专题08 锐角三角函数重难点模型（四大模型）五大模型）-2024-2025学年九年级数学下册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题08 锐角三角函数重难点模型（四大模型） 【题型01：背靠背模型】 【题型02：母子型】 【题型03：三角形+矩形模型】 【题型04：拥抱型】 【题型01：背靠背模型】 【方法点拨】 通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键.在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD为公共边，AD+BD=AB.图形演变及对应的数量关系如下： 特别提醒：”背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高 【典例1】过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角． (1)求点 D到地面 的距离； (2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据) 【答案】(1)点D到地面BC的距离为 ； (2)改建后需占路面宽度 的长为 【分析】本题考查了坡度坡角的知识，解答本题的关键是理解坡度坡角的定义，掌握坡度坡角的正切值． （1）作于点，根据坡度的概念求出； （2）过点A作，根据坡角的度数和铅直高的长求出水平宽、的长，进而可由求得的长． 【详解】（1）作于点， ， ∵斜面的坡度为 ， , , 答：点到地面的距离为； （2）作 于点， ∵天桥斜面的坡角， ， ∵斜面的坡角， ， ， , 答：此改建需占路面的宽度的长约为． 【变式1-1】如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高米，坝顶宽米， (1)求大坝横截面的面积； (2)求大坝横截面的周长．（坡比指斜坡竖直距离与水平距离的比值） 【答案】(1)2800 (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． （1）首先根据坡度的概念求出米，米，进而求解即可； （2）首先根据勾股定理求出，，进而求解即可． 【详解】（1）∵迎水坡的坡比为，米， ∴，即 ∴米； ∵背水坡的坡比为，米， ∴，即 ∴米 ∴大坝横截面的面积为； （2）∵，米，米， ∴米 ∵，米，米 ∴米 ∴周长为米． 【变式1-2】如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进米到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（计算结果精确到1米，参考数据：）． 【答案】古树的高度约为11米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为．延长交的延长线于点，根据题意可得：，，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为．延长交的延长线于点， 由题意得：，， 斜坡的坡度为， ， 设米，则米， 在中，（米）， 米， ， 解得：， 米， 在中，， （米）， 在中，， （米）， （米）， 古树的高度约为11米． 【变式1-3】如图，为了测量风景区中一座塔的高度，某数学兴趣小组在斜坡上的点处，用测角仪测得塔顶部的仰角为，用皮尺测得坡的长15米，已知坡的坡比为，请你帮助该数学兴趣小组计算这座塔的高度． 【答案】这座塔的高度为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点分别作地面和的垂线，垂足分别为，证明四边形是矩形，利用坡比的定义结合勾股定理求得，，在中，利用正切函数的定义即可求解． 【详解】解：过点分别作地面和的垂线，垂足分别为，如图， ∵，∴四边形是矩形， ∴，， ∵坡的坡比为， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∵的长15米， ∴，解得， ∴，， 在中，，， ∴， ∴（米）， 答：这座塔的高度为米． 【变式1-4】如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度米，坡面的倾斜角，距点8米处有一建筑物，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面的坡度，把倾斜角由45°减至30°，即使得新坡面的倾斜角为．    (1)求新坡面的长度； (2)试求新坡面底部点到建筑物的距离． 【答案】(1)米； (2)米 【分析】（1）先解求出米，再解求出解题即可； （2）在中利用勾股定理解得米，然后利用求出距离即可． 【详解】（1）∵ 米, ∴, ∴(米), ∵, ∴米， 答：新坡面的长度为米； （2）在中， 米， ∴米， 答：新坡面底部点到建筑物的距离米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确求出的长是解题的关键． 【题型02：母子型】 【方法点拨】 通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DBC中，BC为公共边，AD+DC=AC.图形演变及对应的数量关系如下： 特别提醒：”母子“型的关键是找到两个直角三角形外的公共高 【典例2-1】郑州大学西北角附近，连霍高速公路上下口，耸立着雕塑“郑州高新，礼仪之门”，数学应用小组想使用皮尺和自制的测角仪利用所学的数学知识测量它的高度．如图所示，他们在地面上架设测角仪，先在点M处测得“郑州高新，礼仪之门”最高点A的仰角，然后沿方向前进到达点N处，测得点A的仰角（点M，N，B在一条直线上），测角仪的高度为．