专题2.6 二次根式压轴题【9大题型】-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版）

专题2.6 二次根式压轴题【9大题型】（北师大版） 题组一 复合二次根式 1 题组二 二次根式分母有理化 3 题组三 二次根式解决最值 5 题组四 二次根式分子有理化 7 题组五 二次根式中平方差公式的应用 10 题组六 二次根式复杂运算 10 题组七 二次根式拓展--基本不等式 11 题组八 二次根式拓展--多重根式 13 题组九 二次根式拓展--解无理方程 13 题组一 复合二次根式 1．像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造两数和（差）的平方公式进行化简： 如：； 再如：． 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）请你尝试化简：； （2）若，且a，b，m均为正整数，则m的值为 　 　． 2．像，…．这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：， 再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： （1）若，则a＝　 　，b＝　 　． （2）化简：①＝　 　，②＝　 　 （3）若，且a，m，n为正整数，求a的值． 3．像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：＝　 　； （2）化简：＝　 　； （3）若，且k，m，n为正整数，求k的值． 4．阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简， 即：． 例如：∵， ∴． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）化简； （2）化简； （3）当1≤a≤2时，化简： 5．在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以化成另一式子的平方，例如：；． （1）请你按照上述方法将化成一个式子的平方； （2）请你参考上述方法，计算； （3）化简：．（n为正整数） 题组二 二次根式分母有理化 6．阅读下面的材料，解答后面给出的问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如： ，． （1）请你写出的有理化因式：　 　； （2）请仿照上面给出的方法简化； （3）已知，，求的值． 7．阅读材料：像，，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求3a2﹣6a﹣1的值．“ 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以． 所以（a﹣1）2＝2，所以a2﹣2a+1＝2． 所以a2﹣2a＝1，所以3a2﹣6a＝3，所以3a2﹣6a﹣1＝2． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： （1）化简：＝　 　； （2）的有理化因式是 　 　，＝　 　； （3）比较大小： 　 　（填＞，＜，＝，≥或≤中的一种）； （4）若，求﹣2a2+12a+3的值． 8．阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简： ﹣1以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．请结合上述材料，解决如下问题： （1）计算：； （2）已知m是正整数，a＝，a+b+2ab＝800，求m； （3）已知＝1，求的值． 9．【阅读材料】 像，，，…， 两个含有二次模式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与，与，与，…，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 （1）的有理化因式为 　 　； （2）化简：； （3）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，若△ABC的周长为，面积为4，求点P到BC边的距离； （4）化简：． 10．【阅读理解】阅读下列材料，然后解答下列问题． 像，（a≥0），（b≥0），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： （1）化简：①； （2）计算：； （3）计算：． 题组三 二次根式解决最值 11．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是12﹣x和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是 　 　． （2）类比迁移：已知a，b均为正数，且a+b＝4，求的最小值． （3）方法应用：若，求y的最大值． 12．如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D在BD两侧作BA⊥BD，DE⊥BD，连接AC，CE．已知AB＝5，DE＝9，BD＝8，设BC＝x． （1）用含x的代数式表示AC+CE的长． （2）当点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？ （3）根据（2）中的结论，请构图求出代数式的最小值． 13．如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC＝1km，B厂距离河边BD＝2km，经测量CD＝3km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E． （1）设CE＝x，请用x的代数式表示AE+BE的长； （2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定？此时需要管道多长？ （3）根据（1）（2）中的规律和结论，请模仿图1在网格中（图2）构图并得出代数式的最小值为 　 　． 14．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是12﹣x和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段AB的长，进而求得 的最小值是 　 　． （2）类比迁移：已知a，b均为正数，且a﹣b＝4．