第18讲 带电粒子在各类场中的运动（对标选考20题）-2025年高中物理二轮复习解密（浙江选考专用）

第18讲 带电粒子在各类场中的运动 高考中本讲内容重要程度大，难度也大，综合性强，考察分值高。本章内容在高考中占据了极为重要的位置，既是热点也是难点，试题涉及内容综合性较强。带电粒子在带电场中的加速和偏转，在有界匀强磁场中的运动，以及带电粒子在组合场中的运动，都是考试关注的焦点。 一、带电粒子在复合场中的运动 1．复合场的分类 (1)叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存． (2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或相邻或在同一区域电场、磁场交替出现． 2．带电粒子在复合场中的运动分类 (1)静止或匀速直线运动 当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动． (2)匀速圆周运动 当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动． (3)较复杂的曲线运动 当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线． (4)分阶段运动 带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化． 二、带电粒子在组合场中的运动 1．带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：分阶段(分过程)按照时间顺序和进入不同的区域分成几个不同的阶段； 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如下： ←←←→→→ 第3步：用规律 →→→→ → 2．解题步骤 (1)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键． (2)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题． 题型1选考真题探秘 1. （2024•浙江）探究性学习小组设计了一个能在喷镀板的上下表面喷镀不同离子的实验装置，截面如图所示。在xOy平面内，除x轴和虚线之间的区域之外，存在磁感应强度大小为B、方向垂直平面向外的匀强磁场。在无磁场区域内，沿着x轴依次放置离子源、长度为L的喷镀板P、长度均为L的栅极板M和N（由金属细丝组成的网状电极），喷镀板P上表面中点Q的坐标为（1.5L，0），栅极板M中点S的坐标为（3L，0）。离子源产生a和b两种正离子，其中a离子质量为m、电荷量为q，b离子的比荷为a离子的倍，经电压U＝kU0（其中，k大小可调，a和b离子初速度视为0）的电场加速后，沿着y轴射入上方磁场。经磁场偏转和栅极板N和M间电压UNM调控 （UNM＞0），a和b离子分别落在喷镀板的上下表面，并立即被吸收且电中和。忽略场的边界效应、离子受到的重力及离子间相互作用力。 （1）若U＝U0，求a离子经磁场偏转后，到达x轴上的位置x0（用L表示）； （2）调节U和UNM，并保持，使a离子能落到喷镀板P上表面任意位置，求； ①U的调节范围（用U0表示）； ②b离子落在喷镀板P下表面的区域长度； （3）要求a和b离子恰好分别落在喷镀板P上下表面的中点，求U和UNM的大小。 2. （2024•浙江）类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反射”和“折射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ；Ⅰ区宽度为d，存在磁感应强度大小为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，Ⅱ区的宽度很小。Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别为φⅠ和φⅢ，其电势差U＝φⅠ﹣φⅢ。一束质量为m、电荷量为e的质子从O点以入射角θ射向Ⅰ区，在P点以出射角θ射出，实现“反射”；质子束从P点以入射角θ射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折射”进入Ⅲ区，其出射方向与法线夹角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，单位时间发射的质子数为N，初速度为v0，不计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。 （1）若不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求d的最小值； （2）若，求“折射率”n（入射角正弦与折射角正弦的比值）； （3）计算说明如何调控电场，实现质子束从P点进入Ⅱ区发生“全反射”（即质子束全部返回Ⅰ区）； （4）在P点下方距离处水平放置一长为的探测板CQD（Q在P的正下方），CQ长为，质子打在探测板上即被吸收中和。若还有另一相同质子束，与原质子束关于法线左右对称，同时从O点射入Ⅰ区，且θ＝30°，求探测板受到竖直方向力F的大小与U之间的关系。 3. （2023•浙江）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于（0，3L）处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t； （2）若B2＝2B1，求能到达处的离子的最小速度v2； （3）若B2，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在～范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。 4. （2023•浙江）探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x轴上方存在垂直xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。x轴下方的分析器由两块相距为d、长度足够的平行金属薄板M和N组成，其中位于x轴的M板中心有一小孔C（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。位于坐标原点O的离子源能发射质量为m、电荷量为q的正离子，其速度方向与y轴夹角最大值为60°；且各个方向均有速度大小连续分布在和之间的离子射出。已知速度大小为v0、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C．未能射入孔C的其它离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。 （1）求孔C所处位置的坐标x0； （2）求离子打在N板上区域的长度L； （3）若在N与M板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压U0； （4）若将分析器沿着x轴平移，调节加载在N与M板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压Ux与孔C位置坐标x之间关系式。 题型2带电粒子在复合场中的运动 5. （2024•浙江二模）如图所示，直角坐标系第一象限内有一竖直分界线PQ，PQ左侧有一直角三角形区域OAC，其中分布着方向垂直纸面向里、磁感应强度为B0的匀强磁场，已知OA与y轴重合，且OA＝a，θ＝60°，C点恰好处于PQ分界线上。PQ右侧有一长为L的平行板电容器，板间距为a，上极板与左侧磁场的上边界平齐，内部分布着方向垂直纸面向里，强弱随y坐标变化的磁场，和竖直向下场强大小为E的匀强电场。该复合场能使沿水平方向进入电容器的电子均能沿直线匀速通过电容器。在平行板电容器右侧某区域，存在一垂直纸面向内、磁感应强度为2B0的匀强磁场（图中未画出），使水平通过平行板电容器的电子进入该磁场后会聚于x轴上一点。现有速率不同的电子在纸面上从坐标原点O沿不同方向射到三角形区域，不考虑电子间的相互作用。已知电子的电量为e，质量为m，求： （1）当速度方向沿y轴正方向时，能进入平行板电容器的电子所具有的最大速度是多少； （2）写出电容器内磁场的磁感应强度B随y坐标的变化规律； （3）若电子沿上极板边缘离开电容器后立即进入右侧磁场，在答题纸上画出纵坐标0＜y＜a区域内该磁场的左边界，并求出会聚点的横坐标。 6. （2023•乐清市校级模拟）空间中足够大区域内存在相互垂直的电场和磁场，电场强度和磁感应强度分别为E和B。可将小球所受重力类比电场力，即认为重力场强度为g。质量为m、电荷量为q的带正电的小球A从z轴上的P点出发，速率始终不变。 （1）试求出小球A在xOz平面内的速率； （2）若在某一时刻，重力场和磁场突然消失（不考虑电磁感应变化），随后小球A在运动过程中的最小动能为其初动能的一半，试求小球A沿y轴方向速度大小； （3）恢复重力场，仅保留﹣H≤z≤0区间内的正交匀强的电磁场。现有与小球A完全相同的小球B，两小球分别从P点沿x轴正负方向以相同初速度水平抛出，已知其中一个小球进入电磁场区域后刚好做匀速直线运动，另一个小球出电磁场区域时速度方向恰沿z轴负方向，求两个小球在电磁场区域运动时间之比。 7. 某研究小组设计了如图所示的双立柱形粒子加速器，整个装置处于真空中。已知两个立柱底面均为边长为d的正方形，各棱均分别和某一坐标轴平行。立柱1下底面中心坐标为（，，0），立柱2下底面中心坐标为（，，0），它们的上底面均位于z＝10d的平面内。两个立柱上、下底面间的电压大小均为U，立柱1内存在着沿z轴正方向的匀强电场，立柱2内存在着沿z轴负方向的匀强电场，两立柱外电场均被屏蔽。在z＞10d和z＜0的空间内存在着沿x轴正方向的两个匀强磁场，其磁感应强度分别是B1和B2（均未知）。现有大量的带正电的粒子从立柱1底面各处由静止出发，经过立柱1、2加速后能全部回到立柱1的下底面。若粒子在经过z＝0和z＝10d两个平面时，仅能自由进出两立柱的底面（经过其它位置均会被吸收）；该粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子 重力及粒子间的相互作用力。求： （1）粒子经过立柱2下底面时的动能Ek； （2）磁感应强度B1和B2的大小； （3）若两立柱上、下底面间电压的大小可调且在粒子运动过程中保持同一定值；两个磁场仅方向可变且保持与z轴垂直。求从立柱1下底面出发的粒子再次回到立柱1下底面的最短时间t。 题型3带电粒子在组合场中的运动 8. （2024•温州三模）如图甲所示，某种离子分析器由加速区、偏转区和检测区组成，分别分布在第Ⅲ、Ⅱ、Ⅰ象限内。在加速通道内分布着沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E1在0.6E0≤E1≤1.2E0范围内调节；在偏转通道内分布着垂直xOy坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B1随E1的变化而变化；在检测区内，分布着匀强电场或磁场，检测区内适当位置放有长为2L的检测板。在坐标为（﹣L，﹣1.5L）的A处有一离子源，可连续释放质量为m、电荷量为﹣q（q＞0）的离子（释放时的速度可视为零），离子沿直线到达坐标为（﹣L，0）的小孔C，再经偏转区后从坐标为（0，L）的小孔D进入检测区，打在检测板上。三个区域的场互不影响，不计离子的重力及其间的相互作用。 （1）要保证所有的离子都能从C孔出来后从D孔进入检测区，试推导磁感应强度大小B1随场强E1变化的关系式； （2）如图乙所示，将检测板左端放在D孔上沿，板面与x轴正方向的夹角θ＝30°。检测区内加沿y轴负方向、场强大小E2＝8E0的匀强电场，在满足（1）的条件下： ①求检测板上收集到离子记录线的长度Δd1； ②调整θ角使检测板上收集到离子的记录线最长，求此记录线的长度Δd2及调整后的角度正弦值； （3）如图丙所示，检测板与y轴平行，并可沿x轴及y轴平移。检测区内加垂直xOy坐标平面向里的磁场，磁感应强度大小B2沿x轴均匀变化，即B2＝kx（k为大于零的常量），在满足（1）的条件下，要使检测板能收集到离子，求检测板x坐标的最大值。 9. （2024•镇海区校级模拟）如图甲所示，真空中存在一间距为d＝0.02m的水平平行板电容器，板长L＝0.04m，板间电压为U、板间匀强电场方向向上，MN为一垂直上极板PQ的足够长的光屏，其下端N与极板右端Q重合，在MN所在竖直线右侧空间存在匀强磁场。在下极板左端有一个粒子源A，可以紧贴极板水平向右连续发射带正电的粒子，粒子比荷为，初速度。已知粒子打到极板或光屏时会被吸收，粒子之间的作用力不计，粒子的重力不计。 （1）为使粒子能够从极板间射出，求电压U的最大值； （2）若匀强磁场方向垂直纸面向里（如图甲），大小为B1＝0.05T，电压U可任意调节，则求粒子击中光屏形成痕迹的长度ΔL； （3）若匀强磁场方向改成水平向右，大小变为，电压U可任意调节，在极板右侧放置另一块与MN平行的足够大的光屏CD，CD在磁场中能左右移动，则求粒子打在光屏CD上留下所有痕迹的面积S； （4）在满足第（3）问的条件下，同时在电容器的右侧与光屏之间加一水平向右的匀强电场，其场强大小，在光屏上以D点原点（D点为光屏与FG直线的交点），垂直纸面向内为x轴，竖直向上为y轴，水平向右的方向为z轴，建立如图乙所示的三维直角坐标系xyz。光屏位置到G点的距离用K表示，现将光屏CD沿FG直线从G点开始从近到远依次放在不同位置上，光屏CD始终平行MN，当光屏距G点为K1与K2这两个位置时打在光屏上所有粒子的点迹首次先后出现如图丙、丁所示的两条直线（顺着匀强电场E，水平向右看光屏），其中图丙为距离K1时的图样，图丁为距离K2时的图样，则K1与K2这两位置相距多少距离？ 