请利用同学们的测量数据求“郑州高新，礼仪之门”最高点A距离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】“郑州高新，礼仪之门”的高度约为． 【分析】延长交于点，设，在中，，可得，则，在中，求出的值即可求解． 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 【详解】解：延长交于点， 由题意得，，， 设， 在中，， ， ∴， 在中，， 解得：， ∴． ∴“郑州高新，礼仪之门”的高度约为． 【典例2-2】“畅游山西，逛代县边靖楼”成为今年山西旅游新特色，某数学兴趣小组用无人机测量边靖楼的高度，测量方案如图：在坡底D处测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为． (1)求坡顶C到地面的距离； (2)计算边靖楼的高度． 【答案】(1)坡顶C到地面的距离为10米； (2)边靖楼AB的高度为米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形应用——坡比，仰角、俯角问题．熟练掌握等腰直角三角形性质，锐角三角函数解直角三角形，矩形的判定和性质，是解决问题的关键． （1）延长交于点E，过点C作于点F，证明四边形是矩形，根据坡比设，则，在中，由勾股定理求得，即得坡顶C到地面的距离为10米． （2）设米，中，求得，得到，；根据等腰直角三角形性质得到，解得， 即得边靖楼的高度为米． 【详解】（1）解：延长交于点E，过点C作，垂足为点F， 则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴设， 则， ∵在中，米，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 即坡顶C到地面的距离为10米． （2）设米， ∵， ∴在中，， 由（1）知，，， ∴，； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， 即边靖楼的高度为米． 【变式2-1】如图，某户外运动爱好者欲挑战自我，攀登某陡崖．为测量该陡崖顶端距离地面的高度，他由地面点A处沿水平面行走200米至点B处．点A处的仰角，点B处的仰角，，若人的身高忽略不计，求该陡崖顶端距离地面的高度．（结果保留根号，参考数据：，，） 【答案】该陡崖顶端距离地面的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设米，则米，在和中，分别表示出，建立方程，求出的值即可得解． 【详解】解：由题意得：，米， 设米，则米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴， 解得：， ∴（米）． ∴该陡崖顶端距离地面的高度为米． 【变式2-2】测速仪是协助道路安全工作必不可少的装置，如图．为保障学生安全，某中学入口处的街道安装了车辆自动测速仪，测速仪置于路面上方横杆的点位置，点到路面的距离米．已知，点，在同一平面内．求测速区间的距离．（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】测速区间的距离约为19米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在和中，解直角三角形分别求得和的长，再根据求解即可． 【详解】解：由题可知，，则． 在中， (米)， 在中， (米)， (米)， 答：测速区间的距离约为19米． 【变式2-3】某商场为方便顾客使用购物车，将滚动电梯的原坡面改造为坡面．已知改动后电梯的坡面长，原坡面坡角，新坡面的坡度． (1)求斜坡底部增加的长度；（结果保留根号） (2)电梯顶部水平线，电梯上方点处有悬挂广告牌，，．若一位身高的顾客乘电梯上行，行进过程中是否会碰到广告牌的下端？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)会碰到，见解析 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）先解直角三角形，求出的长，再解直角三角形，求出的长，进一步求出的长即可； （2）延长交于点，过点作于点，求出的长，进而求出的长，再求出的长，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵新坡面的坡度 ∴， 设，则：， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴； （2）会，理由如下： 延长交于点，过点作于点，由题意，得：， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴会碰到． 【变式2-4】某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为20米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）． 【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，设点到的距离为，在中，求出的长，设米，在，利用锐角三角函数求出的值，进而求出结果即可． 【详解】解：如图，设点到的距离为，由题意可知，， 在中，米， ∴米， 设米，则米． 在中，， ∴米， 在中，，解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 米． 【变式2-5】如图， 表示一座观景山，是登山步道，的坡比为，长．