求的最大值． （3）方法应用：已知a，b均为正数，且是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）． 15．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是12﹣x和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是 　 　． （2）类比迁移：已知a，b均为正数，且a+b＝4．求的最小值 　 　． （3）方法应用：已知a，b均为正数，且是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）． 题组四 二次根式分子有理化 16．【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较a＝2和b＝3的大小，我们可以把a和b分别平方．∴a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b． 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较c＝4大小，c 　 　d（填写“＞”“＜”或“＝”）． （2）猜想m＝2之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如， 比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，． ∵，∴． （3）根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 17．材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”； ． 根据上述知识，请你解答下列问题： （1）化简； （2）比较与的大小，并说明理由． 18．二次根式的计算中，有一种方法叫做“分子有理化”，即分母和分子同时乘以一个适当的因式，从而消除分子中的根式． 比如：． “分子有理化”可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些代数式的最值问题． 例如：比较和的大小． 解：，． 因为， 所以，即． 再例如，求代数式的最大值．做法如下： 解：由x+2≥0且x﹣2≥0可知：x≥2，而 ＝ 当x＝2时，分母有最小值2，所以原式的最大值是2． 利用上面的方法，完成下面问题： （1）比较和的大小； （2）求代数式的最大值． 19．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如： 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较 和的大小可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为所以． 再例如：求的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： （1）由材料可知，　 　＝； （2）比较和的大小； （3）式子的最小值是 　 　． 20．阅读与思考 阅读下面的材料，解答后面给出的问题． 数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，往往会发现有价值的东西，这是解决数学问题的一个重要策略”．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积中不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式． 例如：与，与． 化简一个分母含有二次根式的式子时，常常采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法． 例如：； ． （1）直接写出的有理化因式：　 　． （2）请仿照上面的方法化简（b≥0且b≠1）． （3）已知，，求的值． 题组五 二次根式中平方差公式的应用 21．已知x﹣y＝6，，求的值． 22．阅读材料，解答问题： 材料：已知：﹣＝1，求+的值，张山同学是这样解答的： 因为（﹣）×（+） ＝（）2﹣（）2 ＝18﹣x﹣11+x＝7 所以+＝7 问题： （1）已知：+＝7， ①求﹣的值； ②求x的值． （2）直接写出代数式﹣+的最大值和最小值． 题组六 二次根式复杂运算 23．先化简，再求值：，其中a＝2，b＝2，c＝3． 24．已知a＝， （1）求a2+a的值； （2）求的值． 25．已知实数x，y满足（x+）（y+）＝1，求证：x+y＝0． 26．设互不相等的非零实数a，b，c满足，求的值． 27．设f（x）＝（x＞0）． （1）将f（x）化成（a、b是不同的整数）的形式； （2）求f（x）的最大值及相应的x值． 题组七 二次根式拓展--基本不等式 28．【操作发现】由 （a﹣b）2≥0 得，a2+b2≥2ab；如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：a+b≥2√ab，当且仅当a＝b时取到等号． 例如：已知x＞0，求式子x+的最小值． 解：令则由得，当且仅当时， 即x＝2时式子有最小值，最小值为4． 【问题解决】请根据上面材料回答下列问题： （1）已知x＞0，当x＝　 　时，代数式的最小值为 　 　． 【灵活运用】（2）当x＞2时，求的最小值； 【学以致用】（3）如图，民民同学想做一个菱形风筝，现在有一根长120cm的竹竿，他准备把它截成两段做成风筝的龙骨即菱形的对角线AC，BD，请你帮他设计一下，当AC＝　 　cm时菱形的面积最大，最大值为 　 　cm2 （直接写出结果）． 29．由（a﹣b）2≥0得，a2+b2≥2ab；如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：a+b≥2，当且仅当a＝b时取到等号． 例如：已知x＞0，求式子x+的最小值． 解：令a＝x，b＝，则由a+b≥2，得x+≥2＝4，当且仅当x＝时，即x＝2时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： （1）当x＞0，式子x+的最小值为 　 　；当x＜0，则当x＝　 　时，式子2x+取到最大值； （2）如图1用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别是8和18，求四边形ABCD面积的最小值． 