切圆半径 ，再根据面积比即可计算出离心率 ． 【解答】解：根据题意画出图象如图所示： 利用椭圆定义可知 ，且 ， 又 ， 利用余弦定理可知： ， 化简可得 ， 所以△ 的面积为 ， 设△ 的外接圆半径为 ，内切圆半径为 ， 由正弦定理可得 ， 可得 ， 易知△ 的周长为 ， 利用等面积法可知 ， 解得 ， 又△ 的外接圆面积是其内切圆面积的64倍， 即 ， 所以 ， 可得 ， 所以 ， 离心率 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了求解椭圆焦点三角形外接圆与内切圆半径问题，通常利用正弦定理计算外接圆半径，重点考查了等面积法公式求三角形内切圆半径，属中档题． 39．（2023秋•罗湖区校级期中）已知椭圆 的左、右两焦点分别是 、 ，其中 ．椭圆 上存在一点 ，满足 ，则椭圆的离心率的取值范围是 　 　． 【分析】由 易知 点在以 为圆心，半径为 的圆上，即可得圆 与椭圆 有交点，需满足 ，可得离心率 ． 【解答】解：设 ， ，则由 可得： ， 可得 ，即 点在以 为圆心，半径为 的圆上； 又 点在椭圆上，即可得圆 与椭圆 有交点， 根据对称性可知 ，即 ， 所以可得离心率 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查椭圆的几何性质，化归转化思想，属中档题． 40．（2023秋•福建期中）如图， 、 分别是椭圆： 的左、右焦点， 是椭圆 的顶点， 是直线 与椭圆 的一个交点， （1）求椭圆 的离心率； （2）已知△ 的面积为 ，求椭圆方程． 【分析】（1）通过 及对称性即得结论； （2）通过设 ，则 ，利用余弦定理可得 ，利用 ，计算可得 ，进而计算可得结论． 【解答】解：（1） ， ， 又 为直角三角形， ， 即椭圆 的离心率 ； （2）设 ，则 ， 又 ， ， 即 ， 整理得： ， ， △ 面积 ， ， 即 ， 整理得： ， 解得： ， ， ， 椭圆方程为： ． 【点评】本题考查椭圆的简单性质，涉及余弦定理、三角形面积公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题． 九．直线与椭圆的综合（共9小题） 41．（2023秋•盐田区校级期中）已知椭圆 的左焦点为 ，点 在 上． （1）求椭圆 的方程； （2）过 的两条互相垂直的直线分别交 于 ， 两点和 ， 两点，若 ， 的中点分别为 ， ，证明：直线 必过定点，并求出此定点坐标． 【分析】（1）由题意，确定焦点得到 ，解得 ， ，得到椭圆方程． （2）考虑斜率存在和不存在的情况，设出直线，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，确定中点坐标得到直线 的方程，取 代入计算得到答案． 【解答】解：（1）因为椭圆的左焦点为 ， 所以 ， 此时右焦点为 ， 因为点 在椭圆上， 将 代入椭圆 的方程中， 得到 ， 即 ， 又 ， 解得 ， （舍去负值）， 则椭圆方程为 ； （2）证明：当两条直线斜率存在时， 不妨设 的直线方程为 ， ， ， ， ， 联立 ，消去 并整理得 ， 此时△ ， 易知 ， ， 即 ， 同理可得 ， 所以 ， 则直线 的方程为 ， 令 ， 解得 ， 则直线过定点 ； 当直线斜率不存在时， 为 轴，恒过点 ． 综上，直线 必过定点 ． 【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题． 42．（2023秋•钦州期中）椭圆 的离心率 ，且椭圆 的长轴长为4． （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 过点 ，且与椭圆 相交于 ， 两点，又点 是椭圆 的下顶点，当 面积最大时，求直线 的方程． 【分析】（1）根据椭圆几何性质求解即可； （2）设 ， ， ， ，直线 ，并联立直线和椭圆方程求出 ， ，再将 面积表达出即可利用求函数最值的方法求出直线． 