10. （2024•宁波模拟）如图甲所示，曲线OP上方有沿﹣y方向的匀强电场，其场强大小为E1，曲线左侧有一粒子源AB，B端位于x轴上，能够持续不断地沿+x方向发射速度为v0、质量为m、电荷量为q的粒子束，这些粒子经电场偏转后均能够通过O点，已知从A点入射粒子恰好从P点进入电场，不计重力及粒子间的相互作用。 （1）写出匀强电场边界OP段的边界方程（粒子入射点的坐标y和x间的关系式）； （2）若第四象限内存在边界平行于坐标轴的矩形匀强磁场B1（未画出），磁场方向垂直纸面向外。自O点射入的粒子束，经磁场偏转后均能够返回y轴，若粒子在第四象限运动时始终未离开磁场，求磁场的最小面积； （3）若第一象限与第四象限间存在多组紧密相邻的匀强磁场B2和匀强电场E2（如图乙），电磁场边界与y轴平行，宽度均为d，长度足够长。匀强磁场，方向垂直纸面向里，匀强电场，方向沿x轴正方向。现仅考虑自A端射入的粒子，经匀强电场E1偏转后，恰好与y轴负方向成θ＝45°从O点射入，试确定该粒子将在第几个磁场区域拐弯（即速度恰好与y轴平行）。 1. （2024•镇海区校级模拟）为探测射线，威耳逊曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示它们的径迹。某研究小组设计了电场和磁场分布如图所示，在Oxy平面（纸面）内，在x1≤x≤x2区间内存在平行y轴的匀强电场，x2﹣x1＝2d。在x≥x3的区间内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，x3＝3d。一未知粒子从坐标原点与x正方向成θ＝53°角射入，在坐标为（3d，2d）的P点以速度v0垂直磁场边界射入磁场，并从（3d，0）射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子重力，sin53°＝0.8。求： （1）该未知粒子的比荷； （2）匀强电场电场强度E的大小及左边界x1的值； （3）若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现该粒子轨迹呈螺旋状并与磁场左边界相切于点Q（x3，y3）（未画出）。求粒子由P点运动到Q点的时间t3以及坐标y3的值。 2. （2024•乐清市校级三模）芯片制造中，离子注入是一道重要的工序，如图是一部分离子注入工作原理示意图。从离子源A处飘出带正电的离子初速度不计，经匀强电场加速后，从P点以速度v沿半径方向射入圆形磁分析器，磁分析器中存在垂直于纸面向外的匀强磁场B1（大小未知），与长方体离子控制区abcd相切于Q点，其中abcd为该控制区中间竖直平面（与圆形磁分析器处于同一竖直平面），ad边长为L，离子从Q点进入控制区时，由于边缘作用，离子进入控制区的速度方向会有一定波动（速度大小不变），波动范围在以正常射入方向为轴的θ角范围内，开始时控制区无任何场，离子从Q点离开磁分析器后可匀速穿过控制区，注入水平底面的硅片上。已知离子质量为m，电荷量为q，在圆形磁分析器中运动的时间为t，图中a、P、Q三点连线正好可构成一个等边三角形，bQ足够长、不计离子的重力和离子间的相互作用，因θ角较小，离子不会从控制区的四个侧面射出。 （1）求加速电场的电压U和圆形磁分析器的半径r； （2）若离子注入硅片时，垂直硅片的速度至少达到v才能有效注入，为使所有离子均能有效注入，现在控制区加上沿ad方向的匀强磁场B和同样方向的匀强电场（强场大小可调），则匀强电场的场强大小应满足什么条件？离子有效注入硅片上的面积可达多少？ （3）若在控制区加上垂直于纸面向里磁场B2，其磁感应强度大小沿ad方向按B2＝B0+kx的规律均匀变化，x为该点到ab边的距离，k为已知的常数且k＞0，则要使在平面abcd内运动的离子不打到硅片上，ab边所在位置的磁感应强度B0至少为多少？ 3. （2024•西湖区校级模拟）如图所示，是通过磁场控制带电粒子的一种模型。在0≤x＜d和d＜x≤2d的区域内，分别存在磁感应强度均为B的匀强磁场，方向分别垂直纸面向里和垂直纸面向外。在坐标原点，有一粒子源，连续不断地沿x轴正方向释放出质量为m，带电量大小为q的带正电粒子，速率满足（不考虑粒子的重力、粒子之间的相互作用）试计算下列问题： （1）求速率最小和最大粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动的半径大小R1和R2； （2）求速率最小和最大的粒子从x＝2d的边界射出时，两出射点的距离Δy的大小； （3）设粒子源单位时间内射出的粒子数目为n（设每种速率的粒子数目相同），在x＞2d的区域加一个平行板电容器MN，且朝向出射粒子的一侧有小孔，孔的大小足以使所有的从x＝2d边界射出的粒子都能进入开孔位置，在MN间加的电势差，射入的粒子有的原路返回，其它碰到N板的全被吸收，求稳定情况下，打到电容器极板的粒子对电容器的作用力大小？（设孔的大小不影响电容器产生的电场，被吸收的粒子也不影响两极板的电势差）。 4. （2024•浙江模拟）利用如图装置可以探测从原点O发射的粒子信息。两个有界匀强磁场，沿x轴方向宽度相同，y轴方向足够长，磁场边界与y轴平行，且内侧边界距y轴均为a，磁感应强度大小均为B，方向如图所示。足够高处有一平行于x轴且关于y轴对称放置的探测板，粒子打在探测板上将被全部吸收，板长等于两个磁场外侧边界之间的距离。粒子源沿各个方向均匀向外发射质量为m，电荷量为q的正离子，不考虑粒子重力及粒子之间的相互作用，求： （1）若粒子速度大小为v，所有粒子恰好不从两个磁场外侧边界射出磁场，则磁场宽度d的大小； （2）若粒子的探测率η，则磁场宽度d2至少多大； （3）若粒子速度大小v，磁场宽度为a，则粒子的探测率η的大小。（可用反三角函数表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 带电粒子在各类场中的运动 高考中本讲内容重要程度大，难度也大，综合性强，考察分值高。本章内容在高考中占据了极为重要的位置，既是热点也是难点，试题涉及内容综合性较强。带电粒子在带电场中的加速和偏转，在有界匀强磁场中的运动，以及带电粒子在组合场中的运动，都是考试关注的焦点。 一、带电粒子在复合场中的运动 1．复合场的分类 (1)叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存． (2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或相邻或在同一区域电场、磁场交替出现． 2．带电粒子在复合场中的运动分类 (1)静止或匀速直线运动 当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动． (2)匀速圆周运动 当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动． (3)较复杂的曲线运动 当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线． (4)分阶段运动 带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化． 