30．阅读以下的材料： 如果两个正数a、b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式： ≥，当且仅当a＝b时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．下面举一例子： 例：已知x＞0，求函数y＝x+的最小值． 解：令a＝x，b＝，则有a+b≥2，得y＝x+≥2＝4，当且仅当x＝时，即x＝2时，函数有最小值，最小值为2． 根据上面回答解决下列问题： （1）已知x＞0，则当x＝　 　时，函数y＝2x+取到最小值，最小值为 　 　； （2）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，S△BOC＝9，S△AOD＝25，求四边形ABCD的面积的最小值． 31．阅读以下材料： 如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：，当且仅当a＝b时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知x＞0，求函数y＝x+的最小值． 解：令a＝x，b＝，则由a+b≥2，得y＝x+＝4，当且仅当x＝时，即x＝2时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题： ①已知x＞0，则当x＝　 　时，函数y＝2x+取到最小值，最小值为 　 　； ②已知x＞0，则自变量x取何值时，函数y＝有最小值，并求出最小值． 题组八 二次根式拓展--多重根式 32．求的值． 33．求﹣的值． 题组九 二次根式拓展--解无理方程 34．阅读材料：求解一元一次方程，需要根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式；求解二元一次方程组，需要通过消元把她转化为一元一次方程来解，求解三元一次方程组，需要把它转化为二元一次方程组来解：求一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解，各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解一元三次方程x3﹣3x2﹣x＝0，通过因式分解把它转化为x（x2﹣3x﹣1）＝0，通过解方程x＝0和x2﹣3x﹣1＝0，可得原方程x3﹣3x2﹣x＝0的解． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为2x+3＝x2，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∵2x+3≥0且x≥0，∴x＝﹣1不是原方程的解，∴原方程的解为x＝3． 请仔细阅读材料，解下列方程： （1）解方程：2x3+5x2+3x＝0； （2）解方程：． 35．已知x为正实数，且满足，求x的值． 36．设实数x＞0，求使等式+＝成立的所有x的值． 37．我们知道，解一个无理方程主要是通过两边平方的方法使之转化为有理方程，但有时，用这个方法去解一些特殊的无理方程时会碰到一点麻烦，如解方程3x2+15x+2＝2，如若还是采用两边平方的方法，显然不仅计算麻烦还会出现高次方程，由此，我们想到能否像解分式方程一样采用换元法以简化方程呢？经观察，原方程可以改写为3（x2+5x+1）+2﹣5＝0，设＝y（*），则原方程化为3y2+2y﹣5＝0，解这个一元二次方程，得出y的值后再代入（*），就可以得出原方程的解，不要忘了验根． 下面让我们自己来试一试吧！解下列方程：4x2﹣8x+＝17+2x． 38．若a≥1，则方程＝x的所有实根之和等于　 　． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 二次根式压轴题【9大题型】（北师大版） 题组一 复合二次根式 1 题组二 二次根式分母有理化 6 题组三 二次根式解决最值 12 题组四 二次根式分子有理化 22 题组五 二次根式中平方差公式的应用 27 题组六 二次根式复杂运算 29 题组七 二次根式拓展--基本不等式 31 题组八 二次根式拓展--多重根式 36 题组九 二次根式拓展--解无理方程 37 题组一 复合二次根式 1．像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造两数和（差）的平方公式进行化简： 如：； 再如：． 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）请你尝试化简：； （2）若，且a，b，m均为正整数，则m的值为 　6或9　． 【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝ ＝； （2）∵， 即：， ∴， ∵a，b，m均为正整数， ∴或， ∴当时，m＝a2+2b2＝12+2×22＝9； 当时，m＝a2+2b2＝22+2×12＝6； 故答案为：6或9． 2．像，…．这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：， 再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： （1）若，则a＝　5　，b＝　6　． （2）化简：①＝　　，②＝　　 （3）若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【解答】解：（1）∵， ∴a＝5，b＝6． 故答案为：5，6； （2）① ＝ ＝ ＝ ＝； ② ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； （3）∵， ∴a＝m2+5n2，2mn＝6即mn＝3， ∵a，m，n为正整数， ∴或， ∴a＝12+5×32＝46或a＝32+5×12＝14， 故a的值为46或14． 3．像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：＝　　； （2）化简：＝　　； （3）若，且k，m，n为正整数，求k的值． 【解答】解：（1）． 故答案为：； （2）． 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴k＝2m2+n2，2mn＝6， ∴mn＝3 又∵k、m、n为正整数， ∴m＝1，n＝3，或者m＝3，n＝1， ∴当m＝1，n＝3时，k＝2m2+n2＝2×1+32＝11， 当m＝3，n＝1时，k＝2m2+n2＝2×32+12＝19， ∴k的值为：11或19． 