第02章 特殊三角形 章节测试练习卷-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第02章 特殊三角形 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．一个等腰三角形两边长分别是5和4，则它的周长是（    ） A．9 B．14 C．13 D．13或14 2．以下列各组数字为边长的三角形是直角三角形的是（    ） A．2，3，4 B．3，4，6 C．4，6，7 D．5，12，13 3．直角三角形ABC的两条直角边的长分别为1、2，则它的斜边长为（    ） A． B． C．2 D．3 4．在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为24cm，则AB边的取值范围是（    ） A．1cm＜AB＜12cm B．6cm＜AB＜8cm C．6cm＜AB＜12cm D．8cm＜AB＜12cm 5．已知△ABC，AB＝5，BC＝12，AC＝13，点P是AC上一个动点，则线段BP长的最小值是（　　） A． B．5 C． D．12 6．剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，，于点D，E为AB的中点，连接CE，若，，则的度数是（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 8．如图，已知，点Р在边OA上，，点M，N在边OB上，．若，则OM的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，在AC上取一E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长度为（    ） A．1 B． C．2 D． 10．甲骨文是中国的一种古代文字，又称“契文”、“甲骨卜辞”、“殷墟文字”或“龟甲兽骨文”，是汉字的早期形式，是现存中国王朝时期最古老的一种成熟文字，如图为甲骨文对照表中的部分内容，其中可以抽象为轴对称图形的甲骨文对应的汉字是（　　） A．方 B．雷 C．罗 D．安 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 11．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 12．如果一个直角三角形的两条边的长度分别是3cm和4cm，那么这个直角三角形的第三边的长度是 ． 13．如图，在数轴上，点和点对应的实数分别是和，，，以点为旋转中心，以为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数为 ． 14．如图，在中，于点D，AE平分，则的度数为 ． 15．如图，在中，平分于点，如果，那么等于 . 16．如图，在中，，，，以为边向外作等腰直角三角形，则的长可以是 ． 三．解答题：（本大题共8题，17-22题每题6分，23-24题每题8分，满分52分） 17．2021年是第七届全国文明城市创建周期的第一年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了． (1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 18．周末，小明和小亮去碧沙岗公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． 问题：求风筝的垂直高度． 19．笔直的河流一侧有一旅游地C可直接到达河边两个漂流点A，B，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，为方便游客，决定在河边新建一个漂流点H（点A，H，B在同一直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，千米．试问：能否求出原路线的长？说明理由．    20．防火安全无小事，时时处处需留心．一天晚上，某居民楼的点处着火，消防大队派出云梯消防车展开紧急救援．已知点离地面28米，消防车的云梯底部（点与地面的垂直距离是4米，与居民楼的水平距离是10米．云梯需要伸长多少米才能到达着火处？ 21．如图，在中，，． (1)作出的角平分线，点E在线段上（要求：尺规作图，方法不限，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在射线上找一点P，使与（1）中所作的全等（要求：尺规作图，方法不限，不写作法，保留作图痕迹）． 22．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 23．如图，沿海城市测得台风中心在东南方向的处，该台风中心始终以的速度沿北偏西的方向移动． (1)填空：，； (2)当台风中心移动到市正东方向的处时，求、之间的距离？(结果保留根号) (3)距台风中心的圆形区域包括边界都属台风影响区，求市受台风影响的时长？ 24．【初步发现】 （1）直线和线段如图1所示，连接，若，则___________线段的垂直平分线；（填“是”或“不是”） 【深入研究】 （2）如图2，与都是等边三角形，连接，求证：； 【拓展研究】（3）如图3，某小区有一块形状为等边三角形的草地，，现要将这块草地扩展成四边形的形状，用来种植不同的花卉，连接，根据规划要求，需要满足，点在上，．为了防止有人踩踏花卉，沿四边形的四周搭建围栏，求围栏的总长度（即求四边形的周长）． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02章 特殊三角形 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．一个等腰三角形两边长分别是5和4，则它的周长是（    ） A．