【解答】解：（1）由题意得： ，解得 ， 则 ， 椭圆 的方程为： ； （2）由（1）可知 ， ， ， 由题意可知直线斜率必存在，设直线 ，设 ， ， ， ， 联立 ，整理可得： ， △ ， ， ， ， ， 令 ，可得 ， ， 则 ， 又 在 单调递增， 当 ，即 ，即 时， 面积最大． 此时直线 ． 【点评】本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，对勾函数的性质的应用，属于中档题． 43．（2023秋•江西期中）已知椭圆 过点 ，离心率为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）已知 的下顶点为 ，不过 的直线 与 交于点 ， ，线段 的中点为 ，若 ，试问直线 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【分析】（1）由椭圆 过点 ，离心率为 ，列方程组，求出 ， ，由此能求出椭圆方程． （2）推导出 ，设 的方程为 ， ， ， ， 联立 ，消去 ，整理得 ，根据韦达定理、向量数量积公式，结合椭圆性质能求出直线 恒过定点，定点坐标为 ． 【解答】解：（1） 椭圆 过点 ，离心率为 ， 依题意，得 ，解得 ， ， 所以椭圆方程为 ． （2）因为 ， ，所以 ， ， 又 为线段 的中点，所以 ，因此 ， 根据题意可知直线 的斜率一定存在， 设 的方程为 ， ， ， ， 联立 ，消去 ，整理得 ， △ ， 根据韦达定理可得 ， ， 因为 ， ， ， ， ， 所以 ， ， ， 所以 ， 整理得 ，解得 或 ， 又直线 不经过点 ，所以 舍去， 于是直线 的方程为 恒过定点 ，该点在椭圆 内，满足△ ， 所以直线 恒过定点，定点坐标为 ． 【点评】本题考查直线与椭圆、根的判别式、韦达定理、弦长公式、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 44．（2023秋•佳木斯期中）已知椭圆 的两个焦点分别为 ，且椭圆 过点 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）过点 作直线 交椭圆于 ， 两点， 是弦 的中点，求直线 的方程． 【分析】（1）根据焦点坐标设椭圆方程 ，将 代入椭圆方程，结合 即可求解； （2）设直线 的方程为 ，联立直线与椭圆方程，得出 ，再由中点坐标知 ，求出 值，即可得到直线 的方程． 【解答】解：（1）椭圆 的两个焦点分别为 ， 设椭圆 的标准方程为 ，且 ， 则 ①， 又椭圆 过点 ，所以 ②， 联立①②，解得 ， ， 所以椭圆 的标准方程为 ． （2）由题意可知直线 的斜率存在，且直线 过点 ， 设直线 的方程为 ，即 ， 设 ， ， ， ， 则 ，消去 得 ， ， 所以 ， 又 是弦 的中点，所以 ，解得 ， 故直线 的方程为 ． 【点评】本题考查了利用待定系数法求椭圆的标准方程，椭圆的性质和直线与椭圆的综合，考查了方程思想和转化思想，属中档题． 45．（2023秋•东安区校级期中）椭圆 的离心率是 ，点 ， 是椭圆 上一点，过点 的动直线 与椭圆相交于 ， 两点． （1）求椭圆 的方程； （2）求 面积的最大值； （3）在平面直角坐标系 中，是否存在与点 不同的定点 ，使 恒成立？存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）代入公式即可；（2）将 面积表示出来，然后将根与系数的关系代入，转化成求分式函数的最值；（3）分类讨论存在与点 不同的定点 ，使 恒成立． 【解答】解：（1）根据题意，得 ，解得 ， ， ，椭圆 的方程为 ； （2）依题意，设 ， ， ， ，设直线 为 ，联立 ，消去 ， 得 ，△ 恒成立， ， ， 所以 ， 令 ， ， ， 当且仅当 ，即 时取得等号，综上可知， 面积的最大值为 ； （3）结论：存在与点 不同的定点 ，使得 恒成立．