4．阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简， 即：． 例如：∵， ∴． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）化简； （2）化简； （3）当1≤a≤2时，化简： 【解答】解：（1）∵ ∴； （2）∵， ∴； （3）∵， ， ∴ ＝ ＝2． 5．在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以化成另一式子的平方，例如：；． （1）请你按照上述方法将化成一个式子的平方； （2）请你参考上述方法，计算； （3）化简：．（n为正整数） 【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝； （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； （3） ＝ ＝ ＝． 题组二 二次根式分母有理化 6．阅读下面的材料，解答后面给出的问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如： ，． （1）请你写出的有理化因式：　3﹣和﹣3+　； （2）请仿照上面给出的方法简化； （3）已知，，求的值． 【解答】（1）解：∵（3+）（3﹣）＝9﹣7＝2，（3+）（﹣3+）＝7﹣9＝﹣2， ∴3﹣和﹣3+是3+的有理化因式， 故答案为：3﹣和﹣3+； （2）解： ＝ ＝ ＝； （3）解：∵a＝＝+2，b＝＝﹣2， ∴a+b＝+2+﹣2＝2，ab＝（+2）（﹣2）＝5﹣4＝1， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝． 7．阅读材料：像，，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求3a2﹣6a﹣1的值．“ 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以． 所以（a﹣1）2＝2，所以a2﹣2a+1＝2． 所以a2﹣2a＝1，所以3a2﹣6a＝3，所以3a2﹣6a﹣1＝2． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： （1）化简：＝　　； （2）的有理化因式是 　　，＝　　； （3）比较大小： 　＜　（填＞，＜，＝，≥或≤中的一种）； （4）若，求﹣2a2+12a+3的值． 【解答】解：（1）． 故答案为：． （2）由题知， 的有理化因式是， 所以． 故答案为：，． （3）因为，， 显然， 又因为都是正数， 所以． 故答案为：＜． （4）因为a＝， 所以a﹣3＝， 所以（a﹣3）2＝7， 所以a2﹣6a+9＝7， 所以a2﹣6a＝﹣2， 所以﹣2a2+12a＝4， 所以﹣2a2+12a+3＝7． 8．阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简： ﹣1以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．请结合上述材料，解决如下问题： （1）计算：； （2）已知m是正整数，a＝，a+b+2ab＝800，求m； （3）已知＝1，求的值． 【解答】解：（1）原式＝++•••++ ＝﹣ ＝﹣ ＝22； （2）∵a＝＝＝＝2m+1﹣2， b＝＝＝2m+1+2， ∴a+b＝4m+2，ab＝1， ∵a+b+2ab＝800， ∴4m+2+2×1＝800， 解得m＝199； （3）∵＝1， ∴（）2＝1， 15+x2﹣2+26﹣x2＝1， ∴＝20， 设＝t（t＞0）， ∴t2＝（+）2＝15+x2+2+26﹣x2＝41+2×20＝81， ∴t＝9或t＝﹣9（舍去）， 即的值为9． 9．【阅读材料】 像，，，…， 两个含有二次模式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与，与，与，…，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 （1）的有理化因式为 　　； （2）化简：； （3）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，若△ABC的周长为，面积为4，求点P到BC边的距离； （4）化简：． 【解答】解：（1）∵ ＝9﹣5 ＝4， ∴的有理化因式为， 故答案为：； （2） ＝ ＝ ＝ ＝； （3）如图，过点P分别作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，PG⊥AC于G，连接AP， ∵PB、PC分别是∠ABC、∠ACB的平分线， ∴PE＝PF，PF＝PG， 设PE＝m， ∴PE＝PF＝PG＝m， ∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC＝4， ∴， ∵△ABC的周长为， ∴， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝， ∴点P到BC的距离为； （4）原式＝+……+ ＝…… ＝ ＝． 10．【阅读理解】阅读下列材料，然后解答下列问题． 像，（a≥0），（b≥0），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： （1）化简：①； （2）计算：； （3）计算：． 【解答】解：（1）＝＝； （2） ＝﹣ ＝2+ ＝2﹣； （3） ＝（++...+﹣）（+1） ＝（﹣1）（+1） ＝2022． 题组三 二次根式解决最值 11．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是12﹣x和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是 　13　． （2）类比迁移：已知a，b均为正数，且a+b＝4，求的最小值． （3）方法应用：若，求y的最大值． 