9 B．14 C．13 D．13或14 【答案】D 【解析】略 2．以下列各组数字为边长的三角形是直角三角形的是（    ） A．2，3，4 B．3，4，6 C．4，6，7 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是掌握“如果三角形最长边的平方等于另两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”，逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，不可以组成直角三角形，故不符合题意； B、，不可以组成直角三角形，故不符合题意； C、，不可以组成直角三角形，故不符合题意； D、，可以组成直角三角形，故符合题意； 故选：D． 3．直角三角形ABC的两条直角边的长分别为1、2，则它的斜边长为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据勾股定理进行计算，即可求得结果． 【详解】直角三角形的两条直角边的长分别为1，2， 则斜边长=， 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理；熟练运用勾股定理进行求解是解决问题的关键． 4．在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为24cm，则AB边的取值范围是（    ） A．1cm＜AB＜12cm B．6cm＜AB＜8cm C．6cm＜AB＜12cm D．8cm＜AB＜12cm 【答案】C 【分析】设AB=AC=x，由三角形的三边关系定理得出x＞6，再由边长为正数得出x＜12，即可得出结果． 【详解】解：设AB=AC=x， 则BC=24-2x， 由三角形的三边关系得：x+x＞24-2x， 解得：x＞6， 又∵24-2x＞0， 解得：x＜12， ∴6＜x＜12， 即6cm＜AB＜12cm； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的性质；熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的关键． 5．已知△ABC，AB＝5，BC＝12，AC＝13，点P是AC上一个动点，则线段BP长的最小值是（　　） A． B．5 C． D．12 【答案】A 【详解】解：∵AB=5，BC=12，AC=13，∴AB2+BC2=169=AC2，∴△ABC是直角三角形，当BP⊥AC时，BP最小，∴线段BP长的最小值是：13BP=5×12，解得：BP=．故选A．    点睛：本题主要考查勾股定理的逆定理以及直角三角形面积求法，关键是熟练运用勾股定理的逆定理进行分析． 6．剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念，即可得出正确选项． 【详解】A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，熟练掌握概念是本题的关键． 7．如图，在中，，于点D，E为AB的中点，连接CE，若，，则的度数是（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质可得CE=AE=BE=，从而得到△ACE是等边三角形，进而得到∠A=∠ACE=60°，再由，即可求解． 【详解】解：在中，，E为AB的中点， ∴CE=AE=BE=， ∵， ∴AC=AE=CE， ∴△ACE是等边三角形， ∴∠A=∠ACE=60°， ∵， ∴∠DCE=30°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 8．如图，已知，点Р在边OA上，，点M，N在边OB上，．若，则OM的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】作PH⊥MN于H，如图，根据等腰三角形的性质得MH＝NH＝MN＝1，在Rt△POH中由∠POH＝60°得到∠OPH＝30°，则根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH＝OP＝4，然后计算OH﹣MH即可． 【详解】解：作PH⊥MN于H，如图， ∵PM＝PN， ∴MH＝NH＝MN＝1， 在Rt△POH中，∵∠POH＝60°， ∴∠OPH＝30°， ∴OH＝OP＝×8＝4， ∴OM＝OH﹣MH＝4﹣1＝3． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质和含30°角的直角三角形的性质，利用三线合一作出辅助线是本题的解题关键． 9．如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，在AC上取一E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长度为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】试题分析：由Rt△ABC中，BC=3,AB=5,利用勾股定理，可求得AC的长，由折叠的性质，可得CD的长，然后设DE=x，由勾股定理，即可列方程求得结果． ∵Rt△ABC中，BC=3,AB=5, ∴ 由折叠的性质可得：AB=BD=5，AE=DE， ∴CD=BD-BC=2， 设DE=x，则AE=x， ∴CE=AC-AE=4-x， ∵在Rt△CDE中，DE2=CD2+BCE2， ∴x2=22+（4-x）2， 解得：， ∴． 故选B． 考点：此题主要考查了图形的翻折变换，勾股定理 点评：解题过程中应注意折叠后哪些线段是重合的，相等的，如果想象不出哪些线段相等，可以动手折叠一下即可． 10．