是一条索道，在索道入口 C 处测得山顶 E 的仰角为，在 B 处测得山顶 E 的仰角为，已知长300米， (1)求山顶 E 到点 B 的垂直距离； (2)求索道的长．（结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】(1)山顶E到点B的垂直距离是400米 (2)946米 【分析】本题考查直角三角形的应用，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． （1）过点B作于点F，由题意得，利用锐角三角函数和直角三角形的边角关系，求出的长即可； （2）过点B作于点M，则四边形为矩形，解直角三角形可求出答案． 【详解】（1）解：过点B作于点F， 由题意得， ， （米）， 即山顶E到点B的垂直距离是400米； （2）如图，过点B作于点M，则四边形为矩形， 由（1）可知（米） 米， 设米， 的坡比为， 米， 米， ， ， ， 米， （米）． 【变式2-6】如图，某中学依山而建，校门A处有一斜度，坡度，坡面长度为13米，在坡顶B处看教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处仰望C的仰角是，的延长线交校门处的水平面于点D． (1)______； (2)求坡顶B到水平面的高度； (3)求楼顶C到水平面的高度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)5米 (3)的长度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题，解直角三角形的应用-坡度和坡比问题． （1）由坡度可求出； （2）过点B作，过点E作，由的坡度和长即可求出； （3）由，根据米解三角形求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵斜度的坡度， ∴， 故答案为：； （2）解：过点B作，过点E作， ∵， ∴， ∵米， 设（米），（米）， ∴， ∴， ∴米， 则坡顶B的高度是5米； （3）解：设为x米，则米， ∵， ∴米， ∵， ∴， 解得， ∴米， ∴米， 答：的长度为米． 【变式2-7】2024年春节前夕，哈尔滨旅游市场的火热带动了全国“冰雪旅游”的繁荣，某地准备依山建设一个滑雪场带动本地旅游的发展．如图，小山的山腰上有一个平台长为45m，从点C看山顶A的仰角为，山坡的坡度为，该地准备利用斜坡建设一个滑雪场，且的长度为，若点D到地面的垂线段与构成的四边形恰好为正方形时，且图中各点均在一个平面内，求小山的高度．（精确到整数，参考数据：，，） 【答案】小山的高度约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正方形的性质，先解直角三角形得到，设，则，由勾股定理得到，解方程求出，再由正方形的性质推出，解直角三角形求出，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵山坡的坡度为， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理， ∴ 解得或（舍去）， ∴， 四边形为正方形， ， ∴， 在中，， ， ， 答：小山的高度约为． 【题型03：三角形+矩形模型】 【方法点拨】 已知AB、BE的长度及∠DBE，∠DAC或∠DFC）的度数，过较短的边AB作高BE，构造矩形和直角三角形，先解直角三角形，再利用加减求解。 【典例3】为测量某栋楼的高度，小丽与小明先从与楼底端在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，在处测得楼顶的俯角为，底部的俯角为，求该栋楼的高度．（参考数据：，，结果保留根号） 【答案】 【分析】过点作于，作于，如图所示，根据坡度定义，设，在中，由勾股定理列方程求解即可得到，根据题意，利用矩形的判定得到四边形是矩形，结合矩形的性质及含的直角三角形性质，在得到，进而由勾股定理列方程求出，最后在中解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：过点作于，作于，如图所示： 沿斜面坡度为的斜坡前进到达点， ，且， 设，则在中，由勾股定理可得，即，解得或（负值不合题意，舍去）， ， ， 四边形是矩形，则， 在中，，则， ，设，则，由勾股定理可得，解得，即， 在中，，则，解得， ， 答：该栋楼的高度是． 【点睛】本题考查三角函数测高，涉及坡度定义、勾股定理、解方程、矩形的判定与性质、含的直角三角形性质、解直角三角形等知识，根据题意，构造出直角三角形，利用三角函数求线段长是解决问题的关键． 【变式3-1】风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度约为32米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题．延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，，米，，然后设米，在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点，延长交于点， 由题意得：，，米，， 设米， 在中，，米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， （米）， ， 解得：， 米， （米）， 该风力发电机塔杆的高度约为32米． 【变式3-2】如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，故上面是一块平地，，斜坡长，斜坡的坡比为． (1)坡高______； (2)为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿至少向右移______m时，才能确保山体不滑坡．