【解答】解：（1）如图所示，AC＝2，CD＝x，DE＝12﹣x，BE＝3， 在直角三角形ACD中，， 在直角三角形BDE中，， ∴， ∴要想的值最小，则AD+BD的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，AD+BD的值最小，最小值为AB， 过点B作BF⊥AC交AC延长线于F， ∵EC⊥AF，BF⊥AC，BE⊥AC， ∴四边形CEBF为矩形， ∴BF＝CE＝CD+DE＝12，CF＝BE＝3， ∴AF＝AC+CF＝5， ∴， ∴的最小值为13， 故答案为：13； （2）如图，AC＝1，CD＝b，DE＝a，BE＝2， 在直角三角形ACD中，， 在直角三角形BDE中，， ∴， ∴要想的值最小，则AD+BD的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，AD+BD的值最小，最小值为AB， 过点B作BF⊥AC交AC延长线于F， ∵EC⊥AF，BF⊥AC，BE⊥AC， ∴四边形CEBF为矩形， ∴BF＝CE＝CD+DE＝a+b＝4，CF＝BE＝2， ∴AF＝AC+CF＝3， ∴， ∴的最小值为5； （3）如图，∠ACB＝∠CBE＝∠BED＝90°，AC＝3，BC＝x，BE＝1，DE＝x﹣6， 在Rt△ACB中，， 在Rt△BDE中，， ， ∴要想y的值最大，则AB﹣BD的值最大， ∴根据三角形三边关系可知，当A、D、B三点共线时，AB﹣BD的值最大，最大值为AD， 延长ED，交AC于点F， ∵∠FCB＝∠CBE＝∠BEF＝90°， ∴四边形CBEF为矩形， ∴EF＝BC＝x，CF＝BE＝1，∠EFC＝90°， ∴DF＝EF﹣DE＝x﹣（x﹣6）＝6，AF＝3﹣1＝2， 在直角三角形AFD中，， 即y的最大值为． 12．如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D在BD两侧作BA⊥BD，DE⊥BD，连接AC，CE．已知AB＝5，DE＝9，BD＝8，设BC＝x． （1）用含x的代数式表示AC+CE的长． （2）当点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？ （3）根据（2）中的结论，请构图求出代数式的最小值． 【解答】解：（1）∵BC＝x，BD＝8， ∴CD＝BD﹣BC＝8﹣x， ∵BA⊥BD，DE⊥BD， ∴∠ABC＝∠CDE＝90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， 在Rt△CDE中，由勾股定理得， ∴； （2）∵两点之间，线段最短， ∴当C在AE上时，AC+CE值最小； （3）构图如下，其中AB＝2，BD＝12，DE＝3，设BC＝x， ∴CD＝BD﹣BC＝12﹣x， 同理得， 由两点之间，线段最短可知，当C在AE上时，AC+CE值最小，即最小，最小值为AE的长， 过点E作EF⊥AB交AB延长线于F，则四边形BFED是矩形， ∴BF＝DE＝3，BD＝EF＝12， ∴AF＝AB+BF＝5， ∴， ∴的最小值为13． 13．如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC＝1km，B厂距离河边BD＝2km，经测量CD＝3km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E． （1）设CE＝x，请用x的代数式表示AE+BE的长； （2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定？此时需要管道多长？ （3）根据（1）（2）中的规律和结论，请模仿图1在网格中（图2）构图并得出代数式的最小值为 　5　． 【解答】解：（1）∵AC＝1km，BD＝2km，CD＝3km，CE＝x， ∴DE＝CD﹣CE＝（3﹣x）， ∴，， 故． （2）连接AB，交CD于点E，此时即为污水厂E的位置； 过点B作BF∥CD，交AC的延长线于点F， 则四边形BDCF是矩形， ∴BD＝CF＝2，CD＝BF＝3， ∴AF＝AC+CF＝3， ∴km． （3）构图如下：AB＝1，CD＝2，CB＝4，CE＝x， ∴BE＝CB﹣CE＝（4﹣x）， 则， 根据题意，得当D，E，A三点共线时，取得最小值， ∴． 故答案为：5． 14．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是12﹣x和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段AB的长，进而求得 的最小值是 　13　． （2）类比迁移：已知a，b均为正数，且a﹣b＝4．求的最大值． （3）方法应用：已知a，b均为正数，且是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）． 【解答】解：（1）如图，CD＝x，DE＝12﹣x，AC＝2，BE＝3， 在Rt△ADC中，AD＝＝， 在Rt△BDE中，BD＝＝， ∴+＝AD+BD， 要使+的值最小，则AD+BD的值最小， ∴当A，D，B三点共线时，AD+BD的值最小，最小值为AB， 过点B作BF⊥AC，交AC延长线于点F， 得矩形BECF， ∴BF＝CE＝CD+DE＝12，CF＝BE＝3， ∴AF＝AC+CF＝2+3＝5， ∴AB＝＝＝13， ∴代数式+的最小值为13； 故答案为：13； （2）模仿（1）可知，矩形AEBF中，C是BE的中点，CD⊥BE于C，AF＝2，BF＝a，BC＝1，CD＝b， 在Rt△ABF中，AB＝＝， 在Rt△BCD中，BD＝＝， ∴﹣＝AB﹣BD， 要使﹣的值最大，则AB﹣BD的值最大， ∴当A，D，B三点共线时，AB﹣BD的值最大，最大值为AD， ∵C是BE的中点，CD∥AE， ∴D是AB的中点， ∴CD＝BF，AD＝AB， 即b＝a， ∵a﹣b＝4， ∴a＝8， ∴AB＝＝＝2， ∴AD＝， 故答案为：． （3）构造图形如图，BE＝CD＝a，EF＝2a，BF＝3a， AB＝BC＝DE＝b， ∠ABF＝∠ACD＝∠DEF＝90°， ∴DF＝＝， AF＝＝， AD＝＝， ∴△ADF的面积即为所求， ∴S△ADF＝S△ABF+梯形BCDF﹣S△ACD ＝AB•BF+（CD+BF）•BC﹣AC•DC ＝ab+2ab﹣ab ＝ab． 15．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是12﹣x和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是 　13　． （2）类比迁移：已知a，b均为正数，且a+b＝4．求的最小值 　5　． （3）方法应用：已知a，b均为正数，且是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）． 