甲骨文是中国的一种古代文字，又称“契文”、“甲骨卜辞”、“殷墟文字”或“龟甲兽骨文”，是汉字的早期形式，是现存中国王朝时期最古老的一种成熟文字，如图为甲骨文对照表中的部分内容，其中可以抽象为轴对称图形的甲骨文对应的汉字是（　　） A．方 B．雷 C．罗 D．安 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念观察图形判断即可． 【详解】由图可知，是轴对称图形的只有“罗”. 故答案选：C. 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是熟练的掌握轴对称图形的概念. 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 11．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 【答案】 【分析】根据两点之间的距离公式计算即可． 【详解】解：点到原点的距离是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查两点间的距离公式，掌握勾股定理是解题的关键． 12．如果一个直角三角形的两条边的长度分别是3cm和4cm，那么这个直角三角形的第三边的长度是 ． 【答案】5cm或cm 【分析】分两种情况：当4cm为直角边时，利用勾股定理求出第三边；当4cm为斜边时，利用勾股定理求出第三边. 【详解】∵该三角形是直角三角形， ∴①当4cm为直角边时，第三边长为cm； ②当4cm为斜边时，第三边长为cm， 故答案为：5cm或cm. 【点睛】此题考查勾股定理，题中没有确定已知的两条边长是直角边或是斜边，故应分情况讨论，避免漏解. 13．如图，在数轴上，点和点对应的实数分别是和，，，以点为旋转中心，以为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是实数与数轴、用勾股定理解三角形、数轴上两点之间的距离，解题关键是熟练掌握实数与数轴的对应关系． 先由题意得，利用勾股定理求出后，根据实数与数轴关系即可求解． 【详解】解：依题得：， ，，， ， ， 表示的实数是， 此时表示的实数为． 故答案为：． 14．如图，在中，于点D，AE平分，则的度数为 ． 【答案】25°/25度 【分析】由AD⊥BC可得∠BDA=90°，由直角三角形两个锐角互余，得到∠BAD=30°，即可求得∠DAC=50°，再由AE平分∠DAC可得∠DAE=25°． 【详解】∵AD⊥BC， ∴∠BDA=90°， ∵∠B=60°， ∴∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°， ∵∠BAC=80°， ∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=80°-30°=50°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE=∠DAC=×50°=25°． 故答案为：25° 【点睛】本题考查了直角三角形的定义，角平分线的定义，和三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 15．如图，在中，平分于点，如果，那么等于 . 【答案】4. 【分析】由角平分线的性质可证明CE=DE，可得AE+DE=AC，再由勾股定理求出AC的长即可. 【详解】∵平分于点， ∴DE=CE， ∴AE+DE=AE+EC=AC， 在Rt△ABC中，， ∴AC=， ∴AE+DE=4， 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质以及勾股定理，熟练掌握角平分线的性质是解答此题的关键. 16．如图，在中，，，，以为边向外作等腰直角三角形，则的长可以是 ． 【答案】或或 【分析】在中计算AB，情况一：作于E，计算AE，DE，CE，可得CD；情况二：作于E，计算BE，CE，DE，可得CD；情况三：作，计算，可得CD． 【详解】∵，， ∴， 情况一：当时，作于E ∴ ，即， ∴ ∴ 情况二：当时，作于E， ∴，即， ∴ ∴ 情况三：当时，作，作于E ∴， ∵为等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 故答案为：或或 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的探索，勾股定理的计算等，熟知以上知识是解题的关键． 三．解答题：（本大题共8题，17-22题每题6分，23-24题每题8分，满分52分） 17．2021年是第七届全国文明城市创建周期的第一年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了． (1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】(1)测量的是点，之间的距离；理由见解析． (2)绿化这片空地共需要元． 【分析】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可判断； （2）由（1）中的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式，最后计算费用即可． 【详解】（1）解：测量的是点，之间的距离； 依据是：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形． （2）如图，连接， ，，， ， 由勾股定理，得， 又，， ， 是直角三角形， ． ． 绿化费用为：（元）． 答：绿化这片空地共需要元． 18．周末，小明和小亮去碧沙岗公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． 问题：求风筝的垂直高度． 【答案】米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度, 【详解】解：由题意知：米，，米． 