理由如下： 当直线 与 轴平行时，设直线 与椭圆相交于 、 两点， 如果存在定点 满足条件，则有 ，即 ， 点在直线 轴上，可设 ， 当直线 与 轴垂直时，设直线 与椭圆相交于 、 两点，如果存在定点 满足条件， 则 ，即 ，解得 或 ， 若存在不同于点 的定点 满足条件，则 点坐标只能是 ； 当直线 不平行于 轴且不垂直与 轴时，可设直线 的方程为 ， 联立 ，消去 并整理得： ， △ ， ， ， 又点 关于 轴对称的点 的坐标为 ， ， 又 ， ， 则 、 、 三点共线， ； 故存在与点 不同的定点 ，使得 恒成立． 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，属于难题． 46．（2023秋•郫都区校级期中）已知 ， 为椭圆 的左、右顶点，且椭圆 过点 ． （1）求 的方程； （2）过左焦点 的直线 交椭圆 于 ， 两点（其中点 在 轴上方），求 的取值范围． 【分析】（1）由题意得 ，把 代入椭圆方程可得答案； （2）①当 斜率不存在时，易知 ；②当 斜率存在时，设 ， ， ， ， ，与椭圆方程联立，求出 、 ，由 ，利用韦达定理可得 ，设 ，转化为 ，可得答案． 【解答】解：（1）由题意得 ，把 代入 ， 解得 ， 所以 的方程为 ； （2）由（1）知： ， ， ①当 斜率不存在时，易知 ； ②当 斜率存在时，设 ， ， ， ， ， 由 ，得 ，显然△ ， 所以 ， ， 因为 ， ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 又 ， 设 ，则 ， ，解得 且 ， 所以 ， 因为 ，可得 的取值范围为 ． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的综合应用，属难题． 47．（2023秋•沈阳校级期中）已知椭圆 的一个焦点为 ，且过点 ． （1）求椭圆 的方程； （2）直线 与椭圆 交于 ， 两点，求 面积的最大值及此时直线 的方程． 【分析】（1）将 坐标代入椭圆方程，再结合 ， 可求出 ， ，从而可求得椭圆方程； （2）将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，结合弦长公式和点到直线的距离公式即可求出 面积的最大值及此时直线 的方程． 【解答】解：（1）由题意得 ，解得 ， ， 所以椭圆 的方程为 ． （2）设 ， ， ， ， 由 ，得 ， 因为直线 与椭圆 交于 ， 两点， 所以△ ，解得 ， 所以 ， 所以 ， 因为点 到直线 的距离为 ， 所以 的面积为 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 面积的最大值为 ，此时直线 的方程为 ． 【点评】此题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将直线方程代入椭圆方程化简结合根与系数的关系求解，考查计算能力，属于较难题． 48．（2023秋•松北区校级期中）已知椭圆 的焦距为2，且经过点 ． （1）求椭圆 的方程； （2）经过椭圆右焦点 且斜率为 的动直线 与椭圆交于 、 两点，试问 轴上是否存在异于点 的定点 ，使 恒成立？若存在，求出 点坐标，若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据椭圆的焦距以及经过点 ，求得 ， ， ，即可求得椭圆方程； （2）转化 为 ，设出直线 方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，即可求得结果． 【解答】解：由椭圆 的焦距为2，故 ，则 ， 又由椭圆 经过点 ，代入 得 ，得 ， ， 所以椭圆 的方程为： ． （2）根据题意，直线 的斜率显然不为零，令 由椭圆右焦点 ，故可设直线的方程为 ， 与 联立得， ， 则△ ， 设 ， 设存在点 ，设 点坐标为 ， 由 ，得 ， 又因为 ， 所以 ， ， 所以直线 和 关于 轴对称，其倾斜角互补，即有 ， 则： ，所以 ， 所以 ， ， 即 ，即 ， 解得 ，符合题意， 即存在点 满足题意． 【点评】本题考查直线与椭圆的综合，考查学生的综合能力，属于难题． 49．（2023秋•惠来县校级期中）已知椭圆 的离心率为 ，其右焦点到直线 的距离为 ． （Ⅰ）求 的方程； （Ⅱ）．