【解答】解：（1）如图，CD＝x，DE＝12﹣x，AC＝2，BE＝3， 在Rt△ADC中，AD＝＝， 在Rt△BDE中，BD＝＝， ∴+＝AD+BD， 要使的值最小，则AD+BD的值最小， ∴当A，D，B三点共线时，AD+BD的值最小，最小值为AB， 过点B作BF⊥AC，交AC延长线于点F， 得矩形BECF， ∴BF＝CE＝CD+DE＝12，CF＝BE＝3， ∴AF＝AC+CF＝2+3＝5， ∴AB＝＝＝13， ∴代数式+的最小值为13； 故答案为：13； （2）模仿（1）可知，当AC＝1，CD＝b，DE＝a，BE＝2， 在Rt△ADC中，AD＝＝， 在Rt△BDE中，BD＝＝， ∴+＝AD+BD， 要使+的值最小，则AD+BD的值最小， ∴当A，D，B三点共线时，AD+BD的值最小，最小值为AB， 过点B作BF⊥AC，交AC延长线于点F， 得矩形BECF， ∴BF＝CE＝CD+DE＝a+b＝4，CF＝BE＝2， ∴AF＝AC+CF＝2+3＝5， ∴AB＝＝＝5， ∴代数式+的最小值为5． 故答案为：5； （3）构造图形如图，BE＝CD＝a，EF＝2a，BF＝3a， AB＝BC＝DE＝b， ∠ABF＝∠ACD＝∠DEF＝90°， ∴DF＝＝， AF＝＝， AD＝＝， ∴△ADF的面积即为所求， ∴S△ADF＝S△ABF+梯形BCDF﹣S△ACD ＝AB•BF+（CD+BF）•BC﹣AC•DC ＝ab+2ab﹣ab ＝ab． 题组四 二次根式分子有理化 16．【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较a＝2和b＝3的大小，我们可以把a和b分别平方．∴a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b． 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较c＝4大小，c 　＞　d（填写“＞”“＜”或“＝”）． （2）猜想m＝2之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如， 比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，． ∵，∴． （3）根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【解答】解：（1）∵， ∴c2＞d2， ∴c＞d； （2）∵， ∴n2＞m2， ∴n＞m； （3）∵，又 ∴， ∴． 17．材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”； ． 根据上述知识，请你解答下列问题： （1）化简； （2）比较与的大小，并说明理由． 【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝2； （2）∵，，且， ∴． 18．二次根式的计算中，有一种方法叫做“分子有理化”，即分母和分子同时乘以一个适当的因式，从而消除分子中的根式． 比如：． “分子有理化”可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些代数式的最值问题． 例如：比较和的大小． 解：，． 因为， 所以，即． 再例如，求代数式的最大值．做法如下： 解：由x+2≥0且x﹣2≥0可知：x≥2，而 ＝ 当x＝2时，分母有最小值2，所以原式的最大值是2． 利用上面的方法，完成下面问题： （1）比较和的大小； （2）求代数式的最大值． 【解答】解：（1）﹣＝，﹣＝， ∵+＞+＞0， ∴＜， 即﹣＜﹣； （2）∵x+1≥0且x﹣1≥0， ∴x≥1， ∵﹣ ＝ ＝， ∴当x＝1时，分母+有最小值， ∴﹣的最大值为， 那么﹣+2的最大值为+2． 19．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如： 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较 和的大小可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为所以． 再例如：求的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： （1）由材料可知，　﹣　＝； （2）比较和的大小； （3）式子的最小值是 　﹣1　． 【解答】解：（1）﹣＝， 故答案为：﹣； （2） ＝ ＝， 2﹣ ＝ ＝， ∵3＝，2＝， ∴3+4＞2+， ∴＜， ∴3﹣4＜2﹣； （3）由题意得：1﹣x≥0，1+x≥0，x≥0， 解得：0≤x≤1， ＝+ ＝+， 当x＝1时，+有最大值，则有最小值，且最小值＝＝﹣1，此时有最小值为0， ∴y的最小值＝0+﹣1＝﹣1， 故答案为：﹣1． 20．阅读与思考 阅读下面的材料，解答后面给出的问题． 数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，往往会发现有价值的东西，这是解决数学问题的一个重要策略”．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积中不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式． 例如：与，与． 化简一个分母含有二次根式的式子时，常常采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法． 例如：； ． （1）直接写出的有理化因式：　　． （2）请仿照上面的方法化简（b≥0且b≠1）． （3）已知，，求的值． 【解答】解：（1）∵， ∴的有理化因式为， 故答案为：． （2）∵b≥0且b≠1， ∴原式＝ ＝． （3）∵ ＝． ＝， ∴ ＝， ∴． 题组五 二次根式中平方差公式的应用 21．已知x﹣y＝6，，求的值． 【解答】解：∵x﹣y＝6， ∴， ∴， ∵+ ＝•+• ＝（+） ＝9， ∴， 即， ∴ ＝（﹣） ＝× ＝4． 22．阅读材料，解答问题： 材料：已知：﹣＝1，求+的值，张山同学是这样解答的： 因为（﹣）×（+） ＝（）2﹣（）2 ＝18﹣x﹣11+x＝7 所以+＝7 问题： （1）已知：+＝7， ①求﹣的值； ②求x的值． （2）直接写出代数式﹣+的最大值和最小值． 