二、带电粒子在组合场中的运动 1．带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：分阶段(分过程)按照时间顺序和进入不同的区域分成几个不同的阶段； 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如下： ←←←→→→ 第3步：用规律 →→→→ → 2．解题步骤 (1)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键． (2)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题． 题型1选考真题探秘 1. （2024•浙江）探究性学习小组设计了一个能在喷镀板的上下表面喷镀不同离子的实验装置，截面如图所示。在xOy平面内，除x轴和虚线之间的区域之外，存在磁感应强度大小为B、方向垂直平面向外的匀强磁场。在无磁场区域内，沿着x轴依次放置离子源、长度为L的喷镀板P、长度均为L的栅极板M和N（由金属细丝组成的网状电极），喷镀板P上表面中点Q的坐标为（1.5L，0），栅极板M中点S的坐标为（3L，0）。离子源产生a和b两种正离子，其中a离子质量为m、电荷量为q，b离子的比荷为a离子的倍，经电压U＝kU0（其中，k大小可调，a和b离子初速度视为0）的电场加速后，沿着y轴射入上方磁场。经磁场偏转和栅极板N和M间电压UNM调控 （UNM＞0），a和b离子分别落在喷镀板的上下表面，并立即被吸收且电中和。忽略场的边界效应、离子受到的重力及离子间相互作用力。 （1）若U＝U0，求a离子经磁场偏转后，到达x轴上的位置x0（用L表示）； （2）调节U和UNM，并保持，使a离子能落到喷镀板P上表面任意位置，求； ①U的调节范围（用U0表示）； ②b离子落在喷镀板P下表面的区域长度； （3）要求a和b离子恰好分别落在喷镀板P上下表面的中点，求U和UNM的大小。 【解答】解：（1）a离子经电压为U的电场加速，由动能定理 a离子在匀强电场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 a离子经磁场偏转后，到达x轴上的位置为x0＝2R； 解得 由于 联立解得x0＝L； （2）①要使a离子能落到喷镀板P上表面任意位置处，只能经过电压为U的电场加速再经过第一象限匀强磁场偏转一次打在P板上方任意处，则L≤x′0≤2L 由（1）得 即U0≤U≤4U0； ②b离子先经电压为U的电场加速后再在xOy平面第一次偏转打在x轴上位置坐标 由于，U0≤U≤4U0； 解得2L≤xb≤4L 则b离子能从栅极板（坐标范围）任意位置经电压为UMN的电场减速射入虚线下方磁场，此时 b离子先经电压为U的电场加速后再在第一象限磁场中做匀速圆周运动后，再经电压为的电场减速，由动能定理得 洛伦兹力提供向心力 得Δxb＝2R′ 当时，b离子从栅极左端经虚线下方磁场偏转打在P，此时离栅极板左端的距离 当时，b离子从栅极左端经虚线下方磁场偏转打在P，此时离栅极板右端的距离 则b离子落在P下表面区域长度 （3）要求a离子落在喷镀板中点Q，由（1）得 则 由于 联立解得 则b离子从x′b＝3L处经过栅极板，要使b离子打在P板下方中央处，设UNM＝k′U 根据动能定理 洛伦兹力提供向心力 联立解得 则。 当减速n次Uqb﹣nUNMqb rn 联立解得 当减速n次恰好打在P板下方中央处，2rn﹣1＞2L 2 即L2 解得： 即n，n取整数，故可得n＝1，2，3，故可得：UNM或或 2. （2024•浙江）类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反射”和“折射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ；Ⅰ区宽度为d，存在磁感应强度大小为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，Ⅱ区的宽度很小。Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别为φⅠ和φⅢ，其电势差U＝φⅠ﹣φⅢ。一束质量为m、电荷量为e的质子从O点以入射角θ射向Ⅰ区，在P点以出射角θ射出，实现“反射”；质子束从P点以入射角θ射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折射”进入Ⅲ区，其出射方向与法线夹角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，单位时间发射的质子数为N，初速度为v0，不计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。 （1）若不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求d的最小值； （2）若，求“折射率”n（入射角正弦与折射角正弦的比值）； （3）计算说明如何调控电场，实现质子束从P点进入Ⅱ区发生“全反射”（即质子束全部返回Ⅰ区）； （4）在P点下方距离处水平放置一长为的探测板CQD（Q在P的正下方），CQ长为，质子打在探测板上即被吸收中和。若还有另一相同质子束，与原质子束关于法线左右对称，同时从O点射入Ⅰ区，且θ＝30°，求探测板受到竖直方向力F的大小与U之间的关系。 【解答】解：（1）根据题意，粒子从O点射入时的运动轨迹如图所示： 粒子从O点射入，不出Ⅰ区域的临界条件为2r＝dmin 洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律 代入数据解得 （2）设水平方向为x方向，竖直方向为y方向，x方向速度不变，y方向速度变小，假设折射角为θ′ 根据动能定理 由于 代入数据联立解得 设粒子射出区域Ⅱ时与竖直方向成θ′角，如图所示： 根据速度关系vx＝v0sinθ＝v1sinθ′ 根据折射定律 代入数据联立解得“折射率” （3）在Ⅱ区域下边界发生全反射的条件是沿竖直方向的速度为零； 根据动能定理 可得 即应满足 （4）分粒子全部打在探测板CQD和全部打不到探测板CQD两种情形； 根据数学知识 解得∠CPQ＝30° 所以如果U≥0的情况下，折射角小于入射角，两边射入的粒子都能打到板上，分情况讨论如下： ①当U≥0时，取竖直向上为正方向，根据动量定理F＝2Nm[0﹣（﹣vy）]＝2Nmvy 根据动能定理 解得 全部都打不到板的情况 ②根据几何知识可知当从Ⅱ区射出时速度与竖直方向夹角为60°时，粒子刚好打到D点，水平方向速度为 所以 根据动能定理 代入数据联立解得 即当时，F＝0 ③部分能打到的情况，根据上述分析可知条件为（），此时仅有O点左侧的一束粒子能打到板上，因此F＝Nmvy 根据动能定理 代入数据联立解得。 