（参考数据：） (3)本学期初四学生开展数学学科“综合与实践”活动，主题：测量高度A小组选择测量教学楼高度，他们的做法是：在教学楼F处安置测倾器，测得此时B的仰角和A的俯角，然后借助已知中的数据计算得到教学楼的高度，请借助A小组提供的数据计算教学楼的高度．（精确到0.1）（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)24 (2)10 (3)16.3米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，矩形的性质和判定，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据斜坡的坡比为，得出，设，则，由勾股定理即可解答； （2）在上取点，使，作，根据坡度的概念求出、；根据正切的定义求出，结合图形计算，得到答案． （3）设，则，根据，得出再证明四边形为矩形，得出 根据平行得到从而得出，列方程即可解答； 【详解】（1）∵斜坡的坡比为， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， 即，解得， ∴， 故答案为：； （2）如上图所示，在上取点，使得，过点作与点， 由题意得，四边形为矩形， ∴， 由（1）得：， ∴， 在中，， ∴坡顶沿至少向右移时，才能确保山体不滑坡． （3）设，则， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， ， 即 解得： 故教学楼的高度为 【变式3-3】某电视塔和楼的水平距离为m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为和，试求楼高和电视塔高（参考数据：，，，，，，精确到）． 【答案】楼高约，塔高约 【分析】此题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题．由题意可知：，解求出，解求出，根据即可求出塔高进而可求出答案． 【详解】解：根据题意可知：， 在中，， ∴ 在中，， ∴， ∴ 即楼高约，塔高约． 【题型04：拥抱型】 【方法点拨】 分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC=BC.图形演变及对应的数量关系如下 特别提醒：“面对面”型关键是找到两个直角三角形的公共边 【典例4】如图，旗杆上有一面宽为的旗子．在同一水平线上，小明在距旗杆m的点处测得点的仰角为，随后小明沿坡角（）为的斜坡走了m到达点处，测得点的仰角为． (1)求斜坡的高度的长； (2)求旗面宽的长度（参考数据：，结果精确到）． 【答案】(1)斜坡的高度EF的长为m； (2)旗面宽AB的长约为m． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用：仰角俯角问题、坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用含的直角三角形的性质可得米； （2）过点作，垂足为，得四边形为矩形，从而得，，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）在中，， ，由勾股定理． 斜坡的高度的长为； （2）过点作，垂足为， 由题意得：，即四边形为矩形， 则， ， ， ， 在中， ， 在中，， ， （m）， 旗面宽的长约为m． 【变式4-1】如图，一居民楼底部与山脚位于同一水平线上，小李在处测得居民楼顶的仰角为，然后他从处沿坡角为的山坡向上走到处，这时，点与点在同一水平线上，、、、在同一平面内． (1)求居民楼的高度； (2)求点、之间的距离．结果保留根号 【答案】(1)居民楼的高度约为； (2)、之间的距离为 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生借助仰角、坡角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数求解． （1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形，利用在中，由，得出的长度，进而可求出答案； （2）在中，，得出的长，进而得出的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作于点， 在中，，， ， ， 点与点在同一水平线上， ， 答：居民楼的高度约为； （2）解：在中，， ， ， ， ， 答：、之间的距离为． 【变式4-2】某校组织九年级学生到三台山森林公园游玩，数学兴趣小组同学想利用测角仪测量天和塔的高度．如图，塔前有一座高为的斜坡，已知，，点E、C、A在同一条水平直线上．某学习小组在斜坡C处测得塔顶部B的仰角为45°，在斜坡D处测得塔顶部B的仰角为39°． (1)求的长； (2)求塔的高度．（取0.8，取1.7，取1.4，结果取整数） 【答案】(1)的长为； (2)塔的高度约为． 【分析】本题考查解直角三角形的应用． （1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）设，分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ． 即的长为； （2）解：设， 在中，， ． 在中，由，，， 则． ． 如图，过点作，垂足为．    根据题意，， 四边形是矩形． ，． 可得． 在中，，， ．即． ． 答：塔的高度约为． 【变式4-3】如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的坡度小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为点，，，在同一平面内．