【解答】解：（1）①∵（+）（﹣） ＝（）2﹣（）2 ＝30﹣x﹣9+x ＝21， ∴﹣＝21÷7＝3； ②∵﹣＝3，+＝7， ∴2＝3+7， ∴＝5， ∴30﹣x＝25， 解得：x＝5； 经检验，x＝5是原方程的根， ∴x＝5． （2）代数式﹣+的最大值和最小值，理由： 由题意得：． ∴2≤x≤9． ∵ ＝ ＝ ＝， 又∵﹣x2+32x﹣60＝﹣（x﹣16）2+196，当x＝2时有最小值0，当x＝9时有最大值147， ∴，当x＝2时有最小值2，当x＝9时有最大值． ∴代数式﹣+＝﹣， ∴当x＝2时，代数式﹣+有最小值， 当x＝9时，代数式﹣+有最大值﹣0＝， ∴代数式﹣+的最大值为+和最小值为． 题组六 二次根式复杂运算 23．先化简，再求值：，其中a＝2，b＝2，c＝3． 【解答】解：设a+b+c＝x， ＝ ＝ ＝， ∵a＝2，b＝2，c＝3， ∴x＝a+b+c＝2+2+3＝7， ∴x﹣2a＝7﹣2×2＝3，x﹣2b＝7﹣2×2＝3，x﹣2x＝7﹣2×3＝1， ∴原式＝． 24．已知a＝， （1）求a2+a的值； （2）求的值． 【解答】解：（1）∵a＝， ∴2a+1＝， ∴（2a+1）2＝（）2， 即4a2+4a+1＝5， ∴a2+a＝1； （2）∵a2＝1﹣a， ∴a3＝a（1﹣a）＝2a﹣1， ∴原式＝2a﹣1+1++ ＝2a+ ＝2a+， 当a＝时，原式＝2×+＝﹣1+2（+2）＝3+3． 25．已知实数x，y满足（x+）（y+）＝1，求证：x+y＝0． 【解答】证明：∵（x+）（y+）＝1， ∴x+＝＝＝﹣y①， y+＝＝﹣x②， ∴①+②得：x+y＝﹣x﹣y， ∴x+y＝﹣（x+y）， ∴x+y＝0． 26．设互不相等的非零实数a，b，c满足，求的值． 【解答】解：令a+＝b+＝c+＝k， 则ab+3＝bk，bc+3＝ck，ac+3＝ak， 由ab+3＝bk，可得abc+3c＝kbc＝k（ck﹣3）， 即abc+3k＝（k2﹣3）c， 同理可得：abc+3k＝（k2﹣3）a，abc+3k＝（k2﹣3）b， ∴abc+3k＝（k2﹣3）a＝abc+3k＝（k2﹣3）b， ∵a，b，c为互不相等的非零实数， ∴k2﹣3＝0，即k2＝3， 则＝9． ∴． 27．设f（x）＝（x＞0）． （1）将f（x）化成（a、b是不同的整数）的形式； （2）求f（x）的最大值及相应的x值． 【解答】解：（1）f（x）＝• ＝ ＝ ＝ ＝； （2）当x＝，即x﹣＝0，也就是x＝时， 的值最小为+， 于是f（x）≤，＝﹣， 所以f（x）的最大值为﹣，此时x＝． 题组七 二次根式拓展--基本不等式 28．【操作发现】由 （a﹣b）2≥0 得，a2+b2≥2ab；如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：a+b≥2√ab，当且仅当a＝b时取到等号． 例如：已知x＞0，求式子x+的最小值． 解：令则由得，当且仅当时， 即x＝2时式子有最小值，最小值为4． 【问题解决】请根据上面材料回答下列问题： （1）已知x＞0，当x＝　3　时，代数式的最小值为 　6　． 【灵活运用】（2）当x＞2时，求的最小值； 【学以致用】（3）如图，民民同学想做一个菱形风筝，现在有一根长120cm的竹竿，他准备把它截成两段做成风筝的龙骨即菱形的对角线AC，BD，请你帮他设计一下，当AC＝　60　cm时菱形的面积最大，最大值为 　1800　cm2 （直接写出结果）． 【解答】解：（1）令a＝x，b＝， 则由a+b≥2，得x+≥2＝6， 当且仅当x＝时，即x＝3时，式子有最小值，最小值为6， 故答案为：3，6； （2）当x＞2时，x+＝x﹣2++2， 令x﹣2＝a，＝b， 则由a+b≥2，得x﹣2++2≥2+2＝4， 当且仅当x﹣2＝时，即x＝3时，式子有最小值，最小值为4； （3）设AC＝x cm，则BD＝（120﹣x）cm，菱形ABCD的面积为S cm2， 则S＝AC•BD＝x（120﹣x）＝﹣（x﹣60）2+1800， ∵﹣＜0， ∴当x＝60时，S由最大值，最大值为1800， 即当AC＝6cm时，菱形的面积最大，最大值为1800cm2． 故答案为：6，1800． 29．由（a﹣b）2≥0得，a2+b2≥2ab；如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：a+b≥2，当且仅当a＝b时取到等号． 例如：已知x＞0，求式子x+的最小值． 解：令a＝x，b＝，则由a+b≥2，得x+≥2＝4，当且仅当x＝时，即x＝2时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： （1）当x＞0，式子x+的最小值为 　8　；当x＜0，则当x＝　﹣3　时，式子2x+取到最大值； （2）如图1用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别是8和18，求四边形ABCD面积的最小值． 【解答】解：令a＝x，b＝，则由a+b≥2，得x+≥2＝8，当且仅当x＝时，即x＝4时，式子有最小值，最小值为8；∵﹣2x﹣≥2•＝6， 则2x+≤6， ∴当2x＝时，有最大值， ∴x＝±3， ∵x＜0， ∴x＝﹣3， ∴当x＞0，式子x+的最小值为8；当x＜0，则当x＝﹣3时，式子取到最大值； （2）设长为x，宽为y．则xy＝32，欲使x+2y最小， ∵x＞0，y＞0， x+2y≥2＝2＝2＝2×8＝16， 当且仅当x＝2y时取得等号， 由， 解得，x＝8，y＝4， 即长为8，宽为4时，所用篱笆最短． 最短篱琶为16米． （3）设S△BOC＝x，已知S△AOB＝8，S△COD＝18， 则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD， ∴x：18＝8：S△AOD， ∴S△AOD＝， ∴四边形ABCD面积＝8+18+x+≥26+2＝26+24＝50， 当且仅当x＝12时，取等号， ∴四边形ABCD面积的最小值为50． 30．阅读以下的材料： 如果两个正数a、b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式： ≥，当且仅当a＝b时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．下面举一例子： 例：已知x＞0，求函数y＝x+的最小值． 解：令a＝x，b＝，则有a+b≥2，得y＝x+≥2＝4，当且仅当x＝时，即x＝2时，函数有最小值，最小值为2． 根据上面回答解决下列问题： （1）已知x＞0，则当x＝　　时，函数y＝2x+取到最小值，最小值为 　2　； （2）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，S△BOC＝9，S△AOD＝25，求四边形ABCD的面积的最小值． 