3. （2023•浙江）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于（0，3L）处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t； （2）若B2＝2B1，求能到达处的离子的最小速度v2； （3）若B2，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在～范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。 【解答】解：（1）离子在磁场区域Ⅰ中做匀速圆周运动，不进入区域Ⅱ速度最大的离子的运动轨迹与区域Ⅰ和Ⅱ的分界线相切，其运动轨迹如图1所示。 设其匀速圆周运动的半径为r，圆周轨迹的圆心角为2α，由几何关系可得： α＝60°，r﹣L＝rcosα 解得：r＝2L 由洛伦兹力提供向心力得： qB1v1＝m 解得：v1 离子在磁场区域Ⅰ中做匀速圆周运动的周期T 在磁场中的运动时间t （2）能到达处的速度最小的离子在磁场区域中的运动轨迹与直线相切，其运动轨迹如图2所示。 设离子在A点进入磁场区域Ⅰ时沿x、y轴的分速度分别为v2x、v2y，在C点进入磁场区域Ⅱ时沿x轴的分速度分别为v2x′，在C点离子的速度与x轴的夹角为θ，在区域Ⅱ中的运动半径为R，则有： v2x＝v2cos60°v2，v2x′＝v2cosθ 设离子由A到C的过程中某时刻沿y轴的分速度为v2yi，以沿x轴正方向为正方向，此过程沿x轴方向由动量定理得： ∑qB1v2yi•Δt＝mv2x′﹣mv2x 其中：∑v2yi•Δt＝L 已知：B2＝2B1 联立可得：qB2L＝mv2cosθmv2 由几何关系得：RRcosθ 由洛伦兹力提供向心力得：qB2v2＝m 联立解得：R＝2L，v2 （3）设速度大小为v3的离子，在区域Ⅱ中的运动轨迹与x轴相切，对此粒子由进入区域Ⅰ到与x轴相切的过程，与（2）同理，以沿x轴正方向为正方向，此过程沿x轴方向由动量定理得： ∑qB1v3yi•Δt+∑qB2v3yi•Δt＝mv3﹣mv3cos60° 其中：∑qB1v3yi•Δt＝qB1L ∑qB2v3yi•Δt＝∑q•v3yi•Δt＝∑q•ΔyydyqB1L 联立可得：qB1LqB1L＝mv3mv3 解得：v3 故离子源射出的离子速度大于的离子能进入第四象限，则进入第四象限的离子数与总离子数之比为：η 4. （2023•浙江）探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x轴上方存在垂直xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。x轴下方的分析器由两块相距为d、长度足够的平行金属薄板M和N组成，其中位于x轴的M板中心有一小孔C（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。位于坐标原点O的离子源能发射质量为m、电荷量为q的正离子，其速度方向与y轴夹角最大值为60°；且各个方向均有速度大小连续分布在和之间的离子射出。已知速度大小为v0、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C．未能射入孔C的其它离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。 （1）求孔C所处位置的坐标x0； （2）求离子打在N板上区域的长度L； （3）若在N与M板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压U0； （4）若将分析器沿着x轴平移，调节加载在N与M板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压Ux与孔C位置坐标x之间关系式。 【解答】解：（1）已知速度大小为v0、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C，离子经磁场偏转后轨迹如图所示： 由洛伦兹力提供向心力可得：qv0B＝m 解得离子轨迹半径：R 根据几何关系可得孔C所处位置的坐标：x0＝2R； （2）速度大小为v的离子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力可得：qvB＝m 解得离子轨迹半径：R′ 设离子速度方向与y轴夹角为θ时，离子若要能在C点入射，运动轨迹如图所示： 则由几何关系可得：2R′cosθ＝2R 解得：cosθ 离子速度大小连续分布在和之间，则cosθ≤1 当cosθ时θ＝45°，由几何关系结合对称性可得：L＝2dtan45°＝2d； （3）离子速度方向与y轴夹角为θ时，通过C点的离子其速度沿﹣y方向的分量为：vy＝vcosθ 由（2）可得：vy＝v0 由动能定理可得：qU0 解得：U0； （4）设离子速度大小为v′时离子轨迹半径为r′，离子速度方向与y轴夹角为θ时，孔C位置坐标x＝2rcosθ 其中：rR• 联立可得：x＝2R••cosθ，离子速度大小连续分布在和之间，而cosθ≤1 解得：R≤x≤2R 在此范围内，和（3）相同，只与vy相关，可得：qBvy＝m 解得：vy 根据动能定理可得：qUx 解得：Ux （x） 题型2带电粒子在复合场中的运动 5. （2024•浙江二模）如图所示，直角坐标系第一象限内有一竖直分界线PQ，PQ左侧有一直角三角形区域OAC，其中分布着方向垂直纸面向里、磁感应强度为B0的匀强磁场，已知OA与y轴重合，且OA＝a，θ＝60°，C点恰好处于PQ分界线上。PQ右侧有一长为L的平行板电容器，板间距为a，上极板与左侧磁场的上边界平齐，内部分布着方向垂直纸面向里，强弱随y坐标变化的磁场，和竖直向下场强大小为E的匀强电场。该复合场能使沿水平方向进入电容器的电子均能沿直线匀速通过电容器。在平行板电容器右侧某区域，存在一垂直纸面向内、磁感应强度为2B0的匀强磁场（图中未画出），使水平通过平行板电容器的电子进入该磁场后会聚于x轴上一点。现有速率不同的电子在纸面上从坐标原点O沿不同方向射到三角形区域，不考虑电子间的相互作用。已知电子的电量为e，质量为m，求： （1）当速度方向沿y轴正方向时，能进入平行板电容器的电子所具有的最大速度是多少； （2）写出电容器内磁场的磁感应强度B随y坐标的变化规律； （3）若电子沿上极板边缘离开电容器后立即进入右侧磁场，在答题纸上画出纵坐标0＜y＜a区域内该磁场的左边界，并求出会聚点的横坐标。 【解答】解：（1）根据题意可知，由洛伦兹力提供向心力，有 解得 可知，能从OC边出磁场的电子，当运动轨迹和AC相切时半径最大，故半径最大值rm＝a 所以，能从OC边出磁场的电子所具有的最大速度 （2）根据题意，画出从y处水平进入平行板间的粒子的运动轨迹，如图所示 由几何关系可得，运动半径 r＝2y 可得 解得 电子均能沿直线匀速通过电容器，则有eE＝evB 解得 （3）进入右侧磁场，因磁感应强度为2B0，所以运动半径为R＝y 磁场左边界为倾角45°的斜线，如图所示 由几何关系可得，会聚点横坐标 6. （2023•乐清市校级模拟）空间中足够大区域内存在相互垂直的电场和磁场，电场强度和磁感应强度分别为E和B。