结果精确到，参考数据：，，，，，， (1)求度数； (2)求居民楼的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用： （1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，先得到，则，进而求出，由平行线的性质得到，则，即可得到； （2）先解在中，得到，，设，则，解，得到，解得到，，据此得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：， 斜坡的坡度， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 度数为； （2）解：由题意得：，， 在中，，， ，， ， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， 居民楼的高度约为． 【变式4-4】如图，在同一水平地面上有和两栋楼，从楼顶部A点处测得楼的底部D点的俯角为，从楼顶部C点处测得楼的G点的俯角为，且米，已知楼高25米，求楼的高度．（精确到1米，参考数据：，，） 【答案】18米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点C作，垂足为F，根据题意可得：，，，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出长，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：过点C作，垂足为F， 由题意得：，，，， ∴， ∵在中，米， ∴（米）， ∴米， ∴在中，（米）， ∵米， ∴（米）， ∴楼的高度约为18米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 锐角三角函数重难点模型（四大模型） 【题型01：背靠背模型】 【题型02：母子型】 【题型03：三角形+矩形模型】 【题型04：拥抱型】 【题型01：背靠背模型】 【方法点拨】 通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键.在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD为公共边，AD+BD=AB.图形演变及对应的数量关系如下： 特别提醒：”背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高 【典例1】过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，下图是某 过街天桥的截横面，桥顶 平行于地面， 天桥斜面的坡度为， 长， 天桥另一斜面的坡角． (1)求点 D到地面 的距离； (2)为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面的坡角变为30°，改建后斜面为，则斜面的坡角，试计算此改建需占路面的宽度的长(结果精确到)(参考数据) 【变式1-1】如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高米，坝顶宽米， (1)求大坝横截面的面积； (2)求大坝横截面的周长．（坡比指斜坡竖直距离与水平距离的比值） 【变式1-2】如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进米到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（计算结果精确到1米，参考数据：）． 【变式1-3】如图，为了测量风景区中一座塔的高度，某数学兴趣小组在斜坡上的点处，用测角仪测得塔顶部的仰角为，用皮尺测得坡的长15米，已知坡的坡比为，请你帮助该数学兴趣小组计算这座塔的高度． 【变式1-4】如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度米，坡面的倾斜角，距点8米处有一建筑物，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面的坡度，把倾斜角由45°减至30°，即使得新坡面的倾斜角为．    (1)求新坡面的长度； (2)试求新坡面底部点到建筑物的距离． 【题型02：母子型】 【方法点拨】 通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DBC中，BC为公共边，AD+DC=AC.图形演变及对应的数量关系如下： 特别提醒：”母子“型的关键是找到两个直角三角形外的公共高 【典例2-1】郑州大学西北角附近，连霍高速公路上下口，耸立着雕塑“郑州高新，礼仪之门”，数学应用小组想使用皮尺和自制的测角仪利用所学的数学知识测量它的高度．如图所示，他们在地面上架设测角仪，先在点M处测得“郑州高新，礼仪之门”最高点A的仰角，然后沿方向前进到达点N处，测得点A的仰角（点M，N，B在一条直线上），测角仪的高度为．请利用同学们的测量数据求“郑州高新，礼仪之门”最高点A距离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【典例2-2】“畅游山西，逛代县边靖楼”成为今年山西旅游新特色，某数学兴趣小组用无人机测量边靖楼的高度，测量方案如图：在坡底D处测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为． (1)求坡顶C到地面的距离； (2)计算边靖楼的高度． 【变式2-1】如图，某户外运动爱好者欲挑战自我，攀登某陡崖．