若点 为椭圆 的上顶点，是否存在斜率为 的直线 ，使 与椭圆 交于不同的两点 ， ，且 ？若存在，请求出 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意可得： ， ， ，联立解得 ， ， ，即可得出椭圆 的方程． （2）存在斜率为 的直线 ，使 与椭圆 交于不同的两点 ， ，且 ，下面给出证明：设直线 的方程为： ，设 ， ， ， ，线段 的中点 ， ，与椭圆方程联立化为： ，△ ，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得 ，根据 ，可得 垂直平分线段 ，可得 ，进而得出结论． 【解答】解：（1）由题意可得： ， ， ， 联立解得 ， ， ， 椭圆 的方程为： ． （2）存在斜率为 的直线 ，使 与椭圆 交于不同的两点 ， ，且 ，下面给出证明： 设直线 的方程为： ，设 ， ， ， ，线段 的中点 ， ， 联立 ，化为： ， △ ，化为： ， ， ， ， ，即 ， ， ， 垂直平分线段 ， ，即 ， 化为： ， 代入 可得： ， 化为 ， 解得 ． 的取值范围是 ． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系及其判别式、中点坐标公式、垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 一十．双曲线的几何特征（共5小题） 50．（2023秋•明光市校级期中）已知双曲线 的左，右焦点分别是 ， ，点 在双曲线 上，且 ，则双曲线 的方程是 　　 A． B． C． D． 【分析】根据双曲线定义求解即可． 【解答】解：由题意可知 ， ，解得 ， ， 所以双曲线 的方程是 ． 故选： ． 【点评】本题主要考查双曲线的定义，考查计算能力，属于基础题． 51．（2023秋•沈阳期中）如图，已知 ， 是双曲线 的左、右焦点， ， 为双曲线 上两点，满足 ，且 ，则双曲线 的离心率为 　　 A． B． C． D． 【分析】延长 与双曲线交于点 ，易得 ，设 ，结合双曲线定义得 ，进而在△ 中应用勾股定理得到齐次方程，即可得离心率． 【解答】解：延长 与双曲线交于点 ，因为 ，根据对称性知 ， 设 ，则 ， ，可得 ，即 ， 所以 ，则 ， ， 即 ，可知 ， 在△ 中，由勾股定理得 ，即 ，解得 ． 故选： ． 【点评】本题主要考查双曲线离心率的求解，考查计算能力和转化思想，属于中档题． 52．（2023秋•永定区校级期中）设 ， 是双曲线 的左，右焦点，过点 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 ，则双曲线 的离心率为 　　 A． B． C．3 D． 【分析】先根据点到直线的距离公式求出 ，在 中，求出 ，在△ 中，利用余弦定理构造 ， ， 的齐次式，即可得解． 【解答】解： ， 在 中， ， 在△ 中，由余弦定理得 ， 即 ， 所以 ，所以 ， 所以 ． 故选： ． 【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题． 53．（2023秋•湖南期中）已知双曲线 ， 和 分别为实轴的右端点和虚轴的上端点，过右焦点 的直线 交 的右支于 ， 两点．若存在直线 使得点 为 的重心，则 的离心率为 　　 A． B． C．2 D． 【分析】由已知得 ， ，点 为 的重心时，可得 中点 ．设 ， ， ， ，然后利用点差法求得 ，再结合 ， ， ， 四点共线，利用直线的斜率的关系列式求解． 【解答】解：依题意， ， ． 点 为 的重心时， 中点 ． 设 ， ， ， ， 则 ， ． 两式作差得： ， 可得 ，其中， ． 又 ， ， ， 四点共线， ． 故 ，解得 ，故 ． 故选： ． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，训练了“点差法”的应用，考查运算求解能力，是中档题． 54．