在中，由勾股定理得： ． ∴． ∴米． 答：风筝的垂直高度为米． 19．笔直的河流一侧有一旅游地C可直接到达河边两个漂流点A，B，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，为方便游客，决定在河边新建一个漂流点H（点A，H，B在同一直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，千米．试问：能否求出原路线的长？说明理由．    【答案】能，，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，先判断，再根据勾股定理列方程解答即可．解题的关键是能够证明． 【详解】解：， ∴原路线的长为千米． 20．防火安全无小事，时时处处需留心．一天晚上，某居民楼的点处着火，消防大队派出云梯消防车展开紧急救援．已知点离地面28米，消防车的云梯底部（点与地面的垂直距离是4米，与居民楼的水平距离是10米．云梯需要伸长多少米才能到达着火处？ 【答案】26米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．作地面于点，于点，在中，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，作地面于点，于点， 由题意得：米，米，米． 米， （米． 在中，由勾股定理得， （米． 答：云梯需要伸长26米才能到达着火处． 21．如图，在中，，． (1)作出的角平分线，点E在线段上（要求：尺规作图，方法不限，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在射线上找一点P，使与（1）中所作的全等（要求：尺规作图，方法不限，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）用尺规作的角平分线交于E，即为所求； （2）用尺规过点B作交的延长线于点P，点P即为所求；由可得则，结合运用即可证明． 【详解】（1）解：如图，作的角平分线交于E，即为所求； （2）解：如图，用尺规过点B作交的延长线于点P，点P即为所求； 证明：∵ ∴ ∴ ∵，平分 ∴ 在和中 ∴． 【点睛】本题考查尺规作图、全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质等知识，掌握用尺规作角平分线和垂线是解答本题的关键． 22．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】符合，理由见解析 【分析】先在中利用勾股定理求出,然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理． 23．如图，沿海城市测得台风中心在东南方向的处，该台风中心始终以的速度沿北偏西的方向移动． (1)填空：，； (2)当台风中心移动到市正东方向的处时，求、之间的距离？(结果保留根号) (3)距台风中心的圆形区域包括边界都属台风影响区，求市受台风影响的时长？ 【答案】(1)；； (2)、之间的距离为 (3)市受台风影响的时长为 【分析】本题考查勾股定理解直角三角形的应用，方位角的应用； （1）根据题意，即可得到答案； （2）过作于，设，用表示，，再根据列方程，即可求出从而解决问题； （3）过作于，设台风中心移动到点处时，城市开始受影响；移动到点处时，城市正好结束影响，即在中，求出，从而得到，进一步求出市受台风影响的时长． 【详解】（1）解：由题意知，． 故答案为：，； （2）如图，过作于， 由题可得，，， 在中，， 设 ， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， 答：、之间的距离为； （3）如图，过作于， 在中，， ∴km， 设台风中心移动到点处时，城市开始受影响； 移动到点处时，城市正好结束影响，即． 于点， ， 在中， ， ， 答：市受台风影响的时长为． 24．【初步发现】 （1）直线和线段如图1所示，连接，若，则___________线段的垂直平分线；（填“是”或“不是”） 【深入研究】 （2）如图2，与都是等边三角形，连接，求证：； 【拓展研究】（3）如图3，某小区有一块形状为等边三角形的草地，，现要将这块草地扩展成四边形的形状，用来种植不同的花卉，连接，根据规划要求，需要满足，点在上，．为了防止有人踩踏花卉，沿四边形的四周搭建围栏，求围栏的总长度（即求四边形的周长）． 【答案】（1）是；（2）见解析；（3） 【分析】 （1）根据线段垂直平分线的判定方法可得答案； （2）根据证明即可证明结论成立； （3）连接．根据证明得，进而可证点B，D，M在的垂直平分线上，然后根据勾股定理求出，．根据证明得，然后根据勾股定理求出即可求解． 【详解】解：（1）， ∴点C、D分别在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线． 故答案为：是； （2）∵与都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）连接． ∵是等边三角形， ∴，． ∵，， ∴， ∴，∴ 点D、B在的垂直平分线上． ∵， ∴点M在的垂直平分线上， ∴点B，D，M共线，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长 ， 即四边形的四周搭建围栏长为． 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定雨性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键 ． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$