可将小球所受重力类比电场力，即认为重力场强度为g。质量为m、电荷量为q的带正电的小球A从z轴上的P点出发，速率始终不变。 （1）试求出小球A在xOz平面内的速率； （2）若在某一时刻，重力场和磁场突然消失（不考虑电磁感应变化），随后小球A在运动过程中的最小动能为其初动能的一半，试求小球A沿y轴方向速度大小； （3）恢复重力场，仅保留﹣H≤z≤0区间内的正交匀强的电磁场。现有与小球A完全相同的小球B，两小球分别从P点沿x轴正负方向以相同初速度水平抛出，已知其中一个小球进入电磁场区域后刚好做匀速直线运动，另一个小球出电磁场区域时速度方向恰沿z轴负方向，求两个小球在电磁场区域运动时间之比。 【解答】解：（1）由于质点速率不变，说明沿着速度方向必然没有力存在；电场力和重力的合力是恒力，此合力方向在xoz平面内；洛伦兹力对质点不做功，所以洛伦兹力必然和此合力等大反向；电场力和重力的合力为 即在xoz平面内做匀速直线运动：即qvB＝F 则有 （2）Z轴方向受力平衡，有：mg＝qvxB 解得： x轴受力平衡，有：qE＝qvzB 解得： 最小速度时，必然x轴方向速度是0，有 y轴方向速度不变，可知 （3）x轴负半轴区域内，质点做匀速直线运动，所以质点进入电磁场区域后，有方程：Z轴方向受力平衡，有mg＝qvxB 解得： x轴受力平衡，有：qE＝qvzB 解得： 所以运动时间： 在x轴正半轴区域内，质点做曲线运动，沿x方向用动量定理，有（qE﹣qvzB）dt＝﹣mvx qEt2﹣qBH＝﹣m• 所以时间之比为t1：t2 7. 某研究小组设计了如图所示的双立柱形粒子加速器，整个装置处于真空中。已知两个立柱底面均为边长为d的正方形，各棱均分别和某一坐标轴平行。立柱1下底面中心坐标为（，，0），立柱2下底面中心坐标为（，，0），它们的上底面均位于z＝10d的平面内。两个立柱上、下底面间的电压大小均为U，立柱1内存在着沿z轴正方向的匀强电场，立柱2内存在着沿z轴负方向的匀强电场，两立柱外电场均被屏蔽。在z＞10d和z＜0的空间内存在着沿x轴正方向的两个匀强磁场，其磁感应强度分别是B1和B2（均未知）。现有大量的带正电的粒子从立柱1底面各处由静止出发，经过立柱1、2加速后能全部回到立柱1的下底面。若粒子在经过z＝0和z＝10d两个平面时，仅能自由进出两立柱的底面（经过其它位置均会被吸收）；该粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子 重力及粒子间的相互作用力。求： （1）粒子经过立柱2下底面时的动能Ek； （2）磁感应强度B1和B2的大小； （3）若两立柱上、下底面间电压的大小可调且在粒子运动过程中保持同一定值；两个磁场仅方向可变且保持与z轴垂直。求从立柱1下底面出发的粒子再次回到立柱1下底面的最短时间t。 【解答】解： （1）粒子经过立柱2下底面时，共经过2次加速，根据动能定理： 2qU＝Ek﹣0，Ek＝2qU。 （2）要使大量的带正电的粒子从立柱1底面各处由静止出发，经过立柱1、2加速后能全部回到立柱1的下底面， 需要立柱1最左面的到达立柱2最左面，立柱1最右面的到达立柱2最右面，第2次加速后亦然，即在磁场中圆周运动半径等于10d。 第一次加速后：，（r＝10d），解得 第一次加速后：，（r＝10d），解得 （3）粒子在磁场中的圆周运动时间与粒子速度无关，等于半个周期，所以要减少时间需要减少电场中的运动时间，但是随着速度增加，圆周运动的半径变大，其最大半径为对角线，对应粒子从立柱1最左面的到达立柱2最右面，而且是对角线，如图： 最大半径为，由，， 解得：，； 最短时间为：，解得。 题型3带电粒子在组合场中的运动 8. （2024•温州三模）如图甲所示，某种离子分析器由加速区、偏转区和检测区组成，分别分布在第Ⅲ、Ⅱ、Ⅰ象限内。在加速通道内分布着沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E1在0.6E0≤E1≤1.2E0范围内调节；在偏转通道内分布着垂直xOy坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B1随E1的变化而变化；在检测区内，分布着匀强电场或磁场，检测区内适当位置放有长为2L的检测板。在坐标为（﹣L，﹣1.5L）的A处有一离子源，可连续释放质量为m、电荷量为﹣q（q＞0）的离子（释放时的速度可视为零），离子沿直线到达坐标为（﹣L，0）的小孔C，再经偏转区后从坐标为（0，L）的小孔D进入检测区，打在检测板上。三个区域的场互不影响，不计离子的重力及其间的相互作用。 （1）要保证所有的离子都能从C孔出来后从D孔进入检测区，试推导磁感应强度大小B1随场强E1变化的关系式； （2）如图乙所示，将检测板左端放在D孔上沿，板面与x轴正方向的夹角θ＝30°。检测区内加沿y轴负方向、场强大小E2＝8E0的匀强电场，在满足（1）的条件下： ①求检测板上收集到离子记录线的长度Δd1； ②调整θ角使检测板上收集到离子的记录线最长，求此记录线的长度Δd2及调整后的角度正弦值； （3）如图丙所示，检测板与y轴平行，并可沿x轴及y轴平移。检测区内加垂直xOy坐标平面向里的磁场，磁感应强度大小B2沿x轴均匀变化，即B2＝kx（k为大于零的常量），在满足（1）的条件下，要使检测板能收集到离子，求检测板x坐标的最大值。 【解答】解：（1）粒子在加速电场中从A到C过程，由动能定理可得 粒子在偏转区做圆周运动，根据牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力有 联立解得； （2）①粒子进入检测区后做类平抛运动，根据运动学公式有 dcos30°＝vt 联立解得 代入E1（0.6E0≤E1≤1.2E0） 有 d1＝0.3L d2＝0.6L 则Δd1＝0.3L； ②粒子做类平抛运动，根据运动学公式有 dcosθ＝vt 联立解得 当E1＝1.2E0时d＝2L，即 解得sinθ＝0.8 当E1＝0.6E0时 所以Δd2＝2L﹣d1＝L； （3）粒子以最大速度进入磁场刚好打在检测板下边缘过程，由动能定理可知 设粒子运动过程中速度在x轴方向的分量为vx，竖直方向根据动量定理可知qB2vxΔt＝mvm 又x＝vxΔt 联立解得 或者 。 9. （2024•镇海区校级模拟）如图甲所示，真空中存在一间距为d＝0.02m的水平平行板电容器，板长L＝0.04m，板间电压为U、板间匀强电场方向向上，MN为一垂直上极板PQ的足够长的光屏，其下端N与极板右端Q重合，在MN所在竖直线右侧空间存在匀强磁场。在下极板左端有一个粒子源A，可以紧贴极板水平向右连续发射带正电的粒子，粒子比荷为，初速度。已知粒子打到极板或光屏时会被吸收，粒子之间的作用力不计，粒子的重力不计。 （1）为使粒子能够从极板间射出，求电压U的最大值； （2）若匀强磁场方向垂直纸面向里（如图甲），大小为B1＝0.05T，电压U可任意调节，则求粒子击中光屏形成痕迹的长度ΔL； （3）若匀强磁场方向改成水平向右，大小变为，电压U可任意调节，在极板右侧放置另一块与MN平行的足够大的光屏CD，CD在磁场中能左右移动，则求粒子打在光屏CD上留下所有痕迹的面积S； （4）在满足第（3）问的条件下，同时在电容器的右侧与光屏之间加一水平向右的匀强电场，其场强大小，在光屏上以D点原点（D点为光屏与FG直线的交点），垂直纸面向内为x轴，竖直向上为y轴，水平向右的方向为z轴，建立如图乙所示的三维直角坐标系xyz。光屏位置到G点的距离用K表示，现将光屏CD沿FG直线从G点开始从近到远依次放在不同位置上，光屏CD始终平行MN，当光屏距G点为K1与K2这两个位置时打在光屏上所有粒子的点迹首次先后出现如图丙、丁所示的两条直线（顺着匀强电场E，水平向右看光屏），其中图丙为距离K1时的图样，图丁为距离K2时的图样，则K1与K2这两位置相距多少距离？ 【解答】解：（1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，水平方向 竖直方向 联立解得 所以电压U的最大值为50V； （2）设射入磁场的粒子速度为v，与水平方向成角度θ，磁场中圆周运动半径为r0 则可得 解得运动半径为 由几何关系得，磁场中动弧线在竖直方向上的高度为 Δy＝2r0cosθ 联立解得 即Δy为定值，出射点离Q越远，打到光屏上离Q距离的越小，出射点离Q越近打到光屏上离Q距离的越大 当U＝0时，从下级板边缘出射，此时距离Q最小 hmin＝Δy﹣d＝0.04m﹣0.02m＝0.02m 当U＝50V时，从上级板边缘Q点出射，此时距离Q最大 hmax＝Δy＝0.04m 因此，痕迹长度 ΔL＝hmax﹣hmin＝0.04m﹣0.02m＝0.02m （3）粒子从电场中射出，进入磁场后，水平方向匀速运动，垂直磁场方向做匀速圆周运动 由图可知 所以 圆心与下极板右边缘连线与竖直方向夹角θ满足 由图可知 所以θ＝30° 即圆心连线为一条直线且过下极板右边缘，所有光屏痕迹是由从上到下逐渐减小的圆叠加形成的，如图所示 当y＝d时，圆半径最大，最大半径为 则求粒子打在光屏CD上留下所有痕迹的面积为 （4）加上水平向右的电场后，粒子进入磁场区域时水平方向匀加速运动，垂直磁场方向做匀速圆周运动，其周期为 因粒子圆周的周期与速度大小无关，出现图1直线时，所有粒子偏转120°，由运动等时性可知，水平方向运动时间恰为，出现图2直线时，所有粒子恰好运动一周，水平方向运动时间为T，由运动学公式有： 所以两点相距 10. （2024•宁波模拟）如图甲所示，曲线OP上方有沿﹣y方向的匀强电场，其场强大小为E1，曲线左侧有一粒子源AB，B端位于x轴上，能够持续不断地沿+x方向发射速度为v0、质量为m、电荷量为q的粒子束，这些粒子经电场偏转后均能够通过O点，已知从A点入射粒子恰好从P点进入电场，不计重力及粒子间的相互作用。 （1）写出匀强电场边界OP段的边界方程（粒子入射点的坐标y和x间的关系式）； （2）若第四象限内存在边界平行于坐标轴的矩形匀强磁场B1（未画出），磁场方向垂直纸面向外。自O点射入的粒子束，经磁场偏转后均能够返回y轴，若粒子在第四象限运动时始终未离开磁场，求磁场的最小面积； （3）若第一象限与第四象限间存在多组紧密相邻的匀强磁场B2和匀强电场E2（如图乙），电磁场边界与y轴平行，宽度均为d，长度足够长。匀强磁场，方向垂直纸面向里，匀强电场，方向沿x轴正方向。现仅考虑自A端射入的粒子，经匀强电场E1偏转后，恰好与y轴负方向成θ＝45°从O点射入，试确定该粒子将在第几个磁场区域拐弯（即速度恰好与y轴平行）。 【解答】解：（1）对从P（x，y）点射入电场的粒子，在电场中做类平抛运动，则有： yat2 x＝v0t a 联立解得边界方程为：y （2）设粒子从O点射入磁场时，速度v与x轴正方向的夹角为β，则有： v0＝vcosβ 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律有 ，解得：r 根据几何关系可得，粒子在磁场中的运动轨迹对应的弦长为：d＝2rcosβ 解得：d 可见d为定值，即所有粒子从y轴上的同一点射出磁场。 可得沿+x方向入射的粒子的运动轨迹离y轴最远，只要此方向入射的粒子在第四象限运动时未离开磁场，其它粒子均可满足要求。 此方向入射的粒子的运动半径为：r1 磁场的最小面积为；Smin＝dr1 （3）自A端射入的粒子恰好与y轴负方向成θ＝45°从O点射入，易知入射速度大小等于v0，已知匀强磁场，根据r，可得在第一列磁场中的运动半径为R1d，粒子轨迹如下图所示，粒子逆时针偏转45°角沿+x方向进入第一列电场，做匀加速直线运动直到进入第二列磁场，从此处开始计数，令n＝1（即第二列磁场被计数为n＝1）。 经电场n次加速后粒子速度大小为vn，由动能定理得： nqE2dm（v0）2，已知： 解得：vn 则在第n列磁场（实际是第n+1列）中的运动半径为Rn① 假设粒子在第n列磁场区域拐弯时轨迹恰好与边界相切，根据图中的几何关系可得： Rn﹣Rnsinαn＝d……② 粒子在第n次被加速过程沿+y方向的分速度不变，可得： vn﹣1sinγ＝vnsinαn 代入得：sinγsinαn 可得：sinγ 在第n﹣1列磁场中圆周运动过程，由几何关系得： Rn﹣1sinγ﹣Rn﹣1sinαn﹣1＝d 又有：Rn﹣1 联立整理可得：sinαn﹣1 因粒子沿+x方向进入和射出第一列电场，故sinα1＝0。可得： n＝2时，sinα2 n＝3时，sinα3 n＝3时，sinα4 …… 归纳可得：sinαn③ 联立①②③式得：[1]＝1 整理得：n＝0 解得：n（另一解为负值，舍去），因1＜n＜2，故n取2，对应实际的第3个磁场。 即该粒子将在第3个磁场区域拐弯。 1. （2024•镇海区校级模拟）为探测射线，威耳逊曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示它们的径迹。某研究小组设计了电场和磁场分布如图所示，在Oxy平面（纸面）内，在x1≤x≤x2区间内存在平行y轴的匀强电场，x2﹣x1＝2d。在x≥x3的区间内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，x3＝3d。一未知粒子从坐标原点与x正方向成θ＝53°角射入，在坐标为（3d，2d）的P点以速度v0垂直磁场边界射入磁场，并从（3d，0）射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子重力，sin53°＝0.8。求： （1）该未知粒子的比荷； （2）匀强电场电场强度E的大小及左边界x1的值； （3）若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现该粒子轨迹呈螺旋状并与磁场左边界相切于点Q（x3，y3）（未画出）。