（2023秋•碑林区校级期中）已知焦点为 ， 的双曲线 的离心率为 ，点 为 上一点，且满足 ，若△ 的面积为 ，则双曲线 的实轴长为 　　 A．2 B． C． D． 【分析】由双曲线定义可得 ， ，应用余弦定理及已知有 ，最后由三角形面积公式列方程求 ，即得实轴长． 【解答】解：设 ，则 ，故 为双曲线参数）， 所以 ， ，故 ， 而 ，则 ，则 ， ， 所以 ，故 ， 则 ，故长轴长 ． 故选： ． 【点评】本题主要考查双曲线的性质应用，考查计算能力，属于中档题． 一十一．直线与双曲线的综合（共6小题） 55．（2023春•伊犁州期中）已知双曲线 的实轴长为2，右焦点为 ． （1）求双曲线 的方程； （2）已知直线 与双曲线 交于不同的两点 ， ，求 ． 【分析】（1）根据实轴长可求 ，根据焦点坐标可求 ，然后可得方程； （2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案． 【解答】解：（1）由已知 ， ， 又 ，则 ， 所以双曲线方程为 ； （2）由 ，得 ， 则△ ， 设 ， ， ， ，则 ， ， 所以 ． 【点评】本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于中档题． 56．（2023秋•香坊区校级期中）已知双曲线 的右焦点为 ，且 的一条渐近线恰好与直线 垂直． （1）求 的方程； （2）直线 与 的右支交于 ， 两点，点 在 上，且 轴．求证：直线 过点 ． 【分析】（1）由题意，结合焦点坐标以及渐近线方程，列出等式，进而可得 的方程； （2）设出 ， 两点的坐标，得到点 的坐标，推出 的取值范围，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理，根的判别式以及向量的数量积运算再进行求证即可． 【解答】解：（1）已知双曲线 的右焦点为 ，且 的一条渐近线恰好与直线 垂直， 所以 ， 解得 ， 所以双曲线 的方程为 ； （2）证明：易知直线 的斜率存在且不为0，所以 ， 不妨设 ， ， ， ， 因为点 在 上，且 轴， 所以 ， ， 由（1）知双曲线 的渐近线为 ， 又直线 与双曲线 的右支交于 ， 两点， 所以 ， 可得 ， 联立 ，消去 并整理得 ， 此时△ ， 解得 ， 由韦达定理得 ， ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， ， 则 ， 可得 ， 因为 ， 有公共点 ， 所以 ， ， 三点共线， 故直线 过点 ． 【点评】本题考查双曲线的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力． 57．（2023秋•邯郸期中）已知双曲线 的左顶点为 ，不与 轴平行的直线 过 的右焦点 且与 交于 ， 两点．当直线 垂直于 轴时， ． （1）求双曲线 的方程； （2）若直线 ， 分别交直线 于 ， 两点，求证： ， ， ， 四点共圆． 【分析】（1）由题意，可得 ，求出 ， 的值，进而可得椭圆方程； （2）对直线 斜率是否存在进行讨论，设直线 的方程为 ，将直线 的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得 ， ，得到直线 ， ，求出 ， 两点坐标，结合韦达公式求出 ，判断 是否成立即可证结论． 【解答】解：（1）因为椭圆 的左顶点为 ，当直线 垂直于 轴时， ， 所以 ， 解得 ， 则双曲线 的方程为 ； （2）证明：当直线 斜率存在时， 不妨设直线 的方程为 ， ， ， ， ， 联立 ，消去 并整理得 ， 此时△ ， 解得 ， 由韦达定理得 ， ， 所以 ， 此时直线 ， 可得 ， 同理得 ， 记直线 交 轴于点 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 当直线 斜率不存在时， 不妨设 ， ， 可得 ， ， 所以 ， 所以 ， ， ， 四点共圆． 【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力． 58．