【解答】解：（1）令a＝2x，b＝， 则有a+b≥2， 即y＝2x+≥2＝2． 当2x＝时，x＝时，函数有最小值，最小值为2． 故答案为：，2； （2）设S△COD＝y，S△AOB＝x， 则S四边形ABCD＝9+25+x+y． ∵（﹣）2≥0， ∴x+y≥2． ∴S≥34+2； 当且仅当x＝y时，S最小＝34+2； 此时BC∥AD，x＝y＝＝15． 故S最小＝34+2×15＝64． 31．阅读以下材料： 如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：，当且仅当a＝b时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知x＞0，求函数y＝x+的最小值． 解：令a＝x，b＝，则由a+b≥2，得y＝x+＝4，当且仅当x＝时，即x＝2时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题： ①已知x＞0，则当x＝　　时，函数y＝2x+取到最小值，最小值为 　2　； ②已知x＞0，则自变量x取何值时，函数y＝有最小值，并求出最小值． 【解答】解：①∵x＞0，则2x＞0，＞0， 故y＝2x+≥2＝2， 当且仅当2x＝，即x＝时，函数有最小值为2， 故答案为：，2； ②y＝＝x+﹣2， ∵x＞0，则＞0， 故y＝x+﹣2≥2﹣2＝6﹣2＝4， 当且仅当x＝，即x＝3时，y的最小值为4， 故自变量x＝3时，函数y＝有最小值，最小值为4． 题组八 二次根式拓展--多重根式 32．求的值． 【解答】解：令原式＝x，有x2＝2+x， ∵x＞0， ∴x＝2． ∴原式＝2． 33．求﹣的值． 【解答】解：设x＝，y＝， 则x2＝2x，y2＝2+y， 解得：x＝2或x＝0（舍去），y＝2或y＝﹣1（舍去） 因此﹣＝x﹣y＝0． 题组九 二次根式拓展--解无理方程 34．阅读材料：求解一元一次方程，需要根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式；求解二元一次方程组，需要通过消元把她转化为一元一次方程来解，求解三元一次方程组，需要把它转化为二元一次方程组来解：求一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解，各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解一元三次方程x3﹣3x2﹣x＝0，通过因式分解把它转化为x（x2﹣3x﹣1）＝0，通过解方程x＝0和x2﹣3x﹣1＝0，可得原方程x3﹣3x2﹣x＝0的解． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为2x+3＝x2，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∵2x+3≥0且x≥0，∴x＝﹣1不是原方程的解，∴原方程的解为x＝3． 请仔细阅读材料，解下列方程： （1）解方程：2x3+5x2+3x＝0； （2）解方程：． 【解答】解：（1）2x3+5x2+3x＝0， x（2x2+5x+3）＝0， ∴x（2x+3）（x+1）＝0． ∴x＝0，2x+3＝0，x+1＝0， ∴x1＝0，x2＝﹣，x3＝﹣1． （2）， 方程两边平方，得3x2+5x﹣1＝（x+1）2， 即3x2+5x﹣1＝x2+2x+1， 整理，得2x2+3x﹣2＝0． ∴（2x﹣1）（x+2）＝0． ∴2x﹣1＝0或x+2＝0． ∴x＝或x＝﹣2． 经检验，x＝是原方程的解． ∴原方程的解为x＝． 35．已知x为正实数，且满足，求x的值． 【解答】解：设＝a，＝b， ∴a2﹣b2＝9﹣x2﹣（7﹣x2）＝2， ∵， ∴a+b＝4， ∴（a+b）（a﹣b）＝2， ∴4（a﹣b）＝2， ∴a﹣b＝， ∴， 解得：a＝， ∴＝， ∴x＝（负值舍）． 36．设实数x＞0，求使等式+＝成立的所有x的值． 【解答】解：∵x＞0，x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）≥0，x2+4x+3＝（x+1（x+3）≥0，3x2+4x+＝（x+1（3x+1）≥0， ∴x+1＞0，x﹣1≥0，x+3＞0，3x+1≥0 原方程变形为， ， ∵， ∴， ∴， 方程两边平方，得 x﹣1+x+3+2＝3x+1， 2＝x﹣1， 方程两边平方，得 4（x﹣1）（x+3）＝（x﹣1）2， 整理得3x2+10x﹣13＝0， （x﹣1）（3x+13）＝0， ∴x﹣1＝0或3x+13＝0， ∴x＝1或x＝﹣（舍去）， ∴x＝1． 37．我们知道，解一个无理方程主要是通过两边平方的方法使之转化为有理方程，但有时，用这个方法去解一些特殊的无理方程时会碰到一点麻烦，如解方程3x2+15x+2＝2，如若还是采用两边平方的方法，显然不仅计算麻烦还会出现高次方程，由此，我们想到能否像解分式方程一样采用换元法以简化方程呢？经观察，原方程可以改写为3（x2+5x+1）+2﹣5＝0，设＝y（*），则原方程化为3y2+2y﹣5＝0，解这个一元二次方程，得出y的值后再代入（*），就可以得出原方程的解，不要忘了验根． 下面让我们自己来试一试吧！解下列方程：4x2﹣8x+＝17+2x． 【解答】解：4x2﹣8x+＝17+2x． 移项得：4x2﹣10x+＝17， ∴2（2x2﹣5x+2）+＝17+4， ∴2（2x2﹣5x+2）+﹣21＝0， 设＝y， ∴y≥0， ∴原方程为2y2+y﹣21＝0， ∴（y﹣3）（2y+7）＝0， 解得y1＝3，y2＝（不符合题意，舍去）， ∴＝3， ∴2x2﹣5x+2＝9， ∴2x2﹣5x﹣7＝0， （x+1）（2x﹣7）＝0， x1＝﹣1，x2＝， 经检验，x＝﹣1或是方程的解． 综上所述，方程：4x2﹣8x+＝17+2x的根为x1＝﹣1，x2＝． 38．若a≥1，则方程＝x的所有实根之和等于　　． 【解答】解：＝x， 两边平方：a﹣＝x2， ＝a﹣x2， 两边平方得：a+x＝（a﹣x2）2， x4﹣2ax2﹣x+a2﹣a＝0， （x2+x+1﹣a）（x2﹣x﹣a）＝0， x2+x+1﹣a＝0或x2﹣x﹣a＝0， x＝，x＝， ∵a﹣x2≥0， ∴x2≤a， ∵a≥1， 当a＝1时，x2≤1， ∵x≥0， ∴0≤x≤1， ∴x＝＜0，x＝＜0，x＝＞1，都不符合题意． ∴x只有一个实数根是：x＝， 故答案为：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$