求粒子由P点运动到Q点的时间t3以及坐标y3的值。 【解答】解：（1）粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力可得 又粒子在坐标为（3d，2d）的P点以速度v0垂直磁场边界射入磁场，并从（3d，0）射出磁场，根据几何知识有R＝d 联立解得粒子的比荷为； （2）粒子的轨迹如图所示 粒子在电场中可逆向看成做类平抛运动，垂直于电场方向有2d＝v0t1 平行于电场方向有vy＝v0tan53°＝at1 根据牛顿第二定律有qE＝ma 联立解得匀强电场的场强大小为 由几何关系可得 解得； （3）若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，粒子在磁场的运动轨迹如图所示 由qvB＝mωv 可得 即角速度为一定值，又可知粒子与磁场左边界相切时转过的弧度为，则有 设阻力与速度的比值为k，取一小段时间Δt，对粒子在x方向上列动量定理 ﹣kvsinθ•Δt﹣qvBcosθ•Δt＝mΔvx 两边同时对过程求和∑﹣kvsinθ•Δt+∑﹣qvBcosθ•Δt＝∑mΔvx 可得k∑﹣vsinθ•Δt+qB∑﹣vcosθ•Δt＝m∑Δvx 即k∑﹣Δx+qB∑Δy＝m∑Δvx 其中k∑﹣Δx＝0 则有qBΔy＝﹣mv0 结合 可得 故有y3＝2d﹣d＝d。 2. （2024•乐清市校级三模）芯片制造中，离子注入是一道重要的工序，如图是一部分离子注入工作原理示意图。从离子源A处飘出带正电的离子初速度不计，经匀强电场加速后，从P点以速度v沿半径方向射入圆形磁分析器，磁分析器中存在垂直于纸面向外的匀强磁场B1（大小未知），与长方体离子控制区abcd相切于Q点，其中abcd为该控制区中间竖直平面（与圆形磁分析器处于同一竖直平面），ad边长为L，离子从Q点进入控制区时，由于边缘作用，离子进入控制区的速度方向会有一定波动（速度大小不变），波动范围在以正常射入方向为轴的θ角范围内，开始时控制区无任何场，离子从Q点离开磁分析器后可匀速穿过控制区，注入水平底面的硅片上。已知离子质量为m，电荷量为q，在圆形磁分析器中运动的时间为t，图中a、P、Q三点连线正好可构成一个等边三角形，bQ足够长、不计离子的重力和离子间的相互作用，因θ角较小，离子不会从控制区的四个侧面射出。 （1）求加速电场的电压U和圆形磁分析器的半径r； （2）若离子注入硅片时，垂直硅片的速度至少达到v才能有效注入，为使所有离子均能有效注入，现在控制区加上沿ad方向的匀强磁场B和同样方向的匀强电场（强场大小可调），则匀强电场的场强大小应满足什么条件？离子有效注入硅片上的面积可达多少？ （3）若在控制区加上垂直于纸面向里磁场B2，其磁感应强度大小沿ad方向按B2＝B0+kx的规律均匀变化，x为该点到ab边的距离，k为已知的常数且k＞0，则要使在平面abcd内运动的离子不打到硅片上，ab边所在位置的磁感应强度B0至少为多少？ 【解答】解：（1）在加速电场有 解得 在圆形磁分析器中，做圆周运动，运动轨迹如图 其周期为 在磁场中运动时间有 根据几何关系有 解得 （2）离子注入硅片时，垂直硅片的速度至少达到v才能有效注入，为使所有离子均能有效注入，根据动能定理 可得 离子以v0sinθ的速度做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力 离子有效注入硅片上的面积可 （3）要使离子恰好不打到硅片上，离子运动到cd边时，速度应与cd边相切，又因为洛伦兹力不改变速度大小，因此分解洛伦兹力，取向右为正方向，在平行于ab方向用动量定理 式中 为水平方向速度的变化量， 则有 解得 3. （2024•西湖区校级模拟）如图所示，是通过磁场控制带电粒子的一种模型。在0≤x＜d和d＜x≤2d的区域内，分别存在磁感应强度均为B的匀强磁场，方向分别垂直纸面向里和垂直纸面向外。在坐标原点，有一粒子源，连续不断地沿x轴正方向释放出质量为m，带电量大小为q的带正电粒子，速率满足（不考虑粒子的重力、粒子之间的相互作用）试计算下列问题： （1）求速率最小和最大粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动的半径大小R1和R2； （2）求速率最小和最大的粒子从x＝2d的边界射出时，两出射点的距离Δy的大小； （3）设粒子源单位时间内射出的粒子数目为n（设每种速率的粒子数目相同），在x＞2d的区域加一个平行板电容器MN，且朝向出射粒子的一侧有小孔，孔的大小足以使所有的从x＝2d边界射出的粒子都能进入开孔位置，在MN间加的电势差，射入的粒子有的原路返回，其它碰到N板的全被吸收，求稳定情况下，打到电容器极板的粒子对电容器的作用力大小？（设孔的大小不影响电容器产生的电场，被吸收的粒子也不影响两极板的电势差）。 【解答】解：（1）粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动有 解得 所以，R2＝2d。 （2）如图为某一速率的粒子运动的轨迹示意图 辅助线如图所示。由几何关系知道，速率为v1的粒子射出a＝2d边界时的坐标为 速率为v2的粒子射出x＝2d边界时的坐标为 所以 （3）根据能量守恒，可以计算例子打到N板时的速度 恰好打到极板时有 解得能够打到极板上的例子的最小速度为 因此代入最大速度和最小速度可得到打到N板时的速度范围为 极板受到的力由单位时间内打到粒子的提供，取向右为正方向，其中可以达到极板的粒子占出射粒子数的比例为 所以极板受力为 4. （2024•浙江模拟）利用如图装置可以探测从原点O发射的粒子信息。两个有界匀强磁场，沿x轴方向宽度相同，y轴方向足够长，磁场边界与y轴平行，且内侧边界距y轴均为a，磁感应强度大小均为B，方向如图所示。足够高处有一平行于x轴且关于y轴对称放置的探测板，粒子打在探测板上将被全部吸收，板长等于两个磁场外侧边界之间的距离。粒子源沿各个方向均匀向外发射质量为m，电荷量为q的正离子，不考虑粒子重力及粒子之间的相互作用，求： （1）若粒子速度大小为v，所有粒子恰好不从两个磁场外侧边界射出磁场，则磁场宽度d的大小； （2）若粒子的探测率η，则磁场宽度d2至少多大； （3）若粒子速度大小v，磁场宽度为a，则粒子的探测率η的大小。（可用反三角函数表示） 【解答】解：（1）由题意可知，沿x轴方向入射的粒子恰好与磁场外侧相切，如图 根据几何关系有R1＝d1′ 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 若使所有粒子恰好不从两个磁场外侧边界射出磁场，则有 （2）若粒子的探测率，可知有粒子不能探测到，可知粒子沿与y轴负方向夹角是30°的方向射入磁场都能探测到，粒子在磁场中运动轨迹如图所示，由图可知，则磁场宽度至少 （3）若粒子速度大小，则有 由解析（2），设粒子与y轴负方向的夹角为θ，在磁场中运动时，由几何关系可得 解得 可知粒子的探测率η的大小 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$