（2023秋•宜丰县校级期中）已知双曲线 的焦距为 ，离心率 ． （1）求双曲线 的方程； （2）设 ， 为双曲线 上异于点 的两动点，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，若 ，求证：直线 过定点． 【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合双曲线焦距定义进行求解即可； （2）设出直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根的判别式、根与系数关系，结合直线斜率公式进行求解即可． 【解答】解：（1）因为双曲线 的焦距为 ，离心率 ， 所以有 ，解得 ， 则双曲线的方程为 ； （2）证明：由题意可知，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ， 联立 ，消 并整理可得 ， 设 ， ， ， ，则有 ， 显然 的坐标为 ， 所以由 ， 则 ， 把 代入上式，得 ， 所以 ， 解得 或 ， 当 时，直线方程为 ，过定点 ， 当 时，直线方程为 ，过定点 ，不符合题意， 因此直线 过定点 ． 【点评】本题考查双曲线的标准方程及其性质，考查直线与双曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题． 59．（2023秋•礼泉县期中）已知双曲线 的右顶点为 ，且双曲线 的一条渐近线恰好与直线 垂直． （Ⅰ）求双曲线 的方程； （Ⅱ）若直线 与双曲线 的右支交于 ， 两点，点 为双曲线 的右焦点，点 在双曲线 上，且 轴．求证：直线 过点 ． 【分析】（Ⅰ）由已知结合双曲线的性质及直线垂直的斜率关系即可求解； （Ⅱ）联立直线与双曲线方程，结合方程的根与系数关系及向量平行的坐标表示可证 ，再由向量平行与点共线的转化即可． 【解答】解： 由右顶点为 ，得 ， 由双曲线 的一条渐近线恰好与直线 垂直， 得 ，即 ， ， 双曲线 的方程为 ． 证明：（Ⅱ）由 可知，右焦点 的坐标为 ， 由题意可知直线 的斜率存在且不为0， ， 设 ， ， ， ，则 ， ， 由 可知，双曲线 的渐近线方程为 ， 又直线 与双曲线 的右支交于 ， 两点， 则 ，即 ，且直线过定点 ， 联立 与 消去 得 ， 则△ ，得 ， ， ， 则 ， 又 ， ， ， ， ，又 ， 有公共点 ， ， ， 三点共线， 直线 过点 ． 【点评】本题主要考查了双曲线的性质在双曲线方程求解中的应用，直线与曲线位置关系的应用，还考查了向量共线与点共线转化关系的应用，属于中档题． 60．（2023秋•四平期中）如图，已知点 和点 在双曲线 上，双曲线 的左顶点为 ，过点 ， 且不与 轴重合的直线 与双曲线 交于 ， 两点，直线 ， 与圆 分别交于 ， 两点． （1）求双曲线 的标准方程； （2）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的值； （3）证明：直线 过定点． 【分析】（1）由已知可得 ，求解即可； （2）设直线 ，其中 ， ， ， ， ，联立方程组可得 ， ．可求得 的值； （3）设直线 的方程为 ， ， ， ， ，联立方程组可得 ， ，结合（2）可得 ，可证直线 过定点． 【解答】解：（1）由题意可得 ，解得 ， ， 所以双曲线 的标准方程为 ； （2）设直线 ，其中 ， ， ， ， ， 联立方程组 ，整理得 ， 由于 ，且△ ， 所以 ， ． 因为直线 的斜率 ， 的斜率 ， 所以 ， ， 所以 ， 即 为定值为 ． （3）证明：设直线 的方程为 ， ， ， ， ， 由 ，可得 ， 所以 ， ， 所以 ， 又 ， ， 或 ， 当 时， ，直线过定点 ，不符合题意， 当 时， ，直线过定点 ，符合题意， 所以直线 过定点． 【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查方程思想，考查运算求解能力，属难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$