为测量该陡崖顶端距离地面的高度，他由地面点A处沿水平面行走200米至点B处．点A处的仰角，点B处的仰角，，若人的身高忽略不计，求该陡崖顶端距离地面的高度．（结果保留根号，参考数据：，，） 【变式2-2】测速仪是协助道路安全工作必不可少的装置，如图．为保障学生安全，某中学入口处的街道安装了车辆自动测速仪，测速仪置于路面上方横杆的点位置，点到路面的距离米．已知，点，在同一平面内．求测速区间的距离．（结果保留整数，参考数据：，） 【变式2-3】某商场为方便顾客使用购物车，将滚动电梯的原坡面改造为坡面．已知改动后电梯的坡面长，原坡面坡角，新坡面的坡度． (1)求斜坡底部增加的长度；（结果保留根号） (2)电梯顶部水平线，电梯上方点处有悬挂广告牌，，．若一位身高的顾客乘电梯上行，行进过程中是否会碰到广告牌的下端？请通过计算说明理由． 【变式2-4】某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为20米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）． 【变式2-5】如图， 表示一座观景山，是登山步道，的坡比为，长．是一条索道，在索道入口 C 处测得山顶 E 的仰角为，在 B 处测得山顶 E 的仰角为，已知长300米， (1)求山顶 E 到点 B 的垂直距离； (2)求索道的长．（结果保留整数，参考数据：，，，） 【变式2-6】如图，某中学依山而建，校门A处有一斜度，坡度，坡面长度为13米，在坡顶B处看教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处仰望C的仰角是，的延长线交校门处的水平面于点D． (1)______； (2)求坡顶B到水平面的高度； (3)求楼顶C到水平面的高度（结果保留根号）． 【变式2-7】2024年春节前夕，哈尔滨旅游市场的火热带动了全国“冰雪旅游”的繁荣，某地准备依山建设一个滑雪场带动本地旅游的发展．如图，小山的山腰上有一个平台长为45m，从点C看山顶A的仰角为，山坡的坡度为，该地准备利用斜坡建设一个滑雪场，且的长度为，若点D到地面的垂线段与构成的四边形恰好为正方形时，且图中各点均在一个平面内，求小山的高度．（精确到整数，参考数据：，，） 【题型03：三角形+矩形模型】 【方法点拨】 已知AB、BE的长度及∠DBE，∠DAC或∠DFC）的度数，过较短的边AB作高BE，构造矩形和直角三角形，先解直角三角形，再利用加减求解。 【典例3】为测量某栋楼的高度，小丽与小明先从与楼底端在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，在处测得楼顶的俯角为，底部的俯角为，求该栋楼的高度．（参考数据：，，结果保留根号） 【变式3-1】风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，） 【变式3-2】如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，故上面是一块平地，，斜坡长，斜坡的坡比为． (1)坡高______； (2)为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿至少向右移______m时，才能确保山体不滑坡．（参考数据：） (3)本学期初四学生开展数学学科“综合与实践”活动，主题：测量高度A小组选择测量教学楼高度，他们的做法是：在教学楼F处安置测倾器，测得此时B的仰角和A的俯角，然后借助已知中的数据计算得到教学楼的高度，请借助A小组提供的数据计算教学楼的高度．（精确到0.1）（参考数据：，，，，，） 【变式3-3】某电视塔和楼的水平距离为m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为和，试求楼高和电视塔高（参考数据：，，，，，，精确到）． 【题型04：拥抱型】 【方法点拨】 分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC=BC.图形演变及对应的数量关系如下 特别提醒：“面对面”型关键是找到两个直角三角形的公共边 【典例4】如图，旗杆上有一面宽为的旗子．在同一水平线上，小明在距旗杆m的点处测得点的仰角为，随后小明沿坡角（）为的斜坡走了m到达点处，测得点的仰角为． (1) 求斜坡的高度的长； (2)求旗面宽的长度（参考数据：，结果精确到）． 【变式4-1】如图，一居民楼底部与山脚位于同一水平线上，小李在处测得居民楼顶的仰角为，然后他从处沿坡角为的山坡向上走到处，这时，点与点在同一水平线上，、、、在同一平面内． (1)求居民楼的高度； (2)求点、之间的距离．结果保留根号 【变式4-2】某校组织九年级学生到三台山森林公园游玩，数学兴趣小组同学想利用测角仪测量天和塔的高度．如图，塔前有一座高为的斜坡，已知，，点E、C、A在同一条水平直线上．某学习小组在斜坡C处测得塔顶部B的仰角为45°，在斜坡D处测得塔顶部B的仰角为39°． (1)求的长； (2)求塔的高度．（取0.8，取1.7，取1.4，结果取整数） 【变式4-3】如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的坡度小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为点，，，在同一平面内．结果精确到，参考数据：，，，，，， (1)求度数； (2)求居民楼的高度． 【变式4-4】如图，在同一水平地面上有和两栋楼，从楼顶部A点处测得楼的底部D点的俯角为，从楼顶部C点处测得楼的G点的俯角为，且米，已知楼高25